专题02 有理数的运算（竞赛培优专项训练）七年级数学全国通用

**基本信息** 以有理数运算七类核心题型为框架，分层设计基础过关与竞赛拔高训练，突出运算能力与逻辑推理的递进培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数的加法|4道|含新定义（如[x]）、数阵求和|从基础运算到符号意识培养，结合抽象能力| |有理数的减法|4道|数轴距离、幻圆游戏、容斥原理|衔接加法法则，强化几何直观与推理意识| |加减混合运算|4道|绝对值最值、实际应用（外卖统计）|综合加减法则，培养应用意识与数据观念| |有理数的乘法|4道|数轴符号判断、整数乘积性质|基于加法拓展，提升运算能力与逻辑推理| |有理数的除法|4道|机器人运动、数的变换、“异数”定义|结合乘法逆运算，深化符号运算与模型意识| |混合运算|4道|阶乘运算、24点游戏、图形面积|整合四则运算，培养综合运算与创新意识| |有理数的乘方|4道|十六进制转化、等比数列求和|从乘法延伸，构建数与式的逻辑体系|

专题02 有理数的运算 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01有理数的加法 题型02有理数的减法 题型03有理数加减混合运算 题型04有理数的乘法 题型05有理数的除法 题型06有理数混合运算 题型07有理数的乘方 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 有理数的加法 1．从这12个数中取若干个数，使得任意两个数之和既不等于也不等于，则这若干数字和的绝对值最大值为______． 2．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有如：，，，下列说法中正确的有______． ①； ②； ③； ④若，且，则或； ⑤方程的解为 3．定义：表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：、、，则．设，其中表示取遍的所有正因数再求和．例如．则________． 4．在一次数学活动课上，某数学老师将，，，，，2，4，6，8，10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个整数，每一个整数只写在一张卡片上，而且把写有整数的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的整数之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：1；乙：；丙：12；丁：；戊：14．根据以上信息，请判断甲同学手上拿到的整数是______． 考点二 有理数的减法 1．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 2．某校六年级共有110人参加语文、英语、数学三个活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？ 3．同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 4．若一个三位数（其中、、互不相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为．比如，263的差数． (1)根据以上方法求出_____． (2)请你在草稿纸上多试一试：若一个三位数（其中，其中、b、c都不为0），发现是_____（所填数）的倍数．请说明理由． (3)已知三位数（其中）的差数，且各数位上的数字之和为2的倍数，求所有符合条件的三位数的值． 考点三 有理数加减混合运算 1．代数式的最小值为____________． 2．计算． 3．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 4．将1~200的200个自然数任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为，另一组从大到小排列，设为．求代数式的值． 考点四 有理数的乘法 1．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示．在下列选项中，正确的是（   ） A．如果，则一定会有 B．如果，则一定会有 C．如果，则一定会有 D．如果，则一定会有 2．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 3．有4个不同的正整数、、、满足，那么的值为__． 4．已知，则的整数部分是______． 考点五 有理数的除法 1．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每前进1步或后退1步的时间都是1秒，并且每1步的距离为1个单位长度．表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（   ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 2．对于正整数，根据除以的余数，分以下三种情况得到另一个正整数：若余数为，则；若余数为，则，若余数为，则．这种得到的过程称为对进行一次“变换”．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推．例如，对于正整数，根据除以的余数为，由知，对进行一次变换得到的数为；根据除以的余数为，由知，对进行二次变换得到的数为；根据除以的余数为，由知，对进行三次变换得到的数为．若对正整数进行二次变换得到的数为，则所有满足条件的的值为__． 3．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，那么称为“异数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以所得的商记为，例如：时，，．则______．若为“异数”，且与的个位数字之和能被整除，则满足条件的最大“异数”与最小“异数”的差是______． 4．（1）若，求的值； （2）若a、b、c是非零的有理数，且，求的值． 考点六 有理数混合运算 1．若“！”是一种运算符号，并且，，，，求． 2．计算： 3．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 1 2 (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，则运算结果的最小值是______； (2)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式，使四个数字的计算结果为24或． 4．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：①___________； ②___________．（计算出最终结果） 考点七 有理数的乘方 1．我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的值______． 3．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 4．． 1．（2025七年级下·全国·竞赛）风寒指数是对人们暴露在室外风中时寒冷感觉的度量．通过下面的计算可以对风寒指数做出很好的估计： （风寒指数）（气温）（风速）， 其中温度以华氏度（）为单位，风速以英里每小时（）为单位．假设气温为，风速为．问以下哪个选项最接近风寒指数？ A．18 B．23 C．28 D．32 E．35 2．（2025七年级·香港·竞赛）在我的办公室里有两个时钟．一个时钟每小时快一分钟，另一个时钟每小时慢两分钟．昨天我把两个时钟都设置到了正确的时间，但当我今天看它们的时候，我看到一个时钟显示的时间是，另一个时钟显示的时间是．问我是什么时间调整两个时钟的？（   ） A． B． C． D． E． 3．（2023八年级下·全国·竞赛）尼古拉斯计划将一个包裹寄给爱好集邮的朋友安东．为了支付邮资，尼古拉斯准备在包裹上贴大量的邮票．假设他有5美分，10美分，25美分的邮票，每种邮票恰好各有20张．尼古拉斯最多可以使用多少张邮票来恰好支付的邮资？ （注意：金额是指7美元10美分．1美元是100美分．） A．45 B．46 C．51 D．54 E．55 4．（香港·竞赛）八支球队参加足球锦标赛．每支球队恰好与另一支球队交手一次．每场比赛，胜者得3分，负者不得分．如果比赛是平局，每队各得1分．比赛结束时，所有队伍的总分是61分．问冠军队伍的得分最大可能是多少？（） A．16 B．17 C．18 D．19 E．21 5．（2023七年级·山东潍坊·竞赛）5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如下，那么北京时间2023年5月25日上午10时应是（　　） A．首尔（汉城）时间2023年5月25日上午11时 B．伦敦时间2023年5月25日凌晨1时 C．多伦多时间2023年5月24日晚上23时 D．纽约时间2023年5月25日晚上21时 6．（2023七年级下·云南保山·竞赛）的结果不可能是（     ） A．合数 B．偶数 C．负数 D．整数 7．（甘肃平凉·竞赛）______． 8．（2024七年级下·浙江·竞赛）若规定，则________． 9．（2024七年级下·云南保山·竞赛）已知，那么____． 10．（2024七年级下·云南保山·竞赛）计算： ____． 11．（八年级·山东·竞赛）计算： 12．（七年级下·广东揭阳·竞赛）观察下列等式 …… (1)按规律填空： ； (2)按规律填空： ； (3)计算的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01有理数的加法 题型02有理数的减法 题型03有理数加减混合运算 题型04有理数的乘法 题型05有理数的除法 题型06有理数混合运算 题型07有理数的乘方 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 有理数的加法 1．从这12个数中取若干个数，使得任意两个数之和既不等于也不等于，则这若干数字和的绝对值最大值为______． 【答案】 【详解】解：将这个数按两数和为分为组： 由题意，任意两个数之和不能为，因此每组最多只能选取个数，即最多选取个数． 因为所有数都是负数，要使取出数和的绝对值最大，只需每组中选取绝对值更大的数，即选取． 验证：任意两个选中数的和最小为，不存在和为或的两个数，符合条件． ∴这若干数字和的绝对值最大值为． 2．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有如：，，，下列说法中正确的有______． ①； ②； ③； ④若，且，则或； ⑤方程的解为 【答案】①③④ 【详解】解：根据整数部分和小数部分的定义逐项分析判断如下： ①有理数的整数部分是不超过的最大整数，即，正确，符合题意； ②有理数的整数部分是不超过的最大整数，即，错误，不符合题意； ③有理数的小数部分为，正确，符合题意； ④当且时，若x为正数，如，则，符合；若x为负数，如，则，，符合，正确，符合题意； ⑤∵， ∴， 即， ∴， ∴方程的解为所有小数部分为的数，解不唯一，原说法错误； 故答案为：①③④． 3．定义：表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：、、，则．设，其中表示取遍的所有正因数再求和．例如．则________． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，的正因数：、、、、、共有个 ∴， 根据题意可知，， ∴，，， ∵的正因数：、、、有个， ∴， ∵的正因数：、、有个， ∴， ∵， ∴． 4．在一次数学活动课上，某数学老师将，，，，，2，4，6，8，10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个整数，每一个整数只写在一张卡片上，而且把写有整数的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的整数之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：1；乙：；丙：12；丁：；戊：14．根据以上信息，请判断甲同学手上拿到的整数是______． 【答案】和4 【详解】解：乙的和为，在所有整数中只有与之和为，故乙拿取的整数为和． 丁的和为，由于负整数剩余，且仅与之和为，故丁拿取的整数为和．此时剩余整数为． 甲的和为1，由于剩余整数中仅有一个负整数，且与4之和为1，故甲拿取的整数为和4． 验证丙的和12可由2和10实现，戊的和14可由6和8实现，符合条件． 故甲同学手上拿到的整数是和4． 故答案为：和． 考点二 有理数的减法 1．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 【答案】7 【详解】解：由题意可得，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为 ， ，， 和的值为和或和， 当，时，， 当，时，， 故图中的值为 故答案为：． 2．某校六年级共有110人参加语文、英语、数学三个活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？ 【答案】8人 【详解】解：只参加一组的人数为：（人）， 则至少参加两组的人数为：（人）， 总活动人数为：（人）， 总活动人数比总人数多：（人）， 则三组都参加的人数有：（人）， 答：三组都参加的有8人． 3．同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离； 故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是； 故答案为：； （3）解：共项， 根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小， 即：当时， 原式 ， ∴的最小值为：． 4．若一个三位数（其中、、互不相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为．比如，263的差数． (1)根据以上方法求出_____． (2)请你在草稿纸上多试一试：若一个三位数（其中，其中、b、c都不为0），发现是_____（所填数）的倍数．请说明理由． (3)已知三位数（其中）的差数，且各数位上的数字之和为2的倍数，求所有符合条件的三位数的值． 【答案】(1)297；(2)99；理由见解析；(3)514，512 【详解】（1）解：． 故答案为：297； （2）解：是99的倍数，理由如下： ∵， ∴是99的倍数； 故答案为：99； （3）解：， ∴， ∵， ∴b的可能值为4，3，2， ∴这个三位数可能是514，513，512， ∵各数位上的数字之和为2的倍数， ∴514，512满足条件， ∴符合条件的三位数的值为514，512． 考点三 有理数加减混合运算 1．代数式的最小值为____________． 【答案】 【详解】解： ． 原式可理解为到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离的和， 原式可看作个绝对值相加，而中间项第八项为， 当，即时取最小值， 最小值为 ， 故答案为：． 2．计算． 【答案】1011 【详解】解：设是第个数， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 解得：， 每两个数分为一组，共有组， ． 3．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45；(2)1574元 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 4．将1~200的200个自然数任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为，另一组从大到小排列，设为．求代数式的值． 【答案】10000 【详解】解：设，，则，， ∴， 对于任意，，对于任意，， ∴ ． 考点四 有理数的乘法 1．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示．在下列选项中，正确的是（   ） A．如果，则一定会有 B．如果，则一定会有 C．如果，则一定会有 D．如果，则一定会有 【答案】C 【详解】解：由数轴可知，． 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项A不符合题意； 如果，则同号，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项B不符合题意； 如果，则，所以，所以一定会有，故选项C符合题意； 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 3．有4个不同的正整数、、、满足，那么的值为__． 【答案】8100 【详解】解：设，，，， 则、、、是四个不同的整数，且， 要将4分解成四个不同整数的乘积， 只能是， 则、、、的组合是， ． 故答案为：8100． 4．已知，则的整数部分是______． 【答案】100 【详解】解：对任意正整数满足，都有， .， 同理，对任意正整数满足，都有， ， 不等式各项均为正数， 对不等式取倒数得， 化简得：， 的整数部分为． 考点五 有理数的除法 1．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每前进1步或后退1步的时间都是1秒，并且每1步的距离为1个单位长度．表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（   ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：由题意，机器人运动以5秒为一个循环，每个循环净前进1单位， ∴，故①正确； ∵，， ∴机器人在第76秒的位置上再前进一个单位，到达第77秒的位置， 故，故②错误； ∵，， ∴机器人在第2024秒的位置后退1个单位，到达第2025秒的位置； ∴，故③错误； 故选A． 2．对于正整数，根据除以的余数，分以下三种情况得到另一个正整数：若余数为，则；若余数为，则，若余数为，则．这种得到的过程称为对进行一次“变换”．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推．例如，对于正整数，根据除以的余数为，由知，对进行一次变换得到的数为；根据除以的余数为，由知，对进行二次变换得到的数为；根据除以的余数为，由知，对进行三次变换得到的数为．若对正整数进行二次变换得到的数为，则所有满足条件的的值为__． 【答案】，， 【详解】解：设第一次变换后的数为，则对进行一次变换得到， 若除以的余数为，则， 若除以的余数为，则（符合余数为）， 若除以的余数为，则，但除以余数为，矛盾，此情况不成立， 因此或； 当时，对进行一次变换得到： 若除以余数为，则（符合余数为）， 若除以余数为，则，但除以余数为，不符合余数为， 若除以余数为，则（符合余数为）， 故或； 当时，对进行一次变换得到： 若除以余数为，则（符合余数为）， 若除以余数为，则，不是正整数， 若除以余数为，则，不是正整数， 故； 综上，所有满足条件的的值为， 故答案为：． 3．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，那么称为“异数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以所得的商记为，例如：时，，．则______．若为“异数”，且与的个位数字之和能被整除，则满足条件的最大“异数”与最小“异数”的差是______． 【答案】414 ；82 【详解】解：当时，，四位数， ∴． 设，则，四位数， ∴， ∴与的个位数字之和为， ∴， ∵与的个位数字之和能被整除， ∴能被整除， 令， 当时，或或或； 当时，或或或或或或或； 当时，或或或； 满足条件的最大“异数”与最小“异数”的差是， 故答案为：和． 4．（1）若，求的值； （2）若a、b、c是非零的有理数，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 故的值为； （2）∵，，， 又∵， ∴、、的值中只有一个，即a、b、c中只有一个负数， ∴ ∴， ∴． 考点六 有理数混合运算 1．若“！”是一种运算符号，并且，，，，求． 【答案】 【详解】解：原式 ． 2．计算： 【答案】1 【详解】解： ． 3．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 1 2 (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，则运算结果的最小值是______； (2)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式，使四个数字的计算结果为24或． 【答案】(1) (2)和（答案不唯一） 【详解】（1）解：，，，，， 因为上面5个数都是整数， 所以要从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，运算结果的最小，则应当选择异号两数相乘，且绝对值较大的两数即可，与， 运算结果的最小值是， 故答案为：； （2）解： ， 故算式可以为：和（答案不唯一）． 4．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：①___________； ②___________．（计算出最终结果） 【答案】 【详解】解：（1）由所给图形得： ； ； ⋯； 所以，； （2） ． 故答案为：；． 考点七 有理数的乘方 1．我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A项：，不符合题意； B项：，不符合题意； C项：，符合题意； D项：，不符合题意， 故选：C． 2．计算的值______． 【答案】 【详解】解：设， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【答案】个单位 【详解】解：规定向右运动为正方向，向左运动为负方向，则第次运动后点的位置坐标为： 将①两边同时乘以得： ①+②得：，整理得：， ∵点到原点的距离为位置坐标的绝对值， 故第n次它距离原点. 4．． 【答案】 【详解】解：设①， 将两边同时乘3，得 ②， ，得 ， ， 设③， 将两边同时乘3，得 ④， ，得 ， 故， ， ， ． 1．（2025七年级下·全国·竞赛）风寒指数是对人们暴露在室外风中时寒冷感觉的度量．通过下面的计算可以对风寒指数做出很好的估计： （风寒指数）（气温）（风速）， 其中温度以华氏度（）为单位，风速以英里每小时（）为单位．假设气温为，风速为．问以下哪个选项最接近风寒指数？ A．18 B．23 C．28 D．32 E．35 【答案】B 【详解】解：根据题意可得， 风寒指数， ∴选项中最接近风寒指数的是23， 故选：B． 2．（2025七年级·香港·竞赛）在我的办公室里有两个时钟．一个时钟每小时快一分钟，另一个时钟每小时慢两分钟．昨天我把两个时钟都设置到了正确的时间，但当我今天看它们的时候，我看到一个时钟显示的时间是，另一个时钟显示的时间是．问我是什么时间调整两个时钟的？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【详解】解：∵快钟每小时比标准时间快1分钟，慢钟每小时比标准时间慢2分钟 ∴每经过1小时，快钟比慢钟多走分钟 ∵现在两个时钟显示时间相差分钟 ∴从调整时钟到现在一共经过了小时 ∵显示时间更早的是慢钟，显示的是快钟，20小时一共快了分钟 ∴当前实际时间为分钟 ∵调整时间是20小时前的标准时间， ∴调整时间为 小时． 3．（2023八年级下·全国·竞赛）尼古拉斯计划将一个包裹寄给爱好集邮的朋友安东．为了支付邮资，尼古拉斯准备在包裹上贴大量的邮票．假设他有5美分，10美分，25美分的邮票，每种邮票恰好各有20张．尼古拉斯最多可以使用多少张邮票来恰好支付的邮资？ （注意：金额是指7美元10美分．1美元是100美分．） A．45 B．46 C．51 D．54 E．55 【答案】E 【详解】解：根据题意，5美分的邮票的费用为：（美分），10美分的邮票的费用为：（美分），25美分的邮票的费用为：（美分），为（美分），故只需用25美分的邮票支付（美分）， ， 故最多为（张）． 故选：E． 4．（香港·竞赛）八支球队参加足球锦标赛．每支球队恰好与另一支球队交手一次．每场比赛，胜者得3分，负者不得分．如果比赛是平局，每队各得1分．比赛结束时，所有队伍的总分是61分．问冠军队伍的得分最大可能是多少？（） A．16 B．17 C．18 D．19 E．21 【答案】B 【详解】解：总场次：8支球队单循环比赛，总场次为场． 每场分出胜负总积3分，平局总积2分，若全部分出胜负总分为分，实际总分为61分． ∵每有一场平局总分减少1分， ∴平局场数为场，分出胜负的场数为场． 要让冠军得分最大，冠军需赢尽可能多场次， ∵一共只有5场分出胜负， ∴冠军最多赢5场，剩余场为平局． ∴冠军得分是分． 验证可行性：剩余7支球队之间所有比赛均为平局，共21场平局，总得分分，剩余7队和冠军比赛时，5队输得0分，2队平各得1分，共得2分，剩余7队总得分分，总分为分，符合条件． 若冠军得分大于17分，需要至少赢6场，即至少6场分出胜负，超出总分出胜场数5场，不可能， 因此冠军最大得分是17分． 5．（2023七年级·山东潍坊·竞赛）5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如下，那么北京时间2023年5月25日上午10时应是（　　） A．首尔（汉城）时间2023年5月25日上午11时 B．伦敦时间2023年5月25日凌晨1时 C．多伦多时间2023年5月24日晚上23时 D．纽约时间2023年5月25日晚上21时 【答案】A 【详解】解：若北京时间2023年5月25日上午10时， 那么，即此时首尔（汉城）时间2023年5月25日上午11时，则A符合题意； ，即此时伦敦时间2023年5月25日凌晨2时，则B不符合题意； ，即此时多伦多时间2023年5月24日晚上22时，则C不符合题意； ，即此时组约时间2023年5月24日晚上21时，则D不符合题意， 故选：A． 6．（2023七年级下·云南保山·竞赛）的结果不可能是（     ） A．合数 B．偶数 C．负数 D．整数 【答案】C 【详解】解： ∵从1到2022共2022个数，可分为组，每组的和为， ∴前2022个数的和为； ∴原式； ∵1012是正偶数，属于整数，属于合数，不是负数 ∴结果不可能是负数. 7．（甘肃平凉·竞赛）______． 【答案】 【详解】解：设， 则， ②①，得， ∴， 故答案为：． 8．（2024七年级下·浙江·竞赛）若规定，则________． 【答案】/ 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 9．（2024七年级下·云南保山·竞赛）已知，那么____． 【答案】 【详解】解： ∵，且 ∴． 10．（2024七年级下·云南保山·竞赛）计算： ____． 【答案】/ 【详解】解： ． 11．（八年级·山东·竞赛）计算： 【答案】 【详解】解：原式 12．（七年级下·广东揭阳·竞赛）观察下列等式 …… (1)按规律填空： ； (2)按规律填空： ； (3)计算的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：根据材料规律可得， 故答案为：． （2）解：根据材料规律可得， 故答案为：． （3）解：原式 ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $