27.2 反比例函数的图象和性质同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合探究，适配新授课知识巩固与能力提升，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|反比例函数图象、象限分布、增减性|单选题1-4直接考查图象判断与象限，填空题12用面积求k值，强化几何直观| |综合应用|函数与几何综合、参数求解|单选题6结合矩形性质求交点，解答题16通过函数交点解不等式，培养推理能力| |拓展探究|跨知识综合与函数探究|单选题10融合相似三角形证明，解答题20探究含绝对值的函数性质，发展创新意识|

27.2 反比例函数的图象和性质 同步练习2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．甲、乙两地相距，汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 4．反比例函数 的图像所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 5．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 6．已知矩形，，，函数的图象经过矩形对角线交点，交于，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知反比例函数下列结论中不正确的是（   ） A．图像必经过点 B．图像位于第二、四象限 C．若，则 D．在每个象限内，随的增大而增大 8．已知反比例函数的图象上有两点，当时，，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 10．如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接） 12．如图，在平面直角坐标系中， 已知反比例函数 的图象上有一点 A，过点 A 作 轴于B，且的面积是6，则反比例函数解析式为__________． 13．已知近视眼镜镜片的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．若度的近视眼镜镜片的焦距为米，那么与的函数表达式为______．（不要求写自变量的取值范围） 14．正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为______． 15．已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第________象限． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，已知函数与的图象有一个公共点．    (1)______； (2)画出这两个函数的图象； (3)根据图象，写出不等式的解集______． 17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 18．在直角坐标系内，反比例函数的图象过点． (1)若，求证：． (2)若，，，求该函数的表达式． 19．（1）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． （2）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． ①求密度关于体积的函数解析式； ②若，则二氧化碳密度的变化范围为______． 20．某同学根据学习函数的经验，探究了函数y＝||+1的图象和性质，下面是他的探究过程，请补充完整： （1）写出函数y＝||+1的自变量的取值范围是　　； （2）如表是函数y与自变量x的几组对应值：则m＝　　，n＝　　； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 3 4 5 6 7 … y … 1.6 m 2 2.5 4 n 2.5 2 1.75 1.6 … （3）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，已画出函数图象的一部分，请补全此函数的图象；    （4）进一步探究函数图象发现： ①函数y＝||+1的图象是轴对称图形，对称轴是直线　　；当x满足　　时，y随x的增大而减小； ②方程||+1＝4的解为　　． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C A B A C C D 1．【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】由题意易得（x＞0），然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：（x＞0）， ∴符合题意的只有B选项； 故选B． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 2．【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数的比例系数，图象在第一、三象限，，图象在第二、四象限．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ， ， 故选：A． 3．【答案】A 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而增大． 根据反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小即可解答． 【详解】解：由图可知，图象在第三象限， ∴， ∴函数值随着自变量的增大而减小． 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图像，反比例函数的图像位置由系数k的符号决定，时图像在第一、三象限，时图像在第二、四象限． 根据作答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图像在第一、三象限． 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 如果设直线与x轴交于点C，那么的面积的面积的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知的面积为2，的面积为1，从而求出结果． 【详解】解：设直线与轴交于点． ∵轴， ∴轴，轴． ∵点在双曲线的图象上， ∴的面积． 点在双曲线的图象上， ∴的面积． ∴的面积的面积的面积． 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，矩形的性质和用待定系数法求反比例函数的解析式． 先求得对角线的交点坐标，再求得反比例函数的解析式，求出点的坐标，即可得出的值． 【详解】解：四边形为矩形， 对角线的交点坐标， 反比例函数的解析式为， 点是与的交点， ， ． 故选：B． 7．【答案】A 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的图像性质，逐项判断即可． 【详解】A、当时，，选项错误，符合题意； B、图像位于第二、四象限，选项正确，不符合题意； C、若，则，选项正确，不符合题意； D、在每个象限内，随的增大而增大，选项正确，不符合题意； 故选：A． 8．【答案】C 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，而 时，，则，然后解不等式即可； 【详解】解：∵反比例函数的图象上有 当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式． 9．【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 10．【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数与反比例函数的其他综合应用、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明与都是等腰直角三角形，证明、可证明，由此判断①；由与都是等腰直角三角形，得到，继而得到，，从而得到可判断②；由可得，可判断③；设，则，，由结论③可得，即，可判断④． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 一次函数中， 令，得， 令，得， ， ， ∴， 与都是等腰直角三角形， ， 同理可得， ； 故①正确； 与都是等腰直角三角形， 故②正确； 故③正确； 设， 则，， 由结论③可得：， ∴， ∴， 故④正确； 故正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数与反比例函数综合等知识，理解题意，结合图象，综合运用各个知识点是解题关键． 11．【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，判断三个点所在的象限，结合每一象限内函数的增减性比较函数值的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 又， ， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ，，三点在函数图象上， ，在第二象限，点在第四象限， ， 即． 12．【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查根据图形面积求反比例函数的值．根据反比例函数值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵双曲线在二，四象限， ∴， ∴； 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】根据题意可设， 再代入已知对应值求出比例系数，即可得到所求函数表达式． 【详解】解：根据题意可设， 将，代入得， 解得， ， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是， 故答案为： 15．【答案】一、三/三、一 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数图象．熟练掌握反比例函数图象是解题的关键． 根据在第一或第三象限，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，在第一或第三象限， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限， 故答案为：一、三． 16．【答案】(1) (2) 如图所示：    (3)或 【知识点】画一次函数图象、求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将代入中求出m，再将代入中即可求出k值； （2）根据函数图象的画法画图即可； （3）找到的图象在图象上方部分对应的x值即可得解． 【详解】（1）解：将代入中， 得，解得：， ∴，代入中， 得：； （2）列表： x 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 （3）如图，两函数图象交于，， 当或时，的图象在图象上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，画函数图象，解题的关键是准确把握图象，利用数形结合思想解决问题． 17．【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 18．【答案】(1)0 (2) 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）根据题意得出，，然后由，即可证得． （2）由，，则，根据图象上点的坐标特征得出，，即可得到，，根据，得出，，即可得出，，进而求得，，代入即可求得的值． 【详解】（1）证明：反比例函数的图象过点． ，， ， ． （2）解：，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 该函数的表达式为． 19．【答案】（1）　（2）①　② 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、已知反比例函数的增减性求参数、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，反比例函数的解析式求解，反比例函数的性质，通过掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）先通过树状图列出“第一次抽张、第二次抽剩余张”的所有等可能结果，再从结果中数出包含“生”的结果数，最后用“含‘生’的结果数总结果数”算出概率； （2）①根据“与是反比例函数关系”，设解析式为，代入已知点求出，进而得到解析式​； ②根据“时，在每个象限内，随增大而减小”，分别代入和算出对应的值，进而得到变化范围． 【详解】（1）解：作树状图如下． 由图可知共有种等可能的结果，其中两张卡片里含有“生”的结果有种， 则抽取两张卡片里含有“生”的概率为． （2）解：①设函数解析式为，代入点， ，即， 故密度关于体积的函数解析式为． ②，， 当，随的增大而减小， 当，；当，， 的变化范围为． 故答案为：． 20．【答案】（1）x≠2；（2）， 4；（3）见解析；（4）①x＝2，x＞2；②x1＝1，x2＝3． 【知识点】求自变量的取值范围、判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数的增减性 【分析】（1）分母不为零； （2）把x=-2和3分别代入y＝||+1即可求得； （3）画出函数图象即可； （4）根据图象得出结论． 【详解】解：（1）函数y＝||+1的自变量x的取值范围是：x≠2； （2）把x＝﹣2和3分别代入y＝||+1得，m＝+1＝，n＝3+1＝4， 故答案为，4； （3）如图所示；    （4）由图象发现：①函数y＝||+1的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝2；当x满足x＞2时，y随x的增大而减小； 故答案为x＝2，x＞2； ②方程||+1＝4的解为x1＝1，x2＝3， 故答案为x1＝1，x2＝3． 【点睛】此题考查了反比例函数图象和性质，涉及的知识有：自变量的取值范围、画图象、熟练掌握数形结合的思想是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $