第二章《实数》单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册《实数》单元卷，100分钟100分，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖无理数、二次根式、实数运算等核心知识，融合几何直观与运算能力，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数识别、二次根式意义、实数运算|结合数轴（第5题）、数值转换器（第6题）考查抽象能力| |填空题|8/24|实数比较、勾股定理应用、新定义运算|网格与数轴（第17题）、操作规律（第18题）体现几何直观| |解答题|6/46|解方程、规律探究、几何与实数综合|螺旋图面积计算（第23题）、完全平方公式应用（第24题）培养推理意识与创新应用|

北师大版2026-2027学年八年级数学上册 第二章《实数》单元测试卷 （测试时间：100分钟 试卷满分：100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1．在-1.414，，，3.14，2，3.212212221…这些数中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．要使有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．以下计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．若，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D．0 5．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b， 下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　 　）    A． B． C． D．8 7. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心， 对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ）      A． B． C． D．2.5 8． 化简（x≠y，且x、y都大于0）， 甲的解法；==﹣； 乙的解法：==﹣， 下列判断正确的是（　　 ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 9．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 10. 下列说法： ①数轴上没有点表示这个无理数；②； ③的平方根是； ④若正实数的平方根是和，则； ⑤立方根等于本身的数是1和0． 其中正确的有（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．直接填写答案． 11. 比较大小： . 12．当x 时，二次根式有意义． 13．写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ． 14．在中，，若，则 ． 15．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算结果是 ． 16.小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序． 如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ． 17.如图，数轴上点表示的数为是的正方形网格上的格点（网格线的交点）， 以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为 ． 18.对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，． 现在对72进行如下操作：， 即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作， 若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．求下列各式中的值． (1)； (2)． 20．计算下列各小题： (1)； (2)． 21．已知一个正数m的两个平方根分别为和． (1)求m和n的值； (2)如果，求的立方根． 22．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… (1) 按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______； (2) 计算：的值． 23．如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形（、.......是直角） 按此方式继续画下去：根据图中所标数据． (1) 填空：＝______，＝______； (2) 记的面积为，的面积为，…的面积为．求出和． 24．我们已经学过完全平方公式， 知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，， 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， ∴的算术平方根是 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1)； (2)． 答案解析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1．在-1.414，，，3.14，2，3.212212221…这些数中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解: -1.414，3.14是有理数， ，，2，3.212212221…是无理数， 故选C. 2．要使有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于所给的代数式中含有二次根式，因此二次根式的被开方数必须非负，解不等式，即可求得x的取值范围． 【详解】解：要使根式有意义 则被开方数x＋1≥0，得x≥－1 故选：B． 3．以下计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以先求出的值，再求它的算术平方根；一个数的立方根只有一个；先算出的值，再添加号；负数的偶数次方等于正数． 【详解】A．=25，，不符合题意； B．，不符合题意； C．，，符合题意； D．，不符合题意． 故选：C． 4．若，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求出a和b的值，再求和即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 故选C． 5．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b， 下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且＜， ∴，∴A选项的结论不成立； ，∴B选项的结论不成立； ，∴C选项的结论不成立； ，∴D选项的结论成立． 故选：D． 6．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　 　）    A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8， ∵8是有理数， ∴结果为无理数， ∴y==． 故选A． 7. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心， 对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ）      A． B． C． D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理计算出，由此即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是， 故选：C． 8． 化简（x≠y，且x、y都大于0）， 甲的解法；==﹣； 乙的解法：==﹣， 下列判断正确的是（　　 ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，或者运用因式分解和约分． 【详解】甲的解法：==﹣利用平方差公式进行分母有理化，正确； 乙的解法：==﹣，利用因式分解进行分母有理化，正确. 故选C． 9．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵用边长为的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：， 则大正方形的边长为： ， ∵， ∴， ∴大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：． 10. 下列说法： ①数轴上没有点表示这个无理数；②； ③的平方根是； ④若正实数的平方根是和，则； ⑤立方根等于本身的数是1和0． 其中正确的有（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，平方根、立方根的定义；根据实数与数轴，平方根、立方根的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：①实数与数轴一一对应，则数轴上有点能表示这个无理数，故①说法不正确； ②∵，∴， ∴，故②说法正确； ③∵， 的平方根是，故③说法正确； ④∵和是m的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∴，故④说法正确； ⑤立方根等于本身的数是和 综上：正确的有②③④， 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．直接填写答案． 11. 比较大小： . 【答案】> 【分析】因为两数的分母相同，比较分子的大小即可． 【详解】解：∵1>-1 ∴>. 故答案为 > 12．当x 时，二次根式有意义． 【答案】x＞0 【详解】解：根据题意得，＞0， 解得x＞0． 13．写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有2＜＜3，这样就可得到满足条件的无理数． 【详解】解：∵4＜5＜9， ∴2＜＜3， 即为比2大比3小的无理数． 故答案为（答案不唯一）． 14．在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理得，再代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理解题的关键． 15．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算结果是 ． 【答案】0 【分析】根据题干所示的规律，可知：当x为整数时，； 当x为分数时，．代入计算即可． 【详解】解：根据题意可知： 当x为整数时，； 当x为分数时，； ∴， 故答案为：0． 16.小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序． 如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的计算及无理数的判断；根据程序进行计算判断即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出结果为； 故答案为：． 17.如图，数轴上点表示的数为是的正方形网格上的格点（网格线的交点）， 以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴N点所表示的数为：． 故答案为：． 18.对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，． 现在对72进行如下操作：， 即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作， 若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【分析】本题考查实数的运算、估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 从后往前推导，根据的定义，先确定最后一次操作结果为时前一次操作结果的最大值，再依次类推，求出第一次操作前的最大值． 【详解】根据例题操作可知： 要使最大，最后一次操作，这里p是第二次操作的结果．因为， 根据定义可知，两边同时平方可得， 所以p最大取． 对于第二次操作，设第一次操作的结果为，此时， 根据定义，两边同时平方得到， 所以最大取16． 对于第一次操作，设经过第一次操作后变为，此时，根据定义，两边同时平方可得， 所以最大为256． 验证： 对256进行如下操作： ∴如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256； 故答案为：256． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解概念是解题的关键． （）根据平方根的概念解方程即可； （）根据立方根的概念解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算下列各小题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的性质和乘除法则计算，然后再合并同类根式即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式展开，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．已知一个正数m的两个平方根分别为和． (1)求m和n的值； (2)如果，求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根、立方根、非负数的性质，掌握算术平方根、绝对值的非负性是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出n的值，进而即可求解； （2）根据算术平方根、绝对值的非负性求出a，b的值，再求立方根即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， ∴； （2）解：由， 可知，   解得：，         ∴， ， 即的立方根为． 22．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… (3) 按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______； (4) 计算：的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）利用前面4个等式的规律，找出序号数与被开方数的关系写出第6个和第n个等式； （2）直接合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … ∴； ； 故答案为：；； （2）解： 23．如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形（、.......是直角） 按此方式继续画下去：根据图中所标数据． (2) 填空：＝______，＝______； (2) 记的面积为，的面积为，…的面积为．求出和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由勾股定理求出，，，得出规律，即可得出，； （2）由三角形面积公式求出，，得出规律即可． 【详解】（1）由勾股定理的：， ， ， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）根据题意可得：， ， ， ∴． 24．我们已经学过完全平方公式， 知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，， 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， ∴的算术平方根是 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1) ； (2) ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式， 熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $