29.2.3 圆周角《知识解读·题型专练》2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“圆周角”核心知识点，系统梳理圆周角定义、定理（含与圆心角关系、同弧等弧所对圆周角相等、直径与直角关系）及圆内接四边形性质，构建从概念理解到定理应用的完整学习支架。 该资料以7大题型（含例题及变式）系统覆盖知识点，结合三角板综合运用等情境题，培养几何直观与推理意识，随堂检测助力课后查漏补缺，兼顾课中教学效率提升与学生自主学习巩固。

29.2.3 圆周角（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 圆周角的概念】 2 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】 3 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 4 【题型4 直径所对的圆周角是直角】 5 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 6 【题型6 圆内接四边形对角互补】 7 【题型7 圆周角定理与三角板的综合运用】 8 知识点1 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 （1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=． （2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 3. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 知识点2 圆内接四边形 1. 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补； 拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【题型1 圆周角的概念】 【例1】下列图中是圆周角的是（    ） A．B．C．D． 【变式1-1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 【变式1-3】下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】 【例2】如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，点A，B，C在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，的两条弦，相交于点E，且，连接，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例3】如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，中，弦相交于点，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，四边形内接于．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，中，弦相交于点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型4 直径所对的圆周角是直角】 【例4】如图，是的直径，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式4-1】如图，是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，若是的直径，是的弦，，则度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，内接于，为直径，半径，连结，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 【例5】如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 【变式5-1】如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为（    ）． A．12 B．10 C．4 D．15 【变式5-2】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（    ） A．100° B．105° C．110° D．120° 【变式5-3】如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型6 圆内接四边形对角互补】 【例6】如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，点A，B，C在上，点B在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型7 圆周角定理与三角板的综合运用】 【例7】如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为4，则弦长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式7-1】如图，将一把含的直角三角板如图放置，点A在半圆O上，斜边与半圆相交于点B，长直角边与半圆相交于点C，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，一块含角的直角三角板内接于，其中，，若是上的一点（不与点重合），则的度数是（   ） A． B．或 C．或 D．随着点的变化一直在变 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，，是的弦，点在上，且．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，为的直径，，是上的两点，若，则的大小为（  ） A． B． C． D． 5．已知直线l及直线l外一点P．如图，在直线l上取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；作直线，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，内接于⊙O，过点O作交⊙O于点D，连接，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 8．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 9．如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 10．如图，内接于，，交于点，连结．若，则的大小为___________． 11．如图，四边形是的内接四边形，的直径，若，点是的中点，则四边形的周长是__________． 12．如图，内接于，是的直径． (1)尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.3 圆周角（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 圆周角的概念】 2 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】 4 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 6 【题型4 直径所对的圆周角是直角】 8 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 10 【题型6 圆内接四边形对角互补】 13 【题型7 圆周角定理与三角板的综合运用】 15 知识点1 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 （1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=． （2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 3. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 知识点2 圆内接四边形 1. 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补； 拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【题型1 圆周角的概念】 【例1】下列图中是圆周角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【详解】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的都不是圆周角，C中的是圆周角， 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】 【例2】如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角与圆心角的关系，由此计算的度数即可． 【详解】解：弧所对的圆周角是，圆心角是， 已知，由圆周角定理可得． 【变式2-1】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆心角等于圆周角的一半，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2-2】如图，点A，B，C在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角， ． 【变式2-3】如图，的两条弦，相交于点E，且，连接，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解答的关键． 先根据圆周角定理求得，再根据等边对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例3】如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理结合直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴. 【变式3-1】如图，中，弦相交于点，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【变式3-2】如图，四边形内接于．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握圆周角的性质是解题的关键；因此此题可根据圆周角的性质直接进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 【变式3-3】如图，中，弦相交于点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角，同弧所对的圆周角相等，根据三角形的外角的性质，求出的度数，同弧所对的圆周角相等，得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 【题型4 直径所对的圆周角是直角】 【例4】如图，是的直径，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 先通过“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”得出，再通过“直径所对的圆周角为直角”，推出，最后通过求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4-1】如图，是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 根据是的直径得出，再由圆周角定理可得，即可求出． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式4-2】如图，若是的直径，是的弦，，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到的度数，再由是的直径得到的度数，从而计算的度数即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选：A． 【变式4-3】如图，内接于，为直径，半径，连结，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，熟练掌握基本性质是解题关键． 根据圆周角定理和平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 【例5】如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，先根据正方形的性质和勾股定理求出的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴的半径为， 故选：A． 【变式5-1】如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为（    ）． A．12 B．10 C．4 D．15 【答案】B 【分析】根据圆周角定理和坐标与图形性质即可求解． 【详解】解：连接EF，如下图所示， ∵∠FOE＝90°，又根据90°的圆周角所对的弦是直径， ∴EF为⊙O的直径， 在Rt△EFO中，OE＝8，OF＝6，∠FOE＝90°， 根据勾股定理，EF＝10， ∴圆的直径长为10， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，解题的关键是根据90°的圆周角所对的弦是直径判断出EF为直径． 【变式5-2】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（    ） A．100° B．105° C．110° D．120° 【答案】B 【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求∠BCD的度数． 【详解】解：连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠AOD＝30°， ∴∠ACD＝15°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论．连接常用的辅助线并结合数形结合的思想是解答本题的关键． 【变式5-3】如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 【题型6 圆内接四边形对角互补】 【例6】如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 【变式6-2】如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案． 【详解】解： 是等边三角形， ， ∵四边形是的内接四边形， ． 【变式6-3】如图，点A，B，C在上，点B在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出所对的圆周角，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，在优弧上取一点E，连接，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 又 ， ． 【题型7 圆周角定理与三角板的综合运用】 【例7】如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为4，则弦长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到，进而证明为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解． 【详解】解：连接，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【变式7-1】如图，将一把含的直角三角板如图放置，点A在半圆O上，斜边与半圆相交于点B，长直角边与半圆相交于点C，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半”求解即可． 【详解】解：和分别是所对的圆周角和圆心角，， ． 【变式7-2】将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线的性质推出点C在上，结合圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意，可知，，， ∴， ∴点C在上， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】如图，一块含角的直角三角板内接于，其中，，若是上的一点（不与点重合），则的度数是（   ） A． B．或 C．或 D．随着点的变化一直在变 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理及分类讨论点的位置是解题的关键． 先利用“直角三角形的斜边为外接圆直径”确定是的直径，再结合已知条件求出的度数．接着分点在上方和下方两种情况，根据“同弧所对的圆周角相等”及“圆内接四边形对角互补”分别计算的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 当点在下方时， ∵弧所对的圆周角与相等， ∴ 当点在上方时， ∵四边形为圆内接四边形 ∴ ∴ 综上，的度数为或 故选：． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 2．如图，是的直径，，是的弦，点在上，且．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆周角定理得，则，然后由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 3．如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴； 故选C． 4．如图，为的直径，，是上的两点，若，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．连接，由圆周角定理可得，，再由直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接． 是直径， ， ， ， 故选：B． 5．已知直线l及直线l外一点P．如图，在直线l上取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；作直线，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，尺规作图，解决本题的关键是熟练利用圆周角定理． 根据作图步骤得到，结合圆周角定理，再逐一验证各选项结论是否成立． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点， ∴，故A正确，不符合题意； ， ， ，故B正确，不符合题意； 连接， 为半圆的直径， ∴ ，故D正确，不符合题意； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等，故C错误，符合题意； 故选：C． 6．如图，在中，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．利用两直线平行，内错角相等得出，再根据圆周角定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 故选：C． 7．如图，内接于⊙O，过点O作交⊙O于点D，连接，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键. 根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出的度数，根据垂径定理深圳市出的度数，根据圆周角定理得出结果. 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C．    8．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 9．如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 【答案】/70度 【详解】解：∵点，，，在上，是的直径，， ∴， ∴， ∴（同弧所对的圆周角相等）. 10．如图，内接于，，交于点，连结．若，则的大小为___________． 【答案】/30度 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．根据圆内接四边形对角互补求得，然后根据等边对等角求得，再根据平行线的性质可得，从而利用三角形内角和进行计算求解． 【详解】解：由题意可得，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，四边形是的内接四边形，的直径，若，点是的中点，则四边形的周长是__________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用圆周角定理成为解题的关键． 如图：连接，则，由圆周角定理可得是等边三角形，则，，进而可得；再根据点是的中点可得，即，最后根据四边形的周长公式即可解答． 【详解】解：如图：连接，则， ∵的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形的周长是． 故答案为：20． 12．如图，内接于，是的直径． (1)尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 【答案】(1)如图，即为所求： (2)证明： 是的直径， ， ， ， ， ． 【分析】（1）作交于点，根据平行线的判定可得，则即为所求； （2）由是的直径，得到，再根据平行线的性质得到，即，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $