专题01 有理数（竞赛培优专项训练，10大题型+竞赛真题）七年级数学全国通用

**基本信息** 聚焦有理数核心概念与竞赛题型，以分层训练构建从基础到选拔的知识逻辑体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正数与负数|3题|概念辨析、数列规律、网格运动应用|从数的分类到实际情境表征，建立正负数意义理解| |相反意义的量|3题|符号表示、量的相对性判断|衔接生活情境，深化相反量的数学表达| |正负数的应用|3题|算筹计数、出租车营运、冷库库存|结合传统文化与实际问题，培养应用意识| |有理数的概念|3题|集合分类、定义辨析|整合数系概念，构建有理数体系框架| |数轴应用（比较大小/距离/动点）|9题|位置判断、距离计算、动态运动|从静态表示到动态变化，发展几何直观| |相反数/绝对值|6题|相反数性质、绝对值几何意义与非负性|由数的性质延伸至代数推理，强化逻辑思维| |B组竞赛真题|12题|综合创新题|融合多考点，提升竞赛解题能力|

专题01 有理数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 正数与负数 题型02相反意义的量 题型03正负数的应用 题型04有理数的概念 题型05利用数轴比较大小 题型06数轴上表示点的距离 题型07数轴上动点问题 题型08相反数 题型09绝对值的几何意义 题型10绝对值的非负性 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 正数与负数 1．下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数； 表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解答：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故选：C． 2．观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【答案】(1)101， (2)正数有个，负数有个 (3)在这一列数中，是第个数．不在这一列数中，因为这一列数中的奇数均为正数 【详解】（1）解：观察数列可知， 这一列数为正负相间，从左往右绝对值依次增加，且第一个数为， 所以第101个数是101，第2024个数是． （2）解：根据数的排列特征可知， 前奇数数个数中，正数比负数多一个． 所以前个数中，正数有个，负数有个． （3）解：因为在这列数中奇数是正数，偶数是负数； ∴在这列数中，是第个数．不在这列数中． 3．图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 【答案】（1）（+3，+4），（+2，0），D；（2）见解析；（3）10；（4）（﹣2，﹣2） 【详解】：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，-2）； 故答案为：（+3，+4），（+2，0），D； （2）解：P点位置如图1所示； （3）解：如图2， 根据已知条件可知： A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）； 则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10； （4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2）， 所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2， 所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N， 所以，N→A应记为（﹣2，﹣2） 考点二 相反意义的量 1．如果升高30米记作米，那么米表示（    ） A．上升5米 B．下降5米 C．上升25米 D．下降25米 【答案】B 【详解】解：如果升高30米记作米，那么米表示下降5米． 故选：B． 2．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【答案】B 【详解】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 3．下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【答案】(1)具有相反意义，得20分记为分，扣10分记为分 (2)具有相反意义，增加记为，减少记为 (3)具有相反意义，下去10名记为名，上来8名记为名 (4)无相反意义 【详解】（1）解：∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴它们是具有相反意义，得20分记为，扣10分记为． （2）解：∵蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴具有相反意义，增加记为，减少记为． （3）解：∵下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴具有相反意义．下去10名记为名，上来8名记为名； （4）解：∵周长是长度量，面积是面积量， ∴两者无相反方向含义，故无相反意义． 考点三 正负数的应用 1．《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 【答案】 【详解】 解：根据题意，算筹计数规则为：分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．由“”表示可知：百位为两根竖线，表示数字；十位为三根横线，表示数字；个位为上面一横下面三竖，表示数字． 观察“”，其算筹排列与“”相同，即百位为，十位为，个位为．根据“在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法”，“”中个位算筹上斜放了一支算筹，表示该数为负数．所以“”表示的数是． 2．出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车在公司的东方，距离公司千米 (2)共需要元油费 (3)司机这天下午运营是盈利，盈利了元 【详解】（1）解：由题意可得：（千米）， 答：出租车在公司的东方，距离公司3千米． （2）解：总路程（千米）， 油费（元）， 答：共需要33元油费． （3）解：超过千米的行程有9，，，，，，，，共次行程， 超过部分（千米）， 不超千米的行程有：，，共2次行程， 所以出租车的收入为：（元）， （元）， 答：司机这天下午运营是盈利，盈利了元． 3．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)周三； (2)减少了，减少了吨 (3)吨 (4)元 【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）； 故答案为：周三；； （2）解：， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解：每周减少吨，则上周有（吨）， 答：一周前冷库里存有水果吨； （4）解：（元）， 答：这一周共需付元装卸费． 考点四 有理数的概念 1．所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：阴影部分表示负分数，选项中只有C符合题意． 故选：C． 2．下面的说法中，正确的是（    ） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和小数统称有理数 【答案】C 【详解】解：A、正有理数、0和负有理数统称为有理数，故本选项错误； B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误； C、整数和分数统称为有理数，故本选项正确； D、整数包括零，故本选项错误； 故选：C． 3．把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【答案】，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）； 0.3，，，，，2.3%； ，，；0.3，，，，0，，，10，2.3% 【详解】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 考点五 利用数轴比较大小 1．如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，或， ∵， ∴， ∴，， ∴原点的位置点与点之间． 故选：D． 2．有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 先判断出，然后对每一个式子进行判断即可； 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，，， ∴①②③错误，④正确 故选：A ． 3．已知有理数，，，，其中，为负数，，为正数，且． (1)画出数轴，并标出表示数，，，的点的大致位置． (2)将，，，，，按照从小到大的顺序排列． (3)比较，，，的大小． (4)若有理数满足，试比较，，之间的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【详解】（1）解： ，为负数，，为正数，且． 正数部分：距离原点最远，其次是 负数部分：距离原点最远，其次是 在数轴上标出表示数，，，的点如图①． （2）解：在数轴上标出表示数，，，，，的点如图②， 所以． （3）解： 为正数，为负数 (负数)，(正数) 在数轴上标出表示数，，，的点如图③， 所以． （4）解：需分以下三种情况讨论： ①若，因为，所以，不符合题意，舍去； ②若，因为，且，所以； ③若，因为，且，所以． 综上所述，或． 考点六 数轴上表示点的距离 1．对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 【答案】 22 或或2或4 【详解】解：（1）∵表示的点在线段a上，表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，线段a，b的长度分别为2和4， 又∵，， ∴线段a两个端点表示的数分别为、，线段b两个端点表示的数分别为6、10， ∴，， ∴； （2）如图， ∵线段a的长度为2，表示的点在线段a上，原点在线段a上， ∴线段，其中点C、O表示的数分别为、0， ∵，，点在线段a上，点A表示的数为x，点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）， 分两种情况：①线段，其中点E、F表示的数分别为1、5， 当时，，则； 当时，，则； ②线段，其中点G、H表示的数分别为、， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，对应的或或2或4． 2．如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为，，， (1)当点为原点时， ， ； (2)改变（1）中原点的位置，式子的值是否发生变化？若不变，请求出式子的值；若改变，请说明理由． (3)为线段上一点，其所表示的数为e，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)不会发生变化，理由见解析 (3)最大值为，最小值为 【详解】（1）解：由数轴可得：当为原点时，则，，， ∴， 故答案为：； （2）解：的值不会变化，理由如下： 由数轴可得：，，， ∴， ∴的值为定值，的值不会变化； （3）解：当对应的点在线段上时，即， ， ∵在线段上，即, ∴ ， ∵， ∴， ∵在线段上，即, ∴ ， ∵， ∴， 综上：的最大值为和最小值为. 3．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 【答案】(1)，5 (2)乙的手势是布，4个单位长度 (3) (4)7或5 【详解】（1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； 故甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为， 故答案为：，5． （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 三局后甲对应的数为，乙对应的数为． 第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且， 故第四局游戏的结果是乙向西移动1个单位长度， 所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布； 第四局游戏结束后甲对应的数为，乙在数轴上对应的数是2， 故， 所以此时甲与乙在数轴上相距4个单位长度． （3）解；乙赢了n次，则乙输了次 10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数， 由他最终停留的位置对应的数为m， 故． 因为n为正整数， 当时，， 当时，， 故时，该位置距离原点O最近． （4）解：k的值为7或5． 初始位置时甲、乙两人相距12个单位长度． 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度， 所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或， 所以k的值为7或5． 考点七 数轴上动点问题 1．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为5， ∴运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点在点右侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 当点在点左侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 综上：或； 故选A． 2．如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动6个单位长度到达点A，再向左移动2个单位长度到达点B，然后再向右移动3个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A、B、C三点的位置： (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q、R从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（）． ①两点间的距离______； ②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为______，点Q表示的数为______，点R表示的数为______； ③探究：在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)见详解 (2)不变，值为11 【详解】（1）解：由题意得点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为． A、B、C三点的位置如图所示： ； （2）解：①两点间的距离﹒ 故答案为：3； ②由题意得t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为﹒ 故答案为：，，； ③因为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 所以， ， 所以， 所以在移动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，其值为11﹒ 3．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 考点八 相反数 1．数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 【答案】或 【详解】解：∵点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数， ∴点A表示的数为：， 当点C在点A 的左边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； 当点C在点A的右边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； ∴点C表示的数为：或． 2．已知关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数．求m的值． 【答案】 【详解】解：∵ 方程 ， ∴, 整理，得 故， 解得． 由， 去分母，得， 移项得：， 整理，得 解得． ∵ 两方程的解互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故． 3．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是，是的相反数，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是， ， 整理可得：， 解得：或， 是的相反数， ， 当，时， ； 当，时， ； 综上所述，的值为或． 考点九 绝对值的几何意义 1．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 2．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 3．【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）或6.5；（3）①3；，，0，1；②有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 【详解】解：（1）由可知：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为， ∴或， 解得：或， 故答案为或； （2）由可知：数轴上表示数x的点到表示数和3的点之间的距离之和为12， ∵， 当数轴上表示数x的点在表示数的左侧时，则有：， 解得：； 当数轴上表示数x的点在表示数3的右侧时，则有：， 解得：； 故答案为或6.5； （3）①由可知：数轴上表示数x的点到表示数和1的点之间的距离之和， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数和1的点之间取得最小值，此时x可以取的整数有，，0，1； 故答案为3；，，0，1； ②由可变形为， ∴同理①可知：当数轴上表示数x的点在表示数和4的点之间取得最小值， ∴最小值为； 由可知：数轴上表示数x的点到表示数和5的点之间的距离之差， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数5的右侧时，取得最大值，最大值为7； 答：有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 考点十 绝对值的非负性 1．若与互为相反数，求的值． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴原式 ． 2．已知a是最大的负整数，b、c满足，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，点C表示的数为______． (2)若动点P以每秒3个单位长度从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q以每秒1个单位长度同时从点B出发沿数轴负方向运动．设运动时间为t秒时，点P，点Q之间的距离为3，求点P、C两点之间的距离． 【答案】(1)；3； (2)或 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴． ∵，，且， ∴，， ∴，， ∴点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为． 故答案为：；3；． （2）解：当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点P，点Q之间的距离为3， ∴， 解得或， 当时，点P表示的数， ∴点P、C两点之间的距离为； 当时，点P表示的数， ∴点P、C两点之间的距离为； 综上所述，点P、C两点之间的距离为或． 3．如图1，点C为线段上一点，，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点． (1)若m、n满足， ①求的长； ②求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)①8，②1 (2)或 【详解】（1）解：①∵，，且， ∴，， ∴ 解得． ∵， ∴， ∵点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴； ②∵F是的中点， ∴， ∴； （2）分两种情况讨论：①如图所示，当时， ∵，点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∴． ②如图所示，当时， ∵，点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∴， 综上所述，的值为或． 1．（七年级上·安徽合肥·竞赛）在，，，中，最大的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，， ∵， ∴最大的数为 故选：B 2．（七年级上·湖南邵阳·竞赛）隆回县羊古坳镇雷锋村超级杂交水稻的种植按照袁隆平院士指导的“良种、良法、良田、良态”四良法则进行研究和示范．该大米包装袋上的标识表示此袋大米重（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：质量标识＂＂表示：大米的实际质量最小为，最大为，即此袋大米重． 故选：A． 3．（七年级·全国·竞赛）数轴上的点A，B所表示的数是互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A项：点A，B所表示的数的乘积可以是1，故可以是一对倒数，符合题意； B项：点A，B所表示的数的乘积是负数，故不可以是一对倒数，不符合题意； C项：点A，B所表示的数的乘积小于1，故不可以是一对倒数，不符合题意； D项：点A，B所表示的数的乘积大于1，故不可以是一对倒数，不符合题意； 故选：A． 4．（七年级上·江苏南通·竞赛）下列说法：①单项式的次数是3；②若，且，则；③几个有理数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；④当时，有最大值为2；⑤若，互为相反数，则；⑥若，则与互为相反数．其中错误的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：单项式的次数是4， 故①是错误的； ∵若，且， ∴，则， 即， 故②是正确的； ∵几个有理数（因数不含有0）相乘，负因数的个数是奇数时， ∴积是负数； 故③是错误的； 当时，， 即， 当时，， ∴当时，有最大值为2， 故④是正确的； ∵若a，b互为相反数且不为零， ∴，则， 故⑤是错误的； ∵， ∴，结合一个负数的立方根是负数， ∴， 即，则a与b互为相反数， 故⑥是正确的； ∴错误的是①③⑤， 故选C． 5．（七年级上·全国·竞赛）如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，，， ，， ， ， ， ， 、运动过程中的值固定不变， ， ， ， 故选：C 6．（七年级·全国·竞赛）已知、为有理数，下列说法正确的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、当时，，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，故原说法错误，不符合题意； C、若，则，故原说法错误，不符合题意； D、若，则，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 7．（七年级上·全国·竞赛）已知、互为相反数且，和互为倒数，的绝对值等于3，则__________ 【答案】 【详解】解：、互为相反数且，和互为倒数，的绝对值等于3， ，，， ，， ， 故答案为： 8．（七年级上·重庆涪陵·竞赛）设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 【答案】2 【详解】整数满足：， 一个为0，一个为1， ①当，即， 则， 则， ； ②当，即， 则， 则， ； 综上，代数式的值为2． 9．（七年级上·湖南张家界·竞赛）已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 10．（七年级·全国·竞赛）若互为相反数，互为倒数，并且的立方等于它本身． (1)若，且，，试求 的值． (2)若，试讨论：为有理数时，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在最大值，2 【详解】（1）解： ，互为相反数， ， ，， 的立方等于它本身，且， ，， ， ， ； （2）解：若，此时， ①若，则， 当时，， 当时， 当时。 当为有理数时，存在最大值为2； ②若，同理可得，当为有理数时，存在最大值为2， 综上所述，当，为有理数时，存在最大值为2． 11．（七年级·全国·竞赛）已知在数轴上，一动点从原点出发，沿直线以每秒钟个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度 (1)求出秒钟后动点所处的位置； (2)如果在数轴上还有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与点重合吗？若能，则第一次与点重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，或秒． 【详解】（1）解：∵， ∴点走过的路程是， 处于：； （2）当点在原点右边时，即表示的数为，设需要第次到达点， 根据题意得， 则， 解得， ∴动点走过的路程是 ， ， ， ∴时间秒分钟； 当点在原点左侧时，即表示的数为，设需要第次到达点， 根据题意得， 则， 解得， ∴动点走过的路程是， ， ， ， ∴时间秒分钟． 12．（七年级上·全国·竞赛）阅读下面材料（如图所示）： 点、在数轴上分别表示、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，；当、两点都不在原点时， ①如图2，点、都在原点的右边，； ②如图3，点、都在原点的左边，； ③如图4，点、在原点的两边，． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是_____，如果，那么为_____； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是_____； (4)的最小值． 【答案】(1)3，3，4 (2)，1或 (3) (4)997002 【详解】（1）解：2和5的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：3，3，4． （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， ， x到的距离为2， 或， 故答案为：，1或． （3）解：表示x到，2的距离之和， 当x的取值范围是时，代数式取最小值， 故答案为：． （4）解：表示x到1，2，3，，1997的距离之和， 当x取时，的值最小， 的最小值为 ， 故答案为：997002． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 正数与负数 题型02相反意义的量 题型03正负数的应用 题型04有理数的概念 题型05利用数轴比较大小 题型06数轴上表示点的距离 题型07数轴上动点问题 题型08相反数 题型09绝对值的几何意义 题型10绝对值的非负性 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 正数与负数 1．下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数； 表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 2．观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 3．图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 考点二 相反意义的量 1．如果升高30米记作米，那么米表示（    ） A．上升5米 B．下降5米 C．上升25米 D．下降25米 2．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 3．下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 考点三 正负数的应用 1．《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 2．出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 3．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 考点四 有理数的概念 1．所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 2．下面的说法中，正确的是（    ） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和小数统称有理数 3．把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 考点五 利用数轴比较大小 1．如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 2．有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④    A．个 B．个 C．个 D．个 3．已知有理数，，，，其中，为负数，，为正数，且． (1)画出数轴，并标出表示数，，，的点的大致位置． (2)将，，，，，按照从小到大的顺序排列． (3)比较，，，的大小． (4)若有理数满足，试比较，，之间的大小． 考点六 数轴上表示点的距离 1．对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 2．如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为，，， (1)当点为原点时， ， ； (2)改变（1）中原点的位置，式子的值是否发生变化？若不变，请求出式子的值；若改变，请说明理由． (3)为线段上一点，其所表示的数为e，请直接写出的最大值和最小值． 3．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 考点七 数轴上动点问题 1．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 2．如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动6个单位长度到达点A，再向左移动2个单位长度到达点B，然后再向右移动3个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A、B、C三点的位置： (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q、R从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（）． ①两点间的距离______； ②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为_____，点Q表示的数为_____，点R表示的数为______； ③探究：在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 3．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 考点八 相反数 1．数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 2．已知关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数．求m的值． 3．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是，是的相反数，求的值． 考点九 绝对值的几何意义 1．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 3．【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 考点十 绝对值的非负性 1．若与互为相反数，求的值． 2．已知a是最大的负整数，b、c满足，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，点C表示的数为______． (2)若动点P以每秒3个单位长度从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q以每秒1个单位长度同时从点B出发沿数轴负方向运动．设运动时间为t秒时，点P，点Q之间的距离为3，求点P、C两点之间的距离． 3．如图1，点C为线段上一点，，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点． (1)若m、n满足， ①求的长； ②求的长； (2)若，求的值． 1．（七年级上·安徽合肥·竞赛）在，，，中，最大的数为（   ） A． B． C． D． 2．（七年级上·湖南邵阳·竞赛）隆回县羊古坳镇雷锋村超级杂交水稻的种植按照袁隆平院士指导的“良种、良法、良田、良态”四良法则进行研究和示范．该大米包装袋上的标识表示此袋大米重（    ） A． B． C． D． 3．（七年级·全国·竞赛）数轴上的点A，B所表示的数是互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 4．（七年级上·江苏南通·竞赛）下列说法：①单项式的次数是3；②若，且，则；③几个有理数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；④当时，有最大值为2；⑤若，互为相反数，则；⑥若，则与互为相反数．其中错误的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．（七年级上·全国·竞赛）如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（七年级·全国·竞赛）已知、为有理数，下列说法正确的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 7．（七年级上·全国·竞赛）已知、互为相反数且，和互为倒数，的绝对值等于3，则__________ 8．（七年级上·重庆涪陵·竞赛）设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 9．（七年级上·湖南张家界·竞赛）已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 10．（七年级·全国·竞赛）若互为相反数，互为倒数，并且的立方等于它本身． (1)若，且，，试求 的值． (2)若，试讨论：为有理数时，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 11．（七年级·全国·竞赛）已知在数轴上，一动点从原点出发，沿直线以每秒钟个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度 (1)求出秒钟后动点所处的位置； (2)如果在数轴上还有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与点重合吗？若能，则第一次与点重合需多长时间？若不能，请说明理由． 12．（七年级上·全国·竞赛）阅读下面材料（如图所示）： 点、在数轴上分别表示、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，；当、两点都不在原点时， ①如图2，点、都在原点的右边，； ②如图3，点、都在原点的左边，； ③如图4，点、在原点的两边，． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是_____，如果，那么为_____； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是_____； (4)的最小值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $