专题22 反比例函数全章复习14大题型总结（提优篇）（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学讲义通过知识结构图系统梳理反比例函数知识体系，归纳8个几何基本图形呈现与一次函数、几何图形的综合联系，清晰呈现概念、图象性质及解析式确定等重难点，构建完整知识脉络。 讲义亮点在于14大题型的典例与变式设计，如动点问题、存在性问题等，培养学生推理能力和模型意识。分层训练满足不同学生需求，辅助教师实施精准教学，提升复习效率与效果。

专题22 反比例函数全章复习14大题型总结（提优篇） 一、素养目标 1.通过用实际的题例，回顾反比例函数的概念，同时在后续的练习中，进一步理解反比例函数的概念中的关键点； 2.能画出反比例函数的图象，并根据图象和解析式掌握反比例函数的主要性质，以及根据己知条件确定反比例函数的表达式； 3.熟练应用反比例函数的有关知识解决实际问题，体会其中的建模思想； 二、教学重点、难点 重点：巩固并掌握反比例函数概念及图象和性质，能根据已知条件确定反比例函数的解析式. 难点：应用反比例函数、结合几何、代数知识解决综合性问题. 一、知识结构图 二、反比例函数与一次函数综合 条件：直线y＝k 1x＋b与双曲线y＝ 相交于A、B两点 结论：AC＝BD 三、反比例函数与几何图形综合（8个基本图形） 条件：点A，B分别在反比例函数y＝ ，y＝ 图象上，AM=BM S ＝ 条件：反比例函数y＝ 与正比例函数y＝k2 x相交于A、B两点 结论：CE＝CF 条件：EA⊥x轴，EB⊥y轴． 结论：AB∥CD 条件：四边形ABCD是平行四边形，结论：∠1=∠2，∠3=∠4 条件：两条正比例函数图象与两条反比例函数图象相交于A、B、C、D 结论：AB∥CD 条件：点Q为AB的中点， 结论：点P为BC的中点 平行黄金比 条件：PA⊥x轴，AQ∥OP 结论： 垂直黄金比 条件：OA=AB，∠OAB=90° 结论： 题型01反比例函数图象上点的坐标特征的运用 【典例】1．已知反比例函数的图象经过三个点，，，其中．当时，m的值是（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 【变式】 如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 题型02反比例函数k的几何意义 【典例】如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为__________． 【变式】如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，连接，若的面积为2，则（    ） A． B． C． D． 题型03反比例函数图象与性质的运用 【典例】3．已知反比例函数，当时，y的最大值是4，则当时，y有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值－1 【变式】小明根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是　 　；  （2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　 　，n＝　 　； x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 2 3 … y … m 0 ﹣1 n 2 … （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． （4）结合函数的图象，解决问题： ①写出该函数的一条性质：　 　． ②当函数值+1＞时，x的取值范围是：　 　． 题型04反比例函数图象与一次函数图象或二次函数图象共存 【典例】已知一次函数（，为常数，）的图象如图所示，则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式】如图所示，满足函数和的大致图像是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 题型05反比例函数与一次函数图象的交点问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、，与轴交于点． (1)求、及的值；(2)的面积为______．    【变式】如图，将反比例函数的图象绕坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线与旋转后的图象相交于B，则的面积为________．    题型06反比例函数与一次函数图象的实际应用 【典例】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分． (1)求图中点A的坐标和段的表达式； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 【变式】某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式______； （2）当水温为时，______； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为______． 题型07反比例函数与一次函数的综合运用 【典例】如图1，点，在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接、． (1)直接写出直线解析式：________ (2)求的面积； (3)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【变式】【阅读理解】把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换． 【知识运用】如图1，将的图象经过倒数变换后可得到的图象（部分）．特别地，因为图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此的图象上也没有纵坐标为0的点．小明在求的图象与的交点时速用了开平方的定义：，得，解得，则图象交点坐标为或． 【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成： (1)请在图2的平面直角坐标系中画出的图象和它经过倒数变换后的图象． (2)设函数的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．A______，B______； (3)设，且，求m．    题型08反比例函数中的动点问题 【典例】如图，已知直线y＝x＋2与双曲线交于A、B两点，且A点坐标为（a，4）． （1）求双曲线解析式； （2）将直线y＝x＋2向下平移两个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值，并求此时的Q点坐标； （3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出N点坐标． 【变式】如图，，是反比例函数的图象上的两点，点P是反比例函数的图象位于线段下方的一动点，过点P作轴于M，交线段于Q．设点M横坐标为x，则面积的最大值为_____，此时______．    题型09反比例函数与直线x=a或y=a 【典例】在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 【变式】如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接． (1)___________，___________． (2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标． 题型10反比例函数勾股定理、全等三角形的综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 【变式】【模型建立】 (1)如图一，在中，，，直线经过点C，过点A作于D，过点B作于E．求证：． 【模型应用】 (2)如图二，直线： 与坐标轴交于点A、B，将直线绕点B顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 (3)如图三，一次函数 的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数 的图象上，若为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值． 题型11反比例函数与图形变换 【典例】将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 【变式】阅读材料：曲线向右平移个单位后的表达式是什么？针对这个问题，小媛同学给出了以下猜想及证明： 猜想：平移后的表达式为 证明：设上任意一点坐标为，则平移后的坐标为，令，，所以，则． （）利用以上结论，写出向左平移个单位后的表达式为 ； （）仿照上述证明过程，请写出向上平移个单位后的表达式，并证明 问题解决： （）请根据以上结论，直接填空 绕顺时针旋转后的表达式为 ； 绕顺时针旋转后的表达式为 ． 题型12反比例函数中的存在性问题 【典例】在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， (1)求反比例函数和所在直线的函数表达式； (2)连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】我们定义：如果一个矩形的周长和面积分别是矩形的周长和面积的倍，那么我们就称矩形是矩形的完全倍体． 【概念辨析】若矩形为正方形，是否存在一个正方形是正方形的完全2倍体？______．（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】（1）长为4，宽为3的矩形是否存在完全2倍体？小颖和小丽分别有以下思路： ①小颖：设新矩形长和宽为、，则依题意，，联立，得，再探究根的情况； ②小丽：如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，两图象有交点，则意味着存在完全2倍体． 请直接写出这个完全2倍体的长与宽：______． （2）那么长为4，宽为3的矩形是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因． （3）如果长为4，宽为3的矩形存在完全倍体，请直接写出满足的不等式． 题型13反比例函数中的最值问题 【典例】3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小；此时的周长最小，且周长最小值为________． 【变式】马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 题型14 反比例函数中的定值问题 【典例】如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式】如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求出反比例函数的表达式和点的坐标； (2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【巩固训练】 1．已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在如图所示的网格中，以点为原点，若、所在直线分别代表轴、轴，则与点在同一反比例函数图象上的是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 4．点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 5．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．若两个函数的图象关于轴对称，我们定义这两个函数是互为“镜面”函数；请写出函数的镜面函数________． 7．某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图像，回答下列问题： (1)当时，求眼睛疲劳系数关于睡眠时间之间的函数关系式； (2)如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求的值． 8．某药研所研发了一种治疗某种疾病的新药，经测试发现：新药在人体的释放过程中，10分钟内（含10分钟），血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的关系满足；10分钟后，y与x的关系满足反比例函数．部分实验数据如表： 时间x（分钟） … 10 15 … 含药量y（微克） … 30 20 … （1）分别求当和时，y与x之间满足的函数关系式． （2）据测定，当人体中每毫升血液中的含药量不低于3微克时，治疗才有效，那么该药的有效时间是多少？ 9．如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为y轴上一动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 【强化训练】 1．函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知点，，在下列某一函数图象上，当时，，那么这个函数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两条平行线相交于，且，则___________． 5．如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点为直线上一点，连接，，若的面积是6，则的值为______． 6．如图，点是反比例函数图象上的一点，点，将点A绕点顺时针旋转得到点，连接，． （1）的值为________； （2）当，时，点的坐标为________； （3）若，无论取何值时，点始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为________． 7．如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是______． 8．如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标． (1)当点的坐标为时，求的值； (2)若，求点的坐标； (3)连接，记的面积为，若，求的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 10．已知反比例函数，及两定点，． (1)设是反比例函数图像上任意一点，请证明为一定值，并求出该定值． (2)设直线与反比例函数图像在第一象限的部分交于两点，． （2.1）若直线经过点，求出线段长度的最小值，以及此时直线的斜率． （2.2）若与轴交于点，与轴交于点，请证明为一定值，并求出该定值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 反比例函数全章复习14大题型总结（提优篇） 一、素养目标 1.通过用实际的题例，回顾反比例函数的概念，同时在后续的练习中，进一步理解反比例函数的概念中的关键点； 2.能画出反比例函数的图象，并根据图象和解析式掌握反比例函数的主要性质，以及根据己知条件确定反比例函数的表达式； 3.熟练应用反比例函数的有关知识解决实际问题，体会其中的建模思想； 二、教学重点、难点 重点：巩固并掌握反比例函数概念及图象和性质，能根据已知条件确定反比例函数的解析式. 难点：应用反比例函数、结合几何、代数知识解决综合性问题. 一、知识结构图 二、反比例函数与一次函数综合 条件：直线y＝k 1x＋b与双曲线y＝ 相交于A、B两点 结论：AC＝BD 三、反比例函数与几何图形综合（8个基本图形） 条件：点A，B分别在反比例函数y＝ ，y＝ 图象上，AM=BM S ＝ 条件：反比例函数y＝ 与正比例函数y＝k2 x相交于A、B两点 结论：CE＝CF 条件：EA⊥x轴，EB⊥y轴． 结论：AB∥CD 条件：四边形ABCD是平行四边形，结论：∠1=∠2，∠3=∠4 条件：两条正比例函数图象与两条反比例函数图象相交于A、B、C、D 结论：AB∥CD 条件：点Q为AB的中点， 结论：点P为BC的中点 平行黄金比 条件：PA⊥x轴，AQ∥OP 结论： 垂直黄金比 条件：OA=AB，∠OAB=90° 结论： 题型01反比例函数图象上点的坐标特征的运用 【典例】1．已知反比例函数的图象经过三个点，，，其中．当时，m的值是（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的图象经过点，利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出 然后根据列出方程，解方程即可求出m的值； 【详解】解：（1）设反比例函数的解析式为 ∵反比例函数的图象经过点， ∴ ∴反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点B（2m，），C（6m，）， ∴ ∵， ∴   ∴m=1， 经检验，m=1是原方程的解． 故选B． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出双曲线的解析式是解题的关键． 【变式】 如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点A（-1，1）是反比例函数图象上一点，求出k的值，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵点A（-1，1）是反比例函数图象上一点， ∴， A、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B、，点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； C、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； D、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上各点的坐标特征，即反比例函数图象上各点坐标符合，且k为定值． 题型02反比例函数k的几何意义 【典例】如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可，求出，即可得解． 【详解】解：如图：令交轴于， ∵点在反比例函数上，且轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式】如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，连接，若的面积为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质可知，，再根据反比例函数的面积关系解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的面积关系，掌握反比例函数的性质是解题关键． 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， 设点， ∵轴， 点， ， ， ， ， , ， 点是反比例函数图象上一点，， ， ∵的面积为2， ， ， ， , ， ， ， 故选：C． 题型03反比例函数图象与性质的运用 【典例】3．已知反比例函数，当时，y的最大值是4，则当时，y有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值－1 【答案】C 【分析】由函数经过第二象限，可确定k＜0，则在-3≤x≤-1上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为y=-，由此可求解． 【详解】解：∵当-3≤x≤-1时，y的最大值是4， ∴反比例函数经过第二象限， ∴k＜0， ∴在-3≤x≤-1上，y值随x值的增大而增大， ∴当x=-1时，y有最大值-k， ∵y的最大值是4， ∴-k=4， ∴k=-4， ∴y=-， 当x≥6时，y=-有最小值-， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k＜0是解题的关键． 【变式】小明根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：    （1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是　 　； （2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　 　，n＝　 　； x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 2 3 … y … m 0 ﹣1 n 2 … （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． （4）结合函数的图象，解决问题： ①写出该函数的一条性质：　 　． ②当函数值+1＞时，x的取值范围是：　 　． 【答案】（1）x≠1；（2），3；（3）见解析；（4）①函数图象经过原点且关于点（1，1）对称；②1＜x＜3 【分析】（1）根据分式有意义即可得出答案； （2）将和分别代入函数解析式即可得出答案； （3）根据描点法画图即可得出答案； （4）①观察图像即可得出答案；②根据图像即可得出答案． 【详解】解：（1）由分式的分母不为0得：x﹣1≠0， ∴x≠1； 故答案为：x≠1． （2）当x＝﹣1时，y＝+1＝， 当x＝时，y＝+1＝3， ∴m＝，n＝3， 故答案为：，3． （3）如图：    （4）①观察函数图象，可知：函数图象经过原点且关于点（1，1）对称， 故答案为：函数图象经过原点且关于点（1，1）对称． ②观察函数图象，可知：当函数值+1＞时，x的取值范围是1＜x＜3， 故答案为：1＜x＜3． 【点睛】本题考查的是函数的图像与性质，难度适中，需要熟练掌握描点法作图． 题型04反比例函数图象与一次函数图象或二次函数图象共存 【典例】已知一次函数（，为常数，）的图象如图所示，则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（，为常数，）的图象判定，确定图象分布，判断即可． 【详解】解：根据一次函数（，为常数，）的图象判定， ∴的图象分布在二四象限，反比例函数的图象分布在二四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键． 【变式】如图所示，满足函数和的大致图像是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案． 【详解】解：一次函数． ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数位于第一、二、四象限； 故图①错误，图②正确； ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴； ∴， ∴一次函数位于第一、三、四象限； 故图③正确，图④错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 题型05反比例函数与一次函数图象的交点问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、，与轴交于点．    (1)求、及的值； (2)的面积为______． 【答案】(1)的值为1，的值为2，的值为1 (2) 【分析】（1）将点B分别代入反比例函数解析式中算出的值，点A分别代入反比例函数解析式中算出m的值，再将然后根据待定系数法求、的值； （2）将分成和，然后计算面积． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ∴反比例函数函数解析式为：， 又点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ∴． 将，分别代入中， 得到， 解得 该一次函数解析式为：， 综上所述：的值为1，的值为2，的值为1； （2）令中， 得 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，计算三角形面积需注意分割计算，掌握待定系数法是解题的关键． 【变式】如图，将反比例函数的图象绕坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线与旋转后的图象相交于B，则的面积为________．    【答案】// 【分析】反比例函数的图象上点绕点顺时针方向旋转得点，过点作轴于，得出，作轴于，设，并且是由绕点顺时针旋转得到的，则，从而，可证出是等腰直角三角形，得的坐标，代入从而得出的值，进而求得的长度，利用三角形面积公式解决问题． 【详解】解：设反比例函数的图象上点绕点顺时针方向旋转得点，过点作轴于， 设， ， ， ， ， ， ， 作轴于，是由绕点顺时针旋转得到的， ∴点K在原反比例函数图象上． 设， ， ∴， 过点作轴于，轴，   是等腰直角三角形， ， ， ，即， ， 解得或（舍， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键． 题型06反比例函数与一次函数图象的实际应用 【典例】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分． (1)求图中点A的坐标和段的表达式； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于． 【分析】本题考查了求一次函数、反比例函数的解析式及根据解析式求解不等式． （1）将点坐标代入反比例函数解析求出段的表达式，再代入点的横坐标即可求解； （2）求出函数在上解析式，令，解出的范围，即可判断． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为； （2）略 【变式】某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式______； （2）当水温为时，______； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为______． 【答案】 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 题型07反比例函数与一次函数的综合运用 【典例】如图1，点，在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接、． (1)直接写出直线解析式：________ (2)求的面积； (3)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）把点B的坐标代入函数解析式即可求出k，再把点A的坐标代入函数解析式即可求出m，再根据待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出直线与轴的交点M的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； （3）设点E的坐标为，用含m的式子表示出，然后利用建立关于m的方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：∵B在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 把A代入，得， ∴ 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为； （2）由（1）可知：直线的解析式为； ∴当时，， ∴直线与y轴的交点M的坐标为， ∵，， ∴的面积； （3）设点E的坐标为，则点F的坐标为 ， ∴， ∵，轴于点D， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点E的坐标为或． 【变式】【阅读理解】把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．    【知识运用】如图1，将的图象经过倒数变换后可得到的图象（部分）．特别地，因为图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此的图象上也没有纵坐标为0的点．小明在求的图象与的交点时速用了开平方的定义：，得，解得，则图象交点坐标为或． 【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成： (1)请在图2的平面直角坐标系中画出的图象和它经过倒数变换后的图象． (2)设函数的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．A______，B______； (3)设，且，求m． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）画出函数和函数的图象； （2）解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （3）利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解，得或， ，， 故答案为：，； （3）， ， ． 【点睛】本题考查倒数变换，反比例函数与一次函数的交点，三角形面积．理解倒数变换的定义是解题的基础，能够熟练用描点法画图是正确画出图象的关键． 题型08反比例函数中的动点问题 【典例】如图，已知直线y＝x＋2与双曲线交于A、B两点，且A点坐标为（a，4）． （1）求双曲线解析式； （2）将直线y＝x＋2向下平移两个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值，并求此时的Q点坐标； （3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出N点坐标． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）把的坐标代入求解的值，再代入中即可求得双曲线的解析式； （2）如图，作关于y轴的对称点，过作于，交轴于 则取得最小值,此时 再先求解 再利用等腰直角三角形的性质可得答案，根据在直线，且 ,即可求得点的坐标； （3）分两种情况讨论，如图，当为边时，当为矩形的对角线时，再利用矩形的性质及勾股定理与中点坐标公式建立方程，解方程可得答案. 【详解】解：（1）把点坐标（）代入得： 则 . 双曲线为 （2）如图，作点关于y轴的对称点，过作于，交轴于 则取得最小值,此时 将直线向下平移2个单位得直线， 的解析式为： 且是第一，第三象限的角平分线， 所以最小值为； ，在上， （3）与交于两点 则 解得 如图，当为矩形的边时，设 ， 四边形为矩形， ,从平移的到点是先向右平移6个单位，再向上平移6个单位， 先向右平移6个单位，再向上平移6个单位，得到 同理可得： 则 由平移的性质可得： 如图，当为矩形的对角线时，设 由矩形的性质：对角线相等且互相平分，再结合中点坐标可得， 解得： 综上：. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，轴对称的性质，垂线段最短，矩形的性质，勾股定理的应用，中点坐标公式，一元二次方程的解法，做到清晰的分类讨论是解题的关键. 【变式】如图，，是反比例函数的图象上的两点，点P是反比例函数的图象位于线段下方的一动点，过点P作轴于M，交线段于Q．设点M横坐标为x，则面积的最大值为_____，此时______．    【答案】 /0.5 2 【分析】设的解析式为，把，代入解得，根据题意，得，，，那么，即可面积的最大值以及此时x值． 【详解】解：设的解析式为， 把，代入，得 ， 解得， 即的解析式为， 因为点P是反比例函数的图象位于线段下方的一动点，过点P作轴于M，交线段于Q，设点M横坐标为x， 则，，， 那么， 即， 因为因为点P是反比例函数的图象位于线段下方的一动点， 所以， 因为， 所以 那么， 当时，式子有最大值，且为， 所以则面积的最大值为，此时， 故答案为：，2 【点睛】本题主要考查的是三角形面积、反比例函数以及一次函数等知识内容，对式子进行正确整理成是解题的关键． 题型09反比例函数与直线x=a或y=a 【典例】在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）首先根据题意确定点P的坐标，根据点E是中点，求出点E的坐标，直接代入解析式求解即可； （2）当E在P右边时，作轴于M，设，则，然后分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；当E在P左边时，作轴于M，设，则，分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当，时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意， ∵点E是中点， ∴， ∴把代入得到， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①如图2中，当E在P右边时，作轴于M． 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵E在P右边， ∴， ∴此时； ②如图3中，当E在P左边时，作轴于M． 设，则， 同理可得， 解得：或， ∵E在P左边， ∴， ∴此时； 综上所述，当或时，的面积为面积的2倍． （3）解：设，则， ∵当E在P点左边， ∴； ①如图，当，时，作于S点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当，时，作轴于T点， 则同①可证得， ∴， ∴， ∴； ③如图，当，时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴此时 综上，或或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合运用，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，理解反比例函数的基本性质，以及反比例函数图象上点坐标的特征是解题关键． 【变式】如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接． (1)___________，___________． (2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标． 【答案】(1)1， (2)或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时；②当点B为直角顶点时；分别求解即可； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上， ∴，即． ∵一次函数的图像过点， ∴，解得． 故答案为：1，； （2）解：存在．理由如下： 若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论： ①当点O为直角顶点时， 如图，过点O作且，分别过点B、作y轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ②当点B为直角顶点时， 如图，过点B作，且，连接， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 综上，点P的坐标为或． （3）解：∵点C在线段AB上（不与点A，B重合）， ∴设点， 则点， 则， 解得，（舍去）， 故点C的坐标为． 【点睛】此题是一道反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、三角形全等的判定与性质、图形的面积计算等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识、添加辅助线构造全等三角形与分类讨论的思想是解答此题的关键． 题型10反比例函数勾股定理、全等三角形的综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 【答案】24 【分析】根据全等三角形的判定方法可得求出C的坐标，代入，利用待定系数法求出k． 【详解】 解：如图，作轴于M， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、， ∴，， ∴， ， ∴， ∵反比例函数的图象经过正方形顶点C， ∴． 【变式】【模型建立】 (1)如图一，在中，，，直线经过点C，过点A作于D，过点B作于E．求证：． 【模型应用】 (2)如图二，直线： 与坐标轴交于点A、B，将直线绕点B顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 (3)如图三，一次函数 的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数 的图象上，若为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值． 【答案】(1)解：如图1， ∵， ∴． 又∵，， ∴，， ∴， 在与中 ， ∴ ∴； (2) (3)或或 【分析】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论； （2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵直线的图象与轴分别交于点， ∴当时，，当时，， ∴，， 如图2， 过点作交直线于点，过点作轴， 由（1）知，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 设的解析式为，将，点坐标代入， 得， 解得， ∴的函数表达式为； （3）解：∵一次函数 的图象与坐标轴分别相交于点A、B， ∴当时，，当时，， ∴，， 分三种情况： ①如图3，，过点作轴于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）同理可得， ∴，， ， ∴， ∴； ②如图4，，过点作轴于， 由（1）同理可得， ∴，， ∴， ∴； ③如图5，，过点作轴，过点作轴， 由（1）同理可得， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，k的所有可能的值是或或． 题型11反比例函数与图形变换 【典例】将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)①， ②在反比例函数图象上，理由 如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知，， 由旋转得：，， ∴在中，，， ∴，， ∴， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴在反比例函数图象上． 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）①过点作于点，由旋转得，将代入反比例函数表达式，进而即可求解； ②过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证明， 结合旋转的性质可得， 再把代入反比例函数表达式进行检验即可 【详解】（1）解：将代入反比例函数表达式得：， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转得， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴， ∴， ∴； ②略 【变式】阅读材料：曲线向右平移个单位后的表达式是什么？针对这个问题，小媛同学给出了以下猜想及证明： 猜想：平移后的表达式为 证明：设上任意一点坐标为，则平移后的坐标为，令，，所以，则． （）利用以上结论，写出向左平移个单位后的表达式为 ； （）仿照上述证明过程，请写出向上平移个单位后的表达式，并证明 问题解决： （）请根据以上结论，直接填空 绕顺时针旋转后的表达式为 ； 绕顺时针旋转后的表达式为 ． 【答案】（）； （）解：，证明如下： 将点向上平移个单位得到的点的坐标为， 令，， ∴， ∴向上平移个单位后的表达式为； （）； 【分析】（）仿照证明解答即可； （）仿照证明解答即可； （）仿照证明解答即可； 本题考查了反比例函数的综合应用，解题的关键是读懂题意，正确表示出旋转后点的坐标． 【详解】解：（）设上任意一点坐标为， 将点向左平移个单位得到的点的坐标为， 令，， ∴， ∴， 故答案为：； （）略 （）设上任意一点坐标为， 将绕顺时针旋转得到点， 设，， ∴， ∴， ∴绕顺时针旋转后的表达式为； 将绕顺时针旋转得到点， 设，， ∴， ∴， ∴绕顺时针旋转后的表达式为； 故答案为：；． 题型12反比例函数中的存在性问题 【典例】在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， (1)求反比例函数和所在直线的函数表达式； (2)连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）根据求出，，根据是线段的中点可得，，代入求出的值，可得反比例函数解析式，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据直线解析式求出，即可求出，设，得出，根据列方程可求出的值，即可得出点坐标； （3）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，分，和三种情况，利用等腰直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，， ∴， 解得：，即，， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， 如图所示： ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 综上所述：存在点，使得，点的坐标为或． （3）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，当时，过点作于， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，， ∵轴，在上， ∴点与原点重合， ∴， ∴； 综上所述：存在点，，使是等腰直角三角形，点的坐标为或或． 【变式】我们定义：如果一个矩形的周长和面积分别是矩形的周长和面积的倍，那么我们就称矩形是矩形的完全倍体． 【概念辨析】若矩形为正方形，是否存在一个正方形是正方形的完全2倍体？______．（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】（1）长为4，宽为3的矩形是否存在完全2倍体？小颖和小丽分别有以下思路： ①小颖：设新矩形长和宽为、，则依题意，，联立，得，再探究根的情况； ②小丽：如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，两图象有交点，则意味着存在完全2倍体． 请直接写出这个完全2倍体的长与宽：______． （2）那么长为4，宽为3的矩形是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因． （3）如果长为4，宽为3的矩形存在完全倍体，请直接写出满足的不等式． 【答案】概念辨析：不存在；（1）存在，见解析；（2）不存在，见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义“完全n倍体”的理解、矩形的周长与面积公式、一元二次方程根的判别式、反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是将“完全n倍体”的判定转化为方程（或函数）问题，通过计算周长与面积的数量关系列方程，利用判别式判断方程是否有实数根（或利用函数交点判断是否存在解）． 概念辨析：根据两个正方形是相似图形，若正方形A是正方形B的完全2倍体，则周长比为2，面积比应为，故不存在； （1）先算矩形C的周长14、面积12，完全2倍体的新矩形周长28（即）、面积24（即），列方程求解有实数根（或函数有交点），故存在； （2）完全倍体的新矩形周长7（即）、面积6（即），列方程计算判别式小于0，无实数根，故不存在； （3）设新矩形边长，列方程，由判别式（保证有实根），解得 【详解】解：概念辨析：不存在． 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时， 则面积比必定是4，所以不存在． 故答案为：不存在． （1）长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形， ∵矩形长为4，宽为3， ∴矩形的周长为，面积为， 小颖：设新矩形长和宽分别为x、y，则依题意，， 联立， 整理得， 解得：， ∴新矩形的长为，宽为2时，周长为，面积为， ∴长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形． 小丽：如图，设新矩形长和宽为x、y， 则依题意， 即， 利用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体． （2）长为4，宽为3的矩形C的周长为，面积为． 设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， 联立得， 整理得：， ∵， ∴此方程没有实数根，即长为4，宽为3的矩形C不存在完全倍体． （3）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：，即， 由题意得：， 整理得：， ， ∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍， ∴，即：， 解得：k （不符合题意）， ∴k的取值范围为：k； 故答案为：． 题型13反比例函数中的最值问题 【典例】3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小；此时的周长最小，且周长最小值为________． 【答案】(1)， (2)或 (3)见解析， 【分析】（1）将代入求出，将代入求出，将，代入求解即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）作点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q即可；求出点M坐标，进而根据勾股定理求出、长度，即可求出的周长最小值． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴反比例函数表达式为， 将代入得， ∴， 将，代入得， 解得：， ∴一次函数表达式为； （2）解：根据函数图象可知当时，或； （3）解：如图，作点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q，点Q即为所求； 由作图可知， ∴的周长， 可知的周长最小值， ∵点M横坐标为， ∴点M纵坐标为， 即， 当时，解得，即， 根据轴对称的性质可知， ∴，， ∴的周长最小值． 【变式】初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）减小，无； （2）最小，3； （3）存在最大值，最大值为； （4）函数不存在最值，理由如下： 令，则， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 即， ∵当时，y随u的增大而减小，当时，y随u的增大而减小， ∴函数无最值， 即函数不存在最值． 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的性质，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可； （4）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对于函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小， ∴当且时，该函数无最值； 故答案为：减小，无； （2）∵，， ∴当时，函数有最小值，其最值为3； 故答案为：最小；3； （3）存在最大值，最大值为； 根据题意得：，此时， ∴y随u的增大而减小， ∴当时，函数存在最大值，最大值为； （4）略 题型14 反比例函数中的定值问题 【典例】如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、平面直角坐标系中两点之间的距离，解决本题的关键是利用待定系数法求出函数的解析式，再根据解析式求出交点的坐标． 把点代入直线中，求出点的坐标，再把点的坐标代入求出反比例函数的解析式即可； 根据一次函数的解析式与反比例函数的解析式求出点的坐标，设点的坐标是，则中边上的高是，中边上的高是，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标； 设点的坐标是，用待定系数法求出直线、的解析式，根据直线的解析式分别求出点、、、的坐标，根据坐标求出和的长度，从而可得：的值． 【详解】（1）解：把点代入直线中， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 把点的坐标代入比例函数中， 可得：， 反比例函数的解析式是； （2）解：如下图所示，连接、， 解方程组， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， ，， 设点的坐标是， 则中边上的高是，中边上的高是， ，， ， ， 解得：，， 点的坐标是； （3）解：的值为定值， 点在反比例函数图象上， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 是第一象限反比例函数图象上一动点， 设点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是, 当时，可得：， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ，， ． 【变式】如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求出反比例函数的表达式和点的坐标； (2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)是定值，该定值是2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立函数解析式求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将C、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令，则 解得， 即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 【巩固训练】 1．已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数的图象位于第二，四象限，可得，求出解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴， 解得． 故选：C． 2．在如图所示的网格中，以点为原点，若、所在直线分别代表轴、轴，则与点在同一反比例函数图象上的是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】由点在反比例函数图象上可求出的值，再求出点、、、的横纵坐标的积，比较后即可得出结论． 【详解】解：反比例函数图象经过点， ． 点的坐标为，， 点不在反比例函数图象上； 点的坐标为，， 点不在反比例函数图象上； 点的坐标为，， 点在反比例函数图象上； 点的坐标为，， 点不在反比例函数图象上； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 3．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 4．点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【答案】C 【分析】反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么： A、若，且（x1，y1）、(x2，y2)在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意； B、若，且（x1，y1）、(x2，y2)分别在三、一象限内，则，故选项错误，不符合题意； C、若，则，故选项正确，符合题意； D、若，则，即y1=y2，另外，还可根据函数的定义：对于自变量x的值，y都有唯一确定的值和它相对应，所以当时，不可能．故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质． 5．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 6．若两个函数的图象关于轴对称，我们定义这两个函数是互为“镜面”函数；请写出函数的镜面函数________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质直接写出答案即可． 【详解】解：∵反比例函数y＝与反比例函数y＝−关于y轴对称， ∴根镜面函数的定义知：函数y＝的镜面函数为y＝−， 故答案为y＝−． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，能够了解镜面函数的定义是解答本题的关键． 7．某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图像，回答下列问题： (1)当时，求眼睛疲劳系数关于睡眠时间之间的函数关系式； (2)如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图像经过点，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）当，根据图像经过的两点利用待定系数法确定函数的解析式，依题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：当睡眠时间少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， 因为图像经过点，所以． 解得． 所以眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为． （2）当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为， 因为图像经过点和， 所以解得， 所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是． 某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，，, 依题意：, 解得：或（舍去）． ∴． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是仔细读题，求出函数解析式． 8．某药研所研发了一种治疗某种疾病的新药，经测试发现：新药在人体的释放过程中，10分钟内（含10分钟），血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的关系满足；10分钟后，y与x的关系满足反比例函数．部分实验数据如表： 时间x（分钟） … 10 15 … 含药量y（微克） … 30 20 … （1）分别求当和时，y与x之间满足的函数关系式． （2）据测定，当人体中每毫升血液中的含药量不低于3微克时，治疗才有效，那么该药的有效时间是多少？ 【答案】（1）当时，；当时，；（2）99分钟 【分析】（1）根据题意及图表数据列式求解即可求解． （2）将y=3代入，分别得出时间，求时间差即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，将代入， 解得，即； 当时，将代入中， 解得，即． （2）当时，， 解得； 当时，，解得， ∴有效时间为（分钟）． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数及反比例函数的解析式及函数的实际应用，解题的关键是理解题意并通过题意获得解决问题所需的相关数据． 9．如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】(1) (2) 画图如下： (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： （3）解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为y轴上一动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）根据待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）根据反比例函数和正比例函数的对称性求得B的坐标，然后根据三角形面积公式得到，即可求得P的坐标． 此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点A， ∴ ∴反比例函数解析式为； （2）由正比例函数与反比例函数的对称性可得 故观察图象，当时，x的取值范围是或； （3）∵一次函数与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 【强化训练】 1．函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 3．已知点，，在下列某一函数图象上，当时，，那么这个函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的性质逐项判断即可得出正确选项． 【详解】A、，因为，所以随的增大而减小，所以当时，，故选项A不符合题意； B、，因为，开口向上，当时随的增大而减小，当时随的增大而增大，所以当时，无法判断的大小，故选项B不符合题意； C、，当时，且随的增大而增大，当时，且随的增大而增大，当时，，故选项C符合题意； D、，因为，所以随的增大而增大，所以当时，，故选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数和反比例函数的性质，熟练掌握一次函数、二次函数和反比例函数图象的增减性是解题的关键． 4．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两条平行线相交于，且，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用完全平方公式变形求值． 由题意可设，根据三角形面积公式得到，将代入一次函数解析式得到，求出，再求出，继而得到，最后再根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：由题意可设， ∵过作轴的平行线，过作轴的平行线，两条平行线相交于， ∴， ∵在一次函数上， ∴， 上式减下式得：， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ∴， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴由得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点为直线上一点，连接，，若的面积是6，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征．设直线与轴的交点为，连接，则，根据题意得到，，利用同底等高的两个三角形面积相等得到，即，解得值即可． 【详解】解：设直线与轴的交点为，连接，则， 反比例函数的图象上有一点，轴于点， ， ，， 轴于点， ∴轴， 的面积是6， ， ， ． 故答案为：8． 6．如图，点是反比例函数图象上的一点，点，将点A绕点顺时针旋转得到点，连接，． （1）的值为________； （2）当，时，点的坐标为________； （3）若，无论取何值时，点始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为________． 【答案】 【分析】（1）将点代入求出k的值即可； （2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明，得出，，即可求出； （3）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明， 得出，，分两种情况：点M在C点的左侧，则，点B在x轴的下方，点M在C点的右侧，则，点B在x轴的上方，分别求出点B所在的函数表达式即可． 【详解】解：（1）∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， 故答案为：． （2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∴，， 根据旋转可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． （3）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： 则， ∵， ∴，，，， 根据旋转可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 若点M在C点的左侧，则，点B在x轴的下方，， ∴此时点B的坐标为：， ∵， ∴此时点B在直线上； 若点M在C点的右侧，则，点B在x轴的上方，， ∴此时点B的坐标为：， ∵， ∴此时点B在直线上； 综上分析可知，若，无论取何值时，点始终在直线上． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数表达式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，证明． 7．如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是______． 【答案】 【分析】延长交y轴于点D，过B作轴，结合反比例函数k的几何意义即可得到答案； 【详解】解：延长交y轴于点D，过B作轴， ∵点A是双曲线，轴， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴， ∵点B在上， ∴， 解得：， 故答案为； 【点睛】本题考查反比函数k的几何意义，解题的关键是根据平行四边形对角线将四边形分成两个全等的三角形得到面积． 8．如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标． (1)当点的坐标为时，求的值； (2)若，求点的坐标； (3)连接，记的面积为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数及其应用，一次函数及其应用，求解一次函数关系是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标的特征求解点坐标，再代入反比例函数关系式计算可求解值； （2）由值可得反比例函数解析式，将两解析式联立解析式求解交点坐标，即可求解； （3）设点坐标为，则，根据三角形的面积公式可求得的取值范围，即可求得的取值范围，再利用反比例函数图象上点的特征可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 把代入中，解得， 点的坐标为， 双曲线过点， ； （2）解：当时，， ， 解得， 直线与双曲线的交点坐标为，， 交点的纵坐标大于交点的纵坐标， 点坐标为， （3）解：设点坐标为，则， ， ， ， ， 即， ， ， 当时， ． 9．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 【答案】(1)； (2)10； (3)． 【分析】（1）先确定反比例函数解析式，得到坐标，再求直线解析式，进而确定点坐标，算出 ． （2）设出直线、解析式，求出、表达式，化简计算得结果 ． （3）利用已知条件求出、，确定、直线等相关点和解析式，结合对称性质求解 ． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， ∴， ∴．同理，． ∴； （3）解：∵， ∴ 由（2）得， ∴ ∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴的解析式为，的解析式为． ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵点关于直线对称的点， ∴线段的中点为， ∴点关于直线对称的点的坐标为即． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数解析式求解、点坐标计算、对称性质等，熟练掌握反比例函数性质、一次函数解析式求法及对称点坐标特征是解题关键． 10．已知反比例函数，及两定点，． (1)设是反比例函数图像上任意一点，请证明为一定值，并求出该定值． (2)设直线与反比例函数图像在第一象限的部分交于两点，． （2.1）若直线经过点，求出线段长度的最小值，以及此时直线的斜率． （2.2）若与轴交于点，与轴交于点，请证明为一定值，并求出该定值． 【答案】(1) 证明：∵是反比例函数图像上任意一点， ∴设， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴固定不变； (2)（2.1）线段长度的最小值为，； （2.2）固定不变 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数关系，二次根式的混合运算； （1）设，根据距离公式表示出、，再求出，，最后根据计算即可； （2）（2.1）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得到，，，然后根据求最小值即可； （2.2）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得到，得到，再求出，，最后表示出，整理后代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：（2.1）设直线解析式为，，， ∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 联立整理得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时，即线段长度的最小值为， ∵直线与反比例函数图像在第一象限的部分交于两点，， ∴， ∴， ∴； （2.2）设直线解析式为，，， 联立整理得，， ∴，， ∵当时，，则， 当时，，解得，则，， ∴ ， ∴固定不变． / 学科网（北京）股份有限公司 $