29.1 圆的有关概念（讲义，5大知识10大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦圆的有关概念及应用，从动态静态定义切入，系统梳理点与圆位置关系、弦弧等相关概念、确定圆的条件及反证法，构建从基础概念到实际应用的完整学习支架。 资料通过“即学即练”和分类题型设计，如网格中的外接圆问题、点与圆最值问题，培养几何直观与空间观念，反证法步骤训练推理能力，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

第二十九章 圆 29.1 圆的有关概念 知识点一 圆的有关概念 圆的定义[动态]：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转_______，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]：将圆心O，半径r的圆看成是同一平面内，所有到定点O的距离_______定长r的点的集合. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”. 确定圆的条件有两个：①圆心，它确定圆的_______；②半径，它确定圆的_______，两者缺一不可. 【易错点】“圆”指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而不是圆面. 即学即练 1．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 2．（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）下列说法：①三点确定一个圆；②三角形的外心是各边垂直平分线的交点；③圆的对称轴是直径；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 知识点二 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语音 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都_______半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内d_______r 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都_______半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点P在圆上d_______r 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都_______半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点P在圆外d_______r 【注意】 1）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 2）点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 3）掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 即学即练 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）点P在半径为的内，的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 4．（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为___________． 知识点三 圆的相关概念 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中的弦AB. 直径：经过圆心的弦叫做______________，如右图中的直径AC. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：_______半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：_______半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. 等弧：在_____________________中，能够互相_______的弧叫做等弧. 等圆：能够______________的两个圆叫做等圆. 知识点四 确定圆的条件 1）过一点作圆（如点A）：如图1，以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个. 2）过两点作圆（如点A，B）：如图2，以线段AB垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A（或点B）的距离为半径作圆即可，这样的圆也可以作无数个. 3）过不在同一条直线上的三个点作圆（如点A，B，C）：如图3，圆心在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以OA（或OB或OC）为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个 图1 图2 图3 重要结论：不在同一条直线上的三个点可以______________（有且只有）一个圆. 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是_____________________的交点. 即学即练 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 知识点五 反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 即学即练 1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（    ） A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角 C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角 2．（23-24八年级下·山西太原·期中）用反证法证明命题“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假设这个三角形的三个内角中（    ） A．可以有一个角是直角 B．可以有两个角是直角 C．三个角都是直角 D．三个角都不是直角 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 题型01 理解圆的相关概念 典｜例｜精｜析 例1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（       ） A．直线 B．正方形 C．圆 D．菱形 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，体育课上，小丽的铅球成绩是5.8米，小丽投掷的铅球落地点是（   ） A．A 点 B．B点 C．C点 D．D 点 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的弦相等；③相等的弦所对的弧相等；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 确定圆的条件 典｜例｜精｜析 例2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标_________．（写出一个就行） 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则___________．（填“”， “”，“”） 题型03 反证法证明中的假设 典｜例｜精｜析 例3．（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于 变｜式｜巩｜固 1．（2024九年级上·全国·专题练习）用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（   ） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 题型04 用反证法证明命题 典｜例｜精｜析 例1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以上说理过程） 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段检测）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 2．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 题型05 三角形外接圆与网格问题 典｜例｜精｜析 例5．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 3．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 题型06 求特殊三角形外接圆的半径 典｜例｜精｜析 例6．（25-26九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（   ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 题型07 判断点和圆的位置关系 典｜例｜精｜析 例7．（24-25九年级上·云南德宏·期末）若的直径为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知在同一平面内，的半径为，点到圆心的距离，则点在（     ） A．外 B．上 C．内 D．无法确定 2．（25-26九年级上·北京·期末）已知半径为，其中点O为原点，则点在_______．（填“圆内”，“圆外”，“圆上”） 3．（25-26九年级上·山东东营·期中）点P是所在平面内的一点，的面积是，若，则点P与的位置关系是：点P在_______． 题型08 利用点和圆的位置关系求半径 典｜例｜精｜析 例8．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 2．（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 3．如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是______． 题型09 已知点与圆的距离求半径 点在圆内，；点在圆外，. 典｜例｜精｜析 例9．（山东省济宁市附属中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 变｜式｜巩｜固 1．（2022九年级上·全国·专题练习）已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为___________． 题型10 点与圆上一点的最值问题 典｜例｜精｜析 例10．（20-21九年级上·甘肃张掖·期末）已知的半径是． （1）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （2）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为，则最长距离为___． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A．15 B． C．35 D． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为______________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆 29.1 圆的有关概念 知识点一 圆的有关概念 圆的定义[动态]：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]：将圆心O，半径r的圆看成是同一平面内，所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”. 确定圆的条件有两个：①圆心，它确定圆的位置；②半径，它确定圆的大小，两者缺一不可. 【易错点】“圆”指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而不是圆面. 即学即练 1．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）下列说法：①三点确定一个圆；②三角形的外心是各边垂直平分线的交点；③圆的对称轴是直径；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，判断确定圆的条件，三角形外接圆的概念辨析，垂径定理的推论等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据圆的相关概念，包括确定圆的条件、三角形外心的定义、圆的对称轴以及垂径定理的推论，需逐一分析每个说法的正误． 【详解】解：不在同一直线上的三点才能确定一个圆， 故①错误； 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等， 而各边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等， 故②正确； 对称轴是直线，直径是线段，圆的对称轴是直径所在的直线， 故③错误； 平分弦（非直径）的直径，才平分这条弦所对的弧， 当弦为直径时该结论不成立， 故④错误； 综上所述，正确的只有1个， 故选：A． 4．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 知识点二 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语音 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内d＜r 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点P在圆外d＞r 【注意】 1）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 2）点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 3）掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 即学即练 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）点P在半径为的内，的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 根据点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径判断即可． 【详解】解：∵点P在半径为的内， ∴的长度小于， ∵，其余选项的长度均小于， ∴的长度不可能是． 故选C． 2．（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了坐标与图形的性质．先计算点A到坐标原点O的距离，再将该距离与的半径比较，依据点与圆的位置关系判定规则得出结论 【详解】∵点的坐标为，为坐标原点， ∴， 又∵的半径， ∴， ∴点在上， 故选：B 4．（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为，点在上， ∴点P到圆心O的距离为． 故答案为3． 知识点三 圆的相关概念 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中的弦AB. 直径：经过圆心的弦叫做直径，如右图中的直径AC. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆. 知识点四 确定圆的条件 1）过一点作圆（如点A）：如图1，以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个. 2）过两点作圆（如点A，B）：如图2，以线段AB垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A（或点B）的距离为半径作圆即可，这样的圆也可以作无数个. 3）过不在同一条直线上的三个点作圆（如点A，B，C）：如图3，圆心在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以OA（或OB或OC）为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个 图1 图2 图3 重要结论：不在同一条直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆. 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. 即学即练 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，一次函数、二次函数与反比例函数的图象，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三点可以确定一个圆，结合函数的图象逐个判断即可． 【详解】解：不在同一直线上的三点可以确定一个圆， 对于①和④，一次函数的图象的形状是直线，故不符题意； 对于②，二次函数的图象的形状是抛物线，与直线最多两个交点，故符合题意； 对于③，反比例函数的图象的形状是双曲线，与直线最多两个交点，故符合题意． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 知识点五 反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 即学即练 1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（    ） A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角 C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角 【答案】D 【分析】本题考查反证法；反证法需假设原命题的否定成立，原命题“最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”. 【详解】解：∵原命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”， ∴反证法时应先假设“至少有两个内角是钝角”. 故选：D. 2．（23-24八年级下·山西太原·期中）用反证法证明命题“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假设这个三角形的三个内角中（    ） A．可以有一个角是直角 B．可以有两个角是直角 C．三个角都是直角 D．三个角都不是直角 【答案】B 【分析】本题考查了用反证法证明命题的方法．熟记反证法的步骤，然后进行判断． 【详解】解：用反证法证明“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应先假设这个三角形中可以有两个角是直角． 故选：B． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 【答案】点与点重合 【分析】本题考查反证法，掌握反证法的意义与使用步骤是关键． 根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，由此作答． 【详解】解：用反证法证明点与点不重合，则第一步应假设点与点重合． 故答案为：点与点重合． 题型01 理解圆的相关概念 典｜例｜精｜析 例1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②进行判断；根据三点确定一个圆的条件对③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：半圆是弧，故命题①正确； 弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，故命题③错误； 直径是圆中最长的弦，故命题④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确； ∴正确的是①④⑤． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（       ） A．直线 B．正方形 C．圆 D．菱形 【答案】C 【分析】根据圆的定义．平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形是圆，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是圆． 故选：C 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，体育课上，小丽的铅球成绩是5.8米，小丽投掷的铅球落地点是（   ） A．A 点 B．B点 C．C点 D．D 点 【答案】B 【分析】此题考查了有理数比较大小和圆的基本知识的应用，根据小丽的铅球成绩为5.8米，得出其所在的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴小丽投掷的铅球落地点是B点， 故选：B． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的弦相等；③相等的弦所对的弧相等；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆中圆心角、弧、弦之间的关系，需注意“在同圆或等圆中”这一前提条件． 【详解】解：①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故①错误； ②相等的弧所对的弦相等，等弧定义隐含同圆或等圆，故②正确； ③相等的弦所对的弧相等，该说法错误，在同圆或等圆中，一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），这两条弧通常不相等（除非弦为直径），因此相等的弦所对的弧不一定相等，故③错误； ④半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故是等弧，故④正确， ∴正确的有②和④，共2个， 故选：B． 题型02 确定圆的条件 典｜例｜精｜析 例2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标_________．（写出一个就行） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质及圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；设直线的解析式为，则根据待定系数法得出函数解析式，然后根据A、B、C三点不能确定一个圆可知：A、B、C三点共线，进而问题可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A、B、C三点不能确定一个圆， ∴A、B、C三点共线， ∴点C的坐标只需满足在直线上即可，例如：，等等； 故答案为（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则___________．（填“”， “”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了过确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆． 【详解】解：如图，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆，显然．， 故答案为：． 题型03 反证法证明中的假设 典｜例｜精｜析 例3．（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时， 第一步应先假设三角形的三个内角都小于， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2024九年级上·全国·专题练习）用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（   ） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设底角大于等于， 故选： D． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 【答案】 【分析】本题考查的是反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题关键． 根据反证法的步骤，即第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解． 【详解】解：反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设， 故答案为：． 题型04 用反证法证明命题 典｜例｜精｜析 例1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以上说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段检测）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 2．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，反证法．熟练掌握平行四边形的判定与性质，反证法是解题的关键． 如图，连接，假设和互相平分，则四边形是平行四边形，，由不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确，进而结论得证． 【详解】证明：如图，连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确， ∴和不可能互相平分． 题型05 三角形外接圆与网格问题 典｜例｜精｜析 例5．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作线段、线段的垂直平分线相交于点，点即为外接圆的圆心，结合图象即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外心，勾股定理与网格，连接，由网格可得，然后根据三角形的外心的定义即可判断，熟练掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格可得， ∴点是的外心， 故选：． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 3．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 题型06 求特殊三角形外接圆的半径 典｜例｜精｜析 例6．（25-26九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（   ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆、外接圆，等腰三角形等知识，利用图形去观察分析是解题的关键．画一个固定的圆作为的内切圆，再分别画出几个等腰三角形，度数依次增大，观察图形即可得解． 【详解】解：如图 根据图形我们可以发现，当的内切圆的半径确定时，在增大的过程中，的外接圆的半径先减小，后增大； 故选D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 4．（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 题型07 判断点和圆的位置关系 典｜例｜精｜析 例7．（24-25九年级上·云南德宏·期末）若的直径为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】先根据的直径求出半径，再比较点P到圆心的距离和半径的大小，根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为． ∵，且，即点P到圆心的距离大于圆的半径， ∴点P在外． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知在同一平面内，的半径为，点到圆心的距离，则点在（     ） A．外 B．上 C．内 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握点到圆心的距离与圆半径的大小关系对应点与圆的位置关系，通过比较与半径的大小即可判断点的位置． 【详解】解：的半径，点到圆心的距离 点在内 故选：C． 2．（25-26九年级上·北京·期末）已知半径为，其中点O为原点，则点在_______．（填“圆内”，“圆外”，“圆上”） 【答案】圆内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，若点到圆心的距离为，半径为，则当时点在圆外；当时点在圆上；当时点在圆内，直接根据点与圆的位置关系进行解答即可． 【详解】解：设圆心为坐标原点，点到圆心的距离， ∵半径， ∴，且， ∴， 故点在圆内． 故答案为：圆内． 3．（25-26九年级上·山东东营·期中）点P是所在平面内的一点，的面积是，若，则点P与的位置关系是：点P在_______． 【答案】圆外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系判定．熟练掌握点与圆的位置关系判定是解题的关键． 根据圆的面积公式求出半径，再比较点P到圆心O的距离与半径的大小，确定位置关系． 【详解】由的面积是，得，解得． ∵， ∴点在外． 故答案为圆外． 题型08 利用点和圆的位置关系求半径 典｜例｜精｜析 例8．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点与圆的位置关系，即可求得，由此即可判断答案． 【详解】解：点A在内， ， 点B在外， ， ， 只有符合题意． 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内． 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定半径r的取值范围． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，理解点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由图可知三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是， 故答案为：． 题型09 已知点与圆的距离求半径 点在圆内，；点在圆外，. 典｜例｜精｜析 例9．（山东省济宁市附属中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2022九年级上·全国·专题练习）已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径． 【详解】解：如图， 圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8， 圆的直径为， 该圆的半径是3． 故选：B． 2．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点M在圆内或圆外进行讨论． 【详解】解：当点M在圆内时，的直径长为，半径为； 当点M在圆外时，的直径长为，半径为； 即的半径长为或， 故答案为：或． 题型10 点与圆上一点的最值问题 典｜例｜精｜析 例10．（20-21九年级上·甘肃张掖·期末）已知的半径是． （1）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （2）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___． （3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为，则最长距离为___． 【答案】（1），；（2），；（3）或． 【分析】（1）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定； （2）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定； （3）分成P在圆内部和外部两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：（1），则P在圆内部，点P到圆上各点的距离中，最短距离是，最长距离是． 故答案是：，； （2），则点P在圆的外部，到圆上各点的距离中，最短距离为，最长距离是． 故答案是：，； （3）当P在圆内部时，最长距离是， 当P在圆外时，最长距离是． 故答案是或． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，正确进行讨论是关键． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为4， 故选：A． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A．15 B． C．35 D． 【答案】B 【分析】如图，连接交于，连接，因为，，所以，所以当最小时，最小，运动到时，最小，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ∴， ∵，， ， ∵点是的中点，即， ∴是的中位线， ， 当最小时，最小， 当运动到时，最小， ∵半径为10， ∴ 此时的最小值． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、两点间距离公式等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，是中考常考题型． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，两点间距离，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动路径． 4．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为______________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为，以此即可求解． 【详解】解：如图，点B为上一点，点D为正方形上一点，连接，， 由三角形三边关系可得，，是圆的半径，为定值，当点D在A时，取得最小值， ∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为， 由题意可得，，， ∵点O为正方形的中心， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $