专题23 图形的旋转(14种题型）（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦图形的旋转核心知识点，系统梳理旋转的概念、三要素（中心、方向、角）及性质（对应点到中心距离相等、连线夹角等于旋转角），通过14个题型（生活现象判断、作图、角度计算、综合应用等）构建从基础认知到综合运用的学习支架。 该资料以素养为导向，通过生活实例（如判断钟摆摆动是否为旋转）培养空间观念，推理证明题（如正方形中旋转证线段相等）发展逻辑思维，坐标与旋转结合题强化几何直观。课中辅助分层教学，课后变式训练助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题23 图形的旋转 一、素养目标 1.掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一种基本变换； 2.经历探索图形旋转特征的过程，体验和感受图形旋转的主要特征，理解图形旋转的基本性质； 3.握旋转三要素与作图步骤，规范尺规作图，建立图形运动空间感知，发展空间观念； 4.掌握对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角等性质，发展空间观念与几何直观 . 二、重点、难点 重点：掌握旋转的有关概念及基本性质；能画出一个图形经过旋转后得到的图形. 难点：能够根据旋转的基本性质解决实际问题；提高逻辑推理能力. 一、旋转的概念和性质 （1）把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角. （2）确定一次图形的旋转时，必须明确：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角.(旋转三要素) （3）旋转性质：一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角. 二、旋转作图 1.旋转作图的依据：旋转的定义和性质. 2.旋转作图的步骤： (1)分析题目要求，找出旋转中心、旋转方向及旋转角； (2)在已知图形上找出关键点； (3)作出各关键点的对应点； (4)顺次连接各对应点. 题型01判断生活中的旋转现象 【典例】有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】旋转定义：在平面内，把一个图形绕某一定点转动一个角度的图形变换叫做旋转，根据旋转定义逐一判断各现象，即可找出不属于旋转的选项. 【详解】解：①温度计中液柱的上升或下降是沿直线的平移运动，不属于旋转； ②打气筒活塞的运动是沿直线的平移运动，不属于旋转； ③钟摆的摆动是绕悬挂定点转动，属于旋转； ④风车轮叶片绕中心转动移动到新位置，属于旋转.， 故不属于旋转的是①②. 【变式】小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可． 【详解】解：因为想把这张图片放正， 所以应点击（顺时针旋转）． 故选：D． 题型02判断有一个图形旋转而形成的图案 【典例】如图，图形F（     ）得到图形 A．先绕点O顺时针旋转，再向左平移5格 B．先绕点O逆时针旋转，再向右平移5格 C．先向左平移5格，再绕点O逆时针旋转 D．先向左平移5格，再绕点O顺时针旋转 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由平移的性质和旋转的性质可求解． 【详解】解：图形先向左平移5格，再绕点逆时针旋转可得图形， 故选：C． 【变式】如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 题型03找旋转中心、旋转角及旋转对应点 【典例】如图在网格中，由旋转得到，其旋转中心是__________． 【答案】P 【分析】图形的旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点． 【详解】解：如图，连接，，分别作和的垂直平分线，交点在P点处，故其旋转中心是P点． 【变式】如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知：绕着点顺时针旋转得到， ∴旋转中心及旋转角分别是点，旋转角为． 题型04旋转中的规律问题 【典例】如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出机器狗运动的周期，再根据周期计算经过分钟时机器狗的位置即可． 【详解】解：由题可知，机器狗分钟转动， 机器狗转动一周，即所需时间为分钟， ， 经过分钟，机器狗转动了周后，又转动了分钟， 相当于机器狗的位置为从点逆时针转动， 点在点正北方， 逆时针转动后，机器狗位于点正西方， 观察选项，只有B选项符合 ． 【变式】如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，可得每旋转一次，的长度依次增加，，，且三次一循环，进而可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∴按此规律继续旋转，每旋转一次，的长度依次增加，，，且三次一循环， ∵， ∴． 题型05根据旋转的性质求角度 【典例】如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，根据旋转的性质得出相等的角和边，再利用三角形内角和定理及角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式】如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先证明是等边三角形，再求得，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型06根据旋转的性质说明线段相等或角相等 【典例】如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出，，因为，从而得到，从而证明，即可得到； （2）根据旋转的性质得到，，从而得到，再利用（1）和勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证：四边形ABCD为正方形， ， 由旋转可得，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）证：由旋转可得， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，由旋转的性质正确得到证明三角形全等的条件是解题的关键． 【变式】在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图（1），，点与点重合，求证：； (2)如图（2），点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； (2)； 证明：如图，在上取一点，使得，连接，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得证； （2）在上取一点，使得，连接，，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，进而根据，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 题型07画旋转图形 【典例】如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．    (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用点平移的规律找出、、，然后依次描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点、、即可． 【详解】（1）如图，即为所求作； （2）如图，即为所求作. 【点睛】本题考查了作图-平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点O顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）． (1)在图中画出，点的坐标为 ； (2)若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先回忆平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，因为要得到A、B的对应点坐标，所以用该规律计算的坐标，再顺次连接O、得到旋转后的三角形． （2）对于点M的旋转，因为M的坐标是，所以同样用顺时针旋转的坐标变换公式得到的坐标，进而得到纵坐标n与m的关系．先确定M在内（不含边界）时m的取值范围，再根据n和m的对应关系，推导出n的取值范围． 【详解】（1）解：根据旋转的性质，点绕原点顺时针旋转后对应点坐标为． ∵， 代入得坐标为， 同理得对应点， 连接、、即可画出． （2）解：∵是直角三角形，三个顶点为、、， 设斜边的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为． ∵ 点在内部（不含边界）， ∴满足， 解得的范围． ∵点顺时针旋转后，对应点的纵坐标， ∴由，两边同乘得： ． 答案： (1) ； (2) ． 题型08利用旋转的性质求坐标 【典例】如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（    ） A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4） 【答案】A 【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心，E（1，1）， 故选：A． 【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，若点的坐标为，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，可得，根据旋转的性质可得，进而可得，由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理列式求出，由此得出点的坐标． 【详解】解：∵轴于点B，点B的坐标为， ∴， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴点C的坐标为． 题型09坐标与旋转规律问题 【典例】在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 【答案】 【分析】．根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，即，即，即，即， ， 点与同在一个象限内， 点． 【变式】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 题型10利用旋转计算线段长度 【典例】如图，在矩形中，，将矩形绕点旋转一定角度后得矩形，交于点，且，则的长为 ____________．    【答案】3 【分析】设，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ，将矩形绕点旋转一定角度后得矩形， ， 在中，， ， 解得：， 的长为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、旋转的性质，是解题的关键． 【变式】如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可. 【详解】连接BM，如图， 由旋转的性质得：AM=AF. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°, ∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称， ∴∠DAM=∠EAM. ∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°, ∴∠BAM=∠EAF, ∴△AFE≌△AMB ∴FE=BM. 在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2, ∴BM= ∴FE=. 故选C. 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 题型11 利用旋转计算图形面积 【典例】如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15度得到ΔAEF，若AC＝，则阴影部分的面积为(      ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用旋转得出∠DAF=30°，就可以利用直角三角形性质，求出阴影部分面积． 【详解】解：如图．设旋转后，EF交AB与点D，因为等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，又因为旋转角为15°，所以∠DAF=30°，因为AF=AC=,所以DF=1， 所以阴影部分的面积为． 故选：C． 【变式】如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 过点作的平行线，交于点，交于点，则．由旋转可得，，结合矩形的性质可得 则，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作的平行线，交于点，交于点． 则． 由旋转可得，． ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ∴的面积为 ． 故答案为：． 题型12利用旋转的性质求最值 【典例】如图1，为等边三角形，，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)当时，____________； (2)如图2，以为边向外作等边三角形，连接，求的最大值，并求取最大值时的值． 【答案】(1) (2)最长为2，的值为120 【分析】（1）过点B作于点E，由旋转的性质可得，由含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理解和即可； （2）连接，证明，推出，当和共线时，最长，由此可解． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E，由旋转的性质可得，， 绕点顺时针旋转得到，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接， 和都是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ∴， ∴， 当和共线时，最长， 此时，，， 即最长为2，的值为120． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，线段的最值问题等，解第1问的关系是添加辅助线构造直角三角形，解第2问的关键是添加辅助线构造全等三角形． 【变式】【问题出示】 （1）如图①，等腰中，，，点是直线上的动点，线段的最小值是___________． 【问题探究】 （2）如图②，线段最短时，在（1）的条件下，线段是的角平分线，点、分别在边，上运动，连接，，的最小值是___________． 【问题拓展】 （3）如图③，线段最短时，在（1）的条件下，点在边上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值． 【问题解决】 （4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形各边长都为90米，且两组对边分别平行，，长30米，点为边上任意一点，计划在线段、、上修建三条小路，点处修建业主活动楼，其中，且．小区最南边有一排楼房（即线段处），则点处的业主活动楼到线段处一排楼房的最短距离是___________． 【答案】（1）8；（2）；（3）4；（4）米． 【分析】（1）根据垂线段最短得到点M的位置，然后根据的直角三角形的性质解题即可； （2）在边上截取，连接，则有，即可得到，当P、D、M三点共线，过点M作于点D时，最小，最小值为长，然后利用勾股定理解题即可； （3）在上截取，连接，则有，则，当时，长最小，即长最小，根据的直角三角形的性质解题即可； （4）在上取一点，使，连接，，过作于，由题意可得，，，，， 在证明和是等边三角形，得到，推出，得到，则处的业主活动楼到线段处一排楼房的最短距离是米，据此计算即可． 【详解】解：（1）当点M运动到时，线段值最小， ∵，， ∴， 故答案为：8； （2）在边上截取，连接，如图②， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 即当P、D、M三点共线，而且时，最小，最小值为长， ∵， 又∵， ∴， 故的最小值为； （3）在上截取，连接，如图3， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴， 当时，长最小，即长最小， 这时， ∴， ∴线段的最小值为4； （4）在上取一点，使，连接，，过作于， 由题意可得，，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴处的业主活动楼到线段处一排楼房的最短距离是米， 故答案为：米． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，的直角三角形的性质，最短路径问题，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型13利用旋转的性质解决综合问题 【典例】如图1，在正方形中，，点E为正方形内一点，连结，，． (1)如图2，将线段绕点B按顺时针方向旋转得到，连结，求证：． (2)如图3，在（1）的条件下，当时，连结，，求的面积． (3)如图4，若将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点C在直线上，且面积为3时，求的值． 【答案】(1)解：∵正方形， ∴， ∵线段绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ，即， 在和中， ， ； (2)10 (3)或1或 【分析】（1）根据正方形的性质及旋转的性质得出，，，确定，再由全等三角形的判定证明即可； （2）延长交于点M．根据全等三角形的性质得出，勾股定理得出，利用矩形的判定和性质得出，，结合图形求面积即可； （3）分两种情况分析：当在正方形内部时，当在正方形外部时，作出辅助线，利用全等三角形的判定和性质，勾股定理等结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点M， ， ，， ，， ∴， ， ∵， ∴， 四边形是矩形， ，， ． （3）解：当在正方形内部时，过点A作，垂足为F， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵点C在直线上， ∴， 在正方形中，， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 设，，则，， ， ． ，即， 整理得：， 解得：或，即或1． 当在正方形外部时， 同理得：，， ， ． ，即， 整理得：， ，即． 综上所述，或1或． 题型14图形的动态旋转 【典例】综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为（，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角 ；线段与的数量关系是 ． 探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，线段与线段的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 拓展延伸：（3）①请写出当是等腰三角形时旋转角的度数，简要说明理由． ②在图3中，作直线，交于点，请直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）①或；理由见解析 ② 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及旋转的性质，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据三角形的内角和定理可求出，由等腰三角形的性质可得，由旋转可得：，，，推出，，证明，根据全等三角形的性质即可判断线段与线段的数量关系； （2）根据等腰三角形的性质和旋转的性质证明，从而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果；②根据旋转的性质进行计算即可． 【详解】解：（1） ， ， ， ，即旋转角， ，， ， 由旋转可得：，，， ，， ， ， 故答案为：，； （2）成立，理由如下： ， ， 由旋转可得：，，， ，， ， ； （3）解：①如图1， 当时，， ，， ， ； 如图2， 当时，， ； 如图3， 当时，， ，此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：的度数为或． ②如图，当时， ， ， 由旋转知，， 是等边三角形， ， 旋转角为． 【变式】【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3)如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据平角的定义列式计算即可； （2）先求出的度数，然后分在内部和在外部两种情况，根据角的和差关系列式求解； （3）分旋转后与所在直线垂直、与所在直线垂直、与所在直线垂直三种情况求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由（1）可知， ， 如图，当在内部时， 由旋转可知， ， ； 如图，当在外部时， 由旋转可知， ， ； 综上所述，或； （3）解：如图，当旋转得到的边所在的直线时，垂足为， ， 四边形是矩形， ， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时，此时在线段上， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时， ， ． 综上所述，当与的一边所在直线垂直时，旋转角的度数为或或． 【巩固训练】 1．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 2．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是由题意根据旋转的性质可得，，再判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出，根据． 【详解】解：∵绕其直角顶点C按顺时针方向旋转后得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选B． 3．如图，将绕B点顺时针方向旋转到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查旋转的性质、平行线的性质、等边对等角等知识．由旋转得，，则，，求出，然后由平行线的性质即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 5．如图，将绕点A顺时针旋转得到，直角的顶点恰好落在斜边上，连接，若，则______°． 【答案】 【分析】本题考查了图形旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形旋转的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．根据图形旋转的性质，可得，，，根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质，可逐步求得，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：绕点A顺时针旋转得到， ，，， 直角的顶点恰好落在斜边上， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：过作轴于点， 由旋转可得，轴， 四边形为矩形， ，， ， 点坐标为． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，有两条直线m、n和，其中直线于点O，按要求解答． (1)将向右平移5个单位后得到； (2)在直线n上找一点P，使得最小； (3)将绕点O旋转，画出旋转后的． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移方式确定点的位置，再描点，连线作图即可； （2）取格点E，连接交直线n于点P，则点P即为所求；由网格的特点可得点B与点E关于直线n对称，则，则，即三点共线时，最小； （3）根据旋转方式和网格的特点确定点，再描点，连线作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．如图，已知一个锐角等于60°的菱形，将一个60°的的顶点与该菱形的顶点重合，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的，使它的两边分别交，或它们的延长线于点，． （1）如图，当时，与的数量关系是______． （2）如图，旋转，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． （3）若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】（1）相等；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）证明△ABE≌△ADF即可得出结论； （2）作垂线构造的条件，即可得：； （3）由（2）中结论可得EP、AP的长度，勾股定理求AF． 【详解】（1）由菱形的性质得：AB=AD，∠B=∠D， 又∵， ∴△ABE≌△ADF（ASA） ∴AE=AF； （2）仍然成立，理由如下： 作AP⊥BC，AQ⊥CD，则由菱形性质可得：AP=AQ， 又 即可得： 在和中 即（1）中结论仍然成立； （3）由（2）中得， ，， ， 又， 在中，． 【点睛】本题考查旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等，理解题意，并正确构造辅助线证明是解题关键． 9．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 【答案】(1) (2)①证明：如图2， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点B，C，E三点共线， ∴， ∴， ∴． ②5 【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解． （2）①由旋转得，，，再进一步由全等三角形的性质得出为等腰直角三角形，根据角度的转换得出，即可证明结论． ②利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即点B，C，E三点共线， ∴． （2）①略． ②解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)______°； (2)取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ， 证明：如下图所示，延长至点，使，连接， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据旋转的性质得到，即可得到答案； （2）延长至点，使，连接，根据是的中位线得到，通过证明得到，从而得到． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查旋转和全等三角形的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，构造全等三角形． 【强化训练】 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，则当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F， 由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠EAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠EAC， ∴∠EAP＝∠CAQ， 又∵AE＝AC，AP＝AQ， ∴△CAQ≌△EAP（SAS）， ∴CQ＝EP， 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点， ∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF， 在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝， ∴AB＝， ∵AE＝AC＝， ∴BE＝AB−AE＝， 在Rt△BFE中，∠B＝30°， ∴EF＝BE＝， 故线段CQ长度的最小值是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用求得，进而可得，则可得，进而可求得，，则可得点的坐标为 ，再根据旋转的性质得到规律，进而可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图：   ，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为 ， 由旋转可知第一次旋转后点的坐标为， 第二次旋转后点的坐标为， 第三次旋转后点的坐标为， 每次旋转，， 每旋转4次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同， 第2026次旋转结束时，点的坐标为. 3．在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究性学习．在中，，的垂直平分线分别交，于点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，．交于点，连接，BF．若，下列结论正确的有（    ） ①；②；③四边形为平行四边形；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①直接根据旋转的性质，中垂线的性质，得到； ②由平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得出结论； ③根据旋转的性质，中垂线的性质，推出，平行线的性质，得到，进而得到，得到，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，即可得出结论； ④勾股定理求出的长，设，在中，勾股定理求出x的值，再利用勾股定理求出的长，由即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故②正确，符合题意； ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故③正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 故④错误，不符合题意． 综上，共有3个正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，中垂线的性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 4．如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 5．如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的度数为__________；当线段的长度最小时，的度数为__________． 【答案】 /度 /度 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 以为边向右作等边，连接，证明，得出，推出点在射线上运动，设交于点，当点落在上时，点与重合，得出的度数，当时，的长度最小，接下来证明，得出，进而可得出答案． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，连接． 是等边三角形， ，，， ， 在和中 ， ， ， ， 点在射线上运动， 如图中，设交于点， 当点落在上时，点与重合，此时， 当时，的长度最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 6．如图，在矩形中， ，以点 为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形 ，旋转角为（ ）．取的中点 ，连接 ，， ，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】依题意，为等腰直角三角形，由题意证得当三点共线时，面积最大，此时，的最大值为，计算即可得出答案． 【详解】解： 连，由题意得 ， ∵ ， ， ∴，为等腰直角三角形， ， ∵的底边是个定值， 如图，作边上的高， ∴当高最大时， 面积才能取得最大值， ∴如图，当矩形旋转到三点共线时，高才能取得最大值， 此时， 的最大值为， ∴ 的面积最大值为． 7．如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可； （2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将绕点按顺时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵抛物线过点，， ∴可设抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 8．某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程： (1)如图1，中，，，D为边上的一点，连接，作，并截取，连接．求证：； (2)如图2，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和勾股定理， （1）利用和得则有，从而得，，进而可得，然后根据勾股定理进行计算即可； （2）以为边在的右侧作等边，连接，是等边三角形即可证明，从而可得，然后再求出，在中，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）以为边在的右侧作等边三角形，连接，如下图： ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴的长为4． 9．综合与实践 【问题情境】 如图1，在菱形中，点在边上，，点在上，． 【初步探究】 (1)求证：． 【深入探究】 (2)将图1中的绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． ①如图2，当线段经过点时，直线分别与边，交于点，，求证：． ②已知，，在旋转过程中，交于点，所在直线交于点，延长交于点，若，请在图3中画出示意图并求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)①证明：∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； ②， 【分析】（1）根据菱形的性质及垂直的定义得，，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①根据菱形的性质及垂直的定义得，，，根据旋转的性质得，继而得到，，，，证明得，即可得证； ②如图，过点作于点，连接，，根据菱形的性质及垂直的定义得，，，进一步得，，，，证明得，证明得，推出，根据旋转的性质得，继而得到，，，推出，然后根据等角对等边及勾股定理得，可得答案． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图，过点作于点，连接，设， 由（1）知：，， ∵是菱形的对角线，，，， ∴，，， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．【问题原型】如图①，在中，，，．点分别是边上的动点，连接，且，求的最小值． 【问题解决】求两条线段和的最小值问题，可以通过全等变换，将两条线段进行拼接，进而求出两条线段和的最小值．如图②，将图①中的线段绕点逆时针旋转至点，使得． (1)求证：； (2)若求的最小值，即求的最小值．由于点是边上的一个动点，连接，则线段的长度即为的最小值，这个最小值为______，这样做依据的是______（填基本事实）； 【类比应用】 (3)如图③，已知线段，点在线段上，且．以点为顶点作等边三角形，连接．当取得最小值时，的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)；两点之间，线段最短 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得出，再根据判定三角形全等，利用其性质即可证明； （2）根据内错角相等，两直线平行得出，确定，再由勾股定理得出，结合图形即可求解； （3）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，，则为等边三角形．根据全等三角形的判定和性质得出 ．．过点作，过点作，、分别为垂足，得出当取得最小值时，即取得最小值，故当点与点重合时，取得最小值，结合解三角形求解即可 【详解】（1）证明：∵旋转， ∴． 在和中， ， ≌． ． （2）解：， ∴， ， ， ． 在中，． ， 是的最小值． 故答案为：；两点之间，线段最短． （3）解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，，则为等边三角形． 由于， 在和中， ， ． ． 由于，则在上时，取得最小值． 过点作，过点作，、分别为垂足． 当取得最小值时，即取得最小值，故当点与点重合时，取得最小值． ，． ． ， ． 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23 图形的旋转 一、素养目标 1.掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一种基本变换； 2.经历探索图形旋转特征的过程，体验和感受图形旋转的主要特征，理解图形旋转的基本性质； 3.握旋转三要素与作图步骤，规范尺规作图，建立图形运动空间感知，发展空间观念； 4.掌握对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角等性质，发展空间观念与几何直观 . 二、重点、难点 重点：掌握旋转的有关概念及基本性质；能画出一个图形经过旋转后得到的图形. 难点：能够根据旋转的基本性质解决实际问题；提高逻辑推理能力. 一、旋转的概念和性质 （1）把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角. （2）确定一次图形的旋转时，必须明确：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角.(旋转三要素) （3）旋转性质：一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角. 二、旋转作图 1.旋转作图的依据：旋转的定义和性质. 2.旋转作图的步骤： (1)分析题目要求，找出旋转中心、旋转方向及旋转角； (2)在已知图形上找出关键点； (3)作出各关键点的对应点； (4)顺次连接各对应点. 题型01判断生活中的旋转现象 【典例】有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【变式】小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 题型02判断有一个图形旋转而形成的图案 【典例】如图，图形F（     ）得到图形 A．先绕点O顺时针旋转，再向左平移5格 B．先绕点O逆时针旋转，再向右平移5格 C．先向左平移5格，再绕点O逆时针旋转 D．先向左平移5格，再绕点O顺时针旋转 【变式】如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 题型03找旋转中心、旋转角及旋转对应点 【典例】如图在网格中，由旋转得到，其旋转中心是__________． 【变式】如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 题型04旋转中的规律问题 【典例】如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【变式】如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． 题型05根据旋转的性质求角度 【典例】如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为______°． 题型06根据旋转的性质说明线段相等或角相等 【典例】如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接．    (1)求证：； (2)求证：． 【变式】在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图（1），，点与点重合，求证：； (2)如图（2），点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 题型07画旋转图形 【典例】如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出．    【变式】如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点O顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）． (1)在图中画出，点的坐标为 ； (2)若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围． 题型08利用旋转的性质求坐标 【典例】如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（    ） A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4） 【变式】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，若点的坐标为，则点C的坐标为_____． 题型09坐标与旋转规律问题 【典例】在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 【变式】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型10利用旋转计算线段长度 【典例】如图，在矩形中，，将矩形绕点旋转一定角度后得矩形，交于点，且，则的长为 ____________．    【变式】如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（    ） A．3 B． C． D． 题型11 利用旋转计算图形面积 【典例】如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15度得到ΔAEF，若AC＝，则阴影部分的面积为(      ) A．1 B． C． D． 【变式】如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为______． 题型12利用旋转的性质求最值 【典例】如图1，为等边三角形，，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)当时，____________； (2)如图2，以为边向外作等边三角形，连接，求的最大值，并求取最大值时的值． 【变式】【问题出示】 （1）如图①，等腰中，，，点是直线上的动点，线段的最小值是______． 【问题探究】 （2）如图②，线段最短时，在（1）的条件下，线段是的角平分线，点、分别在边，上运动，连接，，的最小值是___________． 【问题拓展】 （3）如图③，线段最短时，在（1）的条件下，点在边上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值． 【问题解决】 （4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形各边长都为90米，且两组对边分别平行，，长30米，点为边上任意一点，计划在线段、、上修建三条小路，点处修建业主活动楼，其中，且．小区最南边有一排楼房（即线段处），则点处的业主活动楼到线段处一排楼房的最短距离是___________． 题型13利用旋转的性质解决综合问题 【典例】如图1，在正方形中，，点E为正方形内一点，连结，，． (1)如图2，将线段绕点B按顺时针方向旋转得到，连结，求证：． (2)如图3，在（1）的条件下，当时，连结，，求的面积． (3)如图4，若将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点C在直线上，且面积为3时，求的值． 题型14图形的动态旋转 【典例】综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为（，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角 ；线段与的数量关系是 ． 探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，线段与线段的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 拓展延伸：（3）①请写出当是等腰三角形时旋转角的度数，简要说明理由． ②在图3中，作直线，交于点，请直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 【变式】【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3)如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 【巩固训练】 1．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将绕B点顺时针方向旋转到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 5．如图，将绕点A顺时针旋转得到，直角的顶点恰好落在斜边上，连接，若，则______°． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，有两条直线m、n和，其中直线于点O，按要求解答． (1)将向右平移5个单位后得到； (2)在直线n上找一点P，使得最小； (3)将绕点O旋转，画出旋转后的． 8．如图，已知一个锐角等于60°的菱形，将一个60°的的顶点与该菱形的顶点重合，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的，使它的两边分别交，或它们的延长线于点，． （1）如图，当时，与的数量关系是______． （2）如图，旋转，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． （3）若菱形的边长为4，，求的长． 9．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 10．如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)______°； (2)取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【强化训练】 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究性学习．在中，，的垂直平分线分别交，于点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，．交于点，连接，BF．若，下列结论正确的有（    ） ①；②；③四边形为平行四边形；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的度数为__________；当线段的长度最小时，的度数为__________． 6．如图，在矩形中， ，以点 为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形 ，旋转角为（ ）．取的中点 ，连接 ，， ，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_________． 7．如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 8．某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程： (1)如图1，中，，，D为边上的一点，连接，作，并截取，连接．求证：； (2)如图2，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，求的长． 9．综合与实践 【问题情境】 如图1，在菱形中，点在边上，，点在上，． 【初步探究】 (1)求证：． 【深入探究】 (2)将图1中的绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． ①如图2，当线段经过点时，直线分别与边，交于点，，求证：． ②已知，，在旋转过程中，交于点，所在直线交于点，延长交于点，若，请在图3中画出示意图并求线段的长． 10．【问题原型】如图①，在中，，，．点分别是边上的动点，连接，且，求的最小值． 【问题解决】求两条线段和的最小值问题，可以通过全等变换，将两条线段进行拼接，进而求出两条线段和的最小值．如图②，将图①中的线段绕点逆时针旋转至点，使得． (1)求证：； (2)若求的最小值，即求的最小值．由于点是边上的一个动点，连接，则线段的长度即为的最小值，这个最小值为______，这样做依据的是______（填基本事实）； 【类比应用】 (3)如图③，已知线段，点在线段上，且．以点为顶点作等边三角形，连接．当取得最小值时，的最小值为______． / 学科网（北京）股份有限公司 $