江苏苏州市某校2025-2026学年高二上学期周测三数学试题

**基本信息** 聚焦数列核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，考查抽象能力、推理意识与运算能力，适配周测对近期学习效果的精准检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4/20|等比数列定义、前n项和公式|结合递推关系构造新数列，如第4题通过构造等比数列求通项| |多选题|4/20|等比数列性质、前n项积、单调性|综合考查量关系与逻辑判断，如第6题结合前n项积与单调性分析最值| |填空题|2/10|等比数列与等差数列的前n项和特征|一题双问对比两种数列本质区别，强化概念辨析| |解答题|4/50|递推数列求通项、不等式恒成立、等比数列证明|注重综合应用，如第14题构造新数列证明等比并求通项，体现模型意识|

滚动练习3 姓名：___________班级：___________ 一、单选题(每小题5分，共20分) 1．数列中，，且对任意都有，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列的公比为，其前项和为，若对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，记的前项和为，若，则的最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、多选题(每小题5分，共20分) 5．已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 6．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 7．已知等比数列中，满足，，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 8．设首项为的数列的前项和为，若（），则下列结论正确的是（    ） A．数列的通项公式为 B．数列的通项公式为 C．数列为等比数列 D．数列的前项和为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9．设表示数列的前项和，已知，若是等比数列，则公比 ；若是等差数列，则 . 10．已知等比数列满足，则 ． 四、解答题(50分) 11．（10分）在等比数列中： (1)若，且，求； (2)若，求和公比q． 12．（10分）已知数列满足且. （1）求数列的通项公式； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值. 13．（15分）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立.求实数的最大值. 14．（15分）在数列中，已知各项都为正数的数列满足. (1)证明数列为等比数列； (2)若，，求的通项公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《滚动练习3》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C C ABD ABD ACD BD 1．D 【分析】由题意，令，则，由此得到是一个等比数列，由等比数列的性质知 是等比数列，用等比数列的求和公式计算即可. 【详解】由任意都有，所以令，则，且，所以是一个等比数列，且公比为，则 所以， 故选：D. 2．D 【分析】由条件可得，讨论，根据等比数列求和公式化简，可得的取值范围. 【详解】因为为等比数列的公比，所以， 因为对任意的恒成立，所以， 当时，恒成立，满足条件， 当，， 由对任意的恒成立，可得， 所以， 所以或， 所以或或， 所以的取值范围是. 故选：D. 3．C 【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值． 【详解】因为， 所以，即，所以， 所以，显然， 所以， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以， 即，所以． 故选：C． 4．C 【分析】利用构造法，可求得数列通项公式，再利用分组求和及公式求和，即可求和，再利用赋值法和单调性易确定的最小值. 【详解】因为， 所以，，即， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以 ， 利用，可知是单调递增，又， 所以满足的取值范围是，即的最小值是11． 故选：C． 5．ABD 【分析】利用前项和和通项公式可知判断B，求解建立方程求出判断A，利用指数运算和等差数列求和公式求得判断C，再利用等比数列定义判断D即可. 【详解】对于B，当时，． 又为等比数列，则，故B正确， 对于A，则，所以，解得，故A正确， 对于C，而 ，故C错误， 对于D，又， 且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故D正确. 故选：ABD 6．ABD 【分析】首先根据已知条件，确定公比的取值范围，然后根据数列的单调性逐一进行判断即可. 【详解】A项，且，而和异号. 由于知，，即，，，故A项正确； B项，从前面的求解过程知，，说明是单调递减的正项等比数列， 且，所以，那么，故B项正确； C项，是正项数列，没有最大值，故C项错误； D项，从前面的分析过程可知前6项均大于1.从起全部在上. 所以的最大值为，故D项正确， 故选：ABD 7．ACD 【分析】根据等比数列的定义以及性质即可根据选项判断ABC，由，成等比数列即可判断D. 【详解】对于A，，所以，故，又， 所以为等比数列，故A正确， 对于B，，，所以为等比数列， 且公比为，首项为1，故是递减数列，故B错误； 对于C，，所以为公差为1的等差数列，故C正确， 对于D， 又， 所以，成等比数列，故D成立， 故选：ACD 8．BD 【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可判断A，再根据，作差求的通项公式出，即可判断B，再得到的通项公式，即可判断C，最后利用分组求和法判断D. 【详解】解：因为，，则， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则，故A错误； 当时，所以，即， 当时不成立，所以，故B正确； 所以，显然，故不是等比数列，即C错误； 因为，所以数列的前项和为，故D正确； 故选：BD 9． / 【分析】由等比数列的前项和公式可求出，再由等差数列的前项和的性质可求出的值. 【详解】若数列为等比数列，很明显，， 据此有：，解得：， 若数列为等差数列，由前项和的性质， 设，则：，，， ， 故答案为：；. 10．50 【分析】由等比数列性质知，成等比数列，便可求得的值. 【详解】设数列的前n项和为，则，，所以， 又因为数列为等比数列，所以成等比数列，于是，解得，所以. 故答案为： 11．(1)127 (2)或 【分析】（1）利用等比数列通项公式列式求出公比，再利用等比数列前n项和公式即可求解； （2）利用给定条件结合等比数列通项公式，列出方程组并求解即得. 【详解】（1）∵为等比数列，且， ∴．∴，又，∴舍去）． ∴． （2）①当时，． 又，∴， 即， 解得（舍去），∴． ②当时，，∴． 综上得或 12．（1）；（2）. 【分析】（1）利用倒数法，构造数列，通过等差中项证得其为等差数列，求出其通项，进而求出的通项公式； （2）结合第（1）题的结论，将不等式等价变形，构造新数列.通过解不等式组，找出该数列的最大的项，进而得到的取值范围. 【详解】解：（1） ， 即 是等差数列， 又，即，， 的公差， ； （2）由（1）知 则等价于 设，则 由即， 解得：， 又 ，则， ， 故的最小值为. 【点睛】本题考查了由等差中项判断等差数列，求数列的最大项，其中构造新的数列是解题的关键，属于中档题. 13．(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用“当时，”探求数列相邻两项的关系，再构造数列求解作答. （2）由已知结合（1）的结论分离参数，再构造新数列，借助单调性求解作答. 【详解】（1）依题意，，当时，，解得， 当时，，，两式相减得， 因此，则， 则是以为首项，2为公比的等比数列，有，显然满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知，，因，整理得：， 令，则， 显然，当时，，即，因此当时，数列是递增的， 于是得，依题意，恒成立，即有， 所以实数的最大值为. 14．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义分析即可. （2）由（1）可得的通项公式，构造求. 【详解】（1）各项都为正数的数列满足， 得，即 所以数列是公比为的等比数列； （2）因为，， 所以， 由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 于是， 又因为， 所以，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $