2.1.1 有理数的加法 导学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“有理数的加法”，核心内容包括定义、法则、运算律及应用。通过生活实例（如温度变化）导入，衔接小学正数加法，以法则步骤分解（确定符号、绝对值运算）和运算技巧（相反数结合等）为支架，帮助学生构建知识体系。 资料亮点在于强化数学与生活的联系，典型例题及变式题（温度、海拔、折返跑）引导学生用数学眼光观察现实世界。运算步骤的逻辑分解培养运算能力与推理意识，字母表示运算律体现数学语言的精确表达，助力学生形成有条理的思维品质，提升解决实际问题的能力。

2.1.1 有理数的加法 【学习目标】 1.掌握有理数加法的定义、法则及运算律，学会使用运算律简化运算; 2.联系生活, 掌握有理数加法在生活中的应用. 【知识梳理】 知识点一、有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法. 2.法则： （1）同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和； 例: （2）绝对值不相等的异号两数相加, 和取绝对值较大的加数的符号, 且和的绝对值等于加数的绝对值较大者与较小者的差, 减去较小的绝对值. 互为相反数的两个数相加得0； 例: （3）一个数与0相加,仍得这个数. 注意：利用法则进行有理数加法运算的步骤： (1)确定两个加数的符号是同号、异号, 还是有一个加数为0. (2)确定和的符号(是“+?、是“－”?)． (3)求各加数的绝对值, 依据加法法则计算绝对值的差或和. 3.运算律： 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加, 交换加数的位置, 和不变. a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加, 先把前两个数相加, 或者先把后两个数相加, 和不变. (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 注意：交换加数的位置时，不要忘记符号． 4.有理数加法的运算技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 【典型例题】 类型一、有理数的加法法则 1. 计算： (1)(+20)+(+12)； (2)+； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0. 举一反三： 【变式1】计算的结果是 A.2 B.-2 C.8 D.-8 【变式2】若x的相反数是3,,且x+y＜0, 则x+y的值是 【变式3】小亮在解题时，将式子(-5)+(-7)+5+(-4)先变成[(-5) +5]+[(-7)+(-4)]再计算结果，则小亮运用了 A.加法的交换律和结合律 B.加法的交换律 C.加法的结合律 D.无法判断 【变式4】(1)-2.4+(-3.7)+(-4.6)+5.7 (2) (3) 类型二、有理数加法的应用 1. 小亮家的冰箱冷冻室的温度是-5℃, 调高2℃后的温度是____℃. 举一反三： 【变式1】已知A地的海拔为-35米,而B地比A地高10米,则B的海拔为___米. 【变式2】一架直升机从海拔1000米的高原上起飞,第一次上升了1500米,第二次上升的-1200米，第三次上升了2100米,第四次上升了-1700米,此时这架飞机离海平面____米. 【变式3】一名足球守门员练习折返跑,从球门线出发,向前为正,返回为负,他的记录(单位:米)如下:+5, -3, +10,-8, +4, -6, +8, -10. (1)守门员最后是否回到了球门线的位置? (2)在练习过程中,守门员离球门线的最远距离是多少米? (3)守门员全部练习结束后,他共跑了多少米? 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1 有理数的加法 分层作业 【基础练习】 一、选择题 1. 计算  的结果是（ ） A. -5 B. 5 C. -1 D. 1 2. 计算  的结果是（ ） A. -10 B. 0 C. 10 D. -5 3. 计算  的结果是（ ） A. -1 B. 1 C. -5 D. 5 4. 一个数与0相加，其结果是（ ） A. 0 B. 这个数本身 C. 相反数 D. 无法确定 5. 在数轴上，点A表示-2，点B表示3，则点A向右移动3个单位长度后表示的数是（ ） A. -5 B. 1 C. 5 D. -1 6. 下列运算正确的是（ ） A.   B.  C.   D.  7. 某地早晨气温为 ，中午气温上升了 ，中午气温是（ ） A.   B.   C.   D.  8. 计算  的结果是（ ） A.   B.   C.   D.  二、填空题 9. 同号两数相加，取________的符号，并把绝对值________。 10. 计算： ________。 11. 计算： ________。 12. 绝对值不大于3的所有整数的和是________。 三、解答题 13. 计算下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 14. 某足球队在一场比赛中，上半场输2球，下半场赢3球，该队全场比赛净胜球数为多少？请列出算式并计算结果。 【能力提升】 一、选择题 1. 计算  的结果是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 2. 已知 ，，且 ，则  的值为（ ） A. 1 B. -5 C. 1 或 -5 D. -1 或 5 3. 若 ，且  异号，则下列说法一定正确的是（ ） A.  B. 正数的绝对值较大 C. 负数的绝对值较大 D.  4. 若  是绝对值最小的数， 是最大的负整数，则  的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 不存在 5. 下列各式计算正确的是（ ） A.  B.  C.  D.  6. 已知  在数轴上的位置如图所示，且 ，则下列结果正确的是（ ） A.   B.   C.   D.  7. 若  与  互为相反数，则  的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -5 D. 5 8. 某天股票A开盘价8元，上午跌了1.5元，下午收盘时涨了0.8元，则股票A这天的收盘价为（ ） A. 7.3元 B. 6.7元 C. 9.3元 D. 8.7元 二、填空题 9. 运用加法运算律计算： ________。 10. 若  互为相反数，则  ________。 11. 已知  是方程  的解，则  的相反数是 ________。 12. 观察下列算式：，，，……，请写出第  个算式：________，该算式的结果为 ________。 三、解答题 13. 简便运算： (1) ； (2) 。 14. 综合应用： 检修小组从A地出发，在东西走向的马路上检修线路。如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某天的行驶记录如下（单位：千米）： 。 (1) 求检修小组最后在A地的什么方向，距离A地多远？ (2) 若每千米耗油0.2升，这天共耗油多少升？ 参考答案 【基础练习】 参考答案 一、选择题 1. A （解析：同号两数相加，取相同的符号，，结果为。） 2. B （解析：互为相反数的两个数相加得0。） 3. A （解析：异号两数相加，取绝对值较大的符号，，取负号，再用 ，结果为。） 4. B （解析：一个数同0相加，仍得这个数。） 5. B （解析：即计算 。） 6. C （解析：A项结果为 ；B项结果为；D项结果为，只有C项正确。） 7. A （解析：。） 8. C （解析：同分母分数相加，通分得 。） 二、填空题 9. 相同；相加 10. -3 （解析：异号相加，，取负号，。） 11. 1 （解析：异号相加，，取正号，。） 12. 0 （解析：绝对值不大于3的整数有：。利用对称性，互为相反数的两数相加为0，总和为0。） 三、解答题 13. 解： (1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。 14. 解： 根据题意，输球记为负，赢球记为正。 列式为：。 计算：。 答：该队全场比赛净胜球数为1球。 【能力提升】 一、选择题 1. A （解析：运用交换律和结合律，，剩下 。） 2. C  3. C （解析：异号两数相加，结果的符号由绝对值较大的加数决定。因为和为负，故负数的绝对值较大。） 4. A （解析：，，所以。） 5. C  6. D  7. A （解析：互为相反数且含绝对值，则，解得，。） 8. A （解析：。） 二、填空题 9. 0 （解析：利用交换律，正数与负数对应相加，和为0。） 10. 2024 （解析：互为相反数的两数和为0） 11. -7 （解析：，其相反数为。） 12. ；-1 （解析：第n个奇数为 ，其后紧跟负偶数 ，和为 -1。） 三、解答题 13. 解： (1) 原式  。 (2) 原式   （或 ）。 14.解： (1)  （千米）。 答：检修小组最后在A地的正西方向，距离A地7千米。 (2) 行驶总路程  （千米）。 耗油量：（升）。 答：这天共耗油9升。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1 有理数的加法 【学习目标】 1.掌握有理数加法的定义、法则及运算律，学会使用运算律简化运算; 2.联系生活, 掌握有理数加法在生活中的应用. 【知识梳理】 知识点一、有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法. 2.法则： （1）同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和； 例: （2）绝对值不相等的异号两数相加, 和取绝对值较大的加数的符号, 且和的绝对值等于加数的绝对值较大者与较小者的差, 减去较小的绝对值. 互为相反数的两个数相加得0； 例: （3）一个数与0相加,仍得这个数. 注意：利用法则进行有理数加法运算的步骤： (1)确定两个加数的符号是同号、异号, 还是有一个加数为0. (2)确定和的符号(是“+?、是“－”?)． (3)求各加数的绝对值, 依据加法法则计算绝对值的差或和. 3.运算律： 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加, 交换加数的位置, 和不变. a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加, 先把前两个数相加, 或者先把后两个数相加, 和不变. (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 注意：交换加数的位置时，不要忘记符号． 4.有理数加法的运算技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 【典型例题】 类型一、有理数的加法法则 1. 计算： (1)(+20)+(+12)； (2)+； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0. 解析：(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32； (2) +== (3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9 (4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9 (5)(-2.9)+(+2.9)＝0； (6)(-5)+0＝-5． 故答案:(1)32; (2); (3) -9; (4)0.9; (5)0; (6)-5. 举一反三： 【变式1】计算的结果是 A.2 B.-2 C.8 D.-8 解析：根据数有理数的加法法则，即可求解： ∴ 故答案:-2. 【变式2】若x的相反数是3,,且x+y＜0, 则x+y的值是 A.3 B.3或-9 C.-3或-9 D.-9 解析：∵x的相反数是3,|y|=6 ∴x=-3, y=±6 ∵x+y＜0 ∴x=-3,y=-6 ∴x+y=(-3)+(-6)=-9 故答案:D. 【变式3】小亮在解题时，将式子(-5)+(-7)+5+(-4)先变成[(-5) +5]+[(-7)+(-4)]再计算结果，则小亮运用了 A.加法的交换律和结合律 B.加法的交换律 C.加法的结合律 D.无法判断 解析：根据有理数加法运算律可得到答案. 故答案:A. 【变式4】(1)-2.4+(-3.7)+(-4.6)+5.7 (2) (3) 解析：(1)-2.4+(-3.7)+(-4.6)+5.7 =[-2.4+(-4.6)]+[-3.7+5.7] =-7+2 =-5 (2) =[+]+13+17 =-1+30 +29 (3) =+++ =[+]+(+) =-10+10 =0 故答案:(1)-5; (2)29; (3)0. 类型二、有理数加法的应用 1. 小亮家的冰箱冷冻室的温度是-5℃, 调高2℃后的温度是____℃. 解析：根据题意得：-5+2=-3(℃) ∴调高2℃后的温度是﹣3℃. 故答案: -3. 举一反三： 【变式1】已知A地的海拔为-35米,而B地比A地高10米,则B的海拔为___米. 解析： ∵A地的海拔为﹣35米,而B地比A地高10米. ∴B地的海拔为：-35+10=-25 故答案: -25. 【变式2】一架直升机从海拔1000米的高原上起飞,第一次上升了1500米,第二次上升的-1200米，第三次上升了2100米,第四次上升了-1700米,此时这架飞机离海平面____米. 解析：1000+1500+(-1200)+2100+(-1700) =(1000+1500+2100)+(-1200-1700) =4600+(-2900) =1700 故答案:1700. 【变式3】一名足球守门员练习折返跑,从球门线出发,向前为正,返回为负,他的记录(单位:米)如下:+5, -3, +10,-8, +4, -6, +8, -10. (1)守门员最后是否回到了球门线的位置? (2)在练习过程中,守门员离球门线的最远距离是多少米? (3)守门员全部练习结束后,他共跑了多少米? 解析： （1）(＋5)＋(-3)＋(＋10)＋(-8)＋(＋4)＋(-6)＋(＋8)＋(-10) ＝［(＋10)＋(-10)］＋［(-8)＋(＋8)］＋［(＋5)＋(＋4)］＋［(-3)＋(-6)］＝0＋0＋9＋(-9) ＝0（米） 答：守门员最后回到了球门线的位置. （2）由观察，可知在练习过程中，守门员离球门线的最远距离是: (＋5)＋(-3)＋(＋10)＝12（米） 答：在练习过程中，守门员离球门线的最远距离是12米. （3）|+5|＋|-3|＋|+10|＋|-8|＋|+4|＋|-6|＋|+8|＋|-10| ＝54（米） 答：守门员全部练习结束后，他共跑了54米. 学科网（北京）股份有限公司 $