专题05 一元一次方程（竞赛培优专项训练）七年级数学全国通用

**基本信息** 聚焦方程核心题型，构建从概念到应用的完整逻辑链，精选竞赛真题实现分层突破，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元一次方程|4题|定义辨析与解的迁移|从概念定义出发，建立方程基础认知| |解求参数|4题|含参方程多解/错解分析|衔接方程解的意义，深化参数思想| |等式性质|4题|性质应用与变形判断|为解方程提供理论依据，强化推理意识| |解方程|4题|常规解法与整数解问题|巩固解法步骤，提升运算精准度| |绝对值方程|4题|根的个数与多解计算|拓展方程形式，培养分类讨论能力| |方程应用|4题|行程/工程/几何问题|构建实际问题模型，发展应用意识| |竞赛真题|12题|创新情境与综合应用|整合知识模块，提升竞赛解题能力|

专题05 方程 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01一元一次方程 题型02已知方程的解求参数 题型03等式的性质 题型04解一元一次方程 题型05已知一元一次方程的解求参数的值 题型06绝对值方程 题型07一元一次方程的应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 一元一次方程 1．已知关于的一元一次方程，若，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______． 4．若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 考点二 已知方程的解求参数 1．已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 2．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 4．已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解是______． 考点三 等式的性质 1．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中： ①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 4．若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 考点四 解一元一次方程 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 3．已知关于的方程有负整数解，则整数的所有可能的取值的和为________． 4．已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 考点五 已知一元一次方程的解求参数的值 1．已知是一元一次方程的解，则的值是__． 2．已知为定值，关于的方程，无论为何值，1总是它的解，则___________，___________ 3．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程解为_____． 4．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 考点六 绝对值方程 1．方程实数根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有1个实数根 C．有2个实数根 D．有无数个实数根 2．已知，则该方程的根有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．大于或等于2 3．若实数同时满足，则的值为___________． 4．关于的方程所有解的和为________． 考点七 一元一次方程的应用 1．一名游泳爱好者在河中逆流而上，于某桥下遗失水壶，水壶被水冲走. 继续向前游了分钟发现水壶遗失，立即返回，在距该桥千米的地方追到水壶．则水流速度为__________米/分． 2．一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 3．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 4．如图，在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示，x，．点P以每秒1个单位的速度从点A向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B向左运动，N是线段PQ的中点，设运动时间为t． (1)求点A与点B之间的距离； (2)当t为何值时，，并求出此时点N表示的数； (3)在P，Q两点开始运动时，点M以每秒k个单位的速度从点O向左运动．点Q经过原点后，其速度变为原来的2倍，点Q变速后，若线段的长度始终是一个定值，求k的值． 1．（2024七年级下·浙江衢州·竞赛）定义，则方程的解为（   ） A． B．2 C． D．10 2．（2023七年级·全国·竞赛）马小虎计算一个数乘以13，再减84，由于粗心，把乘号看成除号，减号看成加号，但得数是正确的，这道题的正确得数是（　　） A．169 B．85 C．84 D．71 3．（八年级上·广东梅州·竞赛）关于的一元一次方程的解（    ） A．不存在 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于的数 D．是一个大于且小于的数 4．（2023八年级下·全国·竞赛）蚱蜢格里塔坐在池塘里一排长长的睡莲叶上．从任何睡莲叶出发，格里塔都可以向右跳5个叶片或者向左跳3个叶片．问格里塔最少跳多少次才能到达位于她起始位置右侧的第2023片睡莲叶上？ A．405 B．407 C．409 D．411 E．413 5．（2024七年级下·安徽合肥·竞赛）设是正整数，且，则值为（     ） A．3 B．2 C． D． 6．（七年级下·安徽合肥·竞赛）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． 7．（2022七年级下·湖南岳阳·竞赛）丢番图（三世纪时希腊数学家）的墓碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，四年后他亦亡，丢番图到底寿多长？”丢番图的寿命是________岁． 8．（七年级·江苏盐城·竞赛）解方程： (1)； (2) 9．（七年级·江苏无锡·竞赛）关于x的方程有三个整数解，求a的值． 10．（2023七年级·全国·竞赛）A城有化肥200吨，城有化肥300吨，现要把化肥运往两农村，如果从城运往两地，运费分别为20元/吨与25元/吨；从城运往两地，运费分别为15元/吨与22元/吨，现已知地需要220吨，地需要280吨． (1)设从A城运往农村吨，请用含的式子表示调运总费用； (2)若某种调运方案的总费用是10200元，求：具体的调运方案是怎样的？ 11．（2023七年级下·浙江·竞赛）如图1，在长方形地块中，，，，现将两地块的分界线改为后（如图2），，． (1)设，，求的值（用含a，h的代数式表示）； (2)求m的值． 12．（七年级·江苏盐城·竞赛）甲、乙两人设计了一个移动游戏： 游戏方式制定：如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． 移动规则制定：①若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ②若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位； ③若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位． 游戏中的数学思考： (1)经过第一次移动游戏，甲、乙两人相距 个单位； (2)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错，且乙最终停留的位置对应的数为，求甲、乙两人分别猜对了几次？ (3)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现有3次是甲、乙都猜对了，甲、乙共猜对了12次，甲最终停留的位置对应的数为1，求甲、乙两人分别猜对了几次？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 方程 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01一元一次方程 题型02已知方程的解求参数 题型03等式的性质 题型04解一元一次方程 题型05已知一元一次方程的解求参数的值 题型06绝对值方程 题型07一元一次方程的应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 一元一次方程 1．已知关于的一元一次方程，若，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵ 方程为一元一次方程， ∴ 且， 解得且， ∴ . 又∵ ， ∴ ， ∵ ，即， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 2．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 3．已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______． 【答案】 【详解】∵方程是关于x的一元一次方程， ∴x的指数，解得或． 又∵系数，即， ∴． 故答案为：． 4．若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是；(2)是 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 考点二 已知方程的解求参数 1．已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【详解】解：， 整理得，即， 方程有无数多个解， ∴，， 解得，， ∴． 2．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 3．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】17 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 4．已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解是______． 【答案】 【详解】解：由方程，得． 由表可知，当时，，而， 即， 故方程的解为． 故答案为：． 考点三 等式的性质 1．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】解：A、由两边除以，得，A选项变形正确，不符合题意； B、，即，由两边乘，得，B选项变形正确，不符合题意； C、由两边减6，得，C选项变形正确，不符合题意； D、当时，成立，但此时，故由直接得出是错误的，D选项变形错误，符合题意． 故选：D． 2．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中： ①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由数轴可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵ ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误﹒ 故选：B 3．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 【答案】B 【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个小三角形各顶点上数字之和相等， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 4．若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴将三个式子相加可得：， 整理可得， ∴， 将代入可得：，即， 将代入可得：，即， ， 为正整数， ∴当时，原式取得最大值． 考点四 解一元一次方程 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得 ． 2．已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 【答案】 【详解】解：对原方程进行化简 ， ， ， 方程的解是整数，且为整数， 是2的整数因数， ， 故答案为：． 3．已知关于的方程有负整数解，则整数的所有可能的取值的和为________． 【答案】 【详解】解：解方程 ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， ∴ ． 由于方程有负整数解，因此 且 为整数． ∵ ，且分子为负， ∴分母 ，即 ． 又∵ 为整数， ∴必须整除 ，即 是 的正因数． ∵ 的正因数有 和 ， ∴ 或 ， 解得 或 ． 检验：当 时，，为负整数；当 时，，为负整数． ∴整数 的所有可能的取值为 和 ，则它们的和为 ． 故答案为：． 4．已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 【答案】(1)；(2)，；(3)方程的整数解为或或 【详解】（1）解：等量代换，得 移项，得 合并同类项，得 因为， 所以 系数化为，得； （2）解：将方程变形，得 因为方程有无数个解， 所以且． 解得，； （3）解：将代入方程，得 移项，得 合并同类项，得 因为为正整数，方程的解为整数， 所以是的因数． 因为的因数为，， 当时，可得，则． 当时，可得 ，则． 当时，可得，则． 当时，可得，不符合为正整数，舍去． 综上所述，方程的整数解为或或． 考点五 已知一元一次方程的解求参数的值 1．已知是一元一次方程的解，则的值是__． 【答案】 【详解】解：因为方程是一元一次方程， 所以二次项系数，解得； 将代入方程，得， 代入，有，即， 所以； ， 则， 所以． 故答案为：． 2．已知为定值，关于的方程，无论为何值，1总是它的解，则___________，___________ 【答案】 【详解】解：将 代入方程 ，得 ， 两边同时乘以 6 得 ，， 化简得 ， 移项得 ，即 ， 由于无论 k 为何值方程都成立， 所以 且 ， 解得 ． 故答案为：． 3．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程解为_____． 【答案】4048 【详解】解：设，则新方程化为， 两边乘以，得：， 即 ， 设 ，则方程变为 ， 已知方程的解为， 因此， 于是，即， 由，得， 解得：． 故答案为：4048． 4．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取负整数，取最大值， ∴应取最大的、而且是7的倍数的负数． ∴， ∴， ∴的值为． 考点六 绝对值方程 1．方程实数根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有1个实数根 C．有2个实数根 D．有无数个实数根 【答案】A 【详解】解：令，解得， 令，解得， 分三种情况讨论： 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 综上，原方程没有实数根． 2．已知，则该方程的根有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．大于或等于2 【答案】A 【详解】解：对于， 令得，令得， 故绝对值内表达式的零点为0，，，以此对x的取值范围进行分段讨论： ①当时，，， ∵， ∴， ∴（舍去）； ②当时，，，， ∵， ∴， ∴（舍去）； ③当时，，，， ∴与矛盾， ∴此种情况不成立； ④当时，，，， ∵， ∴， ∴（舍去）， 综上所述，该方程的根有0个． 故选：A． 3．若实数同时满足，则的值为___________． 【答案】64 【详解】解：∵， ∴，且 ∴； ∴， 把代入得， 又， 所以，当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，，即， ∴， 解得， 又， 所以，此种情况不存在； ∴． 4．关于的方程所有解的和为________． 【答案】 【详解】解：原方程，由绝对值等于零的性质，得， 逐层去绝对值，根据绝对值的非负性，每一步取正号，对任意第步（），去掉绝对值后可得前一层表达式的值为， 因为，不符合绝对值的非负性，舍去， 仅保留正结果， 最终推得， 设，则， 解得，， 所有解的和为． 考点七 一元一次方程的应用 1．一名游泳爱好者在河中逆流而上，于某桥下遗失水壶，水壶被水冲走. 继续向前游了分钟发现水壶遗失，立即返回，在距该桥千米的地方追到水壶．则水流速度为__________米/分． 【答案】 【详解】解：千米米， 设水流速度为米/分，人在静水中游泳速度为米/分， 丢失水壶后，人逆流游分钟： 人逆流速度为米/分， 人逆流游的路程为米， 水壶分钟顺水漂的路程为米， 此时人和水壶相距（米）； 人掉头顺水去追水壶： 人顺水速度为米/分， 水壶速度为米/分， 速度差为（米/分）， 追赶需要的时间为（分钟）； 水壶一共漂流的总时间为（分钟）， 水壶一共漂流了米， ， ， ， 答：水流速度为米/分． 2．一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 【答案】该组工人一共有16人 【详解】解：设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1， 他们上午10点到，共2.5小时，全组人一起卸A火车的货物的工作量为， 从到14点，共1.5小时，一半人卸A火车的货物的工作量为， 则卸A火车的货物的总工作量为； 从到14点，共1.5小时，一半人卸火车的货物的工作量为， 火车的货物剩余工作量为， 故卸B火车的货物的总工作量为， 因为卸完火车所需时间是火车的2倍，每人每小时的工作效率相同， 所以卸完火车货物的工作量是火车的2倍． 所以， 解得， 答：该组工人一共有16人． 3．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 【详解】（1）解：作图： 设， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该3阶完美长方形长为6，宽为4； （2）设正方形④边长为x，正方形⑥边长为2． 正方形⑤边长， 正方形③边长， 正方形②边长， 正方形①边长． 长方形上下两条水平对边长度相等，因此 ， ， 正方形①边长． 答：正方形①的边长为14． 4．如图，在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示，x，．点P以每秒1个单位的速度从点A向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B向左运动，N是线段PQ的中点，设运动时间为t． (1)求点A与点B之间的距离； (2)当t为何值时，，并求出此时点N表示的数； (3)在P，Q两点开始运动时，点M以每秒k个单位的速度从点O向左运动．点Q经过原点后，其速度变为原来的2倍，点Q变速后，若线段的长度始终是一个定值，求k的值． 【答案】(1)10；(2)t的值为1或，点N表示的数为1或；(3) 【详解】（1）解：∵点A表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵点A，B在原点的两侧， ∴点B表示的数为， ∴； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； ∴当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值， ∴， ∴． 1．（2024七年级下·浙江衢州·竞赛）定义，则方程的解为（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】D 【详解】解： ， 则， ， 故选：D． 2．（2023七年级·全国·竞赛）马小虎计算一个数乘以13，再减84，由于粗心，把乘号看成除号，减号看成加号，但得数是正确的，这道题的正确得数是（　　） A．169 B．85 C．84 D．71 【答案】B 【详解】解：设这个数为x，则由题意可列方程： ， ， ， ， 所以这个数为13， 所以这道题的正确得数是． 故选：B． 3．（八年级上·广东梅州·竞赛）关于的一元一次方程的解（    ） A．不存在 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于的数 D．是一个大于且小于的数 【答案】D 【详解】解： ， ， 解得， ，符合选项D的描述， 故选：D． 4．（2023八年级下·全国·竞赛）蚱蜢格里塔坐在池塘里一排长长的睡莲叶上．从任何睡莲叶出发，格里塔都可以向右跳5个叶片或者向左跳3个叶片．问格里塔最少跳多少次才能到达位于她起始位置右侧的第2023片睡莲叶上？ A．405 B．407 C．409 D．411 E．413 【答案】D 【详解】解：设格里塔向右跳次，向左跳次， ∴，且为非负整数，最小， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数且最小，为非负整数， ∴， ∴， ∴格里塔最少跳次才能到达位于她起始位置右侧的第2023片睡莲叶上． 故选：D 5．（2024七年级下·安徽合肥·竞赛）设是正整数，且，则值为（     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知：，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴a、b异号， 当时，， ∴ ， ∵是正整数， ∴， ∴，， ∴原式 ； 当时，， ∴ ， ∵是正整数， ∴， ∴，， ∴原式 ； 综上，值为3． 6．（七年级下·安徽合肥·竞赛）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． 【答案】48秒 【详解】解：甲跑一圈需要1分20秒，即秒， 设环形跑道一圈长度为单位，则甲的速度为，设乙的速度为， ∵甲乙反向跑，每秒相遇一次，相遇时两人总路程刚好为1圈， ∴， 解得， 因此乙跑一圈的时间为（秒）． 7．（2022七年级下·湖南岳阳·竞赛）丢番图（三世纪时希腊数学家）的墓碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，四年后他亦亡，丢番图到底寿多长？”丢番图的寿命是________岁． 【答案】84 【详解】解：设丢番图的寿命为岁，根据题意列方程得： ， 方程两边同乘去分母，得： ， 合并同类项得： ， 移项得：， 解得：， 即丢番图的寿命是84岁． 8．（七年级·江苏盐城·竞赛）解方程： (1) (2) 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得． 9．（七年级·江苏无锡·竞赛）关于x的方程有三个整数解，求a的值． 【答案】 【详解】解：根据绝对值的非负性可知，原方程化为或． 由，得，； 由，得，． 若方程有三个不同的整数解，则，，，中必有2个相同． 若，则，解得：，不成立； 若，则，解得：， 此时，，，不成立； 若，则，无解，不成立； 若，则，无解，不成立； 若，则，解得：， 此时，，，不成立； 若，则，解得：， 此时，，，成立； 可知． 10．（2023七年级·全国·竞赛）A城有化肥200吨，城有化肥300吨，现要把化肥运往两农村，如果从城运往两地，运费分别为20元/吨与25元/吨；从城运往两地，运费分别为15元/吨与22元/吨，现已知地需要220吨，地需要280吨． (1)设从A城运往农村吨，请用含的式子表示调运总费用； (2)若某种调运方案的总费用是10200元，求：具体的调运方案是怎样的？ 【详解】（1）解：设从A城运往农村吨，则运往D农村吨，从B城运往C农村，运往D农村吨， 则调运总费用 元． 答：调运总费用元． （2）解：由题意可得：． 解得：． 答：A城运往C农村70吨，A城运往D农村130吨，B城运往C农村150吨，B城运往D农村150吨． 11．（2023七年级下·浙江·竞赛）如图1，在长方形地块中，，，，现将两地块的分界线改为后（如图2），，． (1)设，，求的值（用含a，h的代数式表示）； (2)求m的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：由题意得， ∴． 又∵， ∴， ∴． 12．（七年级·江苏盐城·竞赛）甲、乙两人设计了一个移动游戏： 游戏方式制定：如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． 移动规则制定：①若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ②若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位； ③若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位． 游戏中的数学思考： (1)经过第一次移动游戏，甲、乙两人相距 个单位； (2)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错，且乙最终停留的位置对应的数为，求甲、乙两人分别猜对了几次？ (3)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现有3次是甲、乙都猜对了，甲、乙共猜对了12次，甲最终停留的位置对应的数为1，求甲、乙两人分别猜对了几次？ 【详解】（1）解：①若甲对乙错，则甲移动后的点表示的数为，则乙移动后的点表示的数为，此时，甲、乙两人相距 (个)单位； ②若甲错乙对，则甲移动后的点表示的数为，则乙移动后的点表示的数为，此时，甲、乙两人相距 (个)单位； ③若都对或都错，则甲移动后的点表示的数为，则乙移动后的点表示的数为，此时，甲、乙两人相距 (个)单位； 综上，经过第一次移动游戏，甲、乙两人相距6个单位； （2）解：由题意设乙猜对n次，则乙猜错次， 则有：，解得， ∴(次)， ∴甲猜对了5次，乙猜对了5次； （3）解：根据题意设甲猜对x次，则甲猜错次，乙猜对次，乙猜错(次) ． ∵甲、乙都猜对3次， ∴甲对乙错次，甲错乙对次，都错(次)， ∴，解得，则 (次)， ∴甲猜对了5次，乙猜对了7次． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $