专题29.2.2 圆心角与圆周角（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦圆心角和圆周角核心知识点，前承圆的基本概念，后启圆的综合应用，通过定义辨析、定理推导（含圆心角定理及推论、圆周角定理及推论）、即学即练构建学习支架，系统梳理同圆或等圆中弧、弦、圆心角的转化关系。 资料以几何直观培养数学眼光，通过圆心与圆周角三种位置关系的图形分析帮助理解定理，以分类讨论证明圆周角定理发展推理能力，结合典例、变式及中考链接强化应用，分层练习兼顾基础与提升，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

专题29.2.2 圆心角和圆周角 教学目标 1.了解并掌握圆心角、圆周角的概念及简单运算； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角定理及其推论解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，等一求二。 教学重难点 1.重点 （1）圆心角、圆周角的概念，以及弧、弦、圆心角三者之间的等价转化关系； （2）圆周角定理的具体内容；圆周角定理的推论。 2.难点 （1）在同圆或等圆中，根据“弧、弦、圆心角”一组量推其他两组量的熟练运用； （2）圆周角定理在不同图形构造中以及在复杂图形中寻找同弧或等弧进行等角代换； （3）将圆周角定理与直角三角形（勾股、三角函数）、相似三角形等知识结合的综合推理与应用。 知识点01 圆心角定理及推论 1.圆的旋转对称性 圆既是中心对称图形（圆心是对称中心），也是旋转对称图形。 将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原图形重合。这一性质是研究圆心角、弧、弦关系的理论基础。 2.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 3.圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 4.圆心角定理的推论 ①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。 ②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 【注意】：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提。 5.拓展延伸：弦心距的关系 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等。 证明思路：由“等弦”可推出“等圆心角”，进而构造两个直角三角形（半径、半弦、弦心距），利用“HL”或全等三角形即可证明对应的弦心距相等。 【即学即练】 1．下图中的是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 2．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 3．如图，是直径，，．求的大小． 【答案】 【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 是直径， ． 4．试证明：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 【答案】已知：在中，直径与非直径弦相交于点，且， 求证：，且． 证明：连接，， ∵，都是的半径， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，即，且． ∵同圆中相等的圆心角所对的弧相等， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴，即． 所以平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 【详解】略 5．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 知识点02 圆周角定理及推论 1.圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。如下图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角。 判断要点：①顶点在圆上；②角的两边分别与圆相交（即两边均为圆的弦）。 2.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。 定理证明思路（难点）：由于圆心与圆周角的位置关系不同，证明分三类情况进行讨论： ①圆心在圆周角的一条边上（利用三角形外角定理）； ②圆心在圆周角的内部（作直径，利用角的和）； ③圆心在圆周角的外部（作直径，利用角的差）。 3.圆周角定理的推论 推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 推论2:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。 4.弧、圆心角、圆周角的度数关系总结 弧的度数=它所对的圆心角的度数。 圆周角的度数=它所对弧的度数的一半。 【即学即练】 6．如图，弦所对的圆周角有_______________________，劣弧所对的圆周角有_________________． 【答案】 ，， ， 【分析】本题考查了圆周角的概念，掌握圆周角的概念是解题的关键． 根据圆周角的概念直接得到答案． 【详解】解：弦所对的上的圆周角为，所对的上的圆周角为，，则弦所对的圆周角有，，； 劣弧所对的圆周角有，； 故答案为：，，；，． 7．如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可． 【详解】 解：∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∵， ∴． 8．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出和的度数，最后根据内角和定理即可求出度数． 【详解】解：由图可知，，， ，， ，， ． 9．如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】∵是的直径， ． ∵和都是所对的圆周角， ∴， ． 题型01 圆心角、圆周角概念辨析及简单运算 【典例1】下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；④长度相等的弧称为等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的个数共有（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系以及垂径定理，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理一一判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误； ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，正确； ④能够重合的弧称为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故原说法错误； ⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误． ∴正确的只有③，共1个．故选：D． 【典例2】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选：A． 【典例3】下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 【典例4】有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心等弧定义进行判断即可得到正确结论． 【详解】解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意； （2）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故不符合题意； （3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意； （4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意． 故选：B． （1）考查方向：考查圆心角与圆周角的基本概念判定，以及在同圆或等圆中，利用圆心角、弧、弦“知一推二”的等价关系进行简单角度或线段的基础计算。 （2）核心方法：掌握圆心角、圆周角顶点位置的差异性；基础计算时紧扣圆心角定理的等价转化思路，识别图中的圆心角、圆周角与对应弧的对应关系即可快速求解。 【变式1】如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 【答案】1 【分析】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得是等边三角形，，由可得，进而可得是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 【变式2】如图， 是的直径，， 若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出的度数，然后根据同弧所对圆心角相等求出的度数，然后根据平角定义即可求解 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 【变式3】如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 【中考链接1】如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______． 【答案】 【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为．    方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为．      【中考链接2】如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明： ， ． ， ， ， 平分． (2) 【分析】本题考查的是平行线的性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，证明是解本题的关键． （1）根据平行线的性质及等腰三角形的性质可证； （2）先根据勾股定理得到，再利用中位线的性质得到，最后利用即可得解； 【详解】（1）略 （2）解： 是的直径， ． 在中，由勾股定理得 ． ，， ， 即， ． ， 为的中位线， ． ， ， ． 题型02 利用弧、弦、圆心角的关系进行求值与证明 【典例1】如图，、、均为半径，，，点D为弧中点，则 ________． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题,垂线的定义理解，利用弧、弦、圆心角的关系求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据垂直的意义得出，从而可得，结合，可求得，再利用弧的中点得出，从而可利用两角的差求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D为弧中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例2】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 【典例3】如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证： (2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 【答案】(1)证明：如图，作，于Q，连接，，， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ． ， ， ，即； (2)解：作图如下： 证明：， ， ， 是的垂直平分线， ， ． 平分． 【分析】（1）作，于Q，连接，，，证，由，得后得证； （2）按照要求作出图形，根据得，由得得证． 【详解】（1）略 （2）略 （1）考查方向：在“同圆或等圆”中，通过已知等弧、等弦或等圆心角来推导其他对应元素的相等关系；常结合等边三角形、等腰三角形，进行圆弧度数及线段长度的综合计算。 （2）核心方法：善用“弧→弦→圆心角”三个量的相互转化，若出现等弧或等弦，优先判定出对应等腰三角形（如连接半径）；若遇到60°的夹角，往往可构造等边三角形进行边角转化。 【变式1】如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 【变式2】如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 【变式3】如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）先求出的度数，再求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，则， 在中，， ， ， 在中，， ． 【变式4】如图，是的直径，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】1）作交于点，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，进而得出，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【中考链接】如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 题型03 利用圆周角定理及其推论进行角度转化与论证 【典例1】如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由圆周角定理得到，再由垂径定理得到，即可根据等弧所对圆心角相等求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴． 【典例2】如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明： 是弧AB的中点， ， ， ， ， 在和 中， 由，， ． (2)四边形是菱形 证明：如图连接、 由圆的性质知 ，由D、E分别是、的中点，得， 由知， 在和中， 由， ， ， 同理可证， ， 综上可得 ，故四边形是菱形． 【分析】（1）由C是弧的中点得到，故可证明，从而；（2）通过中点及圆的性质可知四边形四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 （1）考查方向：考查“同弧或等弧所对的圆周角相等”这一核心定理，利用不同位置的圆周角进行等量代换；常结合三角形内角和、外角性质，在复杂图形中解决大角度的推导与论证问题。 （2）核心方法：找准“同一条弧”作为等角转化的桥梁，在图形中寻找公共弦，若存在两个圆周角在弦的同侧，则必定相等；同时结合邻补角、平行线等辅助定理进行综合推演。 【变式1】如图，是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图： （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于P点，连接与半圆交于C点； （2）分别以A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于Q点，连接与半圆交于D点； （3）连接与交于E点． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本作图可判断垂直平分，平分，则，，根据圆周角定理可得到，则可对A进行判断；根据圆周角定理推论得到，则利用互余可计算出，可对B进行判断；过E点作于H点，根据角平分线的性质得到，根据垂线段最短得到，所以，可对C进行判断；证明，则有，可对D进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由作法得垂直平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴A正确； B、∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴B正确； C、过E点作于H点，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴C错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D正确． 【点睛】本题解答的关键是过E点作于H点，构造角平分线模型． 【变式2】如图，已知内接于，且圆心在上，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交、于、点，再以为圆心，长为半径作弧，交于另一点，连接并延长交于，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过尺规作图痕迹得到相等的角，结合圆周角定理推出的度数，再利用直角三角形两锐角互余的性质求解的度数． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹，可得； ∵， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴； ∴在中，． 【变式3】如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据，得出在以为直径的的一段圆弧上运动，进而根据中位线的性质求得，当在上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴在以为直径的的一段圆弧上运动， ∵，则的半径为 ∵为的中点， ∴ ∴当在上时，取得最小值为． 【中考链接1】如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 题型04 利用“直径与直角”的互逆关系进行综合应用 【典例1】如图所示，是半圆O的直径，垂直于点D，，与交于点E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：是半圆O的直径， ， ． 又， ， ， ， (2) ， ． 由（1）得， ， ∴． 【分析】（1）根据题意得，．，，再由各角之间的等量代换即可证明； （2）利用圆周角定理得，再由等量代换及等角对等边即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【典例2】如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理以及逆定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是得到为圆的直径． 作辅助线构造等边三角形，连接，，根据可得为圆的直径，根据点和点可求解的长度，可得与的长度，由此可得为等边三角形，可求解的度数，由此可解． 【详解】解：连接，，如图， ∵， ∴为圆的直径， ∵点和点，即，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：D ． （1）考查方向：考查“半圆（直径）所对的圆周角是直角”及“90°的圆周角所对的弦是直径”这两个互逆推论；常将圆的问题转化为直角三角形，结合勾股定理、相似或三角函数进行综合求解。 （2）核心方法：看到直径，立即连接端点构造直角三角形；看到90°的圆周角，立即思考其对应的弦是否为直径。利用直角三角形将圆内的线段计算转化为解直角三角形问题。 【变式1】如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，正确应用圆周角定理及推论是解题的关键． 第24秒时，射线旋转的角度是，利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴A，B，C在以点O为圆心，为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转， ∴， ∴． ∴点E在量角器上对应的读数是：． 故选：C． 2．如图，在矩形中，，，点是矩形内部的一个动点，且，则线段长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，由四边形是矩形，则有，所以，则，得，点是在以为直径的圆上运动，如图，连接，，又，从而得当三点共线时，最小，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是在以为直径的圆上运动，如图，连接，， ∵， ∴当三点共线时，最小，如图， 由勾股定理得，， ∴， 故选：． 【中考链接1】如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． 【答案】 4 【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可； （2）连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】（1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵ ∴， ∴面积的最大值． 故答案为：4； （2）连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 【中考链接2】如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． A组·基础过关 1．下列说法正确的是（ ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在中，A、B、D、F在上，点C在外．下面对角的叙述错误的是（   ） A．是圆心角 B．是圆周角 C． D．是圆周角 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，圆周角，等腰三角形，熟练掌握圆心角、圆周角的定义，等腰三角形的性质是解题的关键． 根据顶点在圆心，两边与圆相交的角叫圆心角判定A；根据顶点在圆上，两边是圆的弦的角叫圆周角判定B；根据，由等腰三角形的性质等边对等角判定C；根据顶点在圆上，两边是圆的弦的角叫圆周角判定D． 【详解】解：A、是圆心角，正确，故此选项不符合题意； B、是圆周角，正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴，正确，故此选项不符合题意； D、不是圆周角，原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 3．如图，已知是的直径，的弦于点E，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂径定理可得，由弧与圆心角之间的关系可得，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵是的直径，的弦于点E， ∴， ∴， ∴． 4．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 5．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 6．如图，是的弦，点在上．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 7．如图，是的直径，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理及其推论来求出，进而求出即可． 【详解】 是的直径， ， ， ， ． 8．如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先利用同弧所对的圆周角相等，求出的度数；再根据直径的性质得到是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵和都是中弧所对的圆周角， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴在中，． 9．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 10．如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 为公共弧， ， ，，故②③④正确． 故选：B． B组·能力提升 11．下列说法正确的个数有（ ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④顶角相等的两个等腰三角形相似 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据垂线的性质判断①；根据平行线的判定判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③；根据相似三角形的判定判断④． 【详解】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①说法正确； ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故②说法错误； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③说法错误； ④因为等腰三角形的两个底角相等，故顶角相等的两个等腰三角形的底角也相等，故顶角相等的两个等腰三角形相似，④说法正确； 综上所述，正确的有①④，共个． 12．如图，是的外接圆，，，点D是上一动点（不与点B，C重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点． 先由弧与圆心角的关系得到，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理求得，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 13．阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据即可判断A正确；连接，，，先证出，再根据三角形的三边关系可得，由此即可判断B错误；在上截取点，使得，连接，，，，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可判断C正确；先求出，再根据圆周角定理可得，由此即可判断D正确． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，则选项A正确； 如图，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下： ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，则选项D正确； 故选：B． 14．如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则, ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 15．如图，是的直径，C，D为O上的两点，若，，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，可证得为等边三角形，则可求得，再利用圆周角定理可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，，且为直径， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 16．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 17．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． 18．如图，是边长为6的正方形内一动点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】连接，证明，则，则点F在以为直径的圆H上，当G、H、F共线时，最大，即可求解． 【详解】解：连接，取的中点H， 由旋转的性质知，， ∵， ∴， ∴， 则点F在以为直径的圆H上，连接、， 当G、H、F共线时，最大， 则，， 则的最大值为． 19．如图，是的直径，为弦，的平分线交于点，过点的的切线交的延长线于点，且．求证：． 【答案】 证明：过点作于点，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】先由角平分线定理得到，再由直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由圆中弦、弧和圆周角的关系得出，再由直角三角形全等的判定定理证得，得出即可得证． 【详解】略 20．如图，在中， ，点D为底边BC上一点，是的外接圆，交AC于点F，过点A作，交于点E，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当时， ①求的半径； ②求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，    ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即，         ∴四边形为平行四边形； (2)①；② 【分析】本题考查了90度角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，平行四边形的判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质等知识，熟练运用圆的相关知识是关键． （1）由等腰三角形的性质、平行线的性质及同弧对的圆周角相等得，从而，则两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形为平行四边形； （2）①连接，则得是直径；由同弧对的圆周角相等得，从而得；设, 则，由勾股定理建立方程求得x的值，求得，即可求得圆的半径； ②过点F作交的延长线于点H，由同弧对的圆周角相等得，再由得，在中可求得，再由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得，进而求得，则由三角形面积公式即可计算出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：①连接，如图， ， ∴为的直径， ， ∵，     ， 在中，设, 则， 由勾股定理得：， ，     ， ∵， ，   ∴，   ， ∴的半径为；     ②过点F作交的延长线于点H，如图， ∵， ， ∵， ∴， ∵， ， 在中，，， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， 由勾股定理得，     ， ． C组·拓展延伸 21．如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，，下列结论正确的是（ ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由垂径定理推出，由圆周角定理推出，，得到，即可证明． 【详解】解：如图，连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即选项D正确； 若平分，则，由已知条件无法证明，故选项A错误； 根据垂径定理可得，不能证明，故选项B错误； 由已知条件无法证明，故选项C错误； 22．如图，已知（），，，（，都是常数）．过，，三点的圆与的平分线交于点，连接．当变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上取点，使得，过点作于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，再证明，进而可得为等腰三角形，结合等腰三角形的性质可得，进而可得；设，在和中，利用勾股定理，用含的代数式表示，，结合可得，易得的值不变，选项B符合题意；而当变化时，的长度均发生变化，故，，的值均变化，选项A、C、D不符合题意． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，过点作于点， 则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵，都是常数， ∴为常数，即的值不变，选项B符合题意； 当变化时，的长度均发生变化，故，，的值均变化，选项A、C、D不符合题意． 23．如图，是的直径，点在的延长线上，分别以，为圆心，适当长为半径画弧交于点，，作直线交于点，再以为圆心，为半径画弧交于点，连接，．若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接，，根据作图可得，进而得出，设，根据已知条件结合三角形内角和定理求得，则，进而根据，即可求解． 【详解】解：连接， 根据作图可得 ∴在以为圆心，为直径的圆上， ∴ 设， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中， ∴ 解得： ∴ ∴ 24．如图，是的直径，是上一点，连接．以点为圆心，长为半径作弧，交于点（不与点重合）． (1)求证：． (2)以点为圆心，长为半径作弧，交于点．连接，，交于点．若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接、、， ∵是的直径， ∴， 由作图可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)4 【分析】（1）连接、、，由是的直径，得到，进而证明，得到，再利用等弦对等弧即可证明； （2）过点作于点，则，根据题意可得，得到，再证明，得到，，再证明四边形是矩形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 则， 由作图可得，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 25．如图，在正方形中，为边上一点（不与点重合），连接，以为直径作圆，交对角线于点，连接并延长交于点，连接．已知． (1)若，求线段的长． (2)求证：． (3)设，记与的面积差为，试确定与的函数关系式． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至点，使得，连接，，    ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (3) 【分析】（）连接，由圆周角定理得，即得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解； （）延长至点，使得，连接，，可证，得到，，，再证明，得到，进而由 即可求证； （）连接、，过点分别作、的垂线，交、于点，过点作的垂线，交于点，可得，由四边形是矩形得，又由正方形的轴对称性可知，由（）已知，进而得到，即得到 ，由根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得，，得到，最后根据列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）略 （3）解：如图，连接、，过点分别作、的垂线，交、于点，过点作的垂线，交于点，    ∵，， ∴， ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由正方形的轴对称性可知，由（）已知， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.2.2 圆心角和圆周角 教学目标 1.了解并掌握圆心角、圆周角的概念及简单运算； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角定理及其推论解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，等一求二。 教学重难点 1.重点 （1）圆心角、圆周角的概念，以及弧、弦、圆心角三者之间的等价转化关系； （2）圆周角定理的具体内容；圆周角定理的推论。 2.难点 （1）在同圆或等圆中，根据“弧、弦、圆心角”一组量推其他两组量的熟练运用； （2）圆周角定理在不同图形构造中以及在复杂图形中寻找同弧或等弧进行等角代换； （3）将圆周角定理与直角三角形（勾股、三角函数）、相似三角形等知识结合的综合推理与应用。 知识点01 圆心角定理及推论 1.圆的旋转对称性 圆既是中心对称图形（圆心是对称中心），也是旋转对称图形。 将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原图形重合。这一性质是研究圆心角、弧、弦关系的理论基础。 2.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样 叫做圆心角． 3.圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。 4.圆心角定理的推论 ①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等。 ②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等。 【注意】：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“ ”这一前提。 5.拓展延伸：弦心距的关系 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的 也相等。 证明思路：由“等弦”可推出“等圆心角”，进而构造两个直角三角形（半径、半弦、弦心距），利用“HL”或全等三角形即可证明对应的弦心距相等。 【即学即练】 1．下图中的是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 3．如图，是直径，，．求的大小． 4．试证明：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 5．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 知识点02 圆周角定理及推论 1.圆周角的定义 顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角。如下图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角。 判断要点：①顶点在圆上；②角的两边分别与圆相交（即两边均为圆的弦）。 2.圆周角定理 在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 。 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的 ；圆心在圆周角的 ；圆心在圆周角的 。 定理证明思路（难点）：由于圆心与圆周角的位置关系不同，证明分三类情况进行讨论： ①圆心在圆周角的一条边上（利用三角形外角定理）； ②圆心在圆周角的内部（作直径，利用角的和）； ③圆心在圆周角的外部（作直径，利用角的差）。 3.圆周角定理的推论 推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 。 推论2:在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的 也相等。 4.弧、圆心角、圆周角的度数关系总结 弧的度数=它所对的圆心角的度数。 圆周角的度数=它所对弧的度数的一半。 【即学即练】 6．如图，弦所对的圆周角有_______________________，劣弧所对的圆周角有_________________． 7．如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（ ） A． B． C． D． 9．如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（ ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 题型01 圆心角、圆周角概念辨析及简单运算 【典例1】下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；④长度相等的弧称为等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的个数共有（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例2】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（ ） A． B． C． D． 【典例3】下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ） A．   B．   C．   D．   【典例4】有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 （1）考查方向：考查圆心角与圆周角的基本概念判定，以及在同圆或等圆中，利用圆心角、弧、弦“知一推二”的等价关系进行简单角度或线段的基础计算。 （2）核心方法：掌握圆心角、圆周角顶点位置的差异性；基础计算时紧扣圆心角定理的等价转化思路，识别图中的圆心角、圆周角与对应弧的对应关系即可快速求解。 【变式1】如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 【变式2】如图， 是的直径，， 若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【中考链接1】如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______． 【中考链接2】如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 题型02 利用弧、弦、圆心角的关系进行求值与证明 【典例1】如图，、、均为半径，，，点D为弧中点，则 ________． 【典例2】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【典例3】如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证： (2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 （1）考查方向：在“同圆或等圆”中，通过已知等弧、等弦或等圆心角来推导其他对应元素的相等关系；常结合等边三角形、等腰三角形，进行圆弧度数及线段长度的综合计算。 （2）核心方法：善用“弧→弦→圆心角”三个量的相互转化，若出现等弧或等弦，优先判定出对应等腰三角形（如连接半径）；若遇到60°的夹角，往往可构造等边三角形进行边角转化。 【变式1】如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【变式4】如图，是的直径，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，连接，求证：． 【中考链接】如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 题型03 利用圆周角定理及其推论进行角度转化与论证 【典例1】如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． （1）考查方向：考查“同弧或等弧所对的圆周角相等”这一核心定理，利用不同位置的圆周角进行等量代换；常结合三角形内角和、外角性质，在复杂图形中解决大角度的推导与论证问题。 （2）核心方法：找准“同一条弧”作为等角转化的桥梁，在图形中寻找公共弦，若存在两个圆周角在弦的同侧，则必定相等；同时结合邻补角、平行线等辅助定理进行综合推演。 【变式1】如图，是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图： （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于P点，连接与半圆交于C点； （2）分别以A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于Q点，连接与半圆交于D点； （3）连接与交于E点． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ） A．平分 B． C． D． 【变式2】如图，已知内接于，且圆心在上，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交、于、点，再以为圆心，长为半径作弧，交于另一点，连接并延长交于，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为_____． 【中考链接1】如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型04 利用“直径与直角”的互逆关系进行综合应用 【典例1】如图所示，是半圆O的直径，垂直于点D，，与交于点E． (1)求证：； (2)求证：． 【典例2】如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查“半圆（直径）所对的圆周角是直角”及“90°的圆周角所对的弦是直径”这两个互逆推论；常将圆的问题转化为直角三角形，结合勾股定理、相似或三角函数进行综合求解。 （2）核心方法：看到直径，立即连接端点构造直角三角形；看到90°的圆周角，立即思考其对应的弦是否为直径。利用直角三角形将圆内的线段计算转化为解直角三角形问题。 【变式1】如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 2．如图，在矩形中，，，点是矩形内部的一个动点，且，则线段长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【中考链接1】如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． 【中考链接2】如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． A组·基础过关 1．下列说法正确的是（ ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 2．如图，在中，A、B、D、F在上，点C在外．下面对角的叙述错误的是（ ） A．是圆心角 B．是圆周角 C． D．是圆周角 3．如图，已知是的直径，的弦于点E，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（ ） A． B． C． D． 6．如图，是的弦，点在上．若，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 8．如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 9．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③ B组·能力提升 11．下列说法正确的个数有（ ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④顶角相等的两个等腰三角形相似 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．如图，是的外接圆，，，点D是上一动点（不与点B，C重合），则的度数为（ ） A． B． C． D． 13．阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 14．如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 15．如图，是的直径，C，D为O上的两点，若，，则的大小是（ ） A． B． C． D． 16．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 17．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 18．如图，是边长为6的正方形内一动点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为___________． 19．如图，是的直径，为弦，的平分线交于点，过点的的切线交的延长线于点，且．求证：． 20．如图，在中， ，点D为底边BC上一点，是的外接圆，交AC于点F，过点A作，交于点E，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当时， ①求的半径； ②求的面积． C组·拓展延伸 21．如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，，下列结论正确的是（ ） A．平分 B． C． D． 22．如图，已知（），，，（，都是常数）．过，，三点的圆与的平分线交于点，连接．当变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A． B． C． D． 23．如图，是的直径，点在的延长线上，分别以，为圆心，适当长为半径画弧交于点，，作直线交于点，再以为圆心，为半径画弧交于点，连接，．若，则的度数为______． 24．如图，是的直径，是上一点，连接．以点为圆心，长为半径作弧，交于点（不与点重合）． (1)求证：． (2)以点为圆心，长为半径作弧，交于点．连接，，交于点．若，，求的长． 25．如图，在正方形中，为边上一点（不与点重合），连接，以为直径作圆，交对角线于点，连接并延长交于点，连接．已知． (1)若，求线段的长． (2)求证：． (3)设，记与的面积差为，试确定与的函数关系式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $