重难点专题13 一次函数与反比例函数综合（5大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以五大重难点为框架，系统整合图象判断、交点计算、面积求解、不等式解集、实际应用，提炼“象限判断-整体代换-面积分割-数形转化”四阶方法，形成从基础到综合的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象综合判断|5题|象限判断+增减性验证|从函数系数符号到图象位置的几何直观| |交点求代数式值|7题|整体代换思想|交点坐标满足双函数解析式的代数推理| |相交面积问题|9题|坐标分割+面积公式|联立求交点到图形割补的数形结合| |不等式解集|9题|图象高低比较法|以交点为界的函数值大小关系判断| |实际问题|5题|函数建模+临界分析|从实际情境抽象函数关系的模型意识|

重难点专题13 一次函数与反比例函数综合 重难点一 一次函数与反比例函数图象的综合判断 1.根据一次函数中的正负判断直线经过的象限； 2.根据反比例函数中的正负判断双曲线分布象限， 3.结合增减性、图象趋势、交点位置相互验证，排除矛盾选项，快速判定图象正误。 1．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B．C． D． 2．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 3．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 4．已知一次函数的图象如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 5．和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A．B．C． D． 重难点二 根据一次函数与反比例函数交点求代数式的值 1.若交点同时在两个函数图象上，则同时满足、，可得核心隐含条件； 2.直接将交点坐标满足的关系式整体代入所求代数式，采用整体代换思想化简求值，无需单独求未知数。 1．如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D．2 3．点在一次函数上，也在反比例函数上，则的值为________． 4．若直线与双曲线交于、两点，则的值为______． 5．如图，反比例函数与直线交于A、B两点，，，则_________． 6．若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为______． 7．如图，点A在直线上，轴于点B，点C在线段上，以为边作正方形，点D恰好在反比例函数（k为常数，）第一象限的图象上，连接． （1）若，，则______； （2）若，则______． 重难点三 一次函数与反比例函数相交中的面积问题 1.先联立方程组求出两函数交点坐标，利用直线与坐标轴交点分割图形； 2.运用铅垂高面积公式或坐标面积公式； 3.通过面积和差计算不规则图形面积。 1．在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 2．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 4．如图，函数与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形的面积为________． 5．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，若把直线向上平移3个单位长度与交于点B，连接、，则的面积为______． 6．如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 7．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点向右平移4个单位长度后得到点，线段与轴相交于点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)求的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象的交点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长； (3)在轴上找一点，使得的面积为8，求点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 重难点四 一次函数与反比例函数综合中的不等式解集问题 1.以两个函数交点的横坐标为分界点，划分自变量区间； 2.遵循图象在上，函数值更大的原则，直接观察图象位置高低； 3.写出或对应的取值范围，注意区分左右区间、正负区间，取舍完整解集。 1．一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 2．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 3．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 4．反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 5． 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 6．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 7．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连结、．四边形的面积为8． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式： (2)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． (3)当时，直接写出的取值范围； 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出时x的取值范围． 重难点五 一次函数与反比例函数综合中的实际问题 1.根据实际情境分别列出一次函数解析式和反比例函数解析式； 2.结合自变量实际取值范围，利用函数增减性、交点临界值、公式代入求值，解决最值、对比方案、变化趋势分析等实际应用题。 1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 2．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．    (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？ 3．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 4．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 5．综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 0 10 20 30 30 0 40 20 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题13 一次函数与反比例函数综合 重难点一 一次函数与反比例函数图象的综合判断 1.根据一次函数中的正负判断直线经过的象限； 2.根据反比例函数中的正负判断双曲线分布象限， 3.结合增减性、图象趋势、交点位置相互验证，排除矛盾选项，快速判定图象正误。 1．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 2．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 3．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质，直线的方向以及与y轴交点、双曲线的位置决定系数k的符号．是解题的关键． 由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】 解：A、， 反比例函数图象在第一、三象限， 则， 一次函数图象经过一、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值相同，故此选项正确； B、 反比例函数图象在第二、四象限， 则， 一次函数图象经过二、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值不同，故此选项错误； C、 反比例函数图象在第二、四象限， 则， 一次函数图象经过一、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值不同，故此选项不正确； D、 反比例函数图象在第一、三象限， 则， 一次函数图象经过一、三象限，过原点， 则，， k的取值不同，故此选项错误． 故选：A． 4．已知一次函数的图象如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定正比例函数和反比例函数图象所在的象限即可． 【详解】解：如图所示，一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象经过第二、四象限， 综上所述，符合条件的图象是C选项， 故选：C． 5．和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像，掌握一次函数和反比例函数图像与相关参数的关系是解题的关键． 分别根据各选项的一次函数和反比例函数图像确定m的取值范围，如果不存在矛盾，即符合题意． 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，存在矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，不存在矛盾，符合题意； C．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意； D．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意． 故选B． 重难点二 根据一次函数与反比例函数交点求代数式的值 1.若交点同时在两个函数图象上，则同时满足、，可得核心隐含条件； 2.直接将交点坐标满足的关系式整体代入所求代数式，采用整体代换思想化简求值，无需单独求未知数。 1．如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交点坐标同时满足两个函数解析式这一性质，对所求代数式进行变形化简即可． 【详解】解：因为点是函数与图像的交点， 将点代入，可得，变形得到， 将点代入，可得，移项得到， 所以． 2．反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键． 根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，得到，利用整体思想代入，求值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴ ； 故选：A． 3．点在一次函数上，也在反比例函数上，则的值为________． 【答案】20 【分析】根据函数图象上点的坐标满足函数解析式，得到的关系式与的值，再利用完全平方公式变形计算得到结果. 【详解】解：点在一次函数上， ∴将代入得，整理得， 点在反比例函数上， ∴将代入得，整理得， ∴. 4．若直线与双曲线交于、两点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题．根据反比例函数和正比例函数均是中心对称图形可知，，代入代数式解题即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于、两点， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．如图，反比例函数与直线交于A、B两点，，，则_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象与正比例函数图象的对称性，可知交点与点关于原点对称，从而得出，，再结合反比例函数图象上点的坐标特征得到，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：反比例函数与直线的图象均关于原点对称 它们的交点与关于原点对称 ， 点在反比例函数的图象上 ． 6．若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像的交点问题、分式的化简求值，熟练掌握函数图像上的点的特征是解答的关键．将交点坐标代入两函数的解析式中得到，，代入分式中求解即可． 【详解】解：∵函数的图像与函数的图像相交于点， ∴，，即， ∴ ， 故答案为：． 7．如图，点A在直线上，轴于点B，点C在线段上，以为边作正方形，点D恰好在反比例函数（k为常数，）第一象限的图象上，连接． （1）若，，则______； （2）若，则______． 【答案】 16 14 【分析】（1）根据，可以计算出点的坐标为，进而计算出的值； （2）设正方形的边长为，，则，，利用等腰直角三角形的性质得，，点在反比例函数的图象上，，可得，再代入计算． 【详解】解：（1）∵点A在直线上，， ∴，即， ，， ，点的横坐标为：， 点的坐标为：， ． 故答案为：16； （2）设正方形的边长为，， 则，， ，， 点在反比例函数的图象上，， ，即， ， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，勾股定理，平方差公式，等腰直角三角形的判定和性质． 重难点三 一次函数与反比例函数相交中的面积问题 1.先联立方程组求出两函数交点坐标，利用直线与坐标轴交点分割图形； 2.运用铅垂高面积公式或坐标面积公式； 3.通过面积和差计算不规则图形面积。 1．在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先，设函数的图象与y轴交于点D，根据函数与函数相交于A、B两点，联立两个函数的表达式组成方程组，解方程组即可得出点的坐标，然后求得的长，最后，由即可求得结果． 【详解】解：如图，设函数的图象与y轴交于点D， ∵函数与函数相交于A、B两点， ∴， 解得，， ∴，， 将代入函数，得， ∴， ∴， ∴． 2．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，根据四边形的面积为12，得出，联立得出，根据根与系数的关系得出，代入进行求解即可． 【详解】解：设， ∴，，． ∵四边形的面积为12， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，化简整理得， 又联立，消去得：， ∴和是方程的两根． 由一元二次方程根与系数的关系可知， ∴， ∴， 解得． 3．如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用一次函数求出点的坐标，由推出点的坐标，再次利用一次函数求出点的坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，最后利用割补法求出的面积． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ． 4．如图，函数与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形的面积为________． 【答案】12 【分析】根据题意，得，解得或，故，， 得到，，根据四边形的面积等于解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握交点坐标的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得或， 故，， 故，， 故四边形的面积等于 ， 故答案为：12． 5．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，若把直线向上平移3个单位长度与交于点B，连接、，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，把代入，求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出平移后的直线的解析式，进而求出点的坐标，作轴，轴，推出的面积等于梯形的面积，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∵把直线向上平移3个单位长度，得到， ∴联立，解得：或， ∴， 作轴，轴，则：， 则：， ∴ ； 故答案为：6． 6．如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点，点，过点 作 轴于点 ，则 ，根据，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 7．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点向右平移4个单位长度后得到点，线段与轴相交于点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入求出，得出反比例函数解析式，再将点代入反比例函数解析式求出，最后将，代入一次函数解析式利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质得出，，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴代入得，即，     ， 将点代入可得， 解得：， ∴， 将，代入得， 解得：，， ． （2）解：根据平移可得轴， ∴，， ∴， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象的交点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长； (3)在轴上找一点，使得的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中，求得点A的坐标，再代入反比例函数解析式中求得k的值，即可求解； （2）由点P的坐标及轴，可求得点Q的坐标，即可求得线段的长； （3）求出点B的坐标，设，由即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象的交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴，即； ∵轴， ∴点的横坐标为2， ∴， 即， ∴； （3）解：解，得或， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴或． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2)17 【分析】（1）利用待定系数法，逐一求解即可； （2）根据，解答即可； 【详解】（1）解：反比例函数（）经过点， ， 解得， 故反比例函数的解析式为； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为， 当时，， 故点B的坐标为； （2）解：点在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， ， 解得， ， ， ． 重难点四 一次函数与反比例函数综合中的不等式解集问题 1.以两个函数交点的横坐标为分界点，划分自变量区间； 2.遵循图象在上，函数值更大的原则，直接观察图象位置高低； 3.写出或对应的取值范围，注意区分左右区间、正负区间，取舍完整解集。 1．一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】不等式表示一次函数值小于反比例函数值，结合两个交点坐标及对应函数图象即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为，其函数图象分别位于第二、四象限； 把，代入，得， 解得，即一次函数的表达式为． ∴反比例函数与一次函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或． 2．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 3．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，先利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式，进而求出点坐标，再结合图象解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：把代入得，， ∴， ∴一次函数为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数为， 由，解得或， ∴， 由图象可得，当或时，， 故选：． 4．反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】首先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把的坐标代入求得的值，观察图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把点的坐标代入得． ∴反比例函数表达式为． 把点的坐标代入，得． ∴点坐标为． ∵，即： 由图象得，不等式的解集为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后求出交点的坐标，体现了数形结合的思想． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【答案】或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 6．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】找到直线在双曲线下方时的自变量的范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是或． 7．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连结、．四边形的面积为8． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）可证明四边形是平行四边形，则，，则题目可解； （2）观察图像得不等式的解集； 【详解】（1）解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴点A与点B关于原点中心对称． ∴． ∵轴于点C，轴于点D， 又∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴反比例函数的解析式为 （2）解：由图象可知或． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式： (2)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． (3)当时，直接写出的取值范围； 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据题意，得，得到； （2）设，则，过点P作于点F，根据勾股定理，得，结合三角形的面积得，求解即可； （3）根据交点的横坐标，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． ， 故， 反比例函数的图象经过点， ， 解得， ； （2）解：根据题意，得， 整理，得， ， 解得， 当时，， ． ， 设直线与x轴的交点为E，与y轴的交点为D， 当时，；当时，； 则，， ， ， 设，则， 过点P作于点F， ， ， 根据勾股定理，得， ， ， 的面积为6， ， ， 或， 解得或， 故，． （3）解：，， 故不等式的解集为：或． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据函数图象结合交点坐标即可解答． 【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 点在反比例函数的图象上， ， ， 又 点，两点在一次函数的图象上， ， 解得， 则该一次函数的解析式为． （2）解：根据图象可知使成立的的取值范围是：或． 重难点五 一次函数与反比例函数综合中的实际问题 1.根据实际情境分别列出一次函数解析式和反比例函数解析式； 2.结合自变量实际取值范围，利用函数增减性、交点临界值、公式代入求值，解决最值、对比方案、变化趋势分析等实际应用题。 1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 2．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．    (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？ 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为． (2)15小时 【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【详解】（1）解：当时，设直线解析式为：， 将代入得：，解得：， 故直线解析式为：； 当时，设反比例函数解析式为： ， 将代入得： ，解得：a=32， 故反比例函数解析式为： ； 所以血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为， 下降阶段的函数关系式为． （2）解：如图：由题意：，解得：；，， ∴ ∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间为15小时．    【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． 3．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)能，理由见解析 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为20； （2）解：设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于36， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式． 4．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1)， (2)20°C (3)恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害 【分析】（1）利用待定系数法分别求一次函数和反比例函数解析式即可； （2）将代入线段AB解析式，即可求恒温系统设定恒温； （3）将y=10代入（1）中相应的函数解析式，然后即可得到这天内恒温系统最多可以关闭多长时间，才能避免蔬菜受到伤害． 【详解】（1）解：设线段AB解析式为 ∵线段AB过点， 代入得解得 ∴AB解析式为： 设双曲线CD解析式为： ∵ ∴ ∴双曲线CD解析式为： （2）解：∵B在线段AB上当时， ∴恒温系统设定恒温为20°C （3）解：把代入中，解得： ∴ 答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 5．综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 【答案】(1)，， (2)①见解析；②不存在，理由见解析 (3)①或；②原矩形长为米，宽为米，（答案不唯一） 【分析】（1）根据“新花园的周长是原花园的一半”，以及“新花园面积也是原花园的一半”建立关于的函数关系式，并求出的取值范围，即可解题； （2）①根据列表、描点、连线的步骤画出这两个函数的图象即可； ②根据所画的图象交点情况分析即可； （3）①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半，推出有解，结合一元二次方程根的判别式列不等式求解，即可解题； ②利用①中的结论，结合条件原矩形的长和宽均为正整数，找出存在这种“减半”矩形的原矩形即可． 【详解】（1）解：根据“新花园的周长是原花园的一半，”得：， 整理得，； 根据“新花园面积也是原花园的一半，”得：， 整理得，； ， 则的取值范围为； 故答案为：，，； （2）解：①根据题意列表如下： 0 10 20 30 30 0 40 20 结合表格数据画图如下： ②所画的图象无交点， 不存在满足条件的新矩形花园； （3）解：①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半， 由题意得：，整理得，； ，整理得，； 则，整理得， 则或， 或； 故答案为：或． ②由①题知，原矩形长为米，宽为米， 记其新矩形长为，宽为， 则 解得或， 当时，； 当时，； 长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $