第一章 有理数（14大考点+11大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪科版七年级上册

该初中数学知识清单系统整合了“有理数”单元核心内容，涵盖正数负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值等基础概念，以及加减乘除、乘方、混合运算、科学计数法等运算规则，搭建从概念理解到运算应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点分点梳理+易错点专项突破”呈现知识体系，如将“绝对值非负性”“乘方符号法则”等标注为重点，针对“去绝对值符号判断”“异号相加法则误用”等易错点设计对点训练，培养学生运算能力与推理意识。配套练习题与知识紧密结合，不同层次学生可高效巩固，教师能据此优化教学，提升课堂针对性。

第1章 有理数 知识点01：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数． 负数：在正数前面加上负号“−”的数叫做负数． 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数．（不是带“−”号的数都是负数，而是在正数前加“−”的数．） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量． 知识点02：有理数 （1）概念 整数：正整数、0、负整数统称为整数． 分数：正分数、负分数统称分数．（有限小数与无限循环小数都是有理数．） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数． （2）分类：两种 知识点03：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的． （3） 知识点04 相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数．（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数． （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数．两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数． （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“﹣”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“﹣”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点05绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值． （2）代数意义： 一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0 a=0，|a|=0 a＜0，|a|=‐a 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数． （4）性质：绝对值是a（a＞0） 的数有2个，他们互为相反数．即±a． （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0．几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0．故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 （6）比较大小 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大． 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数．两个负数比较大小时，绝对值大的反而小． 知识点06 加法法则 1 加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．即a＋b=b＋a 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变．即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点07减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即a－b=a＋（﹣）b 知识点08乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同0相乘，都得0． （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值． （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0． 知识点09除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 知识点10倒数 （1）定义：的两个数互为倒数． （2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数． 注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为1，-1． 知识点11乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等．即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c． 知识点12 乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点13混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减． （2）同级运算，从左到右的顺序进行． （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值． 知识点14科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）．这种记数的方法叫做科学记数法．﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位． （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 易错点1 概念混淆类错误 易错提醒 这类错误本质是对概念核心要点掌握不完整，常见的混淆情形有： ①混淆相反数与倒数概念：错认为“符号相反的数就是相反数”，漏掉了“绝对值相等”的必要条件。 ② 混淆绝对值概念：错误认为任意数的绝对值一定是正数，忽略了0的绝对值是0这个特殊情况，还常错记结论，误写“绝对值等于本身的数只有正数”，漏掉了0； ③混淆数轴概念：画数轴或者判断数轴时，经常漏掉原点、正方向、单位长度三个核心要素中的任意一项，不理解数轴“三要素缺一不可”的要求； ④混淆特殊取值结论：错记“倒数等于本身的数只有1”，漏掉了-1，或是误把“相反数等于本身的数”记成0和1，这类结论记忆混淆十分常见。 【对点训练】1下列说法不正确的是(    ) A．任何一个非零有理数的绝对值都是正数 B．0既不是正数也不是负数 C．乘积为0的两个数互为倒数 D．0的绝对值等于它的相反数 【答案】C 【分析】有理数包括：正有理数、负有理数和0；0既不是正数也不是负数；0的相反数是0；绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．乘积为1的两个数互为倒数，据此逐一判断即可得答案. 【详解】A.任何一个非零有理数的绝对值都是正数，正确，故该选项不符合题意， B.0既不是正数也不是负数，正确，故该选项不符合题意， C.乘积为1的两个数互为倒数，故该选项错误，符合题意， D.0的绝对值等于0，0的相反数是0，故0的绝对值等于它的相反数，正确，不符合题意， 故选：C. 【点睛】考查的是有理数的分类、正数和负数的定义、绝对值的性质及倒数的定义，熟练掌握相关定义及性质是解题关键. 易错点2 对0的理解错误 易错提醒 误认0是最小的整数，忽略负整数的存在，也经常搞错0的相关性质：比如错误认为0没有相反数，或是误以为0存在倒数；在涉及绝对值化简、分类讨论根的情况时，常常漏掉0这一特殊情况，只区分正、负两类；在运用除法运算时，也经常遗忘“除数（分母）不能为0”的限制，求解参数范围时漏掉对0的排除， 常错误将0归入正数或负数，漏掉“0既不是正数也不是负数”这一关键性质；忽略“0没有倒数”这一特殊性质。 【对点训练】2下列说法错误的是（　　） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．海拔高度是0米表示没有高度 D．0℃是零上温度和零下温度的分界线 【答案】C 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此可以得到正确答案． 【详解】A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意， B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意； C、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意， D、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意， 故选C． 【点睛】此题考查了有理数，正数和负数的知识点，解题关键是理解“正”和“负”的相对性． 易错点3去绝对值环节的符号判断错误 易错提醒 去绝对值环节的符号判断错误，多源于对绝对值的代数意义理解不透彻，化简时没有先判断绝对值内整体表达式的正负，就直接默认绝对值内为正去掉符号。这类错误在结合数轴位置判断符号的化简题、带参数的绝对值分类讨论题中尤为高发。 要规避这类错误，就要牢记去绝对值的步骤：第一步先判断绝对值内代数式的正负性，再严格按照绝对值的定义化简，若参数没有给出明确范围，无法直接判断正负，则要记得分情况讨论，不能一概而论得出一种结果。 【对点训练】3若有理数a，b，c在数轴上的对应点A，B，C位置如图，化简|c|﹣|c﹣b|+|a+b|＝（　　） A．a B．2b+a C．2c+a D．﹣a 【答案】D 【分析】根据数轴判断c、c﹣b、a+b与0的大小关系，再根据绝对值进行化简，计算即可得到答案. 【详解】解：由数轴可知c＞0，c﹣b＞0，a+b＜0， ∴原式＝c﹣（c﹣b）﹣（a+b） ＝c﹣c+b﹣a﹣b ＝﹣a 故选D． 【点睛】本题考查数轴上的有理数和绝对值，解题的关键是掌握数轴上的有理数和绝对值的性质. 易错点4 异号两数相加，绝对值误用加法 易错提醒 有的同学容易混淆同号相加与异号相加的运算规则，只要见到加法就直接将两个数的绝对值相加，完全忽略符号是否相同的判断。违背了异号两数相加“取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”的运算法则。要规避这类错误，计算第一步一定要先判断两个加数的符号，明确区分同号相加和异号相加的规则差异，选对运算法则后再进行计算，计算完成后也可以重新核对符号与规则的匹配度，减少规则误用的情况。 【对点训练】4计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的加法法则可直接进行求解． 【详解】解：； 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键 易错点5运用加法交换律移动数字，不带前面符号出错 易错提醒 运用加法交换律交换数字位置时，仅移动数字本身，没有将数字和它前方的符号视为一个整体一同移动，误把符号留在原位置，从而造成符号错误。 牢记使用加法交换律时要“带着符号搬家”，每个加数本身包含它前方的正负符号，交换位置时必须将符号和数字绑定移动；所有数字移动完成后，可以逐个核对每个数的符号，确认没有错漏后再进行后续计算。 【对点训练】5下列交换加数的位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法交换律逐项判断即可． 【详解】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算律．注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 易错点6乘法分配律中去掉括号后的的符号易出错 易错提醒 使用乘法分配律去括号时，忽略括号外的负因数需要乘遍括号内每一项，同时改变括号内所有项的符号，往往只给括号内第一项乘了负号，其余项符号忘记改动，还容易出现漏乘常数项的问题。 规避方法:去括号前先确认括号外因数的正负，若括号外是负因数，先把负号和因数的绝对值分开，先用绝对值乘括号内每一项，再统一改变所有项的符号；可以牢记口诀“负进括号全变号，每一项都要乘到位”，去括号后再逐项核对，避免漏乘、错改符号。 【对点训练】6计算的结果是（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】原式利用乘法分配律计算即可求出值 【详解】解：原式= =-22+28-18+13 =6-18+13 =-12+13 =1， 故选：A 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 易错点7乘除法中的运算顺序错误 易错提醒 有理数乘除属于同级运算，不少学生看到后两个数相乘刚好能凑出整数，就擅自改变运算顺序，忽略了同级运算必须遵循从左到右依次计算的基本规则，遇到有括号的混合运算时，也容易出现跳过括号先算乘除的错误。 规避方法：运算前先梳理算式的运算层级，牢记“先括号内、后括号外，先乘除、后加减，同级运算从左到右依次进行”的基本规则；如果想要调整运算顺序简便计算，必须先将所有除法转化为乘法，再利用乘法交换律、结合律调整顺序，切不可直接在乘除混合算式中随意改动计算顺序，计算完成后对照规则再检查一遍顺序即可有效规避错误。 【对点训练】7计算的结果是（   ） A．-1 B．1 C． D．25 【答案】C 【分析】根据有理数的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键 易错点8幂运算中的底数符号混淆错误 易错提醒 常见的情况是分辨不清类似(-a)n与-an的底数，误将二者当成同一个运算：比如计算(-3)2时，错把底数当成3，得到结果-9；计算-42时，又错把底数当成-4，得到结果16，实际上(-a)n的底数是-a，-an的底数是a，表示an的相反数，二者运算意义和结果都不相同。规避这类错误的方法是计算幂运算前先圈出底数，明确符号是否包含在底数范围内：符号包含在括号内时，符号才属于底数，再根据乘方的符号法则判断结果的正负，就能有效减少这类混淆错误。 【对点训练】8下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【答案】B 【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号． 【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意； B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意； C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意； D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键． 易错点9乘方运算错误地将指数乘到底数上 易错提醒 有的同学不理解乘方代表n个相同底数相乘的运算本质，会错误地将指数和底数直接相乘得到结果。典型错例为计算32时，错算为3 2 = 6，计算43时错算为4 3 = 12，得到完全错误的运算结果。要规避这类错误，需要从根源上理解乘方的定义：an代表n个a相乘，计算前先还原成连乘的形式再逐步计算，明确了运算本质后就能避免这类概念性错误。 【对点训练】9下列等式正确的是（     ） A．（－2）＝－2 B．2＝2×3 C．（－2）＝－2 D．（－1）＝-1 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方定义和法则逐项判断即可. 【详解】A、根据负数的奇数次幂是负数，，正确 B、，错误 C、根据负数的偶数次幂是正数，，错误 D、根据负数的偶数次幂是正数，，错误 故答案为：A. 【点睛】本题考查了有理数的乘方定义和法则，理解定义并熟记运算法则是解题关键. 易错点10 科学计数法表示方法错误 易错提醒 在科学计数法改写中，最常犯的错误，一是记错a的取值范围，比如将15000错写为15×103，不符合科学计数法对1≤|a|<10的要求；二是数错10的幂次指数，遇到带“万”“亿”这类计数单位的数值时，常常忘记先还原原数再确定指数，还存在不少人会忽略原数符号，只对绝对值做改写，最终结果符号出错。 【对点训练】10据报道，南通第一条地铁正在打造中，耗资约257.92亿元，将“257.92亿”用科学记数法表示为（　　） A．257.92×108 B．2.5792×1010 C．0.25792×1011 D．25.792×108 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：257.92亿＝25792000000＝2.5792×1010， 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 易错点11 近似数表示方法错误 易错提醒 在近似数表示中，最常见的错误是对科学计数法形式、带计数单位形式的近似数精确度判定错误，比如错将4.6×103判定为精确到十分位，忽略了原数中6实际在百位上，得出完全错误的精确度结论。 要规避这类错误，改写科学计数法时要牢记a的取值要求，遇到带计数单位的数值先还原为原数再确定指数，完成后核对原数符号不遗漏；判定近似数精确度时，先将特殊形式的近似数还原为原数，再看末位数字所在的数位，就能有效减少这类错误。 【对点训练】11下列说法错误的是（    ） A．近似数16.8与16.80表示的意义不同 B．近似数0.2900是精确到0.0001 C．近似数精确到十位 D．49564精确到万位是 【答案】D 【分析】根据近似数的精确度的知识对选项逐一判断即可． 【详解】解：A、近似数16.8精确到0.1，16.80精确到0.01，所以A选项的说法正确； B、近似数0.2900是精确到0.0001的近似数，所以B选项的说法正确； C、近似数6.850×104精确到十位，所以C选项的说法正确； D、49564精确到万位是5×104，所以D选项的说法错误． 故选D． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 一、单选题 1．．在下列说法中，（1）在有理数中，没有最小的正整数；（2）立方等于它本身的数只有两个；（3）有理数a的倒数是；（4）若a=b，则|a|=|b|．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】试题分析：在有理数中，有最小的正整数是1，（1）错误；立方等于它本身的数有±1，0共3个，（2）错误；当a=0时，a没有倒数，（3）错误；若a=b，则|a|=|b|，（4）正确．故答案选A． 考点：有理数． 2．下列说法：①零是正数；②零是整数；③零是最小的有理数；④零是最小的自然数；⑤零是最大的负数；⑥零是非负数；⑦零是偶数；其中正确的说法的个数为(   ). A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】用有理数的概念对各个小项进行判断即可. 【详解】解：：①零不是正数，故该说法错误； ②零是整数，故该说法正确； ③没有最小的有理数，故该说法错误； ④零是最小的自然数，该说法正确； ⑤零不是负数，故该说法错误； ⑥零是非负数，该说法正确； ⑦零是偶数，该说法正确； 故说法正确的个数有：4个 故选A 【点睛】本题考查了对零的认识，熟悉有理数的各种概念是解题的关键. 3．下列运用加法交换律正确的是（ ） A．-3-8+9-11=-3-8+11-9 B．-3+8-9-11=-11+3+8-9 C．-8+5-2+13=-8-2+5+13 D．-8+5-2-13=-8+5+2-13 【答案】C 【分析】加法交换律，在有理数中交换律使用时需要带着符号一起移动. 【详解】A选项，右边11和9的符号与左边不一致，错误； B选项，右边3的符号与左边不一致，错误； C选项 ，-8+5-2+13=-8-2+5+13，左右一致，正确； D选项，右边2的符号与左边不一致，错误； 故选C. 【点睛】本题考查有理数加法运算律，理解运算律在有理数中的区别是解题的关键，交换过程中相同数字的符号不发生改变. 4．计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】B 【分析】根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键在于能够熟练掌握有理数乘法的分配律． 5．若a、b、c在数轴上的位置如图，则化简为（    ） A．a+b B．-a+b C．-a-b+2c D．-a+b-2c 【答案】B 【分析】先根据数轴确定a，b，c的取值范围，再逐一对各选项判定，即可解答． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的化简，解决本题的关键是根据数轴确定a，b，c的取值范围． 二、填空题 6．在﹣1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是___________． 【答案】0 【分析】根据题意，既不是正数，也不是负数的数只有0． 【详解】解：一个数既不是正数，也不是负数，这个数是0． 故答案为0． 【点睛】本题考查了正数和负数，解决本题需注意既不是正数也不是负数的数只有0． 7．人体中约有25万亿个红细胞，将25万亿用科学记数法表示为__________． 【答案】2.5×1013 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：25万亿=25 000 000 000 000=2.5×1013． 故答案为：2.5×1013． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 8．计算：_________． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除混合计算法则进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 9．比较大小：（1）（-2） ____-2 ； （2）（-2）____-2． 【答案】 ＞ = 【分析】（1）先根据乘方的符号法则化简（-2），再根据正数大于负数即可比较； （2）先根据乘方的符号法则化简（-2），即可得出两数相等． 【详解】解：（1）； （2）， 故答案为： >，=． 【点睛】本题考查乘方的符号法则，有理数的大小比较．理解负数的偶次方为正，奇次方为负是解题关键． 10．如图，数轴上的点A所表示的数为a，化简|a|-|1-a|的结果为_______． 【答案】1 【分析】结合题意，根据数轴的性质，得到a的取值范围；再结合绝对值的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵数轴上的点A所表示的数为a ∴ ∴ ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值的性质，从而完成求解． 三、解答题 11．把下列各数填入相应集合的括号内． +8.5，﹣3，0.3，0，﹣3.4，12，﹣9，﹣1.2，20%，﹣2． （1）正数集合：{_____…}； （2）整数集合：{_____…}； （3）非正整数集合：{_____…}； （4）负分数集合：{_____…}． 【答案】（1）正数集合：{+8.5，0.3，12，20%  …}；（2）整数集合：{0，12，﹣9，﹣2…}；（3）非正整数集合：{0，﹣9，﹣2…}；（4）负分数集合：{﹣3，﹣3.4，﹣1.2…}， 【分析】根据有理数的分类，可得答案． 【详解】解：（1）正数集合：{+8.5，0.3，12，20%  …}； （2）整数集合：{0，12，﹣9，﹣2…}； （3）非正整数集合：{0，﹣9，﹣2…}； （4）负分数集合：{﹣3，﹣3.4，﹣1.2…}， 【点睛】本题考查有理数的分类，熟记有理数的定义及其分类是本题的解题关键. 12．．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘法，再计算除法求解； （2）先计算除法，再计算乘法求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数乘除法的运算法则，理解有理数乘法和除法的运算法则是解答关键． 13．计算：． 【答案】 【分析】根据含乘方的有理数混合运算法则，计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 14．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)﹣2； (2)﹣2398． 【分析】（1）根据有理数的乘法分配律计算，将括号内的每一项与相乘，然后计算得出最后结果； （2）利用有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）原式＝ ＝3+1﹣6 ＝﹣2． （2）原式＝ ＝ ＝﹣2400+2 ＝﹣2398． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，要熟练运用有理数的乘法分配律，特别是第（2）问中将拆成是解此题的关键． 15．．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：．      【答案】3b-2c-3a． 【分析】由数轴可知：a＞0，c＜b＜0，，根据去绝对值法则化简即可得答案． 【详解】由数轴可知：a＞0，c＜b＜0，， ∴b-c＞0，b-a＜0，c+a＜0， ∴ =b-c+2(b-a)-(c+a) =3b-2c-3a． 【点睛】本题考查数轴的基本知识结合绝对值的综合运用，能够正确判断出各式子的正负是解题关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数 知识点01：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做__________． 负数：在正数前面加上负号“−”的数叫做_________． 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数．（不是带“−”号的数都是负数，而是在正数前加“−”的数．） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量． 知识点02：有理数 （1）概念 整数：正整数、0、负整数统称为_______． 分数：正分数、负分数统称______．（有限小数与无限循环小数都是有理数．） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为_______． （2）分类：两种 知识点03：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的． （3） 知识点04 相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数．（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数． （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数．两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数． （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“﹣”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“﹣”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点05绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值． （2）代数意义： 一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0 a=0，|a|=0 a＜0，|a|=‐a 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数． （4）性质：绝对值是a（a＞0） 的数有2个，他们互为相反数．即±a． （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0．几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0．故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 （6）比较大小 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大． 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数．两个负数比较大小时，绝对值大的反而小． 知识点06 加法法则 1 加法法则 （1）同号两数相加，取相同的_____，并把绝对值相加． （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．即a＋b=b＋a 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变．即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点07减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即a－b=a＋（﹣）b 知识点08乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同0相乘，都得0． （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值． （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0． 知识点09除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 知识点10倒数 （1）定义：的两个数互为倒数． （2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数． 注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为1，-1． 知识点11乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等．即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c． 知识点12 乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点13混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减． （2）同级运算，从左到右的顺序进行． （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值． 知识点14科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）．这种记数的方法叫做科学记数法．﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位． （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 易错点1 概念混淆类错误 易错提醒 这类错误本质是对概念核心要点掌握不完整，常见的混淆情形有： ①混淆相反数与倒数概念：错认为“符号相反的数就是相反数”，漏掉了“绝对值相等”的必要条件。 ② 混淆绝对值概念：错误认为任意数的绝对值一定是正数，忽略了0的绝对值是0这个特殊情况，还常错记结论，误写“绝对值等于本身的数只有正数”，漏掉了0； ③混淆数轴概念：画数轴或者判断数轴时，经常漏掉原点、正方向、单位长度三个核心要素中的任意一项，不理解数轴“三要素缺一不可”的要求； ④混淆特殊取值结论：错记“倒数等于本身的数只有1”，漏掉了-1，或是误把“相反数等于本身的数”记成0和1，这类结论记忆混淆十分常见。 【对点训练】1下列说法不正确的是(    ) A．任何一个非零有理数的绝对值都是正数 B．0既不是正数也不是负数 C．乘积为0的两个数互为倒数 D．0的绝对值等于它的相反数 易错点2 对0的理解错误 易错提醒 误认0是最小的整数，忽略负整数的存在，也经常搞错0的相关性质：比如错误认为0没有相反数，或是误以为0存在倒数；在涉及绝对值化简、分类讨论根的情况时，常常漏掉0这一特殊情况，只区分正、负两类；在运用除法运算时，也经常遗忘“除数（分母）不能为0”的限制，求解参数范围时漏掉对0的排除， 常错误将0归入正数或负数，漏掉“0既不是正数也不是负数”这一关键性质；忽略“0没有倒数”这一特殊性质。 【对点训练】2下列说法错误的是（　　） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．海拔高度是0米表示没有高度 D．0℃是零上温度和零下温度的分界线 易错点3去绝对值环节的符号判断错误 易错提醒 去绝对值环节的符号判断错误，多源于对绝对值的代数意义理解不透彻，化简时没有先判断绝对值内整体表达式的正负，就直接默认绝对值内为正去掉符号。这类错误在结合数轴位置判断符号的化简题、带参数的绝对值分类讨论题中尤为高发。 要规避这类错误，就要牢记去绝对值的步骤：第一步先判断绝对值内代数式的正负性，再严格按照绝对值的定义化简，若参数没有给出明确范围，无法直接判断正负，则要记得分情况讨论，不能一概而论得出一种结果。 【对点训练】3若有理数a，b，c在数轴上的对应点A，B，C位置如图，化简|c|﹣|c﹣b|+|a+b|＝（　　） A．a B．2b+a C．2c+a D．﹣a 易错点4 异号两数相加，绝对值误用加法 易错提醒 有的同学容易混淆同号相加与异号相加的运算规则，只要见到加法就直接将两个数的绝对值相加，完全忽略符号是否相同的判断。违背了异号两数相加“取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”的运算法则。要规避这类错误，计算第一步一定要先判断两个加数的符号，明确区分同号相加和异号相加的规则差异，选对运算法则后再进行计算，计算完成后也可以重新核对符号与规则的匹配度，减少规则误用的情况。 【对点训练】4计算的结果是（    ） A． B． C． D． 易错点5运用加法交换律移动数字，不带前面符号出错 易错提醒 运用加法交换律交换数字位置时，仅移动数字本身，没有将数字和它前方的符号视为一个整体一同移动，误把符号留在原位置，从而造成符号错误。 牢记使用加法交换律时要“带着符号搬家”，每个加数本身包含它前方的正负符号，交换位置时必须将符号和数字绑定移动；所有数字移动完成后，可以逐个核对每个数的符号，确认没有错漏后再进行后续计算。 【对点训练】5下列交换加数的位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点6乘法分配律中去掉括号后的的符号易出错 易错提醒 使用乘法分配律去括号时，忽略括号外的负因数需要乘遍括号内每一项，同时改变括号内所有项的符号，往往只给括号内第一项乘了负号，其余项符号忘记改动，还容易出现漏乘常数项的问题。 规避方法:去括号前先确认括号外因数的正负，若括号外是负因数，先把负号和因数的绝对值分开，先用绝对值乘括号内每一项，再统一改变所有项的符号；可以牢记口诀“负进括号全变号，每一项都要乘到位”，去括号后再逐项核对，避免漏乘、错改符号。 【对点训练】6计算的结果是（    ） A．1 B． C．10 D． 易错点7乘除法中的运算顺序错误 易错提醒 有理数乘除属于同级运算，不少学生看到后两个数相乘刚好能凑出整数，就擅自改变运算顺序，忽略了同级运算必须遵循从左到右依次计算的基本规则，遇到有括号的混合运算时，也容易出现跳过括号先算乘除的错误。 规避方法：运算前先梳理算式的运算层级，牢记“先括号内、后括号外，先乘除、后加减，同级运算从左到右依次进行”的基本规则；如果想要调整运算顺序简便计算，必须先将所有除法转化为乘法，再利用乘法交换律、结合律调整顺序，切不可直接在乘除混合算式中随意改动计算顺序，计算完成后对照规则再检查一遍顺序即可有效规避错误。 【对点训练】7计算的结果是（   ） A．-1 B．1 C． D．25 易错点8幂运算中的底数符号混淆错误 易错提醒 常见的情况是分辨不清类似(-a)n与-an的底数，误将二者当成同一个运算：比如计算(-3)2时，错把底数当成3，得到结果-9；计算-42时，又错把底数当成-4，得到结果16，实际上(-a)n的底数是-a，-an的底数是a，表示an的相反数，二者运算意义和结果都不相同。规避这类错误的方法是计算幂运算前先圈出底数，明确符号是否包含在底数范围内：符号包含在括号内时，符号才属于底数，再根据乘方的符号法则判断结果的正负，就能有效减少这类混淆错误。 【对点训练】8下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 易错点9乘方运算错误地将指数乘到底数上 易错提醒 有的同学不理解乘方代表n个相同底数相乘的运算本质，会错误地将指数和底数直接相乘得到结果。典型错例为计算32时，错算为3 2 = 6，计算43时错算为4 3 = 12，得到完全错误的运算结果。要规避这类错误，需要从根源上理解乘方的定义：an代表n个a相乘，计算前先还原成连乘的形式再逐步计算，明确了运算本质后就能避免这类概念性错误。 【对点训练】9下列等式正确的是（     ） A．（－2）＝－2 B．2＝2×3 C．（－2）＝－2 D．（－1）＝-1 易错点10 科学计数法表示方法错误 易错提醒 在科学计数法改写中，最常犯的错误，一是记错a的取值范围，比如将15000错写为15×103，不符合科学计数法对1≤|a|<10的要求；二是数错10的幂次指数，遇到带“万”“亿”这类计数单位的数值时，常常忘记先还原原数再确定指数，还存在不少人会忽略原数符号，只对绝对值做改写，最终结果符号出错。 【对点训练】10据报道，南通第一条地铁正在打造中，耗资约257.92亿元，将“257.92亿”用科学记数法表示为（　　） A．257.92×108 B．2.5792×1010 C．0.25792×1011 D．25.792×108 易错点11 近似数表示方法错误 易错提醒 在近似数表示中，最常见的错误是对科学计数法形式、带计数单位形式的近似数精确度判定错误，比如错将4.6×103判定为精确到十分位，忽略了原数中6实际在百位上，得出完全错误的精确度结论。 要规避这类错误，改写科学计数法时要牢记a的取值要求，遇到带计数单位的数值先还原为原数再确定指数，完成后核对原数符号不遗漏；判定近似数精确度时，先将特殊形式的近似数还原为原数，再看末位数字所在的数位，就能有效减少这类错误。 【对点训练】11下列说法错误的是（    ） A．近似数16.8与16.80表示的意义不同 B．近似数0.2900是精确到0.0001 C．近似数精确到十位 D．49564精确到万位是 一、单选题 1．．在下列说法中，（1）在有理数中，没有最小的正整数；（2）立方等于它本身的数只有两个；（3）有理数a的倒数是；（4）若a=b，则|a|=|b|．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法：①零是正数；②零是整数；③零是最小的有理数；④零是最小的自然数；⑤零是最大的负数；⑥零是非负数；⑦零是偶数；其中正确的说法的个数为(   ). A．4 B．3 C．5 D．6 3．下列运用加法交换律正确的是（ ） A．-3-8+9-11=-3-8+11-9 B．-3+8-9-11=-11+3+8-9 C．-8+5-2+13=-8-2+5+13 D．-8+5-2-13=-8+5+2-13 4．计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 5．若a、b、c在数轴上的位置如图，则化简为（    ） A．a+b B．-a+b C．-a-b+2c D．-a+b-2c 二、填空题 6．在﹣1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是___________． 7．人体中约有25万亿个红细胞，将25万亿用科学记数法表示为__________． 8．计算：_________． 9．比较大小：（1）（-2） ____-2 ； （2）（-2）____-2． 10．如图，数轴上的点A所表示的数为a，化简|a|-|1-a|的结果为_______． 三、解答题 11．把下列各数填入相应集合的括号内． +8.5，﹣3，0.3，0，﹣3.4，12，﹣9，﹣1.2，20%，﹣2． （1）正数集合：{_____…}； （2）整数集合：{_____…}； （3）非正整数集合：{_____…}； （4）负分数集合：{_____…}． 12．．计算： (1)． (2)． 13．计算：． 14．用简便方法计算： (1)； (2)． 15．．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：．      1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $