专题01 集合的概念（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以9大题型为框架，融合概念辨析、参数求解与创新应用，通过“定义-方法-典例-变式”四层结构构建集合概念完整认知体系，突出互异性验证、参数分类讨论等核心方法，培养抽象能力与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的含义|1典例+3变式|元素三特征（确定性/互异性/无序性）判断|从集合定义出发，通过反例强化概念理解| |元素与集合关系|1典例+3变式|直接法（元素匹配）/推理法（特征验证）|衔接常用数集符号，建立元素归属判断框架| |参数问题|2题型（元素关系/个数）4典例+6变式|互异性核验+边界分类讨论（空集/系数为0）|从元素属性到集合特征，深化方程与集合交叉应用| |表示方法/创新题|3题型（表示法/新定义/开放题）3典例+9变式|列举法（有限集）/描述法（无限集）/新定义迁移|从基础表示到创新情境，提升数学语言表达与探究能力|

专题01 集合的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 集合的含义 1 题型02 判断元素与集合的关系 2 题型03 数集与点集的辨析 4 题型04 由元素与集合关系求参数 5 题型05 判断集合中元素的个数 6 题型06 由集合中元素个数求参数 7 题型07 集合的表示方法 7 题型08 集合中的新定义题 10 题型09 集合中的开放探究题 11 ▌题型01 集合的含义 1．元素 把 统称为元素.（用小写字母表示：） 2．集合 把 叫做集合.（用大写字母表示：） 3．元素的特征 确定性、 、无序性. 求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性. 【典例1】（多选）25-26高一上·江西南昌·期中）下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】BD 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 【变式1-1】（26-27高一上·广东广州·期中）下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【变式1-2】下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】 (多选)（25-26高一上·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 ▌题型02 判断元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 _______ a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 _____ a不属于集合A 2．常用数集 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 3．判断元素与集合的关系的方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出或容易求得，则利用直接法判断元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：①对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． ②利用推理法判断一个对象是不是某个集合的元素，首先要明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合的元素要符合哪种表达式或满足哪种条件，然后判断此对象是否也具有这种属性，从而确定该元素与已知集合的关系. 【典例2】已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 【变式2-1】下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】以下表示元素与集合的关系中正确的是 ( ) A. B. C. D. 【变式2-3】（多选）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. ▌题型03 数集与点集的辨析 一般地，数集的代表元素用一个字母表示，点集或二元一次方程组的解集的代表元素用有序实数对表示. 【典例3】下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}． 能表示方程组的解集的是 (　　) A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤ C．②⑤ D．②⑤⑥ 【答案】C 【分析】二元方程组的解是一对数，应用有序实数对表示. 【详解】方程组的解是 故选C. 【变式3-1】 (多选)有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组的解集的是（    ） A．或 B． C． D． 【变式3-2】（多选）下列关于集合的描述，正确的是（   ） A．偶数集用描述法可以表示为 B．方程组的解集可表示为 C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为 D．集合与集合没有公共元素 ▌题型04 由元素与集合关系求参数 由元素与集合关系求参数问题的解题策略 1.先明确集合属性：先确定集合是数集、点集等类型，厘清集合元素的约束规则. 2.根据关系列条件：元素属于集合时，直接代入元素特征式列等式/不等式；元素不属于集合时，代入后取相反条件. 3.必验元素互异性：所有求出的参数必须回代集合检验，剔除导致元素重复的无效值. 4.补查边界场景：若集合本身含参数，优先验证空集、系数为0等特殊边界，避免漏解. 【典例4】（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【变式4-1】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式4-3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________． ▌题型05 判断集合中元素的个数 确定集合中元素的个数的方法是枚举法，即逐一列举出它的所有元素，其中重复的元素只能算一个，最终再统计出元素总的个数. 【典例5】（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 【变式5-1】（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【变式5-2】已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 ▌题型06 由集合中元素个数求参数 由集合元素个数求参数解题策略 1．优先验证互异性：先根据条件算出参数的初步候选值，逐一代回集合核对元素是否重复，直接剔除增根. 2．单独讨论空集：若题目给出集合元素个数为0，必须优先单独分析空集对应的参数情况，避免漏解. 3．边界值回代验证：和方程、不等式结合的题型，锁定参数范围后回代边界值核验，避免错判集合的端点. 【典例6】（25-26高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得，所以或.故选：C 【变式6-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，若集合中没有元素，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【变式6-3】若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . ▌题型07 集合的表示方法 1．列举法 (1)定义：列举法是把集合中的元素 出来写在花括号“{　}”内表示集合的方法. (2)书写形式：一般用集合表示为. 温馨提示：运用列举法表示集合，应注意： (1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替； (2)元素不重复； (3)元素间无顺序； (4)“{　}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略 2．描述法 (1)定义：通过 表示集合的方法叫作描述法． (2)书写形式： ． 温馨提示：用描述法表示集合，应注意： (1)应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． (2)若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． (3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 3．集合的常用表示方法的选择 (1)列举法适合表示有限集，当集合中的元素个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且使人一目了然. 但对于元素较多的有限集，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，此时常用省略号来表示多个元素. (2)用描述法表示的集合，认识它一要看集合中竖线左边代表元素是什么形式;二要看竖线右边元素满足什么条件.对无限集(集合中元素个数无限)或元素较多的有限集宜用描述法表示. 【典例7】用适当的方法表示下列集合: (1)整数中由所有非负奇数组成的集合； (2)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合； (4) 方程x2-4x+16=0的实数解组成的集合. (5)方程组的实数解集. 【答案】见详解 【分析】表示集合的方法未事先给定，可自由选择表示方法，关键是弄清集合中元素所具有的属性是什么. 【详解】(1)整数中非负奇数有无数多个，因此宜用描述法，可表示为：. (2) 小于10的既是奇数又是质数的自然数只有2,3,5,7，个数较少，且限制条件多，因此宜用列举法，可表示为：. (3)平面直角坐标系内第三象限的点有无数个，且横坐标为负，纵坐标为负，因此宜用描述法，可表示为：. (4)方程无实数解，故该集合为空集，无法列举，故宜用描述法，可表示为. (5) 方程组的解为为一个有序实数对，故用列举法表示为{(1,1)},用描述法表示为. 【变式7-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【变式7-3】（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. ▌题型08 集合中的新定义题 解决集合中的新定义题，要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求逐步分析、运算、验证，使问题得以解决 【典例8】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 【变式8-1】（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-2】（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·安徽蚌埠·模拟）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． ▌题型09 集合中的开放探究题 集合离不开元素,元素是集合的核心，因此解决有关集合中的探索性问题时，可以从集合中的元素入手，作为解题的切入口，同时还需注意集合中元素的互异性. 【典例9】已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则. （1）若，求出A中其它所有元素； （2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的所有元素？ 【答案】（1）；（2）见详解. 【分析】由a的值，求出,再将所求得的的值视作a,继续代入表达式进行求解. 【详解】(1)由，则， 又由，得, 再由得，而，得， 故中元素为． (2) 0不是A的元素．若，则， 而当时，不存在，故0不是A的元素．取，可得． 【变式9-1】已知数集M同时满足以下条件：① M中不含元素－1，0，1；② 若a∈M，则 ∈M.则下列结论正确的是（ ） A.集合M中至多有2个元素 B.集合M中至多有3个元素 C.集合M中至少有4个元素 D.集合M中有无穷多个元素 【变式9-2】已知集合，写出一个满足集合至少有5个元素的的值： ． 【变式9-3】设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A； (2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 集合的含义 1 题型02 判断元素与集合的关系 3 题型03 数集与点集的辨析 5 题型04 由元素与集合关系求参数 6 题型05 判断集合中元素的个数 8 题型06 由集合中元素个数求参数 10 题型07 集合的表示方法 11 题型08 集合中的新定义题 14 题型09 集合中的开放探究题 15 ▌题型01 集合的含义 1．元素 把研究的对象统称为元素.（用小写字母表示：） 2．集合 把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母表示：） 3．元素的特征 确定性、互异性、无序性. 求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性. 【典例1】（多选）25-26高一上·江西南昌·期中）下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】BD 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 【变式1-1】（26-27高一上·广东广州·期中）下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 【变式1-2】下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】（1）一元一次方程 的实数解为，为有限集； （2）能被5整除的全体整数（末位是0或5的整数均可）有无数个，为无限集； （3）一周所有星期名称共7个，为有限集； （4）正奇数有无数个，为无限集. 所以有限集有2个. 【变式1-3】(多选)（25-26高一上·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 【答案】AD 【分析】利用集合的定义及集合中元素特征，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以A正确； 对于B，因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故B错误； 对于C，因为不大于的自然数有，则由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，故C错误； 对于D，因为，，所以数，，，，组成的集合中有5个元素，则D正确. 故选：AD. ▌题型02 判断元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 aA a不属于集合A 2．常用数集 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 3．判断元素与集合的关系的方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出或容易求得，则利用直接法判断元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：①对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． ②利用推理法判断一个对象是不是某个集合的元素，首先要明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合的元素要符合哪种表达式或满足哪种条件，然后判断此对象是否也具有这种属性，从而确定该元素与已知集合的关系. 【典例2】已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 【变式2-1】下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 【变式2-2】以下表示元素与集合的关系中正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】各选项中的元素都为具体的数或数对，与集合的关系一目了然，可直接判断. 【详解】，A错误;3.14是有理数,B错误;是有序实数对，而此集合中的元素应为单个的数，不符合此集合中元素的特征， C错误；,符合此集合中元素的特征，D正确. 【变式2-3】（多选）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. ▌题型03 数集与点集的辨析 一般地，数集的代表元素用一个字母表示，点集或二元一次方程组的解集的代表元素用有序实数对表示. 【典例3】下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}． 能表示方程组的解集的是 (　　) A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤ C．②⑤ D．②⑤⑥ 【答案】C 【分析】二元方程组的解是一对数，应用有序实数对表示. 【详解】方程组的解是 故选C. 【变式3-1】 (多选)有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组的解集的是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】BD 【分析】先求出方程组的解，再利用集合表示判断即可. 【详解】由， 得， 解集用集合表示为：或. 故选：BD 【变式3-2】（多选）下列关于集合的描述，正确的是（   ） A．偶数集用描述法可以表示为 B．方程组的解集可表示为 C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为 D．集合与集合没有公共元素 【答案】AC 【分析】对A根据偶数特点即可判断；对B，代入即可判断；对C，直接解出一元二次方程即可；对D，分别得出他们均表示集合即可判断. 【详解】对A，根据偶数的特点和描述法的特征知偶数用描述法可以表示为，故A正确； 对B，若，则不适合第二个方程， 若，则不适合第一个方程，故B错误； 对C，，解得或，则用列举法可表示为，故C正确； 对D，，，故它们有无数个公共元素，则D错误. 故选：AC. ▌题型04 由元素与集合关系求参数 由元素与集合关系求参数问题的解题策略 1.先明确集合属性：先确定集合是数集、点集等类型，厘清集合元素的约束规则. 2.根据关系列条件：元素属于集合时，直接代入元素特征式列等式/不等式；元素不属于集合时，代入后取相反条件. 3.必验元素互异性：所有求出的参数必须回代集合检验，剔除导致元素重复的无效值. 4.补查边界场景：若集合本身含参数，优先验证空集、系数为0等特殊边界，避免漏解. 【典例4】（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【变式4-1】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 【变式4-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由，则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意，所以.故选B 【变式4-3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. ▌题型05 判断集合中元素的个数 确定集合中元素的个数的方法是枚举法，即逐一列举出它的所有元素，其中重复的元素只能算一个，最终再统计出元素总的个数. 【典例5】（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 【变式5-1】（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 【变式5-2】已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素具有互异性的性质，即可做出判断. 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 【变式5-3】（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围， 然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则， 解得； 当时，， 此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. ▌题型06 由集合中元素个数求参数 由集合元素个数求参数解题策略 1．优先验证互异性：先根据条件算出参数的初步候选值，逐一代回集合核对元素是否重复，直接剔除增根. 2．单独讨论空集：若题目给出集合元素个数为0，必须优先单独分析空集对应的参数情况，避免漏解. 3．边界值回代验证：和方程、不等式结合的题型，锁定参数范围后回代边界值核验，避免错判集合的端点. 【典例6】（25-26高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得，所以或.故选：C 【变式6-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，若集合中没有元素，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，易知， 当时，若集合为空集，则故选：B 【变式6-2】（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 【变式6-3】若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. ▌题型07 集合的表示方法 1．列举法 (1)定义：列举法是把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{　}”内表示集合的方法. (2)书写形式：一般用集合表示为. 温馨提示：运用列举法表示集合，应注意： (1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替； (2)元素不重复； (3)元素间无顺序； (4)“{　}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略 2．描述法 (1)定义：通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法． (2)书写形式：{x及x的范围|x满足的条件}． 温馨提示：用描述法表示集合，应注意： (1)应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． (2)若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． (3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 3．集合的常用表示方法的选择 (1)列举法适合表示有限集，当集合中的元素个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且使人一目了然. 但对于元素较多的有限集，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，此时常用省略号来表示多个元素. (2)用描述法表示的集合，认识它一要看集合中竖线左边代表元素是什么形式;二要看竖线右边元素满足什么条件.对无限集(集合中元素个数无限)或元素较多的有限集宜用描述法表示. 【典例7】用适当的方法表示下列集合: (1)整数中由所有非负奇数组成的集合； (2)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合； (4) 方程x2-4x+16=0的实数解组成的集合. (5)方程组的实数解集. 【答案】见详解 【分析】表示集合的方法未事先给定，可自由选择表示方法，关键是弄清集合中元素所具有的属性是什么. 【详解】(1)整数中非负奇数有无数多个，因此宜用描述法，可表示为：. (2) 小于10的既是奇数又是质数的自然数只有2,3,5,7，个数较少，且限制条件多，因此宜用列举法，可表示为：. (3)平面直角坐标系内第三象限的点有无数个，且横坐标为负，纵坐标为负，因此宜用描述法，可表示为：. (4)方程无实数解，故该集合为空集，无法列举，故宜用描述法，可表示为. (5) 方程组的解为为一个有序实数对，故用列举法表示为{(1,1)},用描述法表示为. 【变式7-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】得，故集合为 故选：C 【变式7-2】（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 【变式7-3】（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. ▌题型08 集合中的新定义题 解决集合中的新定义题，要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求逐步分析、运算、验证，使问题得以解决 【典例8】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 【变式8-1】（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 【变式8-2】（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的定义求解即可. 【详解】且，因为， 对于，所以；对于，所以； 则， 故选：C. 【变式8-3】（2026·安徽蚌埠·模拟）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D ▌题型09 集合中的开放探究题 集合离不开元素,元素是集合的核心，因此解决有关集合中的探索性问题时，可以从集合中的元素入手，作为解题的切入口，同时还需注意集合中元素的互异性. 【典例9】已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则. （1）若，求出A中其它所有元素； （2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的所有元素？ 【答案】（1）；（2）见详解. 【分析】由a的值，求出,再将所求得的的值视作a,继续代入表达式进行求解. 【详解】(1)由，则， 又由，得, 再由得，而，得， 故中元素为． (2) 0不是A的元素．若，则， 而当时，不存在，故0不是A的元素．取，可得． 【变式9-1】已知数集M同时满足以下条件：① M中不含元素－1，0，1；② 若a∈M，则 ∈M.则下列结论正确的是（ ） A.集合M中至多有2个元素 B.集合M中至多有3个元素 C.集合M中至少有4个元素 D.集合M中有无穷多个元素 【答案】C 【详解】由条件②可知，当a=x∈M时， 同理可得由即此时互不相等，此时M中有4个元素，类似地，a=－x∈M时，可证得此时M中有8个元素,因此集合M中至少有4个元素.故选C. 【变式9-2】已知集合，写出一个满足集合至少有5个元素的的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】取一个满足题目要求的的值即可. 【详解】当时，， 此时满足题目要求， 【变式9-3】设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A； (2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质. 【答案】(1)；(2)证明见详解 【分析】（1）根据题意直接写出即可； （2）根据性质可知，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可． 【详解】（1）由，可得恰含有两个元素且具有性质的集合； （2）若集合A具有性质，不妨设， 由非空数集A具有性质，有． ①若，易知此时集合A具有性质． ②若实数集A只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合A具有性质． ③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合A具有性质， 所以有，这说明集合A具有性质； 综合以上可知集合A具有性质. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合的概念 （题型突破·举一反三） ▌题型01 集合的含义 【典例1】 【答案】BD 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 【变式1-1】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 【变式1-2】C 【详解】（1）一元一次方程 的实数解为，为有限集； （2）能被5整除的全体整数（末位是0或5的整数均可）有无数个，为无限集； （3）一周所有星期名称共7个，为有限集； （4）正奇数有无数个，为无限集. 所以有限集有2个. 【变式1-3】【答案】AD 【分析】利用集合的定义及集合中元素特征，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以A正确； 对于B，因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故B错误； 对于C，因为不大于的自然数有，则由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，故C错误； 对于D，因为，，所以数，，，，组成的集合中有5个元素，则D正确. 故选：AD. ▌题型02 判断元素与集合的关系 【典例2】C 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 【变式2-1】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 【变式2-2】D 【分析】各选项中的元素都为具体的数或数对，与集合的关系一目了然，可直接判断. 【详解】表示空集，没有任何元素，故0不是的元素，A错误;3.14是有理数,B错误;是有序实数对，而此集合中的元素应为单个的数，不符合此集合中元素的特征， C错误；,符合此集合中元素的特征，D正确. 【变式2-3】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. ▌题型03 数集与点集的辨析 【典例3】C 【分析】二元方程组的解是一对数，应用有序实数对表示. 【详解】方程组的解是 故选C. 【变式3-1】BD 【分析】先求出方程组的解，再利用集合表示判断即可. 【详解】由， 得， 解集用集合表示为：或. 故选：BD 【变式3-2】AC 【分析】对A根据偶数特点即可判断；对B，代入即可判断；对C，直接解出一元二次方程即可；对D，分别得出他们均表示集合即可判断. 【详解】对A，根据偶数的特点和描述法的特征知偶数用描述法可以表示为，故A正确； 对B，若，则不适合第二个方程， 若，则不适合第一个方程，故B错误； 对C，，解得或，则用列举法可表示为，故C正确； 对D，，，故它们有无数个公共元素，则D错误. 故选：AC. 【典例4】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【变式4-1】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 【变式4-2】B 【详解】由，则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意，所以.故选B 【变式4-3】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. ▌题型05 判断集合中元素的个数 【典例5】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 【变式5-1】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 【变式5-2】C 【分析】根据集合中元素具有互异性的性质，即可做出判断. 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 【变式5-3】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. ▌题型06 由集合中元素个数求参数 【典例6】C 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得，所以或.故选：C 【变式6-1】B 【详解】当时，易知， 当时，若集合为空集，则故选：B 【变式6-2】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 【变式6-3】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. ▌题型07 集合的表示方法 【典例7】 【答案】见详解 【分析】表示集合的方法未事先给定，可自由选择表示方法，关键是弄清集合中元素所具有的属性是什么. 【详解】(1)整数中非负奇数有无数多个，因此宜用描述法，可表示为：. (2) 小于10的既是奇数又是质数的自然数只有2,3,5,7，个数较少，且限制条件多，因此宜用列举法，可表示为：. (3)平面直角坐标系内第三象限的点有无数个，且横坐标为负，纵坐标为负，因此宜用描述法，可表示为：. (4)方程无实数解，故该集合为空集，无法列举，故宜用描述法，可表示为. (5) 方程组的解为为一个有序实数对，故用列举法表示为{(1,1)},用描述法表示为. 【变式7-1】C 【详解】得，故集合为 故选：C 【变式7-2】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 【变式7-3】 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. ▌题型08 集合中的新定义题 【典例8】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 【变式8-1】C 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 【变式8-2】C 【分析】根据题中的定义求解即可. 【详解】且，因为， 对于，所以；对于，所以； 则， 故选：C. 【变式8-3】D 【分析】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D ▌题型09 集合中的开放探究题 【典例9】 【答案】（1）；（2）见详解. 【分析】由a的值，求出,再将所求得的的值视作a,继续代入表达式进行求解. 【详解】(1)由，则， 又由，得, 再由得，而，得， 故中元素为． (2) 0不是A的元素．若，则， 而当时，不存在，故0不是A的元素．取，可得． 【变式9-1】C 【详解】由条件②可知，当a=x∈M时， 同理可得由即此时互不相等，此时M中有4个元素，类似地，a=－x∈M时，可证得此时M中有8个元素,因此集合M中至少有4个元素.故选C. 【变式9-2】（答案不唯一） 【分析】取一个满足题目要求的的值即可. 【详解】当时，， 此时满足题目要求， 【变式9-3】 【答案】(1)；(2)证明见详解 【分析】（1）根据题意直接写出即可； （2）根据性质可知，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可． 【详解】（1）由，可得恰含有两个元素且具有性质的集合； （2）若集合A具有性质，不妨设， 由非空数集A具有性质，有． ①若，易知此时集合A具有性质． ②若实数集A只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合A具有性质． ③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合A具有性质， 所以有，这说明集合A具有性质； 综合以上可知集合A具有性质. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $