上海市闵行中学2023-2024学年第二学期期中教学质量调研高三数学试卷

闵行中学2023学年第二学期期中教学质量调研 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题 至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分. 1.中国国旗上所有颜色组成的集合为 2.已知i是虚数单位，复数：=m+1 是纯虚数，则实数m的值为 2+i 3.函数y=n】-产的定义域为 2+x 4.在(2x-1)‘的二项展开式中，x3项的系数为 5.正实数a、b满足a+2b=1,则ab的最大值为 6.等比数列{a}的前n项和为Sn,若a=3,a=81,则S= 7现有5个工程队承建某工程的5个不同项目，每个工程队承建一个项目，其中甲工程队不能承建 A项目，则不同的承建方案有 种.（用数字作答) 2 8.函数y=二-x在x=1处的切线方程为 9.已知a、万是空间中两个互相垂直的单位向量，向量c满足G=3,且c~a=c,i=1,当2取任意实 数时，-(a+的最小值为 10.某工厂生产的产品以100个为一批.在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果 发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的.假定每一批产品中的次品最多不超过2个， 并且其中恰有i(i=0,1,2)个次品的概率如下： 一批产品中有次品的个数i 0 1 概率 0.3 0.5 0.2 则各批产品通过检查的概率为 (精确到0.01) 11. 已知实数a∈(0,6)，记f(x)=Vx(x-a).若函数y=f(x)在区间[0,2]上的最小值为-2， 则a的值为 12.我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点P(x,y)都满足方程 x2-2xy+y2-√2|x+2√2y=0.现将一边在x轴上，另外两个顶 点在爱心线上的矩形称为心吧.若已知点M √2 到“爱心线” 上任意一点的最小距离为d,则用d表示心吧面积的最大值为 二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分.每题 有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑. 13.函数y=2snx-cosx(x∈R)的最小正周期为 3兀 A.2π： B. c. D. 2 14.已知y=f(x),x∈R为奇函数，当x>0时，f(x)=log,x-1, 则集合{x|f(-x)-f(x)<0}可表示为() (A)(2,+0) (B)(-0,-2) (C)(-0,-2)U(2,+0) (D)(-2,0)U(2,+0) 15.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系， 调查数据如下表： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 162 283 患慢性气管炎者 13 43 56 总计 134 205 339 假设H：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立 通过计算统计量x2,得X2≈7.468，根据x分布概率表： P(x2≥6.635)≈0.01，P(x225.024)≈0.025， P(y2≥3.841)≈0.05，P(x2≥2.706)≈0.1. 给出下列3个命题，其中正确的个数是() ①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%： ②有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关： ③X分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为 不太可能发生， (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 16.如果一个非空集合G上定义了一个运算*，满足如下性质，则称G关于运算*构成一个群. (1)封闭性，即对于任意的a,b∈G,有a*b∈G; (2)结合律，即对于任意的a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c): (3)对于任意的a,b∈G,方程x*a=b与a*y=b在G中都有解. 例如，整数集Z关于整数的加法(+)构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结 合律，对于任意的a,b∈Z,方程x+a=b与a+y=b都有整数解；而实数集R关于实数的乘法 (×)不构成群，因为方程0×y=1没有实数解。 2 以下关于“群”的真命题有 ①自然数集N关于自然数的加法(+)构成群： ②有理数集Q关于有理数的乘法(×)构成群： ③平面向量集关于向量的数量积()构成群： ④复数集C关于复数的加法(+)构成群， A.0个；B.1个： C.2个；D.3个. 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤 17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=3,b=5,c=7. (1)求角C的大小： (2)求in(A+C)的值. 18.已知ABCD为等腰梯形，AD∥BC,∠BAD=120°，PA⊥平ABCD,AB=AD=AP=2. (1)求证：PC⊥AB; P (2)求二面角C-BP-A的大小 19.ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具， 它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信 息的影响，不一定完全正确某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入 的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为018. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互 独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT,小张和ChatGPT各自从给定的l0个问题中随机 抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个 (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； (3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差. 20.江南某公园内正在建造一座跨水拱桥.如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿 3 直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A与点B.现在准备以地平面上的点 C与点D为起点建造上、下桥坡道，要求：①BD=AC;②在拱桥洞左侧建造平面图为直线 的坡道，坡度为1：2√2（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）：③在拱桥洞右侧建造平 面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸 (1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来： (2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到01米） (3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土，请设计出所铺设路面的 相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的 运算结果列式说明，不必计算)， G 20米 21.已知定义在(0，+oo)上的函数y=f(x)的表达式为f(x)=sinx-xcosx,其所有的零点按从小 到大的顺序组成数列{x,}(n≥1，n∈N) (1)求函数y=f(x)在区间(0，π)上的值域； (2)求证：函数y=f(x)在区间(m,(n+1)π)（n≥1，n∈N)上有且仅有-个零点： (3)求证：n<1x<+l)n 参考答案与评分标准 一、1血，：2： 3.（-2,1): 4.-160;5.6.121;7.96: 8 8.3x+y-4=0;9.√万；10.0.91；11.3： 12. -d 2 二、13.A;14.D;15.D.16.B. 三、17.解：0由余弦定理，有c0sC=口+C=- 2ab 2 所以C= 3 6分 ②解1：由正弦定理，有-c,即m分-bnC5 sin B sinC 14 所以sm(4+CO=8in(-B8)=mB=55 .6分 14 sinA sinc sinA=asinc3 解2：由正弦定理，有a=c 14 所以cosA=V1-in'A=13 14 故：smA+C)=sinco3C+eos4-5V3 14 6分 解3：由余弦定理，有c0s4=+c2-a213 ,所以sinA= 3W3 2bc 14 14 故，sim(4+C)=nAco3C+cosAinC-5 14 6分 18.[解](1)连接AC, ·ABCD为等腰梯形，AD1∥BC,∠BAD=120°， AB=AD=2; BC=4,AC=23,∠BAC=90°，2分 .PA⊥平面ABCD, 所以由三垂线定理得PC上AB,.6分 (2)取BP的中点H,连接CH、AH,则AH⊥PB, 因为PC=VPA2+AC=4=BC,所以CH⊥BP, 所以∠CHA为二面角C-BP-A的平面角，8分 因为PA⊥AC,AC⊥AB,PA∩AB=A, 所以AC⊥平面ABP,所以AC⊥AH 10分 在Rt△AHC中，CA=2W3,AH=√2，所以tan∠CHA=√6， 所以二面角C-BP-A的大小为arctan6 ..14分 19.[解(1)设小张答对的题数为X,则P心X=9y=g= C810 .4分 (2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示一个问题能被ChatGPT正确回答， 由题意知P(A=0.1,P(B④=0.98，PBA)=0.18, 则P(A)=1-P(A)=0.9, .6分 P(B)=P(B04)+P(B0A)=P(B4)P(A)+P(BAP(A) =0.98×0.9+0.18×0.1=0.9 8分 (3)设小张答对的题数为X,则X的可能取值是89， 器品-登0 .10分 设答对的区数为I,则了张从二项分布B0品， B=8x9+ 1 +9× =8.1,E(Y)=p=9×0.9=8.1,...12分 1010 D0-80×g-x-009. 10 10 10 10 D(Y)=pq=9×0.9×0.1=0.81. .14分 20.解1：如图，以线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系 1分 D 20米 2分 则，圆O的方程为x2+y2=100; 272O6=10得C8=205,c0=30. 由anCs、 1 点C作圆O的切线DE,切点为卫，直线CE的斜率为2万，其方程为y25x+30 6 所以直线OE的斜率为-2√2，其方程为y=-2√2x,将其代入x2+y2=100,得 点卫的坐标为 1020W2 3’3 经过点D作圆M与圆O切于点F(圆O与y轴的交点)，设圆M的半径为r, 则，OD+OM2=DM,即30+(r-10)2=r2,解得r=50. 所以，圆M的方程为x2+(y+40)2=502, 1 2√2 (x+30),-30≤x<-10 , 故，用函数表示过桥道路为：y= V100-x2,3 ≤x<0, 3分 √2500-x2-40,0≤x≤30 1020W2 (2)解1：由点E的坐标为 ， 3’3 得∠Or= -arctan2√2， 所以圆弧EF的长为10 2 -arctan2√2 ≈3.398， .2分 3 由点D的坐标为(30,0)，点M的坐标为(0，-40)，得∠DMF=arctan 所以圆弧FD的长为50 arctan≈32.175， ..2分 4 3 故，过桥道路的总长度为20W2+10 2 arctan2√2 +50 arctan-≈63.91m. 4 ..2分 解2：(1)如图建系 …】分 C 20米 2分 作圆N与x轴相切于点D,并和圆O切于点G,设圆M的半径为r, 则，OD2+DW2=OW2,即30+r2=(r+10)2,解得r=40. 所以，圆N的方程为(x-30)2+(y-402=402, 将直线OG的方程代入x2+y=100得，点G的坐标为(6,8) 25+30,305x<10 1 故，用函数表示过桥道路为：y三100-℃，3 ≤x<6, 3分 40-V1600-(x-30)2,6≤x≤30. 1 (2)因为0正= 1020W2 3’3 0G=(6,8), 0E.0G 则cos(OE,OG -3+8W5,即，O2.0G)=aco8-3+8W5 OOG 15 15 所以圆弧2G的长为10acos-3+8W2 ≈9.833. 15 .2分 又由点G的坐标为(6,8)，得∠OND=刀 4 -arctanㄎ， 3 4 所以圆弧GD的长为40二-arctan ≈25.740 2 3 2分 故，过桥道路的总长度为202+10cco83+8W2 +40 4 -arctan- ≈63.9m. 15 2 分 (3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形AC卫为底面，高为10 米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF(BDG)为底面，高为10米的柱 体： ..2分 提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？ .2 分 方案1：S自边形ACg=ScOE-S扇形AOB S前边形BDF=S扇形DM-SADOM-S扇形BOF 所以，铺设过桥路需要混凝土10(SACOD-S扇形A0c+S扇形DM-SADOM-S扇形BOr)m3.2 分 方案2：S边形A0g=SACOE-S偏形A0g S由边形BDG=SSODN-S扇形DG-S扇形BOG 所以，铺设过桥路需要混凝土10(SSCOD-S扇形AOc+Sao2w-S扇形DG-S扇形BOP)m3..2 分 注：1、用直线和圆的方程表示坡道给满分； 2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌 情给满分； 3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情 给满分. 4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分： 5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分。 21.[解](1)由f(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx,.2分 当x∈(0，π)时，'(x)>0,即函数y=f(x)在区间(0，π)上是严格增函数， 且f(0)=0,f(π)=元， 所以f(x)在区间(0，刀)上的值域为(0，刀).4分 (2)当x∈(m,（n+1)π)时， ①当n是偶数时，f(x)>0, 函数y=f(x)在区间(m,(n+1)π)上是严格增函数： 6分 ②当n是奇数时，f(x)<0, 函数y=f(x)在区间(m,(n+1)元)上是严格减函数；8分 且f(nm)=(-1)m,故f(m）f（(n+1)π)=-n(n+1)π2<0， 所以由零点存在定理可知， 函数y=f(x)在区间(m,(n+1)π）上有且仅有-个零点.10分 (3)由(2)可知函数f(x)在(m,(n+1)π)上有且仅有一个零点x, 且满足f()=sinx,-x,cosx,=0,即tanx,=x,(几何意义：x,是y=tanx与y=x交点的横 坐标) .....12分 又因为f m+号)=-旷，故fmfm+ =-nm<0, 所以由零点存在性定理可知， 函数y=f(x)在m,m+ 刀上有且仅有一个零点x, tan(x+-(民+元）=a(x一x,）厂1+tantan,1+飞克 tanx-tan ..14分 ①因为x+1-x,>0,得tan(x+1-(x,+π)月>0 所以x1-(x+π)>0，即π<x+1-x: (或者tanx+1-tan(x,+元)）=tanx#1-tanx,=x+1-xa>0 →tanx+1>tan(x,+π）→x+1-x>π) 16分 3 3 3<卫 园因为m6+刘》正X<z0 9 由)可知，当re0分时，有<mx 故x-(,+πKtam(1-(+π月<，所以x1-x<π+E； (n+1)π 由①②可知π<x+1-x:< n 18分 10