第十一章 平面直角坐标系（4考点+7易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“平面直角坐标系”单元内容，涵盖有序数对、坐标系构成、坐标与图形性质、坐标表示平移四大知识范畴，搭建了从概念理解到性质应用再到图形变换的递进式学习支架。 清单通过“知识点-易错点-对点训练”三级架构呈现知识体系，如将“象限坐标符号规律”设为重点并标注易错提醒，培养学生的抽象能力与几何直观。特别设计“坐标平移规律表”和“割补法求面积示例”，不同层次学生可高效掌握要点，教师能据此精准突破教学难点，提升课堂效率。

第十一章 平面直角坐标系 知识点一：有序数对： 1. 有序数对的概念： 由  有顺序的  两个数a与b组成的数对．记做  （a，b） ． 2. 有序数对的应用： 利用有序数对可以表示物体的位置． 表示方法有：  行列  定位法；   方向角加距离  定位法． 知识点二：平面直角坐标系： 1. 平面直角坐标系的概念： 如图：平面内，两条相互  垂直  ，且  原点重合  的数轴组成平面直角坐标系． 2. 平面直角坐标系各部分名称： ①坐标轴： 水平方向上的数轴称为  x轴或横坐标轴  ．取  向右  为正方向． 直方向上的数轴称为  y轴或纵坐标轴  ．取  向上  为正方向． ②原点：两坐标轴的  交点  是平面直角坐标系的原点． ③象限：如图，两坐标轴把平面分成四部分，构成四个象限．从右上角开始，逆时针方向分别是  第一象限  ，  第二象限  ，  第三象限  ，  第四象限  ． 3.点与坐标： ①确定点的坐标： 过点作轴的垂线，垂足点所表示的数即为点的  横坐标  ；作轴的垂线，垂足点所表示的数即为  纵坐标  ． ②根据点的坐标确定位置： 过横坐标作  轴  垂线，过纵坐标作  轴  的垂线，两条出现的交点即为该坐标表示的位置． 4. 平面直角坐标系内各部分的坐标特点： ①轴上所有点的纵坐标为  0  ，即坐标可表示为  （，0）  ． ②轴上所有点的横坐标为  0  ，即坐标可表示为  （0，）  ． ③第一象限内横纵坐标均为  正数  ，即可表示为  （﹢，﹢）  ． ④第二象限内横坐标为  负数  ，纵坐标为  正数  ，即可表示为  （﹣，﹢）  ． ⑤第三象限内横纵坐标均为  负数  ，即可表示为  （﹣，﹣）  ． ⑥第四象限内横坐标为  正数  ，纵坐标为  负数  ，即可表示为  （﹢，﹣）   知识点三：坐标与图形性质： 1. 一三象限角平分线上的点的坐标特点： 在一三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标  相等  ．即    ． 2. 二四象限角平分线上的点的坐标特点： 在二四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标  互为相反数  ．即    ． 3. 关于坐标轴对称的两个点的坐标特点： ①关于轴对称：横坐标  不变  ，纵坐标  互为相反数  ．即若 关于x轴对称，则    ． ②关于轴对称：纵坐标  不变  ，横坐标  互为相反数  ．即若关于y轴对称，则    ． 4. 与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特点： ①平行于轴（垂直于轴）：该直线上所有点的  纵坐标  相等．两点之间的距离等于  横坐标之差的绝对值  ． ②平行于轴（垂直于轴）：该直线上所有点的  横坐标  相等．两点之间的距离等于  纵坐标之差的绝对值  ． 5. 点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于  纵坐标的绝对值  ，即    ． 点到纵坐标轴的距离等于  横坐标的绝对值  ，即    ． 知识点四：坐标表示平移： 1. 坐标的平移规律： 左右平移，  横坐标  进行加减，向右  加  ，向左  减  ． 上下平移，  纵坐标  进行加减，向上  加  ，向下  减  ． P（x，y）的平移方式（a＞0，b＞0） 平移后的坐标 点的平移方式 左右平移 向右平移a个单位长度    （x＋a，y）   向左平移a个单位长度    （x－a，y） 上下平移 向上平移b个单位长度    （x，y＋b） 向下平移b个单位长度    （x，y－b） 2. 图形的平移： 把图形中的  关键点  按照点的平移进行平移，得到平移之后对应的点，把对应点按照原图形连接即可． 3. 求坐标系中图形的面积： 利用  割补 法把图形分割或者补齐为规则图形从而求得图形面积． 易错点1 混淆坐标的有序性 易错提醒 书写点的坐标时，经常颠倒横坐标和纵坐标的顺序，完全忽略了坐标的有序性特征，使得原本的点被错误定位到平面直角坐标系中完全不同的位置，这类错误是学生刚接触平面直角坐标系时最容易出现的典型问题。 【对点训练】1如图，点A的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系可直接得出答案． 【详解】解：由平面直角坐标系可得点A的坐标是， 故选：B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，熟练掌握基础知识是解题的关键． 易错点2 记错特殊位置点的坐标特征 易错提醒 这类错误是平面直角坐标系相关考题中的高频失分点，学生最常见的错误是混淆x轴与y轴上点的坐标特征，错把x轴上点的横坐标记为0，把y轴上点的纵坐标记为0。除此之外，多数学生还会记混平行于坐标轴的直线上点的坐标规律：错认为平行于x轴的直线上所有点横坐标相同，平行于y轴的直线上所有点纵坐标相同，完全记反了两类直线的坐标特征。还有不少学生对坐标轴与象限的关系理解出错，误将坐标轴上的点归到某一个象限内，忽略了坐标轴不属于任何象限这一基本规定，部分学生还会记错原点的坐标形式，出现不必要的书写错误。 【对点训练】2若点的坐标是，，且轴，则点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意，点与点的纵坐标相同，横坐标有两种情况：在右侧和在左侧，分别求解即可． 【详解】解：点的坐标是，，且轴， 点的纵坐标为，横坐标是或， 点的坐标为或， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，属于基础题，解题时注意分类讨论，避免出现漏解的情况． 易错点3 记混四个象限内点的坐标符号规律 易错提醒 有的学生死记硬背四个象限内点的坐标符号规律，缺乏结合坐标系位置的理解记忆，很容易记混不同象限的符号特征：最常见的错误是错将第二象限点的坐标符号记为(正,负)，错把第三象限点的坐标符号记为(负,正)；还有不少学生会混淆符号的对应顺序，忘记符号规律是“先横后纵”，经常把横纵坐标的符号记反，哪怕整体正负记忆没错，最终也会判断出错。还有部分学生遇到坐标轴上的点时，还错误套用象限点的符号规律分析，完全记错了“坐标轴不属于任何象限”的基本规定，这类错误也是基础考题中十分常见的失分点。 【对点训练】3．在平面直角坐标系中，点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据各象限内点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：由，，则点在第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，；第二象限，；第三象限，；第四象限，． 易错点4 计算点到坐标轴的距离 易错提醒 在计算点到坐标轴距离时，会混淆距离和对应坐标的关系，错把点(x,y)到x轴的距离当成横坐标的绝对值|x|，把到y轴的距离当成纵坐标的绝对值|y|，完全记反了对应关系。部分题目还会结合点的坐标符号，要求根据距离反推点的坐标，学生很容易只求出一种符合条件的坐标就停止作答，忽略了距离是绝对值，横纵坐标都存在正负两种可能，漏解的情况十分常见。此外在计算坐标系中线段长度时，不少学生忘记给坐标差加绝对值，直接用大坐标减小坐标，在端点位置不确定时就会得出错误结果，这类细节也成为很多基础题的失分点。 【对点训练】4已知点P在第三象限内，点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，得出点P的横坐标为，纵坐标为，再根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数得出答案． 【详解】解：∵点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， 又∵点P在第三象限内， ∴点P的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离、平面直角坐标系中点的坐标特点，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键 易错点5 求解对称点坐标 易错提醒 很多学生记混不同对称类型下点的坐标变化规律，最常见的错误是混淆关于x轴、y轴对称的变号规则，错记成“关于x轴对称的点横坐标变号、纵坐标不变”，完全记反了变化规则，导致求出的对称点坐标完全错误；还有不少学生忘记关于原点对称的点需要横、纵坐标都变号，经常只改变其中一个坐标的符号，漏掉另一个坐标变号，最终得出错误结果。除此之外，当题目要求求解关于平行于x轴或y轴的直线的对称点坐标时，很多学生分不清是横坐标还是纵坐标需要按对称轴调整，只会硬套坐标轴对称的规律，不会结合“对称点到对称轴的距离相等”这一核心性质推导，一旦不是坐标轴本身就容易出错，这类题目也是该模块考试中的常见失分点。 【对点训练】5在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于x轴对称点的坐标特点是横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】关于x轴对称点的坐标特点是横坐标相等，纵坐标互为相反数， 点关于x轴对称点的坐标， 故选：B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的规律，掌握规律是解题的关键． 易错点6 建立平面直角坐标系时，没有遵循原点选取的基本原则 易错提醒 建立平面直角坐标系时，没有遵循原点选取的基本原则，导致建立的坐标系不符合题目要求，后续计算出的所有点的坐标都会偏离标准答案。这类错误大多出现在结合实际几何图形的开放型考题中，不少学生只求快速画出坐标系，忽略了题目给出的已知参考坐标信息，比如题目已经指定图形上某一顶点的坐标，学生仍随意选取原点，最终得到的所有位置坐标全部出错，整道题的分值因此全部丢失，属于平面直角坐标系相关题目中比较典型的隐性失分点。 【对点训练】6如图是一副象棋残局，将棋盘建立直角坐标系，若两个“卒”的坐标分别为，，那么“車”的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置；由棋子两个“卒”的坐标分别为，确定直角坐标系原点的位置，根据原点位置再确定棋子“車”所在的点的坐标即可． 【详解】解：如图建立如图所示的平面直角坐标系： ∴棋子“車”所在的点的坐标为． 故选：A． 易错点7 利用平面直角坐标系的性质求参数问题 易错提醒 容易混淆不同特殊位置下点的坐标规律：比如将x轴上点的坐标特征记反，误记为横坐标为0纵坐标任意，实际x轴上点应为纵坐标为0横坐标任意；对不同象限角平分线上点的坐标特征记忆混淆，记反一三象限与二四象限角平分线上点横纵坐标的关系；也有不少学生记混平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，分不清平行于x轴和y轴时，到底是横坐标相等还是纵坐标相等。遇到这类给出点的位置求未知参数的题目时，就会因为规律记错列出错误等式，最终得出完全错误的结果，是基础题失分的重灾区之一。 【对点训练】7如果点在x轴上，那么点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点A在x轴上求出a的值，从而得出点B的坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴，即， 则点B坐标为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点． 易错点8 点在平面直角坐标系中的规律探究问题 易错提醒 这类问题通常会给出特定排列规律的点坐标，要求学生推导指定位置点的坐标，考查学生对坐标变化规律的观察总结能力，也是近年中考较为热门的题型。学生出错多是因为观察时只关注了横纵坐标其中一个的变化，忽略了整体周期规律，或是在计算周期余数时出错，最终推导出错误的坐标结果。部分学生还会因为整理变化规律时出错，把坐标的变化关系总结错误，进而得到错误答案。这类问题难度不大，但对观察和归纳能力有一定要求，需要学生总结规律后多做验证，避免因粗心导致结论出错。 【对点训练】8如图，已知、、、、、则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（和第四象限内的点除外），逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点的坐标． 【详解】解： ∵， ∴点在第一象限，且转动了圈后在第圈上， ∴的坐标为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的找规律的问题，解题的关键在于找出规律． 易错点9 求解坐标系中不规则图形面积时出错 易错提醒 这类出错主要分为两类情况，一类是学生未掌握割补法的核心思路，面对不规则图形不知如何拆分或补全为可计算面积的规则图形，直接胡乱计算导致结果错误；另一类是在根据点的坐标计算边长时，混淆横纵坐标对应的边长，或是忘记长度必须为非负数，未对坐标差取绝对值就直接代入计算，最终得到错误的面积结果。求解此类问题时，要牢记割补法的应用原则：不规则图形转化为规则图形后，分割的图形要逐个加和计算面积，补全出的多余图形面积要整体减去，计算时核对每一段边长对应的坐标差，就能大幅降低出错概率。 【对点训练】9如图，在平面直角坐标系中，、．求的面积． 【答案】 【分析】过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D．根据面积公式求得S△BOD、S梯形ACDB、S△AOC的值，然后由图形可以求得S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD． 【详解】解：过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D． ∵A（3，4），B（5，1）， ∴OC=3，AC=4，OD=5，BD=1. ∴S△AOC=×OC•AC=×3×4=6， S△BOD=OD•BD=×5×1=， S梯形ACDB=( BD+AC)•CD=×(1+4)×2=5， ∴S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD =6+5-=. 【点睛】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质．通常采用“割补法”解答此类题目． 一、单选题 1．如图，小手盖住的点的坐标可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出小手盖住的点在第二象限，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】由图可知，小手盖住的点在第二象限，四个选项中只有在第二象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 2．如图，点到x轴的距离和到y轴的距离分别为（    ）    A．2，1 B．1，2 C．，1 D． 【答案】B 【分析】点到x轴的距离和到y轴的距离分别是纵坐标的绝对值，横坐标的绝对值，据此即可得到答案． 【详解】点到x轴的距离和到y轴的距离分别是，， 故选B． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，正确了解距离的内涵是解题的关键． 3．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“帅”与“马”的位置可确定坐标原点，进而可确定“兵”的坐标． 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图，    ∵“帅”位于点，“马”位于点， ∴坐标原点是“炮”的位置， ∴“兵”位于点． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是确定坐标系的原点的位置． 4．点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由纵坐标为0可得：，进而求解m的值，则问题得解． 【详解】解：由点P在直角坐标系的轴上，可得： ，解得：， ， 点； 故选A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里x轴上点的坐标特点是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，…，第n次移动到点，则点的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得 ，，，，，，，由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0的顺序，每4个为一个循环，可求出点的纵坐标，然后根据，，，，可得：，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， 由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0的顺序，每4个为一个循环， ， ∴点的纵坐标为0， ∵，，，，由此得：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标规律题，解题的关键是理解题意找出规律． 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，点且，则点所在象限是 ． 【答案】第四象限 【分析】由于、，得到，然后根据各象限点的坐标特点进行判断． 【详解】，， ∴， 点，在第四象限． 故答案为：第四象限． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征第一象限内点的坐标特征为，第二象限内点的坐标特征为，第三象限内点的坐标特征为，第四象限内点的坐标特征为，，轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为． 7．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是和，那么“卒”的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据“相”和“兵”的坐标分别是和，建立平面直角坐标系解答即可． 【详解】解：如图所示：    “卒”的坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用坐标确定位置，解题的关键就是建立平面直角坐标系． 8．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为4，则的值为 ． 【答案】或6 【分析】根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值列出方程，然后求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为4， ， 解得或6． 故答案为：或6． 【点睛】此题考查的是点的坐标，掌握点的坐标的定义是解决此题的关键． 9．在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出，求出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，熟知y轴上的点的横坐标为零是解题关键． 10一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动［即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）]→…且每秒跳动一个单位，那么第2019秒时跳蚤所在位置的坐标是 ． 【答案】（5,44） 【分析】根据题意可知跳蚤到达（1，1）点需要2秒，到达（2，2）点需要2+4秒，到达（3，3）点需要2+4+6秒，到达（n，n）点需要2+4+6+...+2n秒＝n(n+1)秒，n为奇数时，下一步往下走；n为偶数时，下一步向左走，据此即可解答. 【详解】解：到达（1，1）点需要2秒， 到达（2，2）点需要2+4秒， 到达（3，3）点需要2+4+6秒， 到达（n，n）点需要2+4+6+...+2n秒＝n(n+1)秒， n为奇数时，下一步往下走；n为偶数时，下一步向左走. 当n=44时，跳蚤正好在（44，44)点上，此时经过了1980秒， 此时向左走39秒，即是2019秒时候，向左平移39个单位，在（5,44）点. 故本题答案为：（5，44）. 【点睛】本题较难，主要考查了点的坐标的探究性规律，解决本题的关键是正确读懂题意，确定跳蚤运动的顺序及运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间. 三、解答题 11．围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，．    (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出C、D两颗棋子的坐标； (3)有一颗黑色棋子E的坐标为，请在图中画出黑色棋子E． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 【分析】（1）直接利用，得出原点的位置进而得出答案； （2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案； （3）根据点的坐标的定义可得． 【详解】（1）平面直角坐标系如图：    （2）由平面直角坐标系可得，； （3）E点如图所示； 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键 12．已知平面直角坐标系内有一点． (1)当点M在x轴上时，求点M的坐标； (2)当点M在第一象限且到y轴的距离为3时，求点M的坐标； (3)若点M在第四象限且到x轴的距离是2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点M在x轴上得到纵坐标为零，列式求解即可； （2）点M到y轴的距离为3，即横坐标的绝对值为3列式求出m，再根据点M在第一象限取舍，继而得到结果； （3）点M到x轴的距离为2，即纵坐标的绝对值为2列式求出m，再根据点M在第四象限取舍，继而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点M在x轴上， ∴， ∴， ∴； （2）∵点M到y轴的距离为3， ∴， 解得：或， ∴或， ∵点M在第一象限， ∴； （3）∵点M到x轴的距离是2， ∴， 解得：或， ∴或， ∵点M在第四象限， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键 13．在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当轴时，求的值； (2)当点到两坐标轴的距离相等时，求点所在的象限． 【答案】(1) (2)第二或第三象限 【分析】（1）根据轴，则，解出，即可； （2）根据点到两坐标轴的距离相等，则，分类讨论：或，解出，即可． 【详解】（1）∵轴， ∴， ∴． （2）∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 当时，， ∴点； 当时，， ∴点； ∴综上所述，点或， ∴点在第二或第三象限． 【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点的性质，线段平行的性质． 14．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；4，0；6，0 (2)点的坐标为 (3)蚂蚁从点到点的移动方向向下 【分析】（1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据（1）中规律写出的坐标即可； （3）根据是2的倍数，可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致． 【详解】（1）解：由图可知，，，都在轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，， ∴，，； （2）解：根据（1）可得： ∴ ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴是的整数倍， ∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向下． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． 15．解决下列与平面直角坐标系有关的知识： (1)已知点，解答下列问题： ①若点的坐标为，直线轴，直接写出点的坐标______ ②若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是、、、，求四边形的面积．    【答案】(1)①；②0 (2)100 【分析】（1）①根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标，即可得出答案； ②根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可； （2）作轴于点E，作轴于点D，根据四边形列式计算可得． 【详解】（1）解：①点Q的坐标为，直线轴， ， ， ， 点P的坐标为． 故答案为：． ②点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ， ， ， ． （2）解：如图，过点A作轴于点E，作轴于点D，    ∵、、、， ∴，，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查了三角形面积、坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点及割补法求不规则几何图形面积是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 平面直角坐标系 知识点一：有序数对： 1. 有序数对的概念： 由  有顺序的  两个数a与b组成的数对．记作  （a，b） ． 2. 有序数对的应用： 利用有序数对可以表示物体的位置。 表示方法有：  行列  定位法；   方向角加距离  定位法。 知识点二：平面直角坐标系： 1. 平面直角坐标系的概念： 如图：平面内，两条相互垂直 ，且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 2. 平面直角坐标系各部分名称： ①坐标轴： 水平方向上的数轴称为  x轴或横坐标轴  ．取_____为正方向。 直方向上的数轴称为  y轴或纵坐标轴  ．取______为正方向。 ②原点：两坐标轴的  交点  是平面直角坐标系的原点。 ③象限：如图，两坐标轴把平面分成四部分，构成四个象限。从右上角开始，逆时针方向分别是  第一象限  ，  第二象限  ，  第三象限  ，  第四象限  ． 3.点与坐标： ①确定点的坐标： 过点作轴的垂线，垂足点所表示的数即为点的  横坐标  ；作轴的垂线，垂足点所表示的数即为  纵坐标  ． ②根据点的坐标确定位置： 过横坐标作  轴  垂线，过纵坐标作  轴  的垂线，两条出现的交点即为该坐标表示的位置。 4. 平面直角坐标系内各部分的坐标特点： ①轴上所有点的纵坐标为  0  ，即坐标可表示为  （，0）  ． ②轴上所有点的横坐标为  0  ，即坐标可表示为  （0，）  ． ③第一象限内横纵坐标均为  正数  ，即可表示为  （﹢，﹢）  ． ④第二象限内横坐标为  负数  ，纵坐标为  正数  ，即可表示为  （﹣，﹢）  ． ⑤第三象限内横纵坐标均为  负数  ，即可表示为  （﹣，﹣）  ． ⑥第四象限内横坐标为  正数  ，纵坐标为  负数  ，即可表示为  （﹢，﹣）   知识点三：坐标与图形性质： 1. 一三象限角平分线上的点的坐标特点： 在一三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标  相等  ．即    ． 2. 二四象限角平分线上的点的坐标特点： 在二四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标  互为相反数  ．即    ． 3. 关于坐标轴对称的两个点的坐标特点： ①关于轴对称：横坐标  不变  ，纵坐标  互为相反数  ．即若 关于x轴对称，则    ． ②关于轴对称：纵坐标  不变  ，横坐标  互为相反数  ．即若关于y轴对称，则    ． 4. 与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特点： ①平行于轴（垂直于轴）：该直线上所有点的  纵坐标  相等。两点之间的距离等于  横坐标之差的绝对值  ． ②平行于轴（垂直于轴）：该直线上所有点的  横坐标  相等。两点之间的距离等于  纵坐标之差的绝对值  ． 5. 点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于  纵坐标的绝对值  ，即  _____  ． 点到纵坐标轴的距离等于  横坐标的绝对值  ，即  ______  ． 知识点四：坐标表示平移： 1. 坐标的平移规律： 左右平移，  横坐标  进行加减，向右  加  ，向左  减  ． 上下平移，  纵坐标  进行加减，向上  加  ，向下  减  ． P（x，y）的平移方式（a＞0，b＞0） 平移后的坐标 点的平移方式 左右平移 向右平移a个单位长度    (x+a, y)   向左平移a个单位长度    (x-a, y) 上下平移 向上平移b个单位长度    （x, y＋b) 向下平移b个单位长度    (x, y-b） 2. 图形的平移： 把图形中的  关键点  按照点的平移进行平移，得到平移之后对应的点，把对应点按照原图形连接即可． 3. 求坐标系中图形的面积： 利用  割补 法把图形分割或者补齐为规则图形从而求得图形面积。 易错点1 混淆坐标的有序性 易错提醒 书写点的坐标时，经常颠倒横坐标和纵坐标的顺序，完全忽略了坐标的有序性特征，使得原本的点被错误定位到平面直角坐标系中完全不同的位置，这类错误是学生刚接触平面直角坐标系时最容易出现的典型问题。 【对点训练】1如图，点A的坐标是（    ）    A． B． C． D． 易错点2 记错特殊位置点的坐标特征 易错提醒 这类错误是平面直角坐标系相关考题中的高频失分点，学生最常见的错误是混淆x轴与y轴上点的坐标特征，错把x轴上点的横坐标记为0，把y轴上点的纵坐标记为0。除此之外，多数学生还会记混平行于坐标轴的直线上点的坐标规律：错认为平行于x轴的直线上所有点横坐标相同，平行于y轴的直线上所有点纵坐标相同，完全记反了两类直线的坐标特征。还有不少学生对坐标轴与象限的关系理解出错，误将坐标轴上的点归到某一个象限内，忽略了坐标轴不属于任何象限这一基本规定，部分学生还会记错原点的坐标形式，出现不必要的书写错误。 【对点训练】2若点的坐标是，，且轴，则点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 易错点3 记混四个象限内点的坐标符号规律 易错提醒 有的学生死记硬背四个象限内点的坐标符号规律，缺乏结合坐标系位置的理解记忆，很容易记混不同象限的符号特征：最常见的错误是错将第二象限点的坐标符号记为(正,负)，错把第三象限点的坐标符号记为(负,正)；还有不少学生会混淆符号的对应顺序，忘记符号规律是“先横后纵”，经常把横纵坐标的符号记反，哪怕整体正负记忆没错，最终也会判断出错。还有部分学生遇到坐标轴上的点时，还错误套用象限点的符号规律分析，完全记错了“坐标轴不属于任何象限”的基本规定，这类错误也是基础考题中十分常见的失分点。 【对点训练】3．在平面直角坐标系中，点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 易错点4 计算点到坐标轴的距离 易错提醒 在计算点到坐标轴距离时，会混淆距离和对应坐标的关系，错把点(x,y)到x轴的距离当成横坐标的绝对值|x|，把到y轴的距离当成纵坐标的绝对值|y|，完全记反了对应关系。部分题目还会结合点的坐标符号，要求根据距离反推点的坐标，学生很容易只求出一种符合条件的坐标就停止作答，忽略了距离是绝对值，横纵坐标都存在正负两种可能，漏解的情况十分常见。此外在计算坐标系中线段长度时，不少学生忘记给坐标差加绝对值，直接用大坐标减小坐标，在端点位置不确定时就会得出错误结果，这类细节也成为很多基础题的失分点。 【对点训练】4已知点P在第三象限内，点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 易错点5 求解对称点坐标 易错提醒 很多学生记混不同对称类型下点的坐标变化规律，最常见的错误是混淆关于x轴、y轴对称的变号规则，错记成“关于x轴对称的点横坐标变号、纵坐标不变”，完全记反了变化规则，导致求出的对称点坐标完全错误；还有不少学生忘记关于原点对称的点需要横、纵坐标都变号，经常只改变其中一个坐标的符号，漏掉另一个坐标变号，最终得出错误结果。除此之外，当题目要求求解关于平行于x轴或y轴的直线的对称点坐标时，很多学生分不清是横坐标还是纵坐标需要按对称轴调整，只会硬套坐标轴对称的规律，不会结合“对称点到对称轴的距离相等”这一核心性质推导，一旦不是坐标轴本身就容易出错，这类题目也是该模块考试中的常见失分点。 【对点训练】5在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 易错点6 建立平面直角坐标系时，没有遵循原点选取的基本原则 易错提醒 建立平面直角坐标系时，没有遵循原点选取的基本原则，导致建立的坐标系不符合题目要求，后续计算出的所有点的坐标都会偏离标准答案。这类错误大多出现在结合实际几何图形的开放型考题中，不少学生只求快速画出坐标系，忽略了题目给出的已知参考坐标信息，比如题目已经指定图形上某一顶点的坐标，学生仍随意选取原点，最终得到的所有位置坐标全部出错，整道题的分值因此全部丢失，属于平面直角坐标系相关题目中比较典型的隐性失分点。 【对点训练】6如图是一副象棋残局，将棋盘建立直角坐标系，若两个“卒”的坐标分别为，，那么“車”的坐标是(　　) A． B． C． D． 易错点7 利用平面直角坐标系的性质求参数问题 易错提醒 容易混淆不同特殊位置下点的坐标规律：比如将x轴上点的坐标特征记反，误记为横坐标为0纵坐标任意，实际x轴上点应为纵坐标为0横坐标任意；对不同象限角平分线上点的坐标特征记忆混淆，记反一三象限与二四象限角平分线上点横纵坐标的关系；也有不少学生记混平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，分不清平行于x轴和y轴时，到底是横坐标相等还是纵坐标相等。遇到这类给出点的位置求未知参数的题目时，就会因为规律记错列出错误等式，最终得出完全错误的结果，是基础题失分的重灾区之一。 【对点训练】7如果点在x轴上，那么点的坐标为(   ) A． B． C． D． 易错点8 点在平面直角坐标系中的规律探究问题 易错提醒 这类问题通常会给出特定排列规律的点坐标，要求学生推导指定位置点的坐标，考查学生对坐标变化规律的观察总结能力，也是近年中考较为热门的题型。学生出错多是因为观察时只关注了横纵坐标其中一个的变化，忽略了整体周期规律，或是在计算周期余数时出错，最终推导出错误的坐标结果。部分学生还会因为整理变化规律时出错，把坐标的变化关系总结错误，进而得到错误答案。这类问题难度不大，但对观察和归纳能力有一定要求，需要学生总结规律后多做验证，避免因粗心导致结论出错。 【对点训练】8如图，已知、、、、、则点的坐标是 ．    易错点9 求解坐标系中不规则图形面积时出错 易错提醒 这类出错主要分为两类情况，一类是学生未掌握割补法的核心思路，面对不规则图形不知如何拆分或补全为可计算面积的规则图形，直接胡乱计算导致结果错误；另一类是在根据点的坐标计算边长时，混淆横纵坐标对应的边长，或是忘记长度必须为非负数，未对坐标差取绝对值就直接代入计算，最终得到错误的面积结果。求解此类问题时，要牢记割补法的应用原则：不规则图形转化为规则图形后，分割的图形要逐个加和计算面积，补全出的多余图形面积要整体减去，计算时核对每一段边长对应的坐标差，就能大幅降低出错概率。 【对点训练】9如图，在平面直角坐标系中，、．求的面积． 一、单选题 1．如图，小手盖住的点的坐标可能是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，点到x轴的距离和到y轴的距离分别为（    ）    A．2，1 B．1，2 C．，1 D． 3．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点（    ）    A． B． C． D． 4．点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，…，第n次移动到点，则点的坐标是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，点且，则点所在象限是 ． 7．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是和，那么“卒”的坐标为 ．    8．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为4，则的值为 ． 9．在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点P的坐标为 ． 10一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动［即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）]→…且每秒跳动一个单位，那么第2019秒时跳蚤所在位置的坐标是 ． 三、解答题 11．围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，．    (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出C、D两颗棋子的坐标； (3)有一颗黑色棋子E的坐标为，请在图中画出黑色棋子E． 12．已知平面直角坐标系内有一点． (1)当点M在x轴上时，求点M的坐标； (2)当点M在第一象限且到y轴的距离为3时，求点M的坐标； (3)若点M在第四象限且到x轴的距离是2，求的值． 13．在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当轴时，求的值； (2)当点到两坐标轴的距离相等时，求点所在的象限． 14．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 15．解决下列与平面直角坐标系有关的知识： (1)已知点，解答下列问题： ①若点的坐标为，直线轴，直接写出点的坐标______ ②若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是、、、，求四边形的面积．    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $