专题26 圆的有关概念（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦圆的集合定义、点与圆的位置关系及弦、弧、等圆等核心概念，通过旋转形成与集合本质理解圆的定义，辨析弦与直径、优弧与劣弧等易混概念，构建从定义到应用的知识支架，衔接后续圆的性质学习。 以几何直观和逻辑辨析为特色，设计10类题型（如“一箭穿心求最值”“直径最长弦应用”），典例结合变式强化概念理解，融入生活实例抽象圆形模型培养应用意识。课中助力教师系统授课，课后通过分层训练帮助学生查漏补缺，提升解决问题能力。

专题26 圆的有关概念 一、素养目标 1.理解圆的集合定义，掌握弦、弧、等圆等基础概念，能判断点与圆的位置关系； 2.通过画图、辨析概念发展几何直观，区分易混淆圆相关名词，提升逻辑辨析能力； 3.结合生活实例抽象圆形模型，能用圆的概念解释生活问题，建立几何应用意识. 二、重点与难点 重点：认识圆，理解圆的定义并掌握点与圆的三种位置关系. 难点：掌握弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系. 一、圆的定义 如图，在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径.以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 从画圆的过程中，我们可以看出： (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)； (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 二、点和圆的位置关系 三、与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段(如图中AC)叫作弦，经过圆心的弦(如图中AB)叫作直径.直径长是半径长的2倍. 注意：1.弦和直径都是线段； 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆.大于半圆的弧叫作优弧；小于半圆的弧叫作劣弧. 能够重合的两个圆叫作等圆.容易看出：同圆或等圆半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. 注：等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧. 题型01圆的基本概念 【典例】下列说法正确的有（　　） ①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式】（2024秋•鼓楼区期中）战国时期的著作《墨经》中“…，一中同长也”描述的图形是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 题型02 圆心角的识别及计算 【典例】如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【变式】如图，的圆心为点，以点为圆心作，且与的延长线交于点，与的延长线交于点．已知，求的度数． 题型03圆中弦的条数的确定 【典例】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式】如图，圆中有____条直径，___条弦，圆中以A为一个端点的优弧有___条，劣弧有___条． 题型04根据直径是圆最长的弦求最值 【典例】如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 【变式】如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是______．    题型05求圆的周长和面积 【典例】如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    【变式】如图，长方形ABCD的面积为225，长和宽的比为5∶3，在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆（取3），请通过计算说明理由． 题型06判断点与圆的位置关系 【典例】已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【变式】如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 题型07根据点与圆的位置关系求半径及其范围 【典例】如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 题型08利用一箭穿心求一点与圆上一点之间的距离的最值 【典例】如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 【变式】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的上运动，点Q是的中点，则长的最大值为（       ） A． B． C． D． 题型09圆中的角度计算 【典例】如图，在中，，C为上一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的面积与的面积之比为，求的值． 【变式】（2024秋•东海县月考）如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠EOD＝48°，A为DC延长线上一点，且AB＝OC，求∠A的度数． 题型10圆中线段长度的计算 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，若点D巧好为线段AB的中点，则AB的长度为（  ） A． B．3 C． 6 D．9 【变式】（2023•瑶海区一模）圆O的直径AB＝26cm，点C是圆O上一点（不与点A、B重合），作CD⊥AB于点D，若CD＝12cm，则AD的长是（　　） A．8cm B．18cm C．8cm或18cm D．16cm 【巩固训练】 1．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 2．如图，在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 3．在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，的半径为2，要使点B在内时，实数b的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 4．如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（   ） A．都不在 B．只有 C．只有 D． 5．如图，在中，，点D在边上，且，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 6．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 7．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 8．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 9．由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为________． 10．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【强化训练】 1．如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（    ） A．8 B．6 C． D． 2．如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为4，交x轴的正半轴于点P．点Q为内一点，且经过点Q的所有弦中，只有4条弦的长为整数，则线段长的取值范围是______． 4．如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边上的一动点，则的最小值为______． 5．如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 6．如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 7．如图，在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最大值是________． 8．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画出一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 9．如图，是半圆的直径，点是半圆上不与点、重合的一个动点，延长到点，使，是的中点，连接、． (1)求证： ； (2)连接，当四边形是菱形时，求的度数．    10．综合探究 如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由． (3)求证：是定值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26 圆的有关概念 一、素养目标 1.理解圆的集合定义，掌握弦、弧、等圆等基础概念，能判断点与圆的位置关系； 2.通过画图、辨析概念发展几何直观，区分易混淆圆相关名词，提升逻辑辨析能力； 3.结合生活实例抽象圆形模型，能用圆的概念解释生活问题，建立几何应用意识. 二、重点与难点 重点：认识圆，理解圆的定义并掌握点与圆的三种位置关系. 难点：掌握弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系. 一、圆的定义 如图，在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径.以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 从画圆的过程中，我们可以看出： (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)； (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 二、点和圆的位置关系 三、与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段(如图中AC)叫作弦，经过圆心的弦(如图中AB)叫作直径.直径长是半径长的2倍. 注意：1.弦和直径都是线段； 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆.大于半圆的弧叫作优弧；小于半圆的弧叫作劣弧. 能够重合的两个圆叫作等圆.容易看出：同圆或等圆半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. 注：等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧. 题型01圆的基本概念 【典例】下列说法正确的有（　　） ①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项. 【详解】解：①连接圆上任意两点的线段是弦，故原命题错误，不符合题意； ②直径是圆中最长的弦，正确，符合题意； ③经过圆心的线段不一定是直径，故原命题错误，不符合题意； ④半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意； ⑤长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意； ⑥弧不一定是半圆，但半圆是弧，故原命题错误，不符合题意， 正确的有2个， 故选：A． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义和性质，难度不大. 【变式】（2024秋•鼓楼区期中）战国时期的著作《墨经》中“…，一中同长也”描述的图形是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 【分析】根据半径的含义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；在同圆或等圆中，所有的半径都相等；由此判断即可． 【详解】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等； 故选：D． 【点睛】此题考查了圆的认识，关键是根据半径的含义解答． 题型02 圆心角的识别及计算 【典例】如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 【变式】如图，的圆心为点，以点为圆心作，且与的延长线交于点，与的延长线交于点．已知，求的度数． 【答案】 【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ，再由等腰三角形的性质及三角形外角性质得 ，继而利用三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质以及圆的认识，熟练掌握三角形的内角和定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 题型03圆中弦的条数的确定 【典例】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 【变式】如图，圆中有____条直径，___条弦，圆中以A为一个端点的优弧有___条，劣弧有___条． 【答案】 1 3 4 4 【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条， 故答案为1，3，4，4． 题型04根据直径是圆最长的弦求最值 【典例】如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作于点N，连接，根据勾股定理可得 ，，利用弦最长等于直径即可得出答案． 【详解】解：过点C作于点N，连接，   点为的中点，， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 在中， ， 当最大时，最大， 的半径为5， 弦最长等于直径是10， ， ． 故选：B． 【变式】如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是______．    【答案】2 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 题型05求圆的周长和面积 【典例】如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    【答案】 【分析】设小圆的半径为r，则大圆的半径为，根据，列方程求得大圆和小圆的半径，再计算大圆和小圆的周长之和即可求解． 【详解】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为， 由图可得，，即， 解得， （舍），， ∴， ∴， 答：围成圆环铁丝的总长度为． 【变式】如图，长方形ABCD的面积为225，长和宽的比为5∶3，在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆（取3），请通过计算说明理由． 【答案】 不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆， 理由：设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm， 根据题意得， 解得（负值舍弃）， ∴， ∴，， ∵圆的面积为75，设圆的半径为rcm， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆． 【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm，结合长方形ABCD的面积为225，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积为，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小的比较，解题关键是求出圆的半径以及长方形的长． 题型06判断点与圆的位置关系 【典例】已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 【变式】如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 题型07根据点与圆的位置关系求半径及其范围 【典例】如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了点和圆的位置关系，两圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，熟练掌握两圆的位置关系是解题的关键．首先求出的半径的取值范围为，再根据两圆的圆心距是10，分内切和外切两种情况进一步即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵点在内，点在外， ∴的半径的取值范围为， 当分别以A、C为圆心的两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，是，即， ∴， 解得， 当分别以A、C为圆心的两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，是，即， ∴， ∴， 综上可知，的半径的取值范围是或， 故选：C． 【变式】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 题型08利用一箭穿心求一点与圆上一点之间的距离的最值 【典例】如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，，，先求出的长，再得出点的运动轨迹，利用圆的性质求最值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴在中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵在中，，点为斜边的中点， ∴， ∴点在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点与和线段的交点重合时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出点的运动轨迹． 【变式】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的上运动，点Q是的中点，则长的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题,三角形中位线定理,圆的性质等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键．连结，根据反比例函数的中心对称性可得，即得是的中位线，所以，当经过圆心C时，取得最大值，最大值为，求出，的值，即得答案． 【详解】连结， 正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点， 点A与点B关于原点O对称， ， 点Q是AP的中点， 是的中位线， ， 当经过圆心C时，取得最大值，最大值为， 联立， 解得或， ， ， ， 点P在1为半径的上运动， ， ， 长的最大值为． 故选A． 题型09圆中的角度计算 【典例】如图，在中，，C为上一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的面积与的面积之比为，求的值． 【答案】(1)∠BOC的度数为50° (2) 【分析】（1）设，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据建立方程求解即可； （2）过C作于H，设，根据三角形面积之比求出，则由勾股定理得，进而得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （2） 解：过C作于H，设， ∵的面积与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股可得， 在中，由勾股可得， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式】（2024秋•东海县月考）如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠EOD＝48°，A为DC延长线上一点，且AB＝OC，求∠A的度数． 【分析】根据圆的半径，可得等腰三角形，根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠AOB，∠B与∠E的关系，根据三角形的外角的性质，可得关于∠A的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：如图，连接OB， 由AB＝OC，得AB＝OB，∠AOB＝∠A． 由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠EBO＝∠A+∠AOB＝2∠A． 由OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A． 由∠A+∠E＝∠EOD，即∠A+2∠A＝48°． 解得∠A＝16°． 【点睛】本题考查了圆的认识，利用了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质． 题型10圆中线段长度的计算 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，若点D巧好为线段AB的中点，则AB的长度为（  ） A． B．3 C． 6 D．9 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的圆的性质求解即可； 【详解】连接CD， ∵以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，AC=3， ∴， 又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为线段AB的中点， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和圆的性质，准确计算是解题的关键． 【变式】（2023•瑶海区一模）圆O的直径AB＝26cm，点C是圆O上一点（不与点A、B重合），作CD⊥AB于点D，若CD＝12cm，则AD的长是（　　） A．8cm B．18cm C．8cm或18cm D．16cm 【分析】分两种情况画出图形，由勾股定理求出OD＝5cm，则可得出答案． 【详解】解：当点D在OB上，如图，连接OC， ∵圆O的直径AB＝26cm， ∴OA＝OC＝13cm， ∵CD⊥AB， ∴∠ODC＝90°， ∴DO5（cm）， ∴AD＝OA+OD＝13+5＝18（cm）； 当点D在线段OA上时，如图， 同理可得出AD＝AO﹣OD＝13﹣5＝8（cm）． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【巩固训练】 1．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 2．如图，在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的性质和平行四边形的判定，在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，可得,故可判断四边形是平行四边形 【详解】解：在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上， ∴, ∴四边形是平行四边形 3．在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，的半径为2，要使点B在内时，实数b的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】要使点B在内，则，即，求解即可． 【详解】解：要使点B在内，则，即 解得， 故选：D 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 4．如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（   ） A．都不在 B．只有 C．只有 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 取中点，连接，则， 以点为圆心，长为半径画圆，如图所示： 由图可知，点都在内， ∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内， 故选：． 5．如图，在中，，点D在边上，且，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，三角形中位线定理等知识．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．首先根据三角形中位线的性质得出，进而利用点与圆的位置关系得出即可． 【详解】解：连接， ∵以为直径作，线段的中点为P， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故选：C． 6．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 7．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，利用三角形中位线定理求出的长，确定点的轨迹，再求出点到的距离，从而得到点到距离的取值范围，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点在半径为4的上， ∴， ∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 设点到的距离为， ∵点在以为圆心，2为半径的圆上，且圆心到的距离为4 ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 8．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 9．由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意调查到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是半径为5和半径为所组成的环形面积即可．本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：如图， 到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是图中环形， 所以 ． 故答案为：． 10．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 【强化训练】 1．如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点的运动时间是解题关键． 根据最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答． 【详解】解：如图，当点运动到过圆心，即为直径时，最长， 由图（b）得，最长时为6，此时， ， ， 此时点路程为90度的弧， 点从点运动到点的弧度为270度， 运动时间为， 故选：B． 2．如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据勾股定理得到，根据圆与圆的位置关系得到， 由点在外，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：连接AD， ∵，，， ∴ ∵的半径长为3，与相交， ∴， ∵， ∴， ∵点在外， ∴， ∴的半径长的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内． 3．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为4，交x轴的正半轴于点P．点Q为内一点，且经过点Q的所有弦中，只有4条弦的长为整数，则线段长的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据圆的半径确定出圆中最长弦和最短弦的长度范围，由经过点Q的所有弦中只有4条弦长为整数，找出4条整数长度的弦对应的数值，进而确定过点Q的最短弦的长度范围，根据过圆内一点的最短弦是与该点和圆心连线垂直的弦，利用垂径定理，结合最短弦的长度范围计算的取值范围，由于点P在x轴正半轴且是圆上一点，结合的长度，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵的半径， ∴的直径为8， ∴圆内弦长的取值范围是， 当弦长l为8时，只有1条，即为直径， ∵经过点Q的整数弦只有4条， ∴当最短弦，则长度为6，7，8的弦都存在， ∴弦长数量为，满足题意， 如图，经过点Q的最短弦有1条，经过点Q的最长弦有1条，经过点Q的弦关于直径对称有2条， 此时经过点Q的最短弦长为6， ∵最短弦l垂直于，设， 由垂径定理得，， ∴，即在中， ∴， ∴点Q是以点O为圆心，半径为的圆上运动， ∵， ∴， 当点Q在线段上时，最短， ∴， 当点Q在的延长线上时，最长， ∴， ∴的取值范围是． 4．如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长到点，使，连接，证得，当，，三点共线时，的值最小，证得点的轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，点为的中点，， ， ∴点的轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上， ∴圆外一点到圆上一点距离的最小值为， ， ， ， 的最小值是． 5．如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 【答案】4 【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，即可求解． 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示： 在直角中， ， ∵E是直角斜边上的中点， ∴， ∵M是的中点，E是的中点， ∴ ， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆， ∴当点M在线段上时，最小，且线段长度的最小值为． 6．如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 【答案】 【分析】将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，作的中点，连接，利用旋转的性质进一步证明，得到，确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，利用圆外一点到圆上的最短距离求解． 【详解】解：如图所示，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形， 取的中点，连接， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵， ∴点共线， ∵, ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，     ∵E是的中点，为的中点，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为定点，为定长， ∴点是在以点为圆心，半径为半径的圆上运动， ∴， ∴的最小值为． 7．如图，在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最大值是________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，取的中点利用中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键；连接，取其中点E，连接，则，当点E在线段上时，取得最大值；由中位线定理及直角三角形的性质可分别求得的长，从而求得的最大值． 【详解】解：如图，连接，取中点E，连接， 则，当点E在线段上时，取得最大值，且最大值为； ∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∵是的中点，， ∴， ∴ ∴的最大值为． 故答案为：． 8．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画出一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 9．如图，是半圆的直径，点是半圆上不与点、重合的一个动点，延长到点，使，是的中点，连接、．    (1)求证： ； (2)连接，当四边形是菱形时，求的度数． 【答案】(1) 证明：点是的中点，， ，， ． ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）根据中位线的性质得到， ，由可证； （2）根据菱形的性质得，从而证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，   四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定及性质以及菱形的性质，解题关键是根据中位线的性质得到， ，由得出． 10．综合探究 如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由． (3)求证：是定值． 【答案】(1) 证明：如图，连接交于点． ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ， 四边形是平行四边形． (2)存在，1； (3)证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H． 设，则． 由，得， ． ， ， ， 是定值． 【分析】本题主要考查圆的基本性质以及勾股定理： （1）道德证明四边形是矩形，得，同理可证，得出四边形是平行四边形． （2）根据点A是上的点，，得出，由得出； （3）过点作于点．设，则，求出，，计算出，进一步可得出结论 【详解】（1）略 （2）解：存在，线段的长度不变． ∵点A是上的点， 在矩形中，． ， ． （3）略 / 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