四川省达州市渠县三汇中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 四川省达州市渠县三汇中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题（150分），覆盖几何（矩形性质、位似图形）、代数（一元二次方程）、函数（一次函数）等，通过动态几何（如动点与中位线）、实际应用（商品利润）题，考查抽象能力、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|多边形内角和、不等式性质、矩形判定|基础概念辨析，如第3题矩形判定定理| |填空题|5题20分|分式值为0、一元二次方程根、几何概率|结合几何计算，如第12题正方形与圆的概率| |解答题|8题78分|动态几何（第8题动点中位线）、实际应用（第25题商品利润）、类比迁移（第26题）|综合考查推理与创新，如第26题从正方形到菱形的拓展提升|

四川省达州市渠县三汇中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．一个多边形的每个内角都是120°，则其内角和为（　　） A．720° B．1080° C．1260° D．1440° 2．已知a＞b，则下列不等式正确的是（　　） A．﹣4a＞﹣4b B． C．4﹣a＞4﹣b D．a﹣4＞b﹣4 3．下列命题是真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 4．将点P（2，3）向左平移2个单位，向上平移4个单位得到点Q，则点Q的坐标是（　　） A．（4，7） B．（4，﹣1） C．（0，7） D．（0，﹣1） 5．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OD＝3：1，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（　　） A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1 8．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．2 B． C．1 D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知，且2a﹣b＝8，则a的值为　　 ． 10．分式的值为0，则x＝　　 ． 11．已知关于x的方程kx2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为_______. 12．如图，正方形ABCD，以AD，BC为直径的半圆⊙O1，⊙O2外切于点M，若向正方形内随机抛掷一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为_______ ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝15，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，EF，DF，若BD＝6，且△DEF是等边三角形，则CF＝_______. 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14．（8分）解方程：（1）x（x﹣1）＝3x﹣3； （2）x2﹣4x+1＝0． 15．（10分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 16．（8分）先化简（x）•，再从﹣2≤x≤2中选一个合适的整数代入并求值． 17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4），B（1，1），C（4，2）． （1）在图中画出平面直角坐标系xOy，并标出坐标原点O； （2）将△ABC以点O为旋转中心逆时针旋转90°，请画出旋转后的图形△A1B1C1； （3）将△A1B1C1向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度得到△A2B2C2，请画出平移后的图形△A2B2C2，并直接写出线段A2C的长度为 　　 ． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C逆时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上． （1）求出线段AB的长度； （2）求出BC的函数关系式； （3）若点E是x轴上的一个动点，点F是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若x2+x﹣3＝0，则x3+2x2﹣2x+5的值为 　　 ． 20．如图，AC是▱ABCD的对角线，延长BA至E，使AE＝AB，点O是AC的中点，连接EO，EC．EC与AD相交于点F，若△CDF是等边三角形，CD＝2，则OE的长为 　　 ． 21．已知关于x的不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程有增根，则不等式组的整数解x是不等式mx≥x+m的解的概率为 　　 ． 22．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于 　　 ． 23．如图，在矩形ABCD 中，点E为CD中点，连接AE，将△ADE 沿直线AE翻折到矩形ABCD所在的平面内，得△AFE，延长AF交BC于点G，延长EF交AB于点K，交CB延长线于点H，连接CF，若AB＝12，AD＝9，则KF＝　　 ，　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上中点，E为直线BC上一点，连接AE． （1）如图1，若AE＝BE＝2，AC＝CE，求线段DE的长度； （2）如图2，若∠AEC＝60°，点F为边AE上一点，且∠FCE＝∠BAE，连接FD并延长至点G，使DG＝FD，连接CF、CG．请猜想线段BC、AF、CG之间的数量关系，并证明你的猜想； 25．（10分）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品10件与B商品20件共170元，采购A商品20件与B商品30件共280元． （1）求A，B商品每件进价分别是多少元？ （2）若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的8折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元，求商店至少购进A商品多少件？ （3）若采购这140件商品的费用不低于720元，不高于740元．然后将A商品每件加价2a元销售，B商品每件加价3a元销售，140件商品全部售出的最大利润为768元，请直接写出a的值． 26．（12分）阅读以下材料： 【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF． （1）BE与DF之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形ABCD中，E是CD边上一点，将△BED沿BE翻折得到△BED′，延长DD′交BC延长线于点F．线段DF与BE具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，E是AB上一点，DE绕点E顺时针旋转90°得FE，AE绕点E顺时针旋转90°得GE，当BE＝2AE时，求四边形CFHG的面积． 参考答案 四川省达州市渠县三汇中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．一个多边形的每个内角都是120°，则其内角和为（　　） A．720° B．1080° C．1260° D．1440° 【解答】解：设多边形的边数为n， 因为多边形的每个内角都是120°， 所以和它相邻的每个外角是180°﹣120°＝60°． ∴n＝360°÷60°＝6， 多边形内角和为（6﹣2）×180°＝720°． 故选：A． 2．已知a＞b，则下列不等式正确的是（　　） A．﹣4a＞﹣4b B． C．4﹣a＞4﹣b D．a﹣4＞b﹣4 【解答】解：A．∵a＞b，∴﹣4a＜﹣4b，故本选项错误，不符合题意； B．∵a＞b，但当c＜0时，，故本选项错误，不符合题意； C．∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴4﹣a＜4﹣b，故本选项错误，不符合题意； D．∵a＞b，∴a﹣4＞b﹣4，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 3．下列命题是真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意； C、对角相等的四边形不一定是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 4．将点P（2，3）向左平移2个单位，向上平移4个单位得到点Q，则点Q的坐标是（　　） A．（4，7） B．（4，﹣1） C．（0，7） D．（0，﹣1） 【解答】解：点P（2，3）向左平移2个单位后的坐标是（0，3），再向上平移4个单位得到点Q，则点Q的坐标是（0，7）． 故选：C． 5．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 【解答】解：x2+6x+c＝0， x2+6x＝﹣c， x2+6x+9＝﹣c+9， （x+3）2＝﹣c+9． ∵（x+3）2＝2c， ∴2c＝﹣c+9，解得c＝3， 故选：C． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC， 在Rt△BAD中，∵BD10， ∴OD＝OA＝OB＝5， ∵E．F分别是AO，AD中点， ∴EFOD，AE，AF＝4， ∴△AEF的周长为9， 故选：D． 7．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OD＝3：1，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（　　） A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AC∥DF， ∴△AOC∽△DOD， ∴AC：DF＝OA：OD＝3：1， ∴△ABC的面积与△DEF的面积之比为9：1， 故选：D． 8．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【解答】解：如图，连接AG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝180°﹣120°＝60°， ∵点E、F分别是AH、GH的中点， ∴EF是△AGH的中位线， ∴EFAG， 当AG最小时，EF有最小值， 当AG⊥BC时，AG最小， 则∠BAG＝30°， 此时BGAB＝1，AGBG， ∴EFAG， 即EF的最小值是， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知，且2a﹣b＝8，则a的值为　6　 ． 【解答】解：设（k≠0）， 则a＝3k，b＝2k， ∵2a﹣b＝8， ∴6k﹣2k＝8， 解得k＝2， ∴a＝3k＝6． 故答案为：6． 10．分式的值为0，则x＝　3　 ． 【解答】解：因为分式值为0，所以有，∴x＝3．故答案为3． 11．已知关于x的方程kx2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为_______. 【解答】解：把x＝3代入方程得：9k﹣3﹣6＝0，解得k＝1． 故答案为：1． 12．如图，正方形ABCD，以AD，BC为直径的半圆⊙O1，⊙O2外切于点M，若向正方形内随机抛掷一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 　1　 ． 【解答】解：设正方形的边长为x， ∴正方形的面积为x2，阴影部分的面积为x2﹣π（）2＝x2x2π， ∴向正方形内随机抛掷一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为1． 故答案为：1． 13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝15，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，EF，DF，若BD＝6，且△DEF是等边三角形，则CF＝　3　 ． 【解答】解：作EH⊥AC于H， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DEF＝60°，DE＝EF， ∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠A＝60°， ∵∠BED+∠DEF＝∠C+∠EFH， ∴∠BED＝∠EFH， ∵∠B＝∠EHF＝90°，DE＝EF， ∴△EFH≌△DEB（AAS）， ∴FH＝BE，EH＝BD＝6， ∴HCEH＝2， ∴CE＝2CH＝4， ∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴BCAB15＝5， ∴BE＝BC﹣CE， ∴CF＝FH+CH23． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14．（8分）解方程：（1）x（x﹣1）＝3x﹣3； （2）x2﹣4x+1＝0． 【解答】解：（1）x（x﹣1）＝3x﹣3， x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， x﹣1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝1，x2＝3； （2）x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3， x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2． 15．（10分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 【解答】解：（1）， 解不等式①，得x＜4， 解不等式②，得x≥1， 所以不等式组的解集是1≤x＜4； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘3（x+1），得3x﹣3（x+1）＝2x， 解得x， 检验：当x时，3（x+1）≠0， 所以原分式方程的解是x． 16．（8分）先化简（x）•，再从﹣2≤x≤2中选一个合适的整数代入并求值． 【解答】解：（x）• •• •• ， 要使分式有意义，必须x+1≠0，x+2≠0，x﹣2≠0，x≠0 即x不能为﹣1，﹣2，2，0， ∵﹣2≤x≤2的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2， ∴取x＝1， 当x＝1时，原式． 17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4），B（1，1），C（4，2）． （1）在图中画出平面直角坐标系xOy，并标出坐标原点O； （2）将△ABC以点O为旋转中心逆时针旋转90°，请画出旋转后的图形△A1B1C1； （3）将△A1B1C1向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度得到△A2B2C2，请画出平移后的图形△A2B2C2，并直接写出线段A2C的长度为 　　 ． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系xOy如图所示． （2）如图，△A1B1C1即为所求． （3）如图，△A2B2C2即为所求． 由勾股定理得，A2C． 故答案为：． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C逆时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上． （1）求出线段AB的长度； （2）求出BC的函数关系式； （3）若点E是x轴上的一个动点，点F是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3， ∴B（0，﹣3）， 当y＝0时，x＝6， ∴A（6，0）， ∴AB＝3； （2）过D点作DG⊥x轴交于G点， ∵∠BCD＝90°， ∴∠OCB+∠ACD＝90°， ∵∠OCB+∠OBC＝90°， ∴∠OBC＝∠ACD， ∵BC＝CD， ∴△OCB≌△GDC（AAS）， ∴DG＝OC，CG＝OB＝3， 设C（t，0），0≤t≤6， ∴D（t+3，﹣t）， ∵D点在直线AB上， ∴﹣t（t+3）﹣3， 解得t＝1， ∴C（1，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx﹣3， ∴k﹣3＝0， 解得k＝3， ∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3； （3）存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由（2）可知D（4，﹣1）， 设E（x，0），F（t，3t﹣3），（0＜t＜1）， ①当CD为平行四边形的对角线时，5＝x+t，﹣1＝3t﹣3， 解得t，x， ∴E（，0）； ②当CE为平行四边形的对角线时，1+x＝t+4，0＝﹣1+3t﹣3， 解得t，x， ∴E（，0）； ③CF为平行四边形的对角线时，1+t＝4+x，3t﹣3＝﹣1， 解得t，x， ∴E（，0）； 综上所述：E点坐标（，0）或（，0）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若x2+x﹣3＝0，则x3+2x2﹣2x+5的值为 　8　 ． 【解答】解：由x2+x﹣3＝0，得x2+x＝3， x3+2x2﹣2x+5 ＝x3+x2+x2﹣2x+5 ＝x（x2+x）+x2﹣2x+5 ∵x2+x＝3， ∴原式＝3x+x2﹣2x+5 ＝x2+x+5 ＝3+5 ＝8． 故答案为：8． 20．如图，AC是▱ABCD的对角线，延长BA至E，使AE＝AB，点O是AC的中点，连接EO，EC．EC与AD相交于点F，若△CDF是等边三角形，CD＝2，则OE的长为 　　 ． 【解答】解：∵△CDF是等边三角形， ∴CD＝CF＝DF＝2，∠D＝∠DCF＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝2，AB∥CD， ∴∠EAD＝∠D＝60°，∠AEF＝∠DCF＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝AF， ∵AE＝AB， ∴AE＝EF＝AF＝2， ∴AF＝EF＝CF＝2， ∴EC＝4，∠FAC＝∠FCA＝30°， ∴∠EAC＝90°， ∴AC2， ∵点O是AC的中点， ∴AO， ∴EO， 故答案为：． 21．已知关于x的不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程有增根，则不等式组的整数解x是不等式mx≥x+m的解的概率为 　　 ． 【解答】解：解不等式x﹣a≤0，得：x≤a， 解不等式2x＞﹣2，得：x＞﹣1， ∵该不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为0，1，2，3， ， 方程两边同乘以（y+3），得2﹣y﹣3＝m， 解得y＝﹣m﹣1， ∵关于x的分式方程有增根， ∴﹣m﹣1＝﹣3， 解得m＝2， ∴不等式mx≥x+m为2x≥x+2， 解得x≥2， ∴x＝2和3是不等式的解， ∴不等式组的整数解x是不等式mx≥x+m的解的概率为． 故答案为：． 22．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于 　7.8　 ． 【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接PC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OBBD8＝4，AB＝BC＝CD＝5， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA3， ∴OC＝OA＝3， ∵PE⊥BC，PF⊥CD，S△BCP+S△CDP＝S△BCD， ∴BC•PECD•PFBD•OC， ∴5PE+5PF＝8×3， 解得：PE+PF＝4.8， 即PE+PF的值为定值4.8， 当PA最小时，PE+PA+PF有最小值， ∵当PA⊥BD时，PA的最小值＝OA＝3， ∴PE+PA+PF的最小值＝4.8+3＝7.8， 故答案为：7.8． 23．如图，在矩形ABCD 中，点E为CD中点，连接AE，将△ADE 沿直线AE翻折到矩形ABCD所在的平面内，得△AFE，延长AF交BC于点G，延长EF交AB于点K，交CB延长线于点H，连接CF，若AB＝12，AD＝9，则KF＝　　 ，　　 ． 【解答】解：设KF＝x， ∵E为CD中点，CD＝AB＝12， ∴DE＝CE＝6， 由翻折可得：EF＝DE＝6，AF＝AD＝9，∠D＝∠AFE＝90°＝∠AFK，∠AED＝∠AEF， ∴EK＝EF+KF＝6+x， ∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠EAK， ∴∠AEF＝∠EAK， ∴AK＝EK＝6+x， ∵KF2+AF2＝AK2， ∴x2+92＝（6+x）2， 解得x， ∴KF， 以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作MN∥BC交AB于M，交CD于N，如图： ∵KF， ∴EK＝KF+EF6AK， ∵2S△AKF＝AF•KF＝AK•FM， ∴FM， ∴AM， ∴BM＝AB﹣AM＝12， ∴F（，）， ∵BC＝9，CE＝6， ∴C（9，0），E（9，6）， ∴CF， 由E（9，6），F（，）可得直线EF解析式为yx， 令y＝0得x， ∴H（，0）， ∴FH， ∴； 故答案为：，． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上中点，E为直线BC上一点，连接AE． （1）如图1，若AE＝BE＝2，AC＝CE，求线段DE的长度； （2）如图2，若∠AEC＝60°，点F为边AE上一点，且∠FCE＝∠BAE，连接FD并延长至点G，使DG＝FD，连接CF、CG．请猜想线段BC、AF、CG之间的数量关系，并证明你的猜想； 【解答】解：（1）设DE＝a，则BD＝BE+DE＝a+2， ∵点D是BC的中点， ∴CD＝BD＝a+2，BC＝2BD＝2a+4， ∵AB＝AC＝AE，AE＝CD+DE＝2a+2， ∴AB＝2a+2，∠B＝∠C， ∵AE＝BE， ∴∠BAE＝∠B， ∴∠BAE＝∠C， ∵∠B＝∠B， ∴△ABE∽△CBA， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴DE； （2）如图1， 连接BE，延长AE至H，使AH＝BC，连接BH，BG， 设∠FCE＝∠BAE＝α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠AEC﹣∠BAE＝60°﹣α， ∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCE＝60°﹣2α， ∵∠AFC＝∠AEC+∠FCE＝60°+α， ∴∠CAF＝180°﹣∠AFC﹣∠ACF＝180°﹣（60°+α）﹣（60°﹣2α）＝60°+α， ∴∠CAF＝∠AFC， ∴AC＝CF， ∵AB＝AC， ∴CF＝AB， ∴△ABH≌△CFB（SAS）， ∴BH＝BF，∠H＝∠CBF， ∴∠H＝∠BFE， ∴∠CBF＝∠BFE， ∵∠CBF+∠BFE＝∠AEC＝60°， ∴∠BFE＝60°， ∴∠H＝∠BFE＝30°， ∴FHBF， ∵DG＝DF，BD＝CD， ∴四边形BGCF是平行四边形， ∴CG＝BF， ∵AF+FH＝AH， ∴AFCG＝BC； 25．（10分）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品10件与B商品20件共170元，采购A商品20件与B商品30件共280元． （1）求A，B商品每件进价分别是多少元？ （2）若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的8折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元，求商店至少购进A商品多少件？ （3）若采购这140件商品的费用不低于720元，不高于740元．然后将A商品每件加价2a元销售，B商品每件加价3a元销售，140件商品全部售出的最大利润为768元，请直接写出a的值． 【解答】解：（1）设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元， 依题意得： ， 解得： ． 答：A商品每件的进价为5元，B商品每件的进价为6元； （2）设至少购进A商品a件，可得： （a﹣20）×10+（140﹣a+20）×0.8×10﹣5a﹣6（140﹣a）≥360， 解得：a≥40． 答：至少购进A商品40件； （3）设销售利润为w元，购进A商品m件，则B商品（140﹣m）件， 根据题意得720≤5m+6（140﹣m）≤740， 解得100≤m≤120， ∴w＝2am+3a（140﹣m）＝﹣am+420a， ∵a为正数， ∴﹣a＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝100时，w取得最大值，最大值为﹣a×100+420a＝768， ∴a＝2.4． 答：a的值为2.4． 26．（12分）阅读以下材料： 【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF． （1）BE与DF之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形ABCD中，E是CD边上一点，将△BED沿BE翻折得到△BED′，延长DD′交BC延长线于点F．线段DF与BE具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，E是AB上一点，DE绕点E顺时针旋转90°得FE，AE绕点E顺时针旋转90°得GE，当BE＝2AE时，求四边形CFHG的面积． 【解答】解：（1）BE＝DF，BE⊥DF，理由如下，如图1， 延长BE交DF于点H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°， ∵CE＝CF， ∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF，∠CDF＝∠CBE， 在△DHE和△BCE中， ∵∠DEH＝∠BEC， ∴∠DHE＝∠BCE＝90°，即BE⊥DF； （2），DF⊥BE，理由如图下，如图2，延长BE交DF于H， 由折叠得，点D与点D′关于BE对称， ∴BE⊥DD′，即BE⊥DF， ∴∠DHE＝∠BCE＝90°， 在△DHE和△BCE中， ∵∠DEH＝∠BEC， ∴∠CDF＝∠CBE， ∵∠BCD＝∠DCF， ∴△BCE∽△CDF， ∴DF：BE＝CD：BC＝3：4，即； （3）如图3，连接FG并延长交AD于点T，交DE于S，过E作MN⊥BC于N，交DA的延长线于M， 由旋转得，AE＝EG，DE＝EF，∠AEG＝∠DEF＝90°， ∴∠AED＝∠GEF， ∴△ADE≌△EGF（SAS）， ∴GF＝AD＝6， ∠ADE＝∠EFG， 在△TSD和△EFS中， ∵∠ESF＝∠TSD， ∴∠DTS＝∠FES＝90°， ∵AD∥BC， ∴GF⊥BH， ∵AB＝6，BE＝2AE， ∴AE＝2，BE＝4， ∵∠B＝60°， ∴BN＝2， ∴EN2， ∵AD∥BC， ∴∠MAE＝60°， ∴AM＝1，MD＝6+1＝7， ∴ME，MN⊥BC， ∴∠NHE+∠NEH＝90°， ∵∠NEH+∠MED＝90°， ∴∠EHN＝∠MED， ∵∠EMD＝∠ENH＝90°， ∴△MED∽△EHN， ∴NH：ME＝EN：MD，即NH：2：7， ∴NH， ∴HC＝6﹣2， ∴S四边形CFHGHC•GF6． 学科网（北京）股份有限公司 $