江苏苏州市某校2025-2026学年高二上学期周测十六数学试题

**基本信息** 聚焦椭圆核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，综合考查方程求解、弦长计算、面积最值等，培养运算推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|椭圆焦点弦长、离心率、中点斜率关系|第4题结合点差法，考查斜率乘积定值，体现数学思维| |填空题|4/20|通径、中点弦方程、面积计算|第8题利用中点弦性质求直线方程，强化运算能力| |解答题|4/50|椭圆方程、弦长最值、面积最大值、斜率和定值证明|第14题证明斜率和为定值，综合应用方程思想与逻辑推理，贴近高考命题趋势|

滚动练习16 一、单选题(每小题5分，共30分) 1.过椭圆＋y2＝1的左焦点作弦AB，则最长弦AB的长为(　　) A.1 B.2 C. D.4 2.已知F1(－2，0)，F2(2，0)是椭圆C的焦点，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|最小为6，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3.已知椭圆C：＋＝1，F为椭圆C的右焦点，过原点O且斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，则△PQF面积的最大值为(　　) A.1 B.2 C.2 D. 4.过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　) A.2 B.－2 C. D.－ 5.直线y＝kx－1被椭圆C：＋y2＝1截得最长的弦为(　　) A.3 B. C.2 D. 6.已知P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：x2＋(y＋1)2＝1的任意一条直径，则·的取值范围是(　　) A.[0，24] B.[8，24] C.(0，24) D.(8，24) 二、填空题(每小题5分，共20分) 7.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则线段AB长度的最小值为________. 8.已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为________________. 9.已知直线x＋3y－7＝0与椭圆＋＝1(0<b<3)相交于A，B两点，椭圆的两个焦点分别是F1，F2，线段AB的中点为C(1，2)，则△CF1F2的面积为________. 10.若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点F(－2，0)的直线l与椭圆交于A，B两点，已知AB的中点为M，则椭圆的长轴长为________. 三、解答题(50分) 11.（10分）设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为. (1)求C的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标. 12.（10分）已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围. (2)求直线被椭圆截得的最长弦的长度. 13.（15分）在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值. 14.（15分）已知点P在椭圆C1：＋＝1(a>0)上.设M，N是椭圆C1上的两个动点，且横坐标均不为1，若直线MN的斜率为，设直线PM与PN的斜率分别为k1，k2.证明：k1＋k2为定值. 滚动练习16 一、单选题(每小题5分，共30分) 1.过椭圆＋y2＝1的左焦点作弦AB，则最长弦AB的长为(　　) A.1 B.2 C. D.4 答案　D 解析　过椭圆＋y2＝1的左焦点作弦AB，则最长弦AB的长为长轴长，即2a＝4. 2.已知F1(－2，0)，F2(2，0)是椭圆C的焦点，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|最小为6，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　由＝6，c＝2及a2＝b2＋c2得a2＝16，b2＝12，故选C. 3.已知椭圆C：＋＝1，F为椭圆C的右焦点，过原点O且斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，则△PQF面积的最大值为(　　) A.1 B.2 C.2 D. 答案　D 解析　画出图象如图所示，由于|OF|＝c＝1， 所以S△PQF＝×|OF|×|yP－yQ|，而|yP－yQ|max等于椭圆的短轴长，所以三角形PQF的面积最大为S△PQF＝×|OF|×2b＝bc＝. 4.过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　) A.2 B.－2 C. D.－ 答案　D 解析　设直线m与x2＋2y2＝2的交点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则中点P(x0，y0)，且x0＝，y0＝， 将P1(x1，y1)，P2(x2，y2)代入x2＋2y2＝2， 可得x＋2y＝2，x＋2y＝2， 以上两式相减，可得x－x＋2(y－y)＝0， 则由于k1＝，k2＝＝， 所以1＋2·＝0， 即1＋2k1k2＝0，所以k1k2＝－. 5.直线y＝kx－1被椭圆C：＋y2＝1截得最长的弦为(　　) A.3 B. C.2 D. 答案　B 解析　联立直线y＝kx－1和椭圆＋y2＝1， 可得(1＋5k2)x2－10kx＝0， 解得x＝0或x＝， 则弦长l＝·， 令1＋5k2＝t(t≥1)， 则l＝10·＝2 ＝2， 当t＝，则k＝±，l取得最大值2×＝. 6.已知P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：x2＋(y＋1)2＝1的任意一条直径，则·的取值范围是(　　) A.[0，24] B.[8，24] C.(0，24) D.(8，24) 答案　B 解析　由题意N(0，－1)是椭圆的下焦点，EF是圆N的直径， 则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－1， 在椭圆＋＝1中，a＝4，c＝1， 椭圆上的P到焦点N的距离的最大值为a＋c＝5， 最小值为a－c＝3， 所以||2－1的最大值为24，最小值为8. 所以·的取值范围[8，24]. 二、填空题(每小题5分，共20分) 7.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则线段AB长度的最小值为________. 答案　 解析　由椭圆方程知a＝5，b＝3. ∵过焦点的最短弦为通径， ∴|AB|min＝＝. 8.已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为________________. 答案　9x＋y－5＝0 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为点A，B在椭圆上， 所以＋x＝1，① ＋x＝1.② ①－②， 得＋(x1＋x2)(x1－x2)＝0.③ 因为P是线段AB的中点， 所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1， 代入③得＝－9，即直线AB的斜率为－9. 故直线AB的方程为y－＝－9， 整理得9x＋y－5＝0. 9.已知直线x＋3y－7＝0与椭圆＋＝1(0<b<3)相交于A，B两点，椭圆的两个焦点分别是F1，F2，线段AB的中点为C(1，2)，则△CF1F2的面积为________. 答案　2 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则两式相减， 得＝－， 因为直线AB的斜率为－，则＝－， 线段AB的中点为C(1，2)， 所以－＝－，解得b2＝6. 因为a＝3，所以c＝， 故△CF1F2的面积为×2×2＝2. 10.若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点F(－2，0)的直线l与椭圆交于A，B两点，已知AB的中点为M，则椭圆的长轴长为________. 答案　 解析　由焦点F(－2，0)在x轴上，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上， ∴作差得＋＝0.(*) ∵直线l过M和F(－2，0)，且AB的中点为M，∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝1. kl＝＝＝， 代入(*)式，得＋·＝＋×＝0， 即b2＝a2. 又∵c＝2，c2＋b2＝a2，解得a＝， ∴椭圆的长轴长为. 三、解答题(50分) 11.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为. (1)求C的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标. 解　(1)将点(0，4)代入C的方程得＝1， 则b＝4. ∵e＝＝，∴＝，则1－＝， 解得a＝5.∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为 y＝(x－3)， 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). 将直线方程y＝(x－3)代入C的方程， 得＋＝1， 即x2－3x－8＝0，故x1＋x2＝3. 设线段AB的中点坐标为(x0，y0)， 则x0＝＝， y0＝＝(x1＋x2－6)＝－， 即所求中点坐标为. 12.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围. (2)求直线被椭圆截得的最长弦的长度. 解　(1)由方程组消去y并整理， 得5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0， 解得－≤m≤， 故实数m的取值范围是. (2)由根与系数的关系， 得x1＋x2＝－，x1·x2＝， 则弦长d＝·|x1－x2| ＝ ＝＝， 故当m＝0时，d取得最大值为. 13.在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值. 解　(1)由题意得∴ ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)设直线AB的方程为y＝－x＋m， 联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0， ∴ ∴|AB|＝|x1－x2|＝， 原点到直线的距离d＝. ∴S△OAB＝×· ＝≤·＝. 当且仅当m＝±时，等号成立， ∴△AOB面积的最大值为. 14.已知点P在椭圆C1：＋＝1(a>0)上.设M，N是椭圆C1上的两个动点，且横坐标均不为1，若直线MN的斜率为，设直线PM与PN的斜率分别为k1，k2.证明：k1＋k2为定值. 证明　因为点P在椭圆C1：＋＝1(a>0)上， 所以＋＝1，得a2＝4， 所以椭圆C1的方程为＋＝1， 设点M，N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线MN的方程为y＝x＋m， 联立得x2＋mx＋m2－3＝0， Δ＝m2－4(m2－3)>0， 且x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－3， 因为y1＝x1＋m，y2＝x2＋m， 所以k1＋k2＝＋ ＝＋ ＝ ＝＝0， 即k1＋k2为定值0. 学科网（北京）股份有限公司 $