专题18 反比例函数的概念、图象和性质（13种题型）（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦反比例函数的概念、图象和性质，系统梳理从概念理解、表达式确定到图象绘制与性质探究的脉络，延伸至k的几何意义及与实际问题、几何图形的综合应用，构建完整学习支架。 资料以13种题型分类呈现典例与变式，结合巩固强化训练，通过实际问题抽象函数培养模型意识，借助k的几何意义提升几何直观，助力教师系统授课，学生可课后查漏补缺，深化数学思维与应用能力。

专题18 反比例函数的概念、图象和性质（13种题型） 1.理解反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数； 2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数的模型思想. 3.进一步熟悉画函数图象的主要步骤，会画反比例函数的图象； 4.体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合； 5.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质. 6.会用待定系数法求反比例函数的解析式； 7.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法. 重点与难点 重点：反比例函数的概念和应用；待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数及其图象与性质；k的几何意义。 难点：理解反比例函数的含义和性质；反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用. 1、 反比例函数概念 一般地，形如(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.(在中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义.) 有时反比例函数也写成y=kx-1(k为常数，k≠0)或xy=k(k为常数，k≠0)的形式. 2、 反比例函数的图象和性质 图象：反比例函数的图象是由两条曲线组成，它是双曲线. 性质：一般地，反比例函数图象是双曲线，它具有以下性质： (1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； (2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 3、 反比例函数k的几何意义 对于反比例函数，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|. 推理：△PAO与△PBO的面积和k 的关系是S△PAO=S△PBO=.反比例函数的面积不变性 题型01反比例函数概念辨析 【典例】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【答案】（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 【变式】如果函数是反比例函数，那么m的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 根据反比例函数的定义，只需令且即可． 【详解】解：因为函数是反比例函数， 所以， 所以， 故答案为：． 题型02从实际问题中抽象出反比例函数 【典例】在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4cm时，它的另一条对角线长为12cm． (1)设菱形的两条对角线长分别为x（cm）和y（cm），求y关于x的函数解析式． (2)若其中一个菱形的一条对角线长为6cm，求这个菱形的边长． (3)小杭同学说：这个菱形的两条对角线长的和可以为13cm．小杭的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)不正确，理由见解析 【分析】（1）由菱形的面积等于对角线乘积的一半，列出等式，可求解； （2）先求出另一条对角线，进而可得菱形对角线的一半的长度，由勾股定理可求解； （3）根据x+y＝13，可得，整理得x2﹣13x+48＝0，然后利用根的判别式求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 整理得：； （2）解：当x＝6cm时，＝8cm， ∴菱形对角线的一半为3cm，4cm， ∴菱形的边长＝cm； （3）解：小杭的说法不正确， 理由：若x+y＝13， 则， 整理得：x2﹣13x+48＝0， ∴△＝b2﹣4ac＝﹣23＜0， ∴一元二次方程x2﹣13x+48＝0无实数解， ∴小杭的说法不正确． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式】验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．250 B．200 C．100 D．50 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B． 题型03根据反比例或反比例函数概念求函数解析式 【典例1】已知y与成反比例，并且当时，． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，求x的值． 【答案】（1）；（2）y=16；（3）x=． 【分析】（1）根据反比例函数的定义设，将x、y值代入求解k即可； （2）将x=1.5代入（1）中解析式求解即可； （3）将y=6代入（1）中解析式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，设y关于x的函数解析式， 将，代入，得：， 解得：k=36， ∴y关于x的函数解析式为； （2）当时，； （3）当y=6时，由得：，解得：． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、平方根，掌握待定系数法求解函数解析式的方法步骤，并会将已知量代入函数解析式求出未知量的值是解答的关键． 【典例2】已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用反比例函数的定义，设，然后把，代入求出k，从而得到反比例函数解析式； （2）把代入（1）中的解析式中计算出函数值即可； （3）把代入（1）中的解析式中计算出x的值即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ，解得， ； （2）解：把代入，得； （3）解：把代入，得， 解得． 【变式】已知，与x成正比例，与x成反比例，且当时， ；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的定义设，则，再把两组对应值代入得到关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可． （2）把代入（1）中求得的解析式即可求得． 【详解】（1）解：（1）设， 则， 根据题意得， 解得． 所以y与x的函数表达式为． （2）把代入得，． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 题型04反比例函数图象上点的坐标特征 【典例】已知反比例函数（）的图象经过点． (1)求的值； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】(1) ； (2) 点不在该反比例函数的图象上． 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）将代入即可求解； （2）计算当时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得； （2）解：， 当时，， ∴点不在该反比例函数的图象上． 【变式】某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【答案】丙 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲、乙、丙、丁， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知，， ∴、乙、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数， ，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 题型05由反比例函数的解析式判断其性质 【典例】已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 【变式】对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：将代入函数得：， ∴这个函数的图象经过点，不经过点，则选项A错误； ∵反比例函数中的， ∴图象位于第一、三象限；则选项C错误； 在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，选项D正确； 若，或，则；若，则，则选项B错误． 题型06由反比例函数经过的象限求k 【典例】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象的象限由系数符号决定，第二、四象限时系数小于零，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得， 选项中只有1满足条件， 故选A． 【变式】若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：． 题型07由反比例函数的增减性求k 【典例】若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 【变式】如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（   ） A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，k＞0时，图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，建立不等式，求解即可． 【详解】∵反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小， ∴a-2＞0， 解得a＞2， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟记k＞0时，图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小是解题的关键． 题型08由反比例函数的性质比较大小 【典例】点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先判断的符号，再确定两个点所在象限，结合函数增减性即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， ∴点和都在第二象限， 又∵， ∴． 【变式】已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 题型09由反比例函数的图象求k 【典例】一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 【变式】已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 【答案】C 【分析】延长交y轴于E，则轴，推出四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴，如图： ∵四边形为矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴矩形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴矩形的面积为12， ∴矩形的面积为． 题型10由反比例函数k的几何意义求面积 【典例】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 【变式】5．（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y和y在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为　4　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴且点A和点B在反比例函数y的图象上， ∴S△AOM＝S△BON＝1． 又∵点P在反比例函数y的图象上， ∴S矩形PMON＝6， ∴四边形OAPB的面积为：6﹣1×2＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象及反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 题型11由图形面积求k 【典例】如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 题型12 反比例函数与几何综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 【变式】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 题型13 反比例函数的对称性 【典例】（2026•盘州市模拟）如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（4m，m）是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】首先求出A（4m，m），然后由对称性得到（4m）2＝32，求出m2＝2，然后将P（4m，m）代入求解即可． 【解答】解：如图， 由条件可知A（4m，m）， ∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称， ∴图中阴影部分的面积等于正方形AEOF的面积， ∴（4m）2＝32， ∴m2＝2， 将P（4m，m）代入得，， ∴k＝4m2＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 【变式】（2025•莆田模拟）平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，规定其坐标“积和”运算为：P⊕Q＝x1y1+x2y2．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，则以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是（　　） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 【分析】根据新运算得到x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4，即可得到点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是菱形． 【解答】解：∵A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B， ∴x1y1+x2y2＝x2y2+x3y3＝x3y3+x4y4＝x4y4+x2y2， ∴x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4， ∴点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上， ∴以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是菱形， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是确定点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上． 【巩固训练】 1．下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式：或或的函数是反比例函数．据此解答即可． 【详解】解：A．是正比例函数，不是反比例函数，故该选项符合题意； B．是反比例函数，故该选项不符合题意； C．是反比例函数，故该选项不符合题意； D．是反比例函数，故该选项不符合题意． 故选：A． 2．已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得. 【详解】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2. 故选C. 【点睛】本题考核知识点：反比例函数定义. 解题关键点：理解反比例函数定义. 3．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：A、当时，，点不在该函数图象上，A错误； B、反比例函数中，，则该函数的图象分别位于第二、第四象限，B正确； C、当时，，可得，即，不符合，C错误； D、时，反比例函数仅在每个象限内满足随的增大而增大，对全体x不满足y随x增大而减小，D错误． 4．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 5．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 6．若，且x只能取整数，则y的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据的正负分类讨论，确定最小值的范围，再结合为整数的条件，求出的最小值． 【详解】解：∵ ∴反比例函数图象在第一，三象限， ∴当为正整数时，； 当为负整数时，， ∵， ∴图象在第三象限随的增大而减小， ∴当时，y有最小值，此时． 7．如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 【答案】 【分析】利用中心对称性质得出为中点，从而将的面积转化为的面积；再根据轴，将分割为 和 ，结合反比例函数的几何意义建立方程求解． 【详解】解：连接， 设交轴于点， ∵点与点关于原点对称， ∴为的中点，即， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴． 8．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【答案】(1) 500吨 (2) (3) 成反比例关系， 【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是根据“货物总量每天运输吨数运输天数”确定总量，并分析变量间的关系． （1）用每天运输吨数乘对应天数计算货物总量； （2）根据总量公式变形得到与的关系式； （3）依据反比例关系的定义判断，再代入总量求的值． 【详解】（1）解：（吨）． 答：这批货物共有500吨． （2）解：由，得. （3）解：∵（定值）， ∴与成反比例关系． 当时，． 9．已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 10．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 【强化训练】 1．（2024秋•大观区校级期中）已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．0 D．3 【分析】由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点A、B关于原点成中心对称，则有x2＝﹣x1，y2＝﹣y1．由A（x1，y1）在双曲线上可得x1•y1＝3，然后把x2＝﹣x1，y2＝﹣y1代入2x1y2﹣x2y1的就可解决问题． 【解答】解：∵直线y＝kx（k＞0）与双曲线都是以原点为中心的中心对称图形， ∴它们的交点A、B关于原点成中心对称， ∴x2＝﹣x1，y2＝﹣y1． ∵A（x1，y1）在双曲线上， ∴x1•y1＝3， ∴2x1y2﹣x2y1＝2x1•（﹣y1）﹣（﹣x1）•y1＝﹣x1•y1＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数及反比例函数图象的对称性等知识，得到A、B关于原点成中心对称是解决本题的关键． 2．若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两点坐标逐项代入函数验证即可． 【详解】解：选项A，把代入，得， ∵，∴，∴点不在该函数图象上，A错误． 选项B，把代入，得，令，解得，与矛盾，B错误． 选项C，把代入，得，把代入，得，即，符合条件，C正确． 选项D，把代入，得，把代入，得，不符合条件，D错误． 3．点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【分析】设点关于轴对称的点为点，由对称性可得点的坐标为，将点坐标代入对应的解析式可得，，结合，求出的值． 【详解】解：设点关于轴对称的点为点， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得， ∵， ∴， 解得． 4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【分析】作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 【详解】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 6．如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把向右平移a个单位长度，对应得到，当这个函数图象经过一边的中点时，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为2或6 【分析】（1）求出点，利用待定系数法即可求出答案； （2）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点C， 是等边三角形， ，， ∵， ， ，， ∴， 把点代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：分两种情况讨论： ①如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E， 由题意得， 是等边三角形， ， ， ， 在中，，，， ， 把代入，得， ， ； ②如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H． 由题意得， ，， 在中，， ∴，， 把代入，得， ， ， 综上所述，a的值为2或6． 7．已知反比例函数（k为常数，）图象经过一、三象限． (1)若反比例函数经过点． ①求反比例函数解析式； ②若点在这个函数图象上，求m的值． (2)若点和点都在反比例函数图象上，试比较a，b，c的大小关系． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出反比例解析式即可； 将点代入（1）中的函数解析式中，求出m的值即可； （2）根据反比例函数的性质及点、的坐标可得点、在第一象限，据此列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：①反比例函数经过点， ， 解得， 反比例函数解析式， ②点在这个函数图象上， ，即， 解得：或， 因此，m的值为或； （2）反比例函数图象经过一、三象限， 在每一象限内随x的增大而减小， 点和点都在反比例函数图象上， ， 解得：， a，b，c的大小关系为：． 8．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 9．如图，点A在反比例函数的图象上，点B，C都在反比例函数的图象上，且轴，点C在下方．设点B的横坐标为． (1)点A的坐标为 （用含a的代数式表示）． (2)当时，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得点B的坐标，进而利用即可求得点A的坐标； （2）利用等腰直角三角形的性质得到，代入即可求得答案． 【详解】（1）解：∵点B的横坐标为． ∴， ∵轴， ∴A点的纵坐标为， 代入得， ∴， ∴点A的坐标为， （2）解：∵， ∴， 过点作于点，交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴，， ∵，， ∴根据中点坐标公式得到， ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， a的值为． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C．已知点B的坐标为，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，，求四边形的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)12 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过点B作轴于点D，则，，再根据计算即可得出结果； （3）找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． ∵轴，且， ∴点A横坐标为， 当时，． ∴点A坐标为． 将，代入中，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图，过点B作轴于点D， ∵，， ∴，， ； （3）解：观察图象可知，不等式的解集为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 反比例函数的概念、图象和性质（13种题型） 1.理解反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数； 2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数的模型思想. 3.进一步熟悉画函数图象的主要步骤，会画反比例函数的图象； 4.体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合； 5.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质. 6.会用待定系数法求反比例函数的解析式； 7.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法. 重点与难点 重点：反比例函数的概念和应用；待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数及其图象与性质；k的几何意义。 难点：理解反比例函数的含义和性质；反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用. 1、 反比例函数概念 一般地，形如(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.(在中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义.) 有时反比例函数也写成y=kx-1(k为常数，k≠0)或xy=k(k为常数，k≠0)的形式. 2、 反比例函数的图象和性质 图象：反比例函数的图象是由两条曲线组成，它是双曲线. 性质：一般地，反比例函数图象是双曲线，它具有以下性质： (1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； (2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 3、 反比例函数k的几何意义 对于反比例函数，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|. 推理：△PAO与△PBO的面积和k 的关系是S△PAO=S△PBO=.反比例函数的面积不变性 题型01反比例函数概念辨析 【典例】在下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【变式】如果函数是反比例函数，那么m的值是___________． 题型02从实际问题中抽象出反比例函数 【典例】在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4cm时，它的另一条对角线长为12cm． (1)设菱形的两条对角线长分别为x（cm）和y（cm），求y关于x的函数解析式． (2)若其中一个菱形的一条对角线长为6cm，求这个菱形的边长． (3)小杭同学说：这个菱形的两条对角线长的和可以为13cm．小杭的说法正确吗？请说明理由． 【变式】验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．250 B．200 C．100 D．50 题型03根据反比例或反比例函数概念求函数解析式 【典例1】已知y与成反比例，并且当时，． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，求x的值． 【典例2】已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【变式】已知，与x成正比例，与x成反比例，且当时， ；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 题型04反比例函数图象上点的坐标特征 【典例】已知反比例函数（）的图象经过点． (1)求的值； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上． 【变式】某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 题型05由反比例函数的解析式判断其性质 【典例】已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【变式】对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 题型06由反比例函数经过的象限求k 【典例】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 【变式】若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 题型07由反比例函数的增减性求k 【典例】若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式】如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（   ） A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2 题型08由反比例函数的性质比较大小 【典例】点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式】已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型09由反比例函数的图象求k 【典例】一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【变式】已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 题型10由反比例函数k的几何意义求面积 【典例】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【变式】5．（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y和y在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为 　 ． 题型11由图形面积求k 【典例】如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 题型12 反比例函数与几何综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【变式】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 题型13 反比例函数的对称性 【典例】（2026•盘州市模拟）如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（4m，m）是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式】（2025•莆田模拟）平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，规定其坐标“积和”运算为：P⊕Q＝x1y1+x2y2．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，则以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是（　　） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 【巩固训练】 1．下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 4．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 5．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 6．若，且x只能取整数，则y的最小值是______． 7．如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 8．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【强化训练】 1．（2024秋•大观区校级期中）已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．0 D．3 2．若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 3．点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 6．如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把向右平移a个单位长度，对应得到，当这个函数图象经过一边的中点时，求a的值． 7．已知反比例函数（k为常数，）图象经过一、三象限． (1)若反比例函数经过点． ①求反比例函数解析式； ②若点在这个函数图象上，求m的值． (2)若点和点都在反比例函数图象上，试比较a，b，c的大小关系． 8．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，点A在反比例函数的图象上，点B，C都在反比例函数的图象上，且轴，点C在下方．设点B的横坐标为． (1)点A的坐标为 （用含a的代数式表示）． (2)当时，求a的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C．已知点B的坐标为，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，，求四边形的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． / 学科网（北京）股份有限公司 $