12.1 函数 导学案 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

12.1 第2课时 用列表法、解析法表示函数关系 素养目标 1.知道表示函数有三种方法,会用列表法、解析法表示函数关系. 2.能根据实际问题的已知条件,列出简单的函数关系的表达式. 3.会确定自变量的取值范围,会根据自变量求函数的值. 重点 列表法、解析法表示函数关系. 【自主预习】 预学思考 还记得上节课研究的三个函数问题吗?它们都是用什么方法表示函数的? 自学检测 1.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据(如下表): 温度/℃ -20 -10 0 10 20 30 声速/(m/s) 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是 ( ) A.在这个变化中,自变量是温度,因变量是声速 B.当空气温度为20 ℃时,声速为342 m/s C.温度越高,声速越快 D.温度每升高10 ℃,声速增加8 m/s 2.为了体现尊老爱老的中华传统美德,重阳节当天学校组织若干名退休老教师去黄山游玩,若学校租37座的客车x辆,则余下8人无座位.若共有y人参加此次重阳节游玩,则y与x之间的关系式为 ( ) A.y=8x+37 B.y=x+45 C.y=37x-8 D.y=37x+8 【合作探究】 知识生成 知识点一 函数的表示方法 阅读教材本课时“例1”之前的内容,回答下列问题. 1.通过列出自变量的值与对应的 的表格来表示函数关系的方法叫作 ;用 表示函数关系的方法叫作解析法,其中的等式叫函数 式(或函数解析式).  2.讨论:用列表法和解析法表示函数各有什么优点? 归纳总结 表示函数关系主要有　　　　、　　　　、　　　　三种方法.  对点训练 从甲地到乙地的路程为300千米,一辆汽车从甲地到乙地,每小时行驶50千米,行驶的时间为t(单位:时),离乙地的路程为s(单位:千米),填写下表,并填空. t/时 1 2 3 4 5 6 s/千米 　　  　　  　　  　　  　　  　　  用t的式子表示s为 .  知识点二 函数自变量的取值范围 阅读课本第27页“例1”,回答下列问题. 函数关系式需要符合数学算式本身有意义的条件,对于分式,应符合分母不能等于 ;对于二次根式,被开方数要大于等于 .  归纳总结 在理解自变量的取值范围时要注意的问题: (1)函数关系式为整式形式:自变量取值范围为　　　　　　.  (2)函数关系式为分式形式:分母　 .  (3)函数关系式含算术平方根:被开方数　　　　　　　.  (4)函数关系式含0指数:　 .  (5)如果是实际问题时,自变量必须有实际意义. (6)当表达式是复合形式时,则需列不等式组,使所有式子同时有意义. 对点训练 1.函数y=中自变量x的取值范围为 .  2.函数y=中自变量x的取值范围为 .  知识点三 列函数表达式及求函数值 阅读课本第27页至第28页 “例2”“例3”,回答下列问题. 把自变量的值代入 中,可求得因变量的值,即是 .  归纳总结 求函数值的实质是求代数式的值,只要准确代入、仔细计算即可.列出函数表达式应根据实际问题中的变量关系得出. 对点训练 1.从A地向B地打长途电话,按时收费,3 min内收费2.4元,以后每超过1 min加收1元,若通话t(t≥3)min,则需付电话费y与t之间的函数表达式是 ( ) A.y=t-0.5 B.y=t-0.6 C.y=3.4t-7.8 D.y=3.4t-8 2.根据如图所示的计算程序计算变量y的值,若输入m=4,n=3时,则输出y的值是 ( ) A.13 B.7 C.10 D.11 题型精讲 题型1 求函数自变量的取值范围 例1　函数y=+中自变量x的取值范围是 ( ) A.x≥2 B.x≤3 C.2≤x≤3 D.x≥3或x≤2 变式训练 求下列函数中自变量的取值范围. (1)s=;(2)y=;(3)y=. 题型2 求函数值 例2　同一温度的华氏度数y(单位:℉)与摄氏度数x(单位:℃)之间的函数关系是y=x+32.如果某一温度的摄氏度数是25 ℃,那么它的华氏度数是　　　℉.  变式训练 已知函数y=,当x=10时,y=　　　.  题型3 列函数表达式 例3　暑假里,我校组织部分学生去某地参加数学素质杯夏令营.已知该校距目的地240千米,如果乘车去,汽车行驶的速度为每小时40千米. (1)汽车出发后1小时、2小时、3小时……汽车分别行驶了多少千米?请填入下表: 出发后行驶时间t/时 1 2 3 4 5 6 行驶路程s/千米 　　  　　  　　  　　  　　  　　  (2)写出汽车行驶的路程s(单位:千米)与开出时间t(单位:时)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围. 变式训练 某水库的水位在5小时内持续上涨,初始水位高度为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升,则水库的水位高度y(单位:米)与时间x(0≤x≤5)(单位:时)的函数关系式为　 . 参考答案 自主预习 预学思考 问题1用表格表示函数关系,问题2用数学式子表示函数关系,问题3用图象表示函数关系. 自学检测 1.D　2.D 合作探究 知识生成 知识点一 1.函数值　列表法　数学式子　表达 2.列表法能直观地反映自变量与对应的函数值;解析法简洁全面,能直接根据自变量的值求出对应的函数值. 归纳总结 列表法　解析法　图象法 对点训练 t/时 1 2 3 4 5 6 s/千米 250 200 150 100 50 0 s=300-50t 知识点二 0　0 归纳总结 (1)任意实数 (2)不等于0 (3)大于或等于0 (4)底数不等于0 对点训练 1.x≥ 2.x≥6且x≠7 知识点三 函数表达式　函数值 对点训练 1.B　2.B 题型精讲 题型1 例1 C 变式训练 解:(1)全体实数 (2)x≠- (3)x≤2 题型2 例2 77 变式训练 2 题型3 例3 解:(1) 出发后行驶时间t/时 1 2 3 4 5 6 行驶路程s/千米 40 80 120 160 200 240 (2)汽车每小时行驶40千米, 所以关系式为s=40t.自变量的取值范围是0≤t≤6. 变式训练 y=0.3x+6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1 第4课时 从函数图象中获取信息 素养目标 1.能从函数图象中获取与函数有关的信息,解决函数中的问题. 2.能通过函数间变量的关系,理解图象中的点或线段代表的实际意义. 3.掌握数形结合思想,提高解决问题的能力. 重点 函数图象的实际意义. 【自主预习】 预学思考 什么是函数图象法? 自学检测 1.如图,这是一种古代计时器——“漏壶”的示意图,在壶内盛一定量的水,水从壶下的小孔漏出,壶壁内画出刻度,人们根据壶中水面的位置计算时间.若用x表示时间,y表示壶底到水面的高度,下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是(不考虑水量变化对压力的影响) ( ) A. B. C. D. 2.某社区有一块空地需要绿化,某绿化组承担了此项任务,绿化组工作一段时间后,提高了工作效率.该绿化组完成的绿化面积S(单位:m2)与工作时间t(单位:h)之间的函数关系如图所示,则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是　　　　m2.  【合作探究】 知识生成 知识点 从函数图象中获取信息 阅读课本本课时所有内容,回答下列归纳总结中的问题. 归纳总结 观察函数的图象,我们既可以通过观察某点的值,得知每一个自变量x与 的对应值;也可以通过观察上升线、 、 ,得到因变量y在某一段时间内的变化情况,注意上升线、下降线倾斜程度的不同表示的意义. 对点训练 甲、乙二人从学校出发去科技馆,甲步行一段时间后,乙骑自行车沿相同路线行进,两人均匀速前行,他们的路程差s(单位:米)与甲出发时间t(单位:分)之间的函数关系如图所示,下列说法正确的是 . ①乙先到达科技馆; ②乙的速度是甲速度的2.5倍; ③b=480; ④a=24. 题型精讲 题型1 从函数图象中获取信息 例1　如图,图象(折线OEFPMN)描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系,下列说法中错误的是 ( ) A.第3分钟时汽车的速度是40千米/时 B.第12分钟时汽车的速度是0千米/时 C.从第3分钟到第6分钟,汽车行驶了120千米 D.从第9分钟到第12分钟,汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时 变式训练 如图,这是韩老师早晨出门散步时,离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象.若用黑点表示韩老师家的位置,则韩老师散步行走的路线可能是 ( ) A. B. C. D. 题型2 交点的实际意义 例2　汽车在行驶过程中,速度往往是变化的,下图表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.观察图象回答问题: (1)汽车从出发到最后停止共经过了多少时间?它的最高时速是多少? (2)汽车在哪些时间段匀速行驶?时速分别是多少? (3)出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么? (4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况. 变式训练 某水果超市以3元/千克的价格购进某种水果若干,销售一部分后,根据市场行情降价销售,销售额y(单位:元)与销售量x(单位:千克)之间的关系如图所示.若该水果超市销售此种水果的利润为110元,则销售量为　　　　千克.  参考答案 自主预习 预学思考 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法,叫作图象法. 自学检测 1.B 2.150 合作探究 知识生成 知识点 归纳总结 因变量y　下降线　平行线 对点训练 ①②③ 题型精讲 题型1 例1 C 变式训练 D 题型2 例2 解:(1)24分钟,最高时速是90千米/时. (2)2~6分钟匀速行驶,时速为30千米/时,18~22分钟匀速行驶,时速为90千米/时. (3)汽车停下了. (4)汽车从0~2分钟加速,从2~6分钟匀速行驶,6~8分钟减速行驶,8~10停下了,10~18分又加速行驶,18~22分匀速行驶,22~24减速到停止. 变式训练 130 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1 第3课时 用图象法表示函数关系 素养目标 1.观察函数图象,感受图象表达自变量x与因变量y对应关系的优点. 2.掌握列表、描点、连线,画一个函数的图象. 3.感受函数与图象的对应关系,培养数形结合的数学思想. 重点 通过列表、描点、连线画函数图象. 【自主预习】 预学思考 根据所学的表示函数关系的三种方法,完成下面填空. 列表法 解析法 图象法 定义 优点 自学检测 用固定的速度往如图所示的杯子里注水,则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 【合作探究】 知识生成 知识点 函数的图象 阅读课本第29页至第30页“练习”前面的内容,回答下列问题. 1.用图象表示两个变量间的函数关系的方法,叫作 .  2.由函数表达式画图象的一般步骤是怎样的? (1)列表:给出自变量与函数的一些对应值,列表时,自变量的取值不能超出 ,把自变量放在表格的第一行,并按从小到大的顺序排列,相应的函数值放在第二行.  (2)描点:以表中自变量的值作为 ,对应的函数值作为 ,在平面直角坐标系中描出相应的点,点取得越多,图象误差越小.  归纳总结 图象是坐标平面上以自变量的值为横坐标、以对应的函数值为纵坐标的点组成的图形, 直观地反映了变量之间的对应关系和变化规律. 对点训练 1.下列曲线中不能表示y是x的函数的是 ( ) A. B. C. D. 2.把下列画函数y=-x+2图象的过程补充完整. 解:(1)列表: x … -2 -1 0 1 2 3 … y=-x+2 … … (2)画出函数的图象: 题型精讲 题型1 函数图象 例1　下列图象中,不能表示y是x的函数的是 ( ) A. B. C. D. 变式训练 小明骑自行车上学,开始以一定速度匀速行驶,但行至中途自行车出了故障,只好停下来修车.修好后,因怕耽误上课,他以比修车前更快的骑车速度继续匀速行驶,请你大体画出行驶路程 s(单位:米)关于时间t(单位:分)的函数图象. 题型2 画函数的图象 例2　长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李费用y(单位:元)是行李质量x(单位:千克)的一次函数,则y与x之间的函数关系式是y=x-6(x≥30),请画出函数的图象. 变式训练 一辆汽车以50千米/时的速度,从相距150千米的甲城市开往乙城市,求汽车与乙城市的距离y(单位:千米)与行驶时间x(单位:时)的函数关系式,并画出图象. 参考答案 自主预习 预学思考 列表法 解析法 图象法 定义 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 用数学式子表示函数关系的方法 用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法 优点 具体反映了函数与自变量的数值对应关系 准确地反映了函数与自变量的数量关系 较直观地看出两个变量之间的关系 自学检测 A 合作探究 知识生成 知识点 1.图象法 2.(1)自变量的取值范围　(2)横坐标　纵坐标 归纳总结 图象法 对点训练 1.C 2.解:(1)列表: x … -2 -1 0 1 2 3 … y=-x+2 … 4 3 2 1 0 -1 … (2)画出的图象如下: 题型精讲 题型1 例1 B 变式训练 解:这是一道画图象的开放题,没有具体的数字,画图象时可根据题目的叙述,大体画出符合实际情况的图象. 题型2 例2 解:(1)列表: x 30 60 80 … y=x-6 0 6 10 … (2)描点、连线,图象如图所示. 变式训练 解:y=150-50x(0≤x≤3). 图象如下图: 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1 第1课时 函数的相关概念 素养目标 1.通过实例,知道常量、变量的意义. 2.能判别实际问题中出现的常量、变量与自变量. 3.知道函数的意义,能说出生活中的一些函数实例. 重点 变量与常量. 【自主预习】 预学思考 购买单价是2元的圆珠笔,总金额y元与圆珠笔支数n有怎样的关系?指出其中的常量、自变量与因变量. 自学检测 在圆的周长公式C=2πr中,常量与变量分别是 ( ) A.2是常量,C,π,r是变量 B.2,π是常量,C,r是变量 C.C,2是常量,r是变量 D.2是常量,C,r是变量 【合作探究】 知识生成 知识点 函数的相关概念 阅读课本第24页至第26页“练习”前面的内容,回答下列归纳总结中的问题. 归纳总结 1.在某一变化过程中,称数值发生变化的量为 ,始终不变的量称为 .  2.一般地,设在一个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有　　　　　　　　　与它对应,那么就说y是x的　　　,其中x是　　　,当x=a时,y=b,则b叫作当自变量x取a时的　　　.  对点训练 1.(跨学科题型)你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用吗?因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池,这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右,随着温度降低,电池中的化学物质活性降低,从而导致电池不耐用.在这个变化过程中,自变量是 ( ) A.化学物质 B.温度 C.电池 D.电瓶车 2.如图,这是体检时的心电图,其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,y　　　　(填“是”或“不是” )x的函数.  题型精讲 题型1 常量与变量 例1　(1)在圆的面积公式S=πr2中,常量是 ,变量是 .  (2)某村的耕地面积是a公顷(a是常量),该村人均占有耕地面积y公顷随着这个村的人数x的变化而变化,其中常量是 ,变量是 .  变式训练 如图,这是加油站某时刻加油机上的数据显示牌.关于金额、数量、单价这三个量,下列说法正确的是 ( ) A.金额、单价是变量,数量是常量 B.数量、单价是变量,金额是常量 C.金额、数量是变量,单价是常量 D.金额、数量、单价都是变量 题型2 函数的定义 例2　下列表达式中,y不是x的函数的是 ( ) A.y+x=0 B.y2=2x C.y=|2x| D.y=2x2+4 变式训练 已知两个变量x,y满足关系2x-3y+1=0,试问: (1)y是x的函数吗? (2)x是y的函数吗?若是,写出y与x的关系式;若不是,说明理由. 题型3 实际问题中的函数 例3　每张电影票的票价为10元/张,如果早场售出150张,午场售出206张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售票x张,票房收入y元. (1)根据题意填写下表: 售出票数x/张 早场150 午场206 晚场310 收入y/元 (2)在以上过程中,变化的量是 ,不变的量是 .  (3)试用含x的式子表示y,y= ,x的取值范围是 .  变式训练 夏天蚊虫肆虐,许多家庭会使用蚊香进行灭蚊.为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间t(单位:h)与蚊香长度s(单位:cm)的关系,数学小组的同学通过试验得到下列一组数据: 蚊香燃烧时间t/h 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度s/cm 105 100 95 90 85 请根据以上信息,解答下列问题: (1)在这个变化过程中,哪个是自变量?哪个是因变量? (2)当蚊香的燃烧时间为3 h时,蚊香长度为多少? 参考答案 自主预习 预学思考 y=2n;常量是2,自变量为n,因变量为y. 自学检测 B 合作探究 知识生成 归纳总结 1.变量　常量 2.唯一确定的值　函数　自变量　函数值 对点训练 1.B 2.是 题型精讲 题型1 例1 1.(1)π　r,S (2)a　x,y 变式训练 C 题型2 例2 B 变式训练 解:(1)y=x+,y是x的函数. (2)x=y-,x是y的函数. 题型3 例3 (1) 售出票数x/张 早场150 午场206 晚场310 收入y/元 1 500 2 060 3 100 (2)售票张数与票房收入　电影票的票价 (3)10x　x≥0 变式训练 解:(1)自变量是蚊香燃烧的时间,因变量是蚊香长度. (2)根据题意和表格数据可得s=-10t+105, 当t=3 h时,s=-10×3+105=75(cm). 学科网（北京）股份有限公司 $$