江苏苏州市某校2025-2026学年高二上学期周测十二数学试题

**基本信息** 这份高中数学周测试卷聚焦圆与直线的综合应用，通过圆的方程条件判断、直线旋转斜率计算、中点轨迹方程探究等问题，分层考查数学抽象与几何直观，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|圆的方程条件、直线旋转斜率、直线与坐标轴面积|结合几何直观，考查基本概念辨析| |多选题|3/15|直线与圆位置关系、最值问题、直径与直线关系|通过多选项设计，培养推理意识| |填空题|3/15|过交点圆方程、切线与三角形面积、动点轨迹最值|强化符号运算与空间观念| |解答题|3/40|圆的方程求解、直线与圆位置关系及弦长、中点轨迹方程|综合考查模型意识与问题解决能力，呼应真题命题趋势|

滚动练习12 一、单选题 1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　) A. B.(－∞，1) C. D. 答案　A 解析　由(－1)2＋12－4m>0，解得m<. 2.将直线y－x＝0绕着原点逆时针旋转60°，得到的新直线的斜率为(　　) A. B.－ C.－ D.－ 答案　B 解析　设直线y－x＝0的倾斜角为α，直线方程y－x＝0可化为y＝x，从而tan α＝，则α＝60°，则直线y－x＝0绕着原点逆时针旋转60°后倾斜角为120°，即所得新直线的斜率为tan 120°＝－.故选B. 3.若直线l经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则直线l的条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　设直线l的截距式方程为＋＝1， ∵直线l经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2， ∴＋＝1，|ab|＝2， 解得a＝b＝2或 或 故直线l的条数为3.故选C. 4.两圆x2＋y2－1＝0与x2＋y2＋3x＋9y＋2＝0的公共弦长为(　　) A. B. C. D.1 答案　B 解析　两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＋1＝0，圆x2＋y2－1＝0的圆心为(0，0)，半径长为1， 又(0，0)到直线x＋3y＋1＝0的距离为， 所以公共弦长为2＝. 5.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案　C 解析　由题意易知圆心C(－1，2)，半径长r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上， 所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d， 易求d＝＝3， 所以切线长的最小值为＝＝4. 6.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为(　　) A.1 B. C.2 D.2 答案　A 解析　由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2. 因为直线l经过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0. 又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2＝2.又坐标原点O到弦AB的距离为＝，所以△OAB的面积为×2×＝1.故选A. 二、多选题 7.已知直线l：xcos α＋ysin α＝1与圆O：x2＋y2＝6交于A，B两点，则下列说法正确的是(　　) A.直线l的倾斜角为π－α B.线段AB的长度为定值 C.线段AB的中点轨迹方程为x2＋y2＝1 D.圆O上总有4个点到l的距离为2 答案　BC 解析　对于A，直线的倾斜角范围为[0，π)， 而π－α∈R，故选项A错误； 对于B，线段AB为直线l：xcos α＋ysin α＝1被圆O：x2＋y2＝6所截得的弦， 圆心O到直线l的距离d＝＝1，圆的半径r＝， 所以|AB|＝2＝2＝2，为定值，故选项B正确； 对于C，设AB的中点为M，则由圆的几何性质可知，|OM|＝1， 所以点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆， 则线段AB的中点轨迹方程为x2＋y2＝1，故选项C正确； 对于D，因为圆心O到直线l的距离d＝1， 且r－d＝－1<2， 所以圆O上有2个点到l的距离为2，D错误. 8.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法中错误的是(　　) A.y－x的最大值为－2 B.x2＋y2的最大值为7＋4 C.的最大值为 D.x＋y的最大值为2＋ 答案　CD 解析　对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤， 解得－－2≤z≤－2， 所以y－x的最大值为－2，故A正确； 对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋， 所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B正确. 对于C，设＝k，将y＝kx代入圆的方程， 得(1＋k2)x2－4x＋1＝0， 则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤， 的最大值为，故C错误； 对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤， 解得－＋2≤m≤＋2， 所以x＋y的最大值为＋2，故D错误. 9.已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0 C.x＋y－8＝0 D.x＋y－10＝0 答案　AD 解析　根据题意，圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，其圆心C(3，3)，半径r＝6， 若直线l：x＋y－m＝0是垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 则圆心到直线的距离为2， 则有d＝＝2， 变形可得|6－m|＝4，解得m＝2或10， 即l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－10＝0. 三、填空题 10.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1，2)的圆的方程为________. 答案　x2＋y2－x－y－＝0 解析　由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1，2)代入，可得λ＝－， 故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0. 11.已知圆O：x2＋y2＝4和点A(1，)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________. 答案　 解析　因为点A(1，)满足圆O：x2＋y2＝4的方程，即点A在圆O上. 易知kOA＝，所以过点A的切线的斜率为k＝－， 则切线方程为y－＝－(x－1)， 即x＋y－4＝0， 令x＝0得y＝，令y＝0得x＝4， 所以所求三角形的面积为××4＝. 12.已知动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，则|PO|的最大值是________. 答案　 解析　如图，方程x2＋y2－|x|－|y|＝0可以转化为＋＝，所以动点P(x，y)的轨迹为原点和四段圆弧. 当点P为原点O时， |PO|最小，且|PO|min＝0. 由于对称性，仅考虑圆弧＋＝(x≥0，y≥0)，显然，当点P为(1，1)时， |PO|max＝. 四、解答题 13.已知圆C经过点(2，5)，(5，2)，(2，－1). (1)求圆C的方程； (2)设点P(x，y)在圆C上运动，求(x＋2)2＋(y＋1)2的最大值与最小值. 解　(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，把已知的三点的坐标代入可得， 解得 可得圆C的方程为x2＋y2－4x－4y－1＝0. (2)由(1)可得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝9，∴该圆的圆心为C(2，2)，半径为3. 而(x＋2)2＋(y＋1)2表示圆上的点P到点M(－2，－1)的距离的平方， |CM|＝＝5>3， 故(x＋2)2＋(y＋1)2的最大值为(|CM|＋3)2＝64， (x＋2)2＋(y＋1)2的最小值为(|CM|－3)2＝4. 14.已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程. 解　(1)将圆C的方程化标准方程为 x2＋(y－1)2＝5， 所以圆心为C(0，1)，半径r＝. 圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝＝<1<， 因此直线l与圆C相交. (2)设圆心C到直线l的距离为d， 则d＝＝. 又d＝，则＝， 解得m＝±1， 所以所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. 15.已知一个动点P在圆x2＋y2＝36上移动，它与定点Q(4，0)所连线段的中点为M. (1)求点M的轨迹方程； (2)过定点(0，－3)的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)且满足＋＝，求直线l的方程. 解　(1)设M(x，y)，动点P(x0，y0)， 则由中点坐标公式，得 解得x0＝2x－4，y0＝2y， 又由x＋y＝36， 得(2x－4)2＋(2y)2＝36， 即(x－2)2＋y2＝9， ∴点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝9. (2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，与圆M交于A(0，)，B(0，－)，此时x1＝x2＝0，不合题意. 当直线l的斜率存在时， 设直线l：y＝kx－3， 则由消去y， 得(1＋k2)x2－(4＋6k)x＋4＝0， 则Δ＝[－(4＋6k)]2－4×4(1＋k2)>0， x1＋x2＝，x1x2＝. 由＋＝，得x＋x＝x1x2， 即(x1＋x2)2＝x1x2， ∴＝·， 整理得7k2－24k＋17＝0， ∴k＝1，k＝，经检验Δ>0. 此时直线l的方程为x－y－3＝0或17x－7y－21＝0. 综上：直线l的方程为x－y－3＝0或17x－7y－21＝0. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动练习12 一、单选题(每小题5分，共30分) 1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　) A. B.(－∞，1) C. D. 2.将直线y－x＝0绕着原点逆时针旋转60°，得到的新直线的斜率为(　　) A. B.－ C.－ D.－ 3.若直线l经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则直线l的条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.两圆x2＋y2－1＝0与x2＋y2＋3x＋9y＋2＝0的公共弦长为(　　) A. B. C. D.1 5.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 6.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为(　　) A.1 B. C.2 D.2 二、多选题(每小题5分，共15分) 7.已知直线l：xcos α＋ysin α＝1与圆O：x2＋y2＝6交于A，B两点，则下列说法正确的是(　　) A.直线l的倾斜角为π－α B.线段AB的长度为定值 C.线段AB的中点轨迹方程为x2＋y2＝1 D.圆O上总有4个点到l的距离为2 8.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法中错误的是(　　) A.y－x的最大值为－2 B.x2＋y2的最大值为7＋4 C.的最大值为 D.x＋y的最大值为2＋ 9.已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0 C.x＋y－8＝0 D.x＋y－10＝0 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1，2)的圆的方程为________. 11.已知圆O：x2＋y2＝4和点A(1，)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________. 12.已知动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，则|PO|的最大值是________. 四、解答题(40分) 13.（12分）已知圆C经过点(2，5)，(5，2)，(2，－1). (1)求圆C的方程； (2)设点P(x，y)在圆C上运动，求(x＋2)2＋(y＋1)2的最大值与最小值. 14.（12分）已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程. 15.（16分）已知一个动点P在圆x2＋y2＝36上移动，它与定点Q(4，0)所连线段的中点为M. (1)求点M的轨迹方程； (2)过定点(0，－3)的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)且满足＋＝，求直线l的方程. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $