四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期暑假预习自测数学试卷（二）

**基本信息** 暑假预习自测数学卷，聚焦九年级第1-3章，A卷夯实基础（100分）、B卷提升能力（50分），通过菱形性质、相似三角形、一元二次方程等核心知识，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配预习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题32分|菱形性质、相似判定|如第8题结合正方形性质与全等推理，培养几何直观| |填空|10题40分|方程应用、图形折叠|如22题三角形内接正方形，体现空间观念| |解答|8题78分|方程求解、动态几何|如26题坐标系中相似存在性问题，发展创新意识与应用能力|

四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期暑假预习自测数学试卷（二） 满分：150分 时间：120分钟 内容：第1-3章 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列性质中菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 2．用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，则方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2 B．3（x﹣1）2 C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2 3．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为（　　） A． B． C．2 D．3 4．关于x的方程x2+mx＝0的一个根是﹣1，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．1或0 5．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 6．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　） A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2 7．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝（　　） A． B． C． D． 8．如图，正方形ABCD与正方形CEFG（边长不等），B，C，F三点共线，连接BE交CD于M，连接DG交BE，CE，CF分别于N，P，Q，下面结论：①BE＝DG；②BM＝DQ；③CM＝CP；④∠BNQ＝90°中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．如图，M是AC的中点，AB＝9，AC＝12，当AN＝　　 时，△ABC∽△AMN． 10．已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的一个根，则这个三角形的周长为 　　 ． 11．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A、C重合，折痕为FG，若AB＝4，BC＝8．则线段BF的长为　　 ． 12．若方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根分别为x1和x2，则　　 ． 13．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0． （2）5x2﹣3x＝x+1． 15．已知关于x的方程x2﹣mx+（m﹣2）＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根． 16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE＝DF； （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 17．随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2024年公共充电桩的数量为1万个，2026年公共充电桩的数量为2.89万个． （1）求2024年至2026年该省公共充电桩数量的年平均增长率； （2）按照这样的增长速度，预计2027年该省将新增多少万个公共充电桩？ 18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为　　 ． 20．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝　　 ． 21．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为______． 22．如图是一块三角形的木板，其一边BC＝150cm，高AD＝100cm，现要将其加工成一正方形小桌面PQRS，其中P、Q在BC边上，R、S分别在AC、AB边上，则该正方形PQRS的边长为 　　 cm． 23．菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为___________． 2、 解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点． （1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长． 25．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P． （1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 26．如图1，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E是AB边上一点，过E作EF⊥CE，交AD于点F． （1）求证：△EFA∽△CEB； （2）如果AE＝6，求AF的长； （3）在（2）条件下，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，如图2，连接CF，问在y轴上是否存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 参 考 答 案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期暑假预习自测数学试卷（二） 满分：150分 时间：120分钟 内容：第1-3章 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列性质中菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确； B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确； C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误； D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确； 故选：C． 2．用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，则方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2 B．3（x﹣1）2 C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2 【解答】解：移项得3x2﹣6x＝﹣2， 二次系数化为1得x2﹣2x， 方程两边加上1得x2﹣2x+11， 所以（x﹣1）2． 故选：D． 3．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【解答】解：∵∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2， ∴△ABD∽△BDC， ∴，即， 解得CD． 故选：B． 4．关于x的方程x2+mx＝0的一个根是﹣1，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．1或0 【解答】解：把x＝﹣1代入x2+mx＝0，则1﹣m＝0． 解得m＝1． 故选：A． 5．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝AO＝4， 故选：A． 6．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　） A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF＝4：25， ∴DE：AB＝2：5， ∵AB＝CD， ∴DE：EC＝2：3． 故选：B． 7．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点D作DM∥AC，交BF于M，则△BDM∽△BCF，△DEM∽△AEF， 由△BDM∽△BCF，D是BC的中点，E是AD的中点，可知， 则FC＝2DM， 根据△DEM∽△AEF得到AF＝DM，因而AF：FC＝DM：2DM＝1：2， 故选：C． 8．如图，正方形ABCD与正方形CEFG（边长不等），B，C，F三点共线，连接BE交CD于M，连接DG交BE，CE，CF分别于N，P，Q，下面结论：①BE＝DG；②BM＝DQ；③CM＝CP；④∠BNQ＝90°中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【解答】解：在正方形ABCD与正方形CEFG中， BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE， 即∠BCE＝∠DCG， 在△BCE和△DCG中， ， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG，故①正确； 在△BCM和△DCQ中， ， ∴△BCM≌△DCQ（ASA）， ∴BM＝DQ，CM＝CQ，故②正确； 在Rt△CPG中，∠CGP+∠CPG＝90°， 在Rt△CDQ中，∠CDQ+∠CQD＝90°， ∵正方形ABCD与正方形CEFG的边长不等， ∴∠CDQ≠∠CGP， ∴∠CQD≠CPG， ∴CQ≠CP， ∴CM≠CP，故③错误； ∵∠CBE+∠BMC＝90°，∠CBE＝∠CDG，∠BMC＝∠DMN（对顶角相等）， ∴∠CDG+∠DMN＝90°， ∴∠DNM＝90°， ∴∠BNQ＝180°﹣∠DNM＝180°﹣90°＝90°，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．如图，M是AC的中点，AB＝9，AC＝12，当AN＝　8　 时，△ABC∽△AMN． 【解答】解：∵△ABC∽△AMN，∴， ∵M是AC的中点，AB＝9，AC＝12， ∴AM＝MC＝6， ∴， 解得AN＝8， 故答案为8． 10．已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的一个根，则这个三角形的周长为 　19　 ． 【解答】解：解方程x2﹣14x+48＝0得第三边的边长为6或8， 依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形， ∴三角形的周长＝2+8+9＝19． 故答案为：19． 11．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A、C重合，折痕为FG，若AB＝4，BC＝8．则线段BF的长为　3　 ． 【解答】解：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG， ∴FG是AC的垂直平分线， ∴AF＝CF， 设AF＝FC＝x， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， 即CF＝5，BF＝8﹣5＝3． 故答案为：3． 12．若方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根分别为x1和x2，则　　 ． 【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4， 所以． 故答案为． 13．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 　（4，4）　 ． 【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AE＝CEAC，BE＝DEBD， ∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2）， ∴OD＝2，BD＝8， ∴AE＝OD＝2，DE＝4， ∴AC＝4， ∴点C的坐标为：（4，4）； 故答案为：（4，4）． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0． （2）5x2﹣3x＝x+1． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x+1＝2， ∴（x﹣1）2＝2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． （2）∵5x2﹣3x＝x+1， ∴5x2﹣4x﹣1＝0， （5x+1）（x﹣1）＝0， ∴5x+1＝0或x﹣1＝0， ∴x1，x2＝1． 15．已知关于x的方程x2﹣mx+（m﹣2）＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝m﹣2， ∴b 2﹣4ac＝（﹣m ）2﹣4×1×8（m﹣2）＝m 2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4， ∵（m﹣2）2≥0， ∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个为t， 根据题意得，2+t＝m，2t＝m﹣2， ∴2+t﹣2t＝2，解得t＝0， ∴m＝2， ∴m的值为2，另一个根为0． 16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE＝DF； （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE＝∠DAF， 同理∠DAE＝∠FDA， ∵AD＝DA， ∴△ADE≌△DAF（ASA）， ∴AE＝DF； （2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴∠DAF＝∠FDA． ∴AF＝DF． ∴平行四边形AEDF为菱形． 17．随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2024年公共充电桩的数量为1万个，2026年公共充电桩的数量为2.89万个． （1）求2024年至2026年该省公共充电桩数量的年平均增长率； （2）按照这样的增长速度，预计2027年该省将新增多少万个公共充电桩？ 【解答】解：（1）设2024年至2026年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x， 依题意得：（1+x）2＝2.89， 解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）． 答：2024年至2026年该省公共充电桩数量的年平均增长率为70%． （2）2.89×70%＝2.023（万个）． 答：预计2027年该省将新增2.023万个公共充电桩． 18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD：AC＝AC：AB， ∴AC2＝AB•AD； （2）证明：∵E为AB的中点， ∴CEAB＝AE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠ECA， ∴CE∥AD； （3）解：∵CE∥AD， ∴△AFD∽△CFE， ∴AD：CE＝AF：CF， ∵CEAB， ∴CE6＝3， ∵AD＝4， ∴， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为　10　 ． 【解答】解：∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1， ∴、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴β＝3，1，1， ∴原式＝13β＝1+3（β）＝1+3×3＝10， 故答案为10． 20．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AE：BE＝4：3， ∴BE：AB＝3：7， ∴BE：CD＝3：7． ∵AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF， ∴BF：DF＝BE：CD＝3：7， 即2：DF＝3：7， ∴DF． 故答案为：． 21．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为x1＝﹣2，x2＝﹣1　 ． 【解答】解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0， 设y＝2x+5， 方程可以变为 y2﹣4y+3＝0， ∴y1＝1，y2＝3， 当y＝1时，即2x+5＝1，解得x＝﹣2； 当y＝3时，即2x+5＝3，解得x＝﹣1， 所以原方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣1． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝﹣1． 22．如图是一块三角形的木板，其一边BC＝150cm，高AD＝100cm，现要将其加工成一正方形小桌面PQRS，其中P、Q在BC边上，R、S分别在AC、AB边上，则该正方形PQRS的边长为 　60　 cm． 【解答】解：设正方形PQRS的边长为xcm， ∵AD是△ABC的高，SR∥BC， ∴AE是△ASR的高， 则AE＝AD﹣ED＝100﹣x（cm）， ∵△ASR∽△ABC， ∴， ∴， 解得：x＝60， ∴正方形PQRS的边长为60cm． 故答案为：60． 23．菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为 　5cm或cm ． 【解答】解：∵AC＝6cm，BD＝4cm， ∴AOAC6＝3cm， BOBD4＝2cm， 如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G， BG＝AO＝3cm， FG＝AF+AG＝6+2＝8cm， 在Rt△BFG中，BFcm， 如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G， BG＝AO＝3cm， FG＝AF﹣AG＝6﹣2＝4cm， 在Rt△BFG中，BF5cm， 综上所述，BF长为5cm或cm． 故答案为：5cm或cm． 3、 解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点． （1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长． 【解答】解：（1）△OEF是等腰三角形， 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD， ∵点E，F分别是边AB，AD的中点， ∴EOAB，OFAD， ∴EO＝FO， ∴△OEF是等腰三角形； （2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝10， ∴AO＝5，∠AOB＝90°， ∴BO12， ∴BD＝24， ∵点E，F分别是边AB，AD的中点， ∴EFBD， ∴EF＝12． 25．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P． （1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 【解答】（1）证明：∵PQ⊥AQ， ∴∠AQP＝90°＝∠ABC， 在△APQ与△ABC中， ∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△AQP∽△ABC． （2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5． ∵∠QPB为钝角， ∴当△PQB为等腰三角形时， （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示． ∵∠QPB为钝角， ∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ， 由（1）可知，△AQP∽△ABC， ∴，即，解得：PB， ∴AP＝AB﹣PB＝3； （Ⅱ）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示． ∵∠QBP为钝角， ∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ． ∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P， ∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°， ∴∠AQB＝∠A， ∴BQ＝AB， ∴AB＝BP，点B为线段AP中点， ∴AP＝2AB＝2×3＝6． 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6． 26．如图1，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E是AB边上一点，过E作EF⊥CE，交AD于点F． （1）求证：△EFA∽△CEB； （2）如果AE＝6，求AF的长； （3）在（2）条件下，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，如图2，连接CF，问在y轴上是否存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵已知矩形ABCD和EF⊥CE， ∴∠A＝∠B＝90°，∠CEF＝90°， ∴∠BEC+∠AEF＝∠AFE+∠AEF＝90°， ∴∠BEC＝∠AFE， ∴△EFA∽△CEB； （2）解：已知AE＝6，AB＝10，BC＝8， ∴BE＝4， ∵△EFA∽△CEB， ∴， ∴， ∴AF＝3； （3）解：存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似， 因为由（1）得出∠PAB＝∠FEC＝90°， 在直角三角形AFE 和EBC中由勾股定理得： FE3， EC4， ①若△BAP∽△CEF，得： ∴， ∴PA＝7.5， 所以点P的坐标为：（0，±7.5）． ②若△PAB∽△CEF，得：， 即， ∴PA， 所以点P坐标为（0，±）． 学科网（北京）股份有限公司 $