第二章 实数 单元培优检测 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 第二章实数单元培优检测卷，覆盖实数概念、运算及应用，通过基础巩固、能力提升与创新应用梯度设计，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力及推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|无理数判断、平方根性质|结合概念辨析，考查抽象能力| |填空题|5题|二次根式意义、实数分类|设置开放题（如整数m值），培养创新意识| |解答题|8题|分母有理化、格点画图、材料阅读|含阅读材料题（穿墙现象探究）及数形结合（数轴表示√2），体现几何直观与推理能力|

第二章实数单元培优检测试题 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.下列等式不一定成立的是(    ) A. B. C. D. 3.下列一组数：，，，，，相邻两个之间依次增加一个，其中无理数的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.下列说法中不正确的是(    ) A. 的算术平方根是 B. 的平方根是 C. 的立方根是 D. 立方根等于的实数是 5.若式子有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.下列说法： 数轴上的点和有理数是一一对应的 无理数都是无限不循环小数 无限小数都是无理数． 其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如果，，那么下列各式：其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.若点在第二象限，则化简二次根式得(    ) A. B. C. D. 10.已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.计算：          ． 12.已知是整数，则的值可以是          写出一个即可． 13.下列说法正确的是          填序号 所有无限小数都是无理数；    所有无理数都是无限小数； 是有理数；    ． 14.平方根等于本身的数是          ；立方根等于本身的数是          ；算术平方根等于本身的数是          ． 15.实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是          ． 三、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.计算： ． ． 17.把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，相邻两个之间的个数逐次加． 整数集合：           分数集合：           无理数集合：           负实数集合：           18.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． 在图中，画一个三边长都是有理数的直角三角形 在图中，画一个以为斜边的直角三角形，使它的三边长都是无理数且都不相等． 19.求下列各式中的值： ． 已知，是实数，且满足，求的值 利用勾股定理在如图所示的数轴上找出表示和的点． 20.已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分． 求，，的值； 求的平方根． 21.阅读材料，并解决问题： 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化， 解：原式． 运用以上方法解决问题： 将分母有理化． 比较大小：在横线上填“”、“”或“”           ；           ，且为整数． 化简：． 22.先来看一个有趣的现象：，这里根号里的经过一系列演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，． 猜想：          ，并验证你的猜想 你能用含有正整数的等式来表示上述规律吗 验证你找到的规律 请你再写出一个具有“穿墙”性质的数． 23.阅读下面的材料： 化简形如的式子，只要我们找到两个数，，使得，，即，，那么便有：． 例如，化简：． 解：首先把化为，这里，．，，即，，． 根据材料，解答下列问题： 化简：           ，           ； 计算：． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12. 答案不唯一  13.   14. ，和 和  15.   16. 【小题】 【解】原式． 【小题】 【解】原式． 【小题】 【解】原式． 【小题】 【解】原式．  17. ，， ，． ，相邻两个之间的个数逐次加 ，，   18. 【小题】 解：如解图所示，所作三角形即为所求答案不唯一 【小题】 如解图所示，所作三角形即为所求．   19. 【小题】 解：， ， ，即或， 或． 解：， ， ， ． 【小题】 解：由题意，得，且， ，，． 又，， ，， ． 解：如图，在数轴上以个单位长度为底，个单位长度为高，连接两点的长度为斜边画直角三角形，此斜边长为再以原点为圆心，以为半径画弧，与数轴负半轴的交点即为表示的点． 以个单位长度为底，个单位长度为高，连接两点的长度为斜边画直角三角形，此斜边长为 再以表示的点为原心，以为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示的点．   20. 【小题】 【解】的算术平方根是，，解得的立方根是，，，解得，是的整数部分，． 【小题】 ，，，的平方根为．  21. 【小题】 解：； 【小题】 【小题】 原式．  22. 【小题】 解：   验证： 【小题】 【小题】 【小题】 答案不唯一，如．  23. 【小题】      【小题】 解：原式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $