第二十八章 旋转（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦旋转单元核心知识，融合风力发电、电脑操作等真实情境，梯度设计覆盖基础概念到综合探究，适配初中数学旋转单元复习，提升几何直观与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|旋转定义（如第1题情境判断）、坐标变换（如第4题点旋转坐标）|情境生活化（电脑图片旋转）、基础概念辨析| |填空题|6/18|图形变换综合（如第11题两次变换判断）、旋转性质应用（如第16题等腰三角形旋转角度）|多变换融合、性质深度考查| |解答题|8/72|旋转与函数综合（如第19题反比例函数）、探究性问题（如第24题旋转平移最值）|跨知识整合、创新思维培养|

第二十八章 旋转（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列情境属于旋转的是（ ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 2．小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（ ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 3．风力发电是常见的绿色环保发电形式，在广袤的田野间随处可见这种风力发电机，它能够使大自然的资源得到更好的利用．如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，若以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（ ） A．与是对应点 B． C． D． 7．如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（ ） A． B． C． D． 8．如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为，点的对应点为点，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D．平分 9．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 10．如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　) A． B． C．3 D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 12．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为________ 13．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 14．如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 15．如图，已知正方形①与正方形②边长相等，正方形②可以看作是正方形①经过怎样的图形变化得到?下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次翻折和1次平移；③经过两次旋转；④经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点只有一个．其中所有正确结论的序号是______． 16．如图，将绕点B顺时针旋转得到，其中点D落在边上，连结，，恰有，当是等腰三角形时，的度数是______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图所示，已知，顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是哪一点? ； (2)旋转了多少度? ； (3)线段与线段有什么位置关系?请说明． 18．（8分）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为． (1)将先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到，画出，点的坐标是_____________； (2)将绕点逆时针旋转后得到，画出，点的坐标是_____________； (3)求的面积． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 20．（8分）按要求解答下列问题： (1)【问题探究】 如图1，将绕点旋转得到，点在边上，连接．求证：平分； (2)【问题解决】 如图2，城市休闲广场中心摆放了一块平行四边形景观钢板，设计师将这块平行四边形钢板以顶点为旋转中心，旋转一定角度得到新的平行四边形钢板，用作配套装饰雕塑，旋转后顶点恰好落在原钢板的边上，连接，连接交于点，现场勘测测得，的边米，米，求装饰区域的面积． 21．（10分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点P的变换点的坐标定义如下：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为． (1)①求的变换点坐标________． ②若点的变换点为连接OB，，则________． ③由上面二个问题的解决，请思考： 当点P的变换点为时，点P与是________变换． 当点P的变换点为时，点P与是________变换．（选填“轴对称”或“旋转”或“中心对称”或“平移”） (2)直线上所有点的变换点组成一个新图形记为W，请求出W的解析式． (3)点P在直线上，点是点P的变换点，连接；直接写出的取值范围． 22．（10分）综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． (1)【操作探究】如图1，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转到矩形的位置，当经过点时，连接，线段的长度为________________； (2)【问题解决】如图2，将绕点旋转得，点与点对应且恰好落在边上（点与不重合）． ①求证：； ②若，试探究与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展提升】如图3，在中，，，，将绕着中点旋转到的位置时，的边与原的边或边相交于点，则的长为________________． 23．（10分）在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，对于平面内点和点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在正方形上，称点为正方形的创新点． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点，，中，正方形的创新点是_________； ②如图2，若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围； (2)如图3，点，直线：．若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，点在轴负半轴上，，直线与直线相交于点，且点的横坐标为． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点是点关于点的对称点，点是射线上一点，点，点是直线上两动点（点在点的下方），且，连接，，，当时，求的最小值： (3)将绕点逆时针旋转得到，作直线，再将沿直线平移得，当平移后的点刚好落在直线上，此时点为直线上一动点，若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十八章 旋转（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.A 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.③④/④③ 12.-3,4 13.（-1,-6) 14.-2,1 15.①②③ 16. 22.5。或 180。 7 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(8分) 【答案】(1)B (2)90° (3)AC⊥DE 说明：延长ED与AC交于O点，如下图， 1/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A B 由旋转的性质可知∠ACB=∠DEB, ,∠EDB=∠CDO,∠DEB+∠EDB=90°， :.∠ACB+∠CDO=90°， ∴.△COD为直角三角形， .AC⊥DE 【详解】(1)解：根据题意，△ABC顺时针旋转后与△DBE重合， 由图可知，旋转中心是点B: (2):△ABC顺时针旋转后与△DBE重合，且∠ABC=90°， .∠DBE=∠ABC=90°，即旋转了90°； (3)略 18.(8分) (1)解：如图所示，△O1A,B1即为所求： B B 01 点A1的坐标是1，-3： (2)解：如图所示，△O2A2B2即为所求： 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A2 B B2 点A2的坐标是-1,3： (3)10 【分析】(1)根据平移的性质进行作图即可： (2)根据旋转的性质进行作图即可： (3)根据割补法求三角形的面积即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图 B B 8 5=×4+6×4-号×2×43×2×6=10 19.(8分) 【答案】(y=6 (23 【详解】(1)解：由题意，得OB=1,AO=3. 3/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由旋转的性质，可知AO=AC=3,CD=OB=1,∠ACD=∠AOB=90°=∠OAC. 延长CD交x轴正半轴于点F,如图，则四边形OACF为正方形. ∴点D的坐标为3,3-1，即3,2. ,反比例函数y= 的图象经过点D, .k=3×2=6 一反比例函数的表达式为y=S (2)解：将y=3代入y= ,得XE=2, 点E的坐标为2,3. ..AE=2. 1 SaA82AE·A0=3. .BF=OB+OF=1+3=4,DF=2, Sm号8rDF=4. “5emAC+BFA0=号7x3-2 SaK0-EC+CD- S6e=5B56-SA-SABE=-4--3-3。 2 20.(8分) 【答案】(1)证明：在口ABCD中，AB‖DC, 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CEB=∠ABE' 由旋转知AB=AE, 六∠ABE=∠AEB' 六∠CEB=∠AEB' EB平分∠AEC: (215003平方米. 【详解】(1)证明：略； (2)解：如图，过点B作BN‖AG,交AE于点N,连接GN,作乙⊥AB于点I, 由(1)知∠AEB=∠CEB,∠CEB=60°， .∠AEB=60°， 由旋转有AB=AE, ∴△ABE是等边三角形， .∠BAE=∠CEB=60°，BE=AB=50, .BN AG, :.∠GAE=∠ANB, 由旋转得∠GAE=∠BAD,AG=AD, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠DAB=∠C,AD=BC, .∠ANB=∠C,AG=BC, 在△ABN与△EBC中， 5/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAE=∠CEB ∠ANB=∠C AB=BE △ABN≌△EBC AAS, ..AN=CE=40,BN=BC=AG, :BN‖AG, ∴.四边形ABNG是平行四边形， AB‖GN, .SAGAB=S△AB, U⊥AB, .∠AIN=90, ∠ANI=90°-∠BAE=30°， ∴A1=3AN=20, 由勾股定理得2=VAN2-A7=402-202=20P3 Scaw=56wm=AB3=支×50×205=505（平方米）. 答：装饰区域△GAB的面积为5003平方米. 21.(10分) 【答案】(1)①(-4,2)】 ②90° ③轴对称；旋转 (2)y=-x-5 eg0≤Pp≤2io 【详解】(1)解：①.4>2， ∴.A的变换点A的坐标为-4,2： ②.-3<2 ∴.B点的变换点B坐标为-2，-3)， 0(0,0 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..B0=(-2-02+(-3-0)2=13’B02=(-3-0)2+(2-02=13' BB2=(-3+2)2+(2+3)2=26 ∴.BB2=0B2+BO2, ∴.△OBB是直角三角形， ∴.∠BOB=90; ③当P(a,b变为p(-a,b .可知P(a,b)卢p(-a,b关于y轴对称， ∴.P与P是轴对称变换： 当p(a,b变为p(-b,a ∴.根据②，可知OP与OP夹90°角， ∴P与P是旋转变换： 故答案为：①-4,2)：②90°；③轴对称，旋转； (2)解：.直线y=X-5上的点，均是横坐标大于纵坐标， ∴.直线y=x-5上的点均是进行轴对称变换， .设W上有一点(m,n), 则可知(m,n)是直线y=x-5上的点(-m,n)变换而来的， ∴.将-m,n)代入y=x-5中，有n=-m-5, .(m,n)在W上，且满足n=-m-5, ∴.W的解析式为y=-x-5, 即：W的解析式为y=-x-5; 3》解根锅p在直统y=方x+3,放欧p坐标为，+3且2s52 则有opP=(s-0+之s+3-0, 2 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理，得：0p 5/ 612 36 S- 4 + 5 .-2≤s≤2， .根据(3)中的计算，可知当X≤2时，点P是进行旋转变换， ∴.可知在-2≤S≤2，点P是进行旋转变换， 如图， 5 4 M PO⊥PO L26-5-43-2-10 123456 G -2 根据(1)②的结论可知，此时 ，且根据 旋转的性质可知PO=PO, ∴.△POP是等腰直角三角形， .Pp2=P02+P02, .PP2=P02+P0=2× 62 5 62.72 5 5 即pp 5-6+72 2s- 55 -2≤S≤2， 6 72 即当s=3时，PP有最小值，最小为5， 当=-2时，Pp2有最大值，最小为40， sppr≤40. 5 610≤PP<210, 即PP取值范围 610≤PP≤2R10. 8/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(10分) 【答案】(1)2V10 (2)①证明：由旋转的性质可得，∠B=∠AED,AB=AE,BC=DE, 在△ABC和△AED中， AB=AE ∠B=∠AED BC=DE ∴△ABC≌△AED SAS, ..AC=AD. ,四边形ABCD是平行四边形， ..BC=AD, ..AC=BC; ®BC=6 AB,理由如下： 如图，作AH⊥BC于点H,设BH=x, B ,AB=AE,AH⊥BC, .BH=EH=X,∠AHB=∠AHC=90°， .'BE=BH +EH=2x, SAABE-2SACDE, BE~AH=2CEAM。 CE-BE-x. .BC=BE+CE=3x,CH=CE+EH=2x, 9/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由①可知，AC=BC, .'.AC=3x, 在Rt△ACH中，AH=AC2-CH2=3x-2xP=5x 在Rt△ABH中，AB=VBH2+AH=√X2+R5x=6x .BC=3x_6 “AB6x=2,即BC= AB. 2 3)5或12 2 【详解】(1)解：，四边形ABCD是矩形， .∠B=∠C=90°，CD=AB=6, 由旋转的性质可得，AB=AB=6,BC=BC=10,CD=CD=6,∠B=∠B=90°， ∠C=ㄥC=90°， 在Rt△ABD中，BD=VAD2-AB2=V10-6=8 ∴.CD=BC-BD=2, 在Rt△CDD中，DD=CD2+CD2-V2+6=-2V1o (2)①略 ②略 (3)解：①当口ABCD绕着点O顺时针旋转60°时，如图，延长BC交AD于点I, A B ,四边形ABCD是平行四边形， .AB‖CD,AB=CD=12, .∠DCI=∠B=60°， ,点O为BC的中点， 0c-8c-号 2 10119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由旋转的性质可得，∠ABO=∠B=60°，∠BOB=60°，AB=AB=12, ,∠ABO=∠BOB=60°， ∴.OI‖AB, :BC‖AD, .四边形ABOI是平行四边形， ∴.∠AIO=∠ABO=60°，OI=AB=12, CI=01-0C= 2 ,∠DCI=∠AIO=60°， ∴.△CIG是等边三角形， c6=01-号 ·DG=CD-CG=13 ②当口ABCD绕着点O逆时针旋转60°时，如图，延长BC交AD于点J, D ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB‖CD,AD‖BC,AD=BC=13,AB=CD=12, 由旋转的性质可得，∠AB0=∠B=60,∠B0B=600,OC=0C-13 .∠ABC=∠BOB=60°， ..AB OJ, AB CD ..OJ CD, 又.AD‖BC, 11/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形CDJO是平行四边形， DJ=0C=13 ,AB=01=12, CJ=0J-0C=1 :∠ABO=60°，∠BOB=∠COC=60°，AD‖BC, .∠GCJ=∠ABO=60°，∠GJC=∠COC=60°， ∴，△GCJ是等边三角形， Gj-c-4 ..DG=DJ+GJ=12, 3 综上所述，DG的长为气或12. 23.(10分) 【答案】1@点P,2,1P,-1,2:②-2≤b≤6： 11 @1≤t≤-5或3≤t3 【详解】(1)解：①如图，将正方形ABCD绕点Q0,2逆时针旋转90°得正方形ABC'D,点A、 B、C、D的对应点分别为点A、B、C、D,将正方形ABCD绕点Q0,2顺时针旋转90°得正方形 A”BCD,点A、B、C、D的对应点分别为点A、B、C、D, C∥ ◆P B DA"DA P 图1 :正方形ABCD的顶点坐标A1,1,B1,-1,C-1,-1,D-1,1, 由旋转可得A1,3B3,3C3,1八D1,1点A-1,1B-3,1C-3,3D-1,3 12119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结合图形可得点P,2,1在正方形ABCD上，点P,2,2不在正方形ABCD上，也不在正方形 ABCD上，点P,-1,2在正方形ABCD上， ·正方形ABCD的“创新点”是点P,2,1P,-1,2 ②由(1)①得将正方形ABCD绕点Q0,2逆时针旋转90°得正方形ABCD,点A、B、C、D的 对应点分别为点A1,3B3,3C3,1八D1,1将正方形ABCD绕点Q10,2顺时针旋转g0得正方 形ABCD,点ABCD的对应点分别为点A-1,1B-3,1C-3,3D-1,3 如图， B D" B DA"D 图2 当直线y=-x+b过点B3,3时，有3=-3+b解得b=6: 当直线y=-x+b过点D1,1时，有1=-1+b解得b=2 ∴.当2≤b≤6时，直线y=-X+b与正方形ABCD有交点，即直线y=-x+b上存在点P,使点P为 正方形ABCD的“创新点”； 如图， 13119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D" A B DA" 6 图2 当直线y=-x+b过点B-3,1时，有1=--3+b解得b=-2 当直线y=-x+b过点D-1,3时，有3=--1+b解得b=2 当-2≤b≤2时，直线y=-X+b与正方形ABCD有交点，即直线y=-X+b上存在点P,使点 P为正方形ABCD的“创新点”； 综上，b的取值范围为-2≤b≤6： (2)解：，正方形ABCD的顶点坐标A1,1,B1,-1,C-1,-1,D-1,1, ∴.正方形ABCD的对角线交点O0,O,点O到正方形ABCD各边的距离都是1， 如图，将正方形ABCD绕点Qt,0逆时针旋转90°得正方形ABCD,点O、A、B、C、D的对应 点分别为点0t,-t八ABCD:将正方形ABCD绕点Q1t,0顺时针旋转g0得正方形 ABCD,点A B C D的对应点分别为点0t,t小ABCD, DC' 0 C CD" B 0" A 图3 六At-1,-t+1∬Bt+1,-t+1八Ct+1,-t-1八Dt-1,-t-1点At+1,t-1 14119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Bt-1,t-1Ct-1,t+1Dt+1,t+1' 当直线y=- X+4过点Bt+1,t+1时，有-t+1=【+1+4,解得t=-5. 当直线y=- 2x+4过点Dt-1,-t-1时，有-t-1=- c-1+4, 解得t=-11, .当-11≤t≤-5时，直线：y= 2X+4与正方形ABCD有交点即直线上存在点P,使点P为正 方形ABCD的创新点： 一x*4过点Bt-1,-1时，有-1=4-1+4，解得号 当直线y=- +4过方D+1,t+1时，有似+1=+1+4，解得-号 当直线y=-1 ∴当号≤号时，直线：y=方X+4与正方形ABCD有交点即直线止存在有卫，使点P为正方 2 形ABCD的创新点， 综上，当-11≤t≤-5或≤t≤马时，直线y=-号x+4上存在点P,使点P为正方形ABCD的创新点. 3 3 21 24.（10分) 【答案】(1)y=-2x-2 233+2 2 gm网哥-到 【详解】(1)解：当x=0时，y=x+4=4, .B0,4,即OB=4, :0D=20B, ∴.OD=2, .D0,-2, 当x=-2时，y=x+4=2, .E-2,2, 15119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将D10,-2E-2,2代入2：y=kex+bk≠0： 「b=-2 b=-2 得2=-2k+b 解得k=-2” ∴.直线l2的解析式为y=-2x-2; (2)解：，点F是点E关于点B的对称点， ∴.XF=-XE=2,代入y=x+4, 得y=2+4=6, .F2,6, 如图，过点P作PW‖y轴，交EF于点W, 设Pp,-2p-2,则Wp,p+4, ∴p=p+4--2p-2=3p+6, S。e支pXe-x=23p+6-2--2=6p+12, SAPEF=9, 6p+12=9,解得p=2 ,=-2p-2=-rp是- 此时如图， 过点N作NR⊥X轴，过点M作MR‖x轴，NR与MR交于点R, 当y=0时，y=x+4=0,得x=-4, ∴.OA=4=OB, .∠OAB=45°， ,MRx轴，NR⊥X轴， .MR⊥NR,∠NMR=∠OAB=45°， 16119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △MNR是等腰直角三角形， MN=2, :.MR=NR-MN-1. 92 将点P沿MN方向平移MN=V2个单位长度得点P,即水平向右平移1个单位长度，向上平移1个单 位长度，连接NP, p+1,-1+即p 由平移得MP平移得NP,由平移性质得MP=NP, 作点C关于AB的对称点C,连接AC1'NC1'PC1, 由对称性可知NC=NC1,AC=AC1,∠OAB=∠C1AN=45°， PM+MN+NC=PN+2+NC,=PN+NC,+2≥PC,+2:当且仅当CNP共线时取 得最小值PC+2, 当y=0时，y=-2x-2=0,得x=-1,即C-1,0, AC=AC1=-1--4=3 :∠CAC1=∠OAB+∠C1AN=90°， C-4,3 pc-4+3-0-3, ÷PM+MN+NC的最小值为3正+2， F 17/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：将△COD绕点D逆时针旋转90°得到△COD, ∴.∠OD0=90°，∠C0D=∠COD=90°，0D=OD=2,C0=C0=1, ∴C的横坐标为-2，纵坐标为-2+1=-3，O的横坐标为-2，纵坐标为-2， 即c-2,-30-2,-2 设直线OC的解析式为y=mx+nm≠0， 代入0-2，-2，C-1,0,得 -2=-2m+n 0=-m+n 解得： m=2 n=2/: ∴.直线OC的解析式为y=2x+2, 由∠BAO=45, ∴.设点C到C是水平向左平移m个单位长度，再竖直向下平移m个单位长度， 则c'-2-m,-3-m' 代入y=2x+2,得-3-m=2-2-m+2, 解得m=1, ·c-3,-4 由图可知∠QEC是定角，不是直角， 当∠CQE=90时，设Q为Q,延长CQ,交x轴于点，过点c作Cs1x轴于点S .∠YAQ1=∠OAB=45°， ∠Q,YA=∠CQ1E-∠YAQ1=45, CS⊥x轴， ∠YCS=∠QYA=45, ∴.YS=CS=4, .OY=S0+YS=7,即Y-7,0, 设直线YC的解析式为y=+ef≠O, -4=-3f+e 代入C1-3,-4,Y-7,0,得0=-7f+e 18119 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得： - ∴.直线YC的解析式为y=-X-7, X=- 11 联立y=-x-7,解得： (y=x+4 y= 32 o引 B E 当∠QCE=90时，设Q为Q,设Qx,x+4 Q,C2=x+32+x+4+4}=2x2+22x+73'Q2E2=x+22+x+4-2=2x2+8x+8' CE2=-3+2+-4-22=371 “Q,E2=Q,C2+CE2 得2x+8x+8=2x2+22X+73+37, 解得x=- % +4-9 综上o号网头，引 19119 第二十八章 旋转（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列情境属于旋转的是（ ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 2．小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（ ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可． 【详解】解：因为想把这张图片放正， 所以应点击（顺时针旋转）． 故选：D． 3．风力发电是常见的绿色环保发电形式，在广袤的田野间随处可见这种风力发电机，它能够使大自然的资源得到更好的利用．如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，若以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4时，点A的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标． 【详解】解：如图， ∵， ∴A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点顺时针转动， ∴，，，， ∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第时，点A的对应点的坐标与相同，为． 4．若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，根据点绕原点逆时针旋转，坐标变换规则为求解即可． 【详解】解：∵点绕原点O逆时针旋转， ∴对应点的坐标为． 故选：B． 5．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．连接、，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点B． 6．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（ ） A．与是对应点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，故A选项错误； 与，与是对应线段，则，，故B选项错误； 与是旋转角，，则，即，故C选项正确； 无法判断，的位置关系，故D选项错误． 7．如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据邻补角定义可以求出，根据旋转的性质可知旋转角是． 【详解】解：在中，，， ， ， 旋转角是． 8．如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为，点的对应点为点，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】由平移可得对应点连线，由旋转可得对应角、，对应边，通过等边对等角得出，结合旋转对应角相等做等量代换，得到，即可证明平分，由此得出B、C、D正确，则不一定正确的是A． 【详解】解：∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，故B正确； ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，得到， ∴，故C正确； ，， ∴， ∴， ∴平分，故D正确； ∴不一定正确的是A． 9．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据点A的坐标求出的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，求出，进而可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设点B的对应点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 10．如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　) A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点作，先通过证明与全等，得到对应边相等，再用和表示的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 【详解】解：如图，过点作，则．    设()． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④． 12．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为________ 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查旋转作图． 根据旋转的性质，进行作图即可求出点旋转后的坐标． 【详解】解：由题意可得绕点按逆时针方向旋转后的图形是，如图所示， 由图象可得点旋转后的坐标是． 故答案为． 14．如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 15．如图，已知正方形①与正方形②边长相等，正方形②可以看作是正方形①经过怎样的图形变化得到?下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次翻折和1次平移；③经过两次旋转；④经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点只有一个．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】 ①②③ 【分析】根据平移、旋转、翻折的定义及性质，结合正方形的对称性，逐一分析各个结论是否成立即可 ． 【详解】解：①将正方形①平移，使一个顶点与正方形②的一个顶点重合，然后绕该公共顶点旋转一定的角度，即可得到正方形②，故①正确； ②正方形是中心对称图形，将正方形①关于某条直线翻折，再经过平移，可以与正方形②重合，故②正确； ③将正方形①绕其中心旋转，正方形①的位置和形状不变，然后再绕公共顶点旋转至正方形②的位置，这属于经过两次旋转，故③正确； ④若正方形①的公共顶点对应正方形②的公共顶点，则旋转中心为公共顶点； 若正方形①的公共顶点对应正方形②的其他顶点，则旋转中心为对应点连线的垂直平分线的交点，此时旋转中心不是公共顶点， ∴平面内可以作为旋转中心的点不止一个，故④错误． 故答案为①②③． 16．如图，将绕点B顺时针旋转得到，其中点D落在边上，连结，，恰有，当是等腰三角形时，的度数是______． 【答案】 或 【分析】设，，在上取点F，使得，连接，，先证明，，逐步得到，再分，，等三种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】解：设，，则， 在上取点F，使得，连接，， 绕点B顺时针旋转得到，其中点D落在边上， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 当时， ， ， ， 解得， ； 当时，， ，， ， ， ， ， 解得， ； 当时，， ， ， 这与点D落在边上，点B与点D不重合矛盾，不合题意，舍去； 综上所述，的度数是 或 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图所示，已知，顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是哪一点? ； (2)旋转了多少度? ； (3)线段与线段有什么位置关系?请说明． 【答案】(1)B (2) (3) 说明：延长与交于O点，如下图， 由旋转的性质可知， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 【分析】（1）结合图形即可获得答案； （2）根据题意和旋转的性质可得，即可获得答案； （3）延长与交于O点，由旋转的性质可知，易得，进而证明为直角三角形，即可证明结论． 【详解】（1）解：根据题意，顺时针旋转后与重合， 由图可知，旋转中心是点； （2）∵顺时针旋转后与重合，且， ∴，即旋转了； （3）略 18．（8分）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为． (1)将先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到，画出，点的坐标是_____________； (2)将绕点逆时针旋转后得到，画出，点的坐标是_____________； (3)求的面积． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； 点的坐标是； (2)解：如图所示，即为所求； 点的坐标是； (3)10 【分析】（1）根据平移的性质进行作图即可； （2）根据旋转的性质进行作图即可； （3）根据割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图 ． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长 交x轴正半轴于点F，证明四边形为正方形，求解即可． （2）根据，求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得，． 由旋转的性质，可知，，． 延长 交x轴正半轴于点F，如图，则四边形为正方形． ∴点D的坐标为，即． ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：将代入，得， ∴点E的坐标为． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ， ∴； 20．（8分）按要求解答下列问题： (1)【问题探究】 如图1，将绕点旋转得到，点在边上，连接．求证：平分； (2)【问题解决】 如图2，城市休闲广场中心摆放了一块平行四边形景观钢板，设计师将这块平行四边形钢板以顶点为旋转中心，旋转一定角度得到新的平行四边形钢板，用作配套装饰雕塑，旋转后顶点恰好落在原钢板的边上，连接，连接交于点，现场勘测测得，的边米，米，求装饰区域的面积． 【答案】(1)证明：在中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∴平分； (2)平方米． 【分析】（1）由平行、旋转及等腰三角形的性质得，即可证明结论； （2）过点B作，交于点N，连接，作于点I，由已知及旋转可得是等边三角形，结合平行四边形的性质得，，，再证明四边形是平行四边形，，则， 在中求得，即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，过点B作，交于点N，连接，作于点I， 由（1）知， ∴， 由旋转有， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由旋转得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴（平方米）． 答：装饰区域的面积为平方米． 21．（10分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点P的变换点的坐标定义如下：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为． (1)①求的变换点坐标________． ②若点的变换点为连接OB，，则________． ③由上面二个问题的解决，请思考： 当点P的变换点为时，点P与是________变换． 当点P的变换点为时，点P与是________变换．（选填“轴对称”或“旋转”或“中心对称”或“平移”） (2)直线上所有点的变换点组成一个新图形记为W，请求出W的解析式． (3)点P在直线上，点是点P的变换点，连接；直接写出的取值范围． 【答案】(1)① ② ③轴对称；旋转 (2) (3) 【分析】（1）①根据变换的定义即可作答； ②采用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可；③根据轴对称的坐标特点和②中的结果即可作答； （2）先判断直线上的点均是进行轴对称变换，再设上有一点，则可知是直线上的点变换而来的，将代入中，有，则问题得解； （3）设点坐标为，且，可得，根据（3）中的计算，可知在，点是进行旋转变换，再根据（1）②的结论可知，此时，且根据旋转的性质可知，即可得是等腰直角三角形，则有，，则问题即可得解． 【详解】（1）解：①， 的变换点的坐标为； ②， 点的变换点坐标为， ， ，，， ， 是直角三角形， ； ③当变为， 可知与关于轴对称， 与是轴对称变换； 当变为， 根据②，可知与夹角， 与是旋转变换； 故答案为：①；②；③轴对称，旋转； （2）解：直线上的点，均是横坐标大于纵坐标， 直线上的点均是进行轴对称变换， 设上有一点， 则可知是直线上的点变换而来的， 将代入中，有， 在上，且满足， 的解析式为， 即：的解析式为； （3）解：根据点在直线上，故设点坐标为，且， 则有， 整理，得：， ， 根据（3）中的计算，可知当时，点是进行旋转变换， 可知在，点是进行旋转变换， 如图， 根据（1）②的结论可知，此时，且根据旋转的性质可知， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， 即当时，有最小值，最小为， 当时，有最大值，最小为40， ， ， 即取值范围为． 【点睛】本题考查了直角坐标系中坐标与图形的知识，涉及轴对称和旋转的对称坐标特点与性质、勾股定理及其逆定理的应用、图象的变换、二次函数的最值等知识，属于中考压轴题．确定不同的自变量范围进行不同的图形变换是解答本题的关键． 22．（10分）综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． (1)【操作探究】如图1，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转到矩形的位置，当经过点时，连接，线段的长度为________________； (2)【问题解决】如图2，将绕点旋转得，点与点对应且恰好落在边上（点与不重合）． ①求证：； ②若，试探究与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展提升】如图3，在中，，，，将绕着中点旋转到的位置时，的边与原的边或边相交于点，则的长为________________． 【答案】(1) (2)①证明：由旋转的性质可得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图，作于点，设， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由①可知，， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即． (3)或 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，，使用勾股定理计算出，则，再使用勾股定理求出即可； （2）①由旋转的性质可证明，则，结合平行四边形的性质可得； ②作于点，设，由等腰三角形的性质可得，由可得，结合①的结论可得．使用勾股定理可计算出，进而计算出，因此； （3）分类讨论，当顺时针旋转时，延长交于点，容易证明四边形是平行四边形，进而可证明是等边三角形，则，因此；当逆时针旋转时，延长交于点，同样可以证明四边形是平行四边形，是等边三角形，则，因此． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转的性质可得，，，，，， 在中，， ∴， 在中，； （2）①略 ②略 （3）解：①当绕着点顺时针旋转时，如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当绕着点逆时针旋转时，如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 23．（10分）在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，对于平面内点和点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在正方形上，称点为正方形的创新点． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点，，中，正方形的创新点是_________； ②如图2，若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围； (2)如图3，点，直线：．若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①点，；②； (2)或． 【分析】（1）①先将正方形四顶点绕分别顺、逆时针旋转，得到点的全部边界范围，再对比三个给定点坐标，判断落在范围内的点即为创新点．②求出旋转后点的完整矩形区域，再求直线与该正方形有交点时的最值，进而确定的取值． （2先把正方形四顶点绕顺、逆时针旋转，得到含参数的点正方形区域，再联立直线与正方形边界，求解直线与区域存在交点时的临界值，最终整合的取值范围． 【详解】（1）解：①如图，将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、， ∵正方形的顶点坐标，，，， ∴由旋转可得、、、，点、、、， 结合图形可得点在正方形上，点不在正方形上，也不在正方形上，点在正方形上， ∴正方形的“创新点”是点，； ②由（）①得将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、， 如图， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即直线上存在点，使点为正方形的“创新点”； 如图， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即直线上存在点，使点为正方形的“创新点”； 综上，的取值范围为； （2）解：∵正方形的顶点坐标，，，， ∴正方形的对角线交点，点到正方形各边的距离都是， 如图，将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、、的对应点分别为点、、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、、的对应点分别为点、、、、， ∴、、、，点、、、， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线：与正方形有交点即直线上存在点，使点为正方形的创新点； 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线：与正方形有交点即直线上存在点，使点为正方形的创新点， 综上，当或时，直线上存在点，使点为正方形的创新点． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，点在轴负半轴上，，直线与直线相交于点，且点的横坐标为． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点是点关于点的对称点，点是射线上一点，点，点是直线上两动点（点在点的下方），且，连接，，，当时，求的最小值： (3)将绕点逆时针旋转得到，作直线，再将沿直线平移得，当平移后的点刚好落在直线上，此时点为直线上一动点，若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）先分别求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）利用对称求出，过点P作轴，交于点，设，则，得出，可得，解得，得出，此时，过点N作轴，过点M作轴，与交于点R，得出是等腰直角三角形，则，将点P沿方向平移个单位长度得点，即水平向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，连接，得出，由平移性质得，作点关于的对称点，连接，，，由对称性可知，，，则，当且仅当、、共线时取得最小值，求出，即可求解； （3）利用旋转求出，，求出直线的解析式为，利用平移求出，由图可知是定角，不是直角，当时，设为，延长交轴于点Y，过点作轴于点S，求出，求出直线的解析式为，与联立求解即可；当时，设为，设，利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 将，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点是点关于点的对称点， ∴，代入， 得， ∴， 如图，过点P作轴，交于点， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，即，此时如图， 过点N作轴，过点M作轴，与交于点R， 当时，，得， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 将点P沿方向平移个单位长度得点，即水平向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，连接， ∴，即， 由平移得平移得，由平移性质得， 作点关于的对称点，连接，，， 由对称性可知，，， ∴，当且仅当、、共线时取得最小值， 当时，，得，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：将绕点逆时针旋转90°得到， ∴，，，， ∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， 即，， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 由， ∴设点到是水平向左平移m个单位长度，再竖直向下平移m个单位长度， 则， 代入，得， 解得， ∴， 由图可知是定角，不是直角， 当时，设为，延长交轴于点Y，过点作轴于点S， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴； 当时，设为，设， ∴，，， ∵， 得， 解得， ∴， ∴； 综上，或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $