第03讲 圆的方程（复习课件）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习课件聚焦“圆的方程”专题，覆盖圆的标准方程、一般方程、点与圆位置关系等核心考点，依据高考评价体系分析近三年考情，明确选择填空为主、5分左右的考查要求，通过知识精讲归纳8大常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题溯源+题型技巧+素养培养”，如结合2026年全国卷I T10真题，剖析圆的最值问题“几何性质+函数法”突破策略，培养学生数学思维与运算能力。课本典例挖掘与易错点警示助力学生掌握答题技巧，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

圆的方程（复习讲义） 第 03 讲 核心考点 2026年 2025年 2024年 圆的方程 全国一卷T11（6分） 全国一卷T7（5分） 北京卷T3（5分） 圆与其他知识的融合     全国Ⅱ卷T10（5分） 考情分析   直线与圆的相关知识是高频考点，题型以选择题、填空题为主，分值多为 5 分. 近三年高考显示，圆的方程考查点涵盖直线与圆的位置关系、圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、切线长以及由直线与圆的位置关系求参数等，且常与点到直线的距离、平面轨迹方程、解三角形、抛物线弦长等知识关联，体现出知识点交叉融合的命题特点，注重对学生几何运算能力和知识综合应用能力的考查. 复习目标 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 01 命题透视・考情前瞻 02 思维建模・脉络梳理 知识解构 知识点1 圆的标准方程 知识点2 点与圆的位置关系 知识点3圆的一般方程 题型破译 题型1 圆的标准方程 题型2 圆的一般方程 题型3 二元二次方程表示圆的条件 题型4 点与圆的位置关系 题型5 圆过定点问题 题型6 与圆有关的对称问题 题型7 与圆相关的最值问题 【方法技巧】与圆有关的最值问题的求解方法 题型8 圆的轨迹问题 【方法技巧】求轨迹方程的步骤 知识点1 圆的标准方程 （3）圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 （1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. （2）确定圆的基本要素是：圆心和半径 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点1 圆的标准方程 ◆必记结论◆ 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点1 圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2 点与圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为.设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔_________________________________________ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔_________________________________________ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔_________________________________________ 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点2 点与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点3 圆的一般方程 1.定义：当____________________ 时，方程 叫做圆的一般方程，其中__________ 为圆心，__________________为半径. 2.一般方程与标准方程关系： 由方程 得 （1）当 时，方程只有实数解 ，它表示一个点 . （2）当 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形. （3）当 时，可以看出方程表示以 为圆心， 为半径的圆. 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点3 圆的一般方程 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 题型1 圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型1 圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型1 圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型1 圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型1 圆的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型2 圆的一般方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型2 圆的一般方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 圆的一般方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型3 二元二次方程表示圆的条件 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型3 二元二次方程表示圆的条件 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 二元二次方程表示圆的条件 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 二元二次方程表示圆的条件 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 点与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 点与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 点与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 点与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 点与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型5 圆过定点问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 圆过定点问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 圆过定点问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 圆过定点问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 与圆有关的对称问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型6 与圆有关的对称问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 与圆有关的对称问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 与圆相关的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 与圆相关的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7 与圆相关的最值问题 方法技巧 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，，形式的最值问题. (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. (3)求解形如其中，均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： ①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； ②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型7 与圆相关的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 与圆相关的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 与圆相关的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 与圆相关的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型8 圆的轨迹问题 方法技巧 求轨迹方程的步骤 ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程； ③把方程化为最简形式； ④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答． 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 圆的轨迹问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 解 析 05 课本典例・高考素材 则点和点的垂直平分线的斜率为, 可得点和点的垂直平分线的方程为 设圆心为,由题意联立方程： 解得,,半径,圆方程为. 【自主检测】(1)已知圆的圆心在直线上,且圆经过点,,则圆的方程是_____________. 点和点的中点为,点和点的斜率为, C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 圆变为标准方程为,圆心为,半径, 所以点P到圆心的距离,所以点P在圆内,且不是圆心. 故选：C 【自主检测】点与圆的位置关系是(    ) A．点P在圆上 B．点P在圆外 由已知,点的坐标满足上述方程,分别代入方程, 可得关于的三元一次方程组, 解方程组得,于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 【自主检测】过三点的圆的一般方程为 ． 设所求圆的方程为． C． D． 根据题意,以为直径的圆的圆心为中点,半径为, 所以圆的方程为. 故选：B. 【例1-1】已知点,,则以为直径的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 圆经过点,,可得线段的中点为,又, 所以线段的中垂线 的方程为,即, 由,解得,即, 圆的半径,所以圆的方程为. 故选：A. 【例1-2】若圆经过点,,且圆心在直线：上,则圆的方程为(    ) A． B． A． B． C． D． 由题意得圆M的圆心坐标为,,所以圆M的方程为. 故选：D 【变式训练1-2】(2026.四川成都模拟)已知圆与直线和都相切,且圆心在轴上,则圆的方程为(    ) A． B． C． D． 设所求圆的方程为,则,解得, 所以圆的方程为.故选：D. 【变式训练1-1】(25-26高三下.江西.阶段检测)已知,两点,且是圆M的直径,则圆M的方程为(   ) C． D． 联立方程,消去得,所以,, 则交点坐标为,,,, 不妨设圆的标准方程为：,代入得：, 所以圆的标准方程为：. 【变式训练1-3】(2026.广西桂林.二模)过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为(    ) A． B． 【变式训练1-4】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门,已知该门的最高点到地面的距离为米,门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中,以地面所在的直线为轴,过圆心的竖直直线为轴,则门的轮廓所在圆的方程为(   ) 设该圆的半径为,如图, 由题意知：,,, 由勾股定理得：, 即,解得：, ,即圆的圆心为, 则圆的方程为. 故选：A. A． B． C． D． 设圆心坐标为,则,解得,所以圆心为, 所以圆的方程为,即． 【例2-2】(2026.吉林长春.一模)过,,三点圆的方程为____________. 设所求圆的方程为, 由已知三点在圆上,, 解得,所以圆的方程为,即. 【例2-1】圆心在轴上,半径长为,且过点的圆的一般方程是_______． A． B． C． D． 对于A,方程表示点,A不是； 对于B,方程化为,此方程表示圆,B是； 对于C,当时,方程表示点,C不是； 对于D,方程化为表示两条平行直线,D不是. 故选：B 【变式训练2-2.变考法】已知圆的圆心坐标为,则的半径为 . 由,有, 因为圆心坐标公式为, 所以,, 所以的半径为. 【变式训练2-1】下列方程一定表示圆的是(    )． 【变式训练2-3.变考法】在中,是坐标原点,,,则的外接圆方程为_____________. 设的外接圆的方程为(), 则, 解得,∴的外接圆方程为． A． B． C． D． 因为方程可变形为, 由题知, 解得,实数的取值范围是. 故选：C 【例3-2】设.已知方程表示的曲线是一个圆,则的取值范围为 . 因为,变形得,所以,解得. 【例3-1】若方程表示圆,且圆心位于第四象限,则实数的取值范围是(    ) A．2 B．1 C．0 D． 因为方程表示圆, 则, 即得,解得,则整数m的值为. 故选：B 【变式训练3-2.变考法】 “关于,的方程：表示圆”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 若关于,的方程：表示圆,则, 解得或, 因为真包含于, 所以“关于,的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练3-1】(2026高三下.陕西咸阳.专题练习)若方程表示圆, 则整数m的值为(   ) C． D． 因为关于的方程有实数解, 所以方程表示圆或点, 则,即 , 解得或, 故选：B 【变式训练3-3】若关于的方程有实数解,则实数的取值范围为(   ) A． B． C． D． 由圆,则圆, 所以,半径为, 且或,由点在圆外,则, 所以, 可得,综上,或. 故选：D 【例4-1】已知点在圆外,则实数的取值范围是(    ) A． B． C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 定点在圆的外部, ,化简得, k的取值范围：或, 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 【例4-2】“或”是“定点在圆的外部”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C． D． 解：由圆,可得, 可得,解得, 又由点在圆外,则,解得, 综上可得：,所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式训练4-1】已知点在圆外,则实数的取值范围是(   ) A． B． 由直线恒过定点,而,所以点在圆内, 故直线恒与圆相交,故有两个交点, 故选：C 【变式训练4-2】已知圆,直线,则直线与圆的公共点个数为(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关,不能确定 因为,故点在圆外, ,点在圆外, , 点在圆上, ,点在圆外, 从4个点中任意选择两个点,共有6种情况, 分别为,, 其中两个点都落在圆外的有, 故这两个点都落在圆外的概率为. 故选：A 【变式训练4-3.变考法】已知,,,,若从,,,这四个点中任意选择两个点, 则这两个点都落在圆外的概率为(   ) A． B． C． D． 【变式训练4-4】点在圆外,则a的取值范围为____________. 由,可得, 因为点在圆外, 所以, 解得或. A．2 B．1 C．-1 D．-2 将代入圆的方程中,得,即,方程为,满足, 故,故选：B. 【例5-2】圆恒过的定点为(     ) A． B． C． D． 圆的方程化为, 由得或,故圆恒过定点． 故选：D． 【例5-1】已知圆经过原点,则(    ) 设垂直于直线,垂足为,则直线方程为：, 由圆的性质可知： 以为直径的圆恒过点, 由得：, 以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 【变式训练5-1.变角度】(2026.河北沧州.阶段检测)已知点为直线上任意一点,为坐标原点． 则以为直径的圆除过定点外还过定点(    ) A． B． C． D． 设点,则线段的中点为, 圆的半径为, 所以,以为直径为圆的方程为, 即,即, 由, 解得或,因此,以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式训练5-2】点是直线上任意一点,是坐标原点,则以为直径的圆经过定点(      ) A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练5-3.变角度】已知函数过定点,且与坐标轴有3个不同的交点,,,那么经过,,三点的圆一定经过定点______． 由题设,可得,故, 令,则,不妨令其为, 令 令,则,且, 所以或, 则是的两个根, 经过,,三点的圆为, 所以,即是的两个根,则, 且且(否则与中一点重合且为原点),则, 综上, ,则, 令,可得,即或, 对应分别为, 所以圆必过,. A．0 B． C．2 D． 圆关于直线对称, 即圆心在直线上,由, 得圆心,则,得. 故选：D 【例6-2】若点关于直线的对称点在圆上,则k、b的一组取值为(   ) A．, B．, C．, D．, 由于在圆上,圆心为,要使关于直线的对称点在圆 上,则直线必经过圆心,故,结合选项可知：只有D符合, 故选：D 【例6-1】若圆关于直线对称,则(    ) C．或 D． 圆圆心为,圆可化为,所以圆心为, 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程, 设, 由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1, 又两圆中点坐标为,所以直线l的方程为, 即. 故选：D. 【变式训练6-1】(2026.广东汕头.模拟预测)如果圆与圆关于直线l对称, 则直线l的方程为(   ) A． B． A． B． C． D． 圆的标准方程为,圆心为．由题意可得,直线一定过圆心． 故选：A 【变式训练6-3.原创题】圆关于直线对称,则的最小值是(   ) A． B． C． D． 由圆可得标准方程为, 因为圆 关于直线对称, 该直线经过圆心,即, ,, 当且仅当即时取等号,所以的最小值为. 故选：C. 【变式训练6-2】(2025.广东.模拟预测)若圆上存在无数对点关于直线对称,则直线一定过点(    ) 【变式训练6-4】设曲线关于直线对称,则 ． 表示圆心是,半径的圆,由条件可知, 圆心在直线上, 即,得. 因为,变形得, 所以轨迹是以为圆心,以为半径的圆的上半部分, 如图所示,则当与点重合时线段长度最大, 可知当与点重合时,, 在中根据勾股定理可知. 故选：C. 【例7-1】已知点满足,点,则的最大值为(   ) A．3 B． C． D．6 A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 由题意可得圆圆心为,半径为3,圆圆心为,半径为1, 则两圆心距离,即两圆相离, 对于A,由题意可得两圆上的点的距离最大值为,故A正确； 对于B,由题可设,则, 所以当时,取得最小值为,故B错误； 对于C,因为点关于直线对称的点为, 所以点关于直线对称的点为, 所以如图,作圆和点N关于l对称的圆, 则由图可知当对称圆的圆心和对称点以及M、四点共线时可得的最小值为,故C正确； 对于D,如图可知当P位于N一侧且三点共线时取得最大值为, 而最大值为,故D正确. 故选：ACD 【例7-2】(多选)【新思维】已知是圆上的一点,是圆上的一点,为直线上一点,则下列说法正确的是(   ) A．3 B．4 C．5 D．6 因为所以点在以为直径的圆上,圆的方程为, 所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径,即. 故选：B. 【变式训练7-2】若直线,,设与的交点为P,O为坐标原点,则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 直线,,设与的交点为P, 联立得出, 所以, 因为,所以,所以, 所以,所以. 故选：D. 【变式训练7-1.变载体】(2025.重庆.模拟预测)已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为(   ) C． D．的最大值为9 对于A,,所以B在圆O外,故A正确； 对于B,由图知,当且仅当点为圆与轴的左交点时取等,故B正确； 对于C,D,设,则, 故,, 则,故C错误； 所以由B项可得,,当且仅当时取等,故D正确． 【变式训练7-3.变载体】(2026.湖北武汉.模拟预测)已知点,,M为圆O：上一点,则(   ) A．点B在圆O外 B．的最大值为6 因为,其中可看作是点与点连线的斜率, 设直线,即,则圆心到直线的距离, 因为直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离,整理得,解得或, 所以的取值范围为． 【变式训练7-4.变载体】在平面直角坐标系中,动点到两点的距离的平方和为10,则的取值范围为 ． 因为动点到两点的距离的平方和为10,所以, 化简上述等式得到动点的轨迹方程为,故点的轨迹是以原点为圆心,半径的圆． 【变式训练7-5】若实数x、y满足, 则 的最大值是 . 将方程化为,表示以为圆心,半径为3的圆, 表示圆上的点与原点之间的距离, 故表示圆上的点与原点之间的距离的平方, 由可知原点(0,0)在圆内,且原点与圆心之间的距离为, 所以的最大值为, 所以的最大值为． C． D． 设,,由为的中点,则,即, 由点在圆上,则, 即, 化简可得. 故选：D. 【例8-1】【新思维】已知线段的端点的坐标是,端点在圆上运动,则线段的中点的 轨迹方程为(    ) A． B． 因为,,设,由得, 平方并整理得,化简并整理得, 故点的轨迹是圆,其半径为,故其面积为. 【例8-2】【新思维】(25-26高三下.湖南邵阳.阶段检测)已知,,为平面上的一个动点,若, 则的轨迹所围成的面积为(   ) A． B． C． D． 由直线l：, 令,解得, 则直线l(不包含直线)过定点, 由对称性可知,, 即点N到定点的距离为, 又直线l不包含直线, 所以点关于直线的对称点不在点N的轨迹中, 则N的轨迹是以为圆心,为半径的圆(去掉点),因此,点N的轨迹为圆的一部分. 【变式训练8-1】(2026.广东揭阳.二模)若点关于动直线l：的 对称点为N,则点N的轨迹为(   ) A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 由题意,圆可化为, ∴圆C是以为圆心,半径的圆, ∵,点Q为线段中点,∴, 即Q在以为圆心,1为半径的圆上, ∴求的最小值,转化为求的最小值, ∵圆心到直线距离, ∴,∴. 故选：B. 【变式训练8-2.变载体】已知点M,N为圆上两点,且,点P在直线上,点Q为线段中点,则的最小值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 以线段中点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则,,设点为, 由,所以, 两边平方化简整理得：,因此,点的轨迹是以为圆心,半径为的圆. 因为,,所以, 又因为点满足,所以, 化简得：. 由圆方程可知,,所以, 即. 【变式训练8-3.变问法】(2026.辽宁辽阳.二模)已知线段点满足,则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 由恒过,且与圆相交于、, 而的圆心为,若的中点为, 则, 所以,易知：在以为直径的圆上,且, 所以弦的中点的轨迹方程且. 【变式训练8-4.变载体】已知动直线(其中且为变动参数)和圆相交于、两点,则弦的中点的轨迹方程为_____________. 设,因为,所以, 化简可得, 所以点的轨迹是圆心为,半径的圆, 又因为,所以, 所以, 当且仅当时取等号,所以的面积的最大值为. 【变式训练8-5.变问法】 (2026.重庆九龙坡.模拟预测)在平面坐标系中,,动点满足, 则的面积的最大值为___________． A． B． C．1 D． 由题可知圆心为,因为直线是圆的对称轴,所以圆心在直线上,即,解得． 故选：A． 2．(2023.全国乙卷.高考真题)已知实数满足,则的最大值是(    ) A． B．4 C． D．7 令,则, 代入原式化简得, 因为存在实数,则,即, 化简得,解得, 故 的最大值是, 3．(2023.上海.高考真题)已知圆的面积为,则 ． 圆化为标准方程为：, 圆的面积为,圆的半径为, ,解得． 1．(2022.北京.高考真题)若直线是圆的一条对称轴,则(    ) (1)若圆过三点,圆心在直线,设圆心坐标为, 则,所以圆的方程为； (2)若圆过三点, 设圆心坐标为,则,所以圆的方程为； (3)若圆过 三点,则线段的中垂线方程为,线段 的中垂线方程 为,联立得 ,所以圆的方程为； (4)若圆过三点,则线段的中垂线方程为, 线段中垂线方程为 ,联立得,所以圆的方程为． 4．(2022.全国乙卷.高考真题)过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 设 5．(2026.上海.高考真题)已知椭圆与椭圆相交于、、、四点, 且与和的四个焦点在同一个圆上,则_____________. 因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上, 所以根据椭圆和的对称性可知,该圆的圆心为原点, 因此有, 且两个椭圆的半焦距为, 因此该圆的方程为, 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上, 所以由椭圆和圆的对称性可知,这四个点也在圆上, 由,代入椭圆中, 得, 又,故,故答案为： (1)圆心为点,且过点； (2)过,,三点． (1)由题意知半径, 所以圆的方程为：. (2)设圆的一般方程为：. 将,,代入得： 所以圆的方程为：. 1．求下列各圆的方程,并画出图形. 2．已知圆C经过原点和点,并且圆心在直线上,求圆C的标准方程． 设圆C的标准方程为, 由题意可得,解得, 因此. 设圆的圆心坐标为,半径为r,则圆的标准方程为：, 有, 解得,所以圆的标准方程为： 4．平面直角坐标系中有,,,四点,这四点是否在同一个圆上？为什么？ 设过三点的圆的一般方程为. 将三点代入得：. 所以圆的一般方程为. 将点代入得：,满足方程. 所以四点在同一个圆上. 3．圆C的圆心在x轴上,并且过和两点,求圆C的方程． 设另一端点C的坐标为,依题意,得, 由两点间距离公式,得, 化简,得, 因为A、B、C三点不共线,而的方程为, 联立或, 故点C的轨迹方程为(点和除外) 6．长为2a的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动,求线段的中点的轨迹方程,并说明轨迹的形状． 设线段的中点若不与原点重合时,则是直角三角形,且为直角,则, 而,即的轨迹是以原点为圆心,以为半径的圆,方程为； 若、有一个是原点,同样满足．故线段的中点的轨迹方程为：． 表示圆心在原点半径为的圆. 5．已知等腰三角形的顶点是,底边一个端点是,求另一个顶点C的轨迹方程,试说明它的轨迹是什么？ 设点.则,化简得： 为以为圆心2为半径的圆. 8．在平面直角坐标系中,如果点P的坐标满足,其中为参数． 证明：点P的轨迹是圆心为, 半径为r的圆． 由可得,又因为,所以,即, 所以点的轨迹是圆心为,半径为的圆. 7．已知动点M与两个定点,的距离的比为,求动点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状． $