27.2 反比例函数的图象和性质 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档应用、综合拓展三层设计，实现从反比例函数概念理解到综合问题解决的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数定义、象限判断、增减性|直接代入求k值（选择1）、性质辨析（填空9），夯实概念理解| |中档|函数图象交点、面积计算、实际应用|一次函数与反比例函数结合（选择5）、k的几何意义（填空12），衔接课堂例题| |综合|动态几何、新定义问题、存在性探究|“美好点”新定义（解答20）、菱形存在性（解答22），提升模型意识与创新思维|

27.2反比例函数的图象和性质 同步练习 一、单选题 1．已知点在反比例函数上，则（    ） A．20 B．9 C．1 D． 2．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数 的图象位于第一、三象限， 则直线一定不经过（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是(    )    A．两图象的交点的坐标为 B．一次函数与反比例函数都随x的增大而增大 C．若，则的取值范围是或 D．连接、，则的面积是 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图象经过点B，若阴影部分面积为6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 7．如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数（）的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 8．若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个“共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而______．（选填“增大”或“减小”） 10．正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为______． 11．若点在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 12．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为为中点．若，则该反比例函数的表达式为________． 13．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为___________．    14．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是______． 15．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______． 16．双曲线和如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点、点，与分别交于点、点，若四边形的面积为4，则的值为______．    三、解答题 17．已知反比例函数的图象过点和．求此反比例函数表达式． 18．如图，已知反比例函数的图像经过矩形的边的中点F，交于点E． (1)证明E为的中点； (2)若四边形的面积为2，求k的值． 19．小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，分别求工作的最小电流与最大电流时电阻R的值． 20．定义：如图所示，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)若“美好点”在反比例函数（，且k为常数）的图像上，求k的值； (2)命题“是美好点”是 命题（填“真”或“假”） 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，且的面积为2． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取一点P，当取得最大值时，求点P的坐标． 22．如图，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．    (1)判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由； (2)如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形； (3)已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《参考答案 1．A 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，直接把点代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数， ∵，解得， 故选A． 2．B 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及性质;由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数中，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，再由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 4．B 【分析】根据一次函数及反比例函数的性质分开讨论：当时，直线经过第一、二、三象限，双曲线在第一、三象限；当时，直线经过第二、三、四象限，双曲线在第二、四象限，然后与选项作比较即可得出结果． 【详解】解：A、∵的图象在第一、三象限， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，故选项不符合题意； B、∵的图象在第一、三象限， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，故选项符合题意； C、∵的图象在第二、四象限， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项不符合题意； D、∵的图象在第二、四象限， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项不符合题意． 5．B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与一次函数的性质；将代入，得，进而求得，即可判断A选项；根据函数图象可得反比例函数在每个象限内随x的增大而增大，即可判断B选项；根据交点的横坐标结合函数图象即可判断C选项；连接、，设直线与轴交于点，将代入得出，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：将代入，得，则， 将代入 得，则 ∴A. 两图象的交点的坐标为，故该选项正确，不符合题意； B. 一次函数随x的增大而增大，反比例函数在每个象限内随x的增大而增大，故该选项不正确，符合题意； C. ∵，， 根据函数图象可得，若，则的取值范围是或，故该选项正确，不符合题意； D. 连接、，设直线与轴交于点，    将代入，则， ∴，即， ∵，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数中k值的几何意义，全等三角形的性质和判定，不规则图形面积，掌握理解k值的几何意义，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键． 转化阴影部分面积为的面积，与k值的几何意义结合，根据图象的位置确定k值的正负即可． 【详解】解：设与的交点为Q， ， 设，， ， 四边形和四边形是矩形， ， ，， ． ， ． 阴影部分面积为， ， ， ， 点在反比例函数图像上，且在第一象限， ， ． 故选：D． 7．C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，证明是解题的关键．过点B分别作于点M， 于点N，证明，得到，即，求出点，则点，进一步由，即可求解． 【详解】解：过点B分别作于点M， 于点N，    设点，则， ∵于点N， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， 即， 即， 则，则， 则点，则点， 设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为：， 当，， 解得，， ∴点； 设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为：， 当，， ∴点，则， ∵， 则， 故选：C． 8．C 【分析】设点函数y的图象上，且坐标为，当时，，其关于原点对称的点为，不在函数y的图象上，不符合题意，则令，点关于原点对称的点为，则，由“共生点对”的定义可得方程，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数，即研究函数，两个函数图象的交点个数，画出函数的草图如图，由图象的交点个数即可求解． 【详解】解：函数， 设点函数y的图象上，且坐标为，当时，，其关于原点对称的点为，不在函数y的图象上，不符合题意，则令， 点关于原点对称的点为，则， 若也在函数y的图象上，则点对是函数y的一个“共生点对”， ∵，，在函数y的图象上， ∴，则， ∵也在函数y的图象上， ∴， 则，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数， 即研究函数，两个函数图象的交点个数， 当时，，，即画出函数的草图如图，    由图可知，与有两个交点，故方程有两个解， ∴此函数的“共生点对”有2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数函数的图象的对称性和函数图象的交点个数，还考查了新定义问题，本题难度适中，属于中档题． 9．减小 【分析】此题考查反比例函数的性质．由，根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小， 在第三象限，y随x增大而减小， 故答案为：减小． 10． 【分析】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是， 故答案为： 11． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把两个点的坐标分别代入解析式计算出、的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】由点为的中点，可以求得的面积，根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：为中点，且， ， ∵图象在第三象限， ， 故该反比例函数的表达式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是正确的运用面积求的值． 13．4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 14． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得反比例函数关系式，求得时，，再利用反比例函数的增减性质，可求得答案． 【详解】解：设，代入 随的增大而减小 当时， 其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的性质，根据题意求得k的范围，结合交点即可求得x，代入正比例函数即可求得对应y值，即可求得答案． 【详解】解：∵双曲线位于一、三象限，直线与双曲线交相交， ∴， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴和是方程的解，解得， 若，则，，则， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出． 【详解】解：在反比例函数的图象上，且图象在第二象限， ，， 在反比例函数的图象上，且图象在第二象限， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数上的点向轴和轴引垂线形成的矩形的面积等于反比例函数的值是解题的关键． 17． 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，熟练掌握相关知识是解题的关键； 设反比例函数的关系式为，再将两个点的坐标代入关系式，求出解即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， 所以反比例函数关系式为． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）设点，根据题意得到，求出，即可得到结论． （2）设，得到，得到矩形的面积为，根据四边形的面积为2列出等式即可得到答案． 【详解】（1）证明：点F是矩形的边的中点， 都在反比例函数上， ，， 设， 代入， 解得， ， ， E为的中点； （2）解：设， 是的中点， ， ， ， ， 四边形的面积， ． 19．(1) (2)工作的电流最小时，电阻的值为，工作的电流最大时，电阻的值为 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）求出最小电流和最大电流对应的电阻的阻值，根据增减性即可得出结果． 【详解】（1）解：设，由图象可知， 当时，， ， ； （2）解：当，， 当，， 工作的电流最小时，电阻R的值为，工作的电流最大时，电阻R的值为． 20．(1) (2)假 【分析】本题主要考查了新定义，反比例函数与综合．熟练掌握新定义，待定系数法求反比例函数的解析式，是解题的关键． （1）过点E作轴于点C，作轴于点D，根据“美好点”定义，写出矩形的周长和面积表达式，布列方程，解方程，得到，即得； （2）根点E是“美好点”，列方程，解方程，判断即可． 【详解】（1）过点E作轴于点C，作轴于点D， ∵是“美好点”， ∴， 解得， ∴， 代入反比例函数， 得， （2）假设是“美好点”， 则， ∴，矛盾， ∴不是“美好点”， ∴原命题是假命题． 故答案为：假． 21．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据的面积为2和反比例函数图象的位置，可以确定m的值，代入点坐标即可求出； （2）根据图象可直接写出； （3）作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，即最大值为，求出直线解析式，再确定与x轴交点坐标即可． 【详解】（1）解：由得， 反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 反比例函数为． 将点，分别代入， 解得，． （2）由（1）知，， 结合图象可知的解集为或． （3）如图，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时取得最大值，最大值为 设直线解析式为， 将点，代入，得， 解得， ， 令，得， ， 故当取得最大值时，点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质、轴对称的性质和应用，利用待定系数法求函数解析式，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键． 22．(1)点B在反比例函数的图象上，理由见解析 (2)证明见解析 (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）求出点的坐标，判断即可； （2）证明，，推出四边形是平行四边形，再证明，可得结论； （3）分三种情况：当四边形是菱形时，；当四边形是菱形时，；当四边形是菱形时，． 【详解】（1）解：结论：点B在反比例函数的图象上． 理由：∵反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是， ∴， ∵A，B关于原点对称， ∴， ∵时，， ∴点B在反比例函数的图象上； （2）证明：由题意，，， ∵C，D关于原点对称， ∴， ∵A，B关于原点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：如图， 当四边形是菱形时，． 当四边形是菱形时，． 当四边形是菱形时，， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $