27.2.1反比例函数的图象与性质（第一课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象与性质，通过复习反比例函数定义、描点法步骤及一次函数图象，搭建旧知支架，引导学生从画y=6/x和y=-6/x的图象入手，探究双曲线特征。 特色在于以学生动手画图为核心，通过对比观察培养几何直观，用反例辨析增减性条件发展推理意识，分层例题与检测强化应用意识。帮助学生形成知识结构，助力教师高效教学，落实核心素养。

27.2.1 反比例函数的图象与性质（第1课时）教学设计 一、课标要求 能画出反比例函数的图象，探索并掌握反比例函数的基本性质（图象形状、所在象限、增减性），体会用描点法画函数图象的一般过程，发展几何直观和推理能力。 二、教学目标 1. 会用描点法画出反比例函数的图象，掌握列表、描点、连线三个步骤的注意事项。 1. 理解反比例函数 （）的图象是双曲线，掌握当 和 时图象的位置特征和增减性。 1. 能根据图象特征判断 的正负，能运用性质解决简单的图象识别与判断问题。 三、重点难点 重点：用描点法画反比例函数的图象，理解反比例函数图象的形状与性质。 难点：理解反比例函数图象的增减性（强调“在每一个象限内”），以及图象与坐标轴无限接近但不相交的特征。 四、教学过程 环节一：复习回顾 师生活动： 教师提问： 1. 反比例函数的一般形式是什么？自变量的取值范围是什么？ 2. 画函数图象的一般步骤是什么？ 3. 我们已经学过一次函数的图象，它是什么形状？ 学生回答后，教师引入：一次函数的图象是一条直线，那么反比例函数的图象是什么形状呢？今天我们就来研究反比例函数的图象与性质。 设计意图：通过复习旧知，为新知学习搭建桥梁，让学生明确研究函数图象的一般路径——先画图象，再从图象中发现性质。 环节二：探究新知——画反比例函数图象 师生活动： 活动1：画 的图象 教师引导学生按描点法三步进行： （1）列表 教师强调： 不能为 ，选取互为相反数的几组值，方便观察对称性。 学生填写表格，教师巡视检查计算是否正确。 （2）描点 学生在平面直角坐标系中描出上表各点。 （3）连线 教师强调：用平滑曲线顺次连接各点，注意曲线的走势——向坐标轴方向延伸，但不与坐标轴相交。 活动2：画 的图象 学生独立完成列表、描点、连线的过程，教师巡视指导。 活动3：对比观察 教师提问： 1. 这两个函数的图象是什么形状？ 2. 它们分别位于哪些象限？ 3. 图象与坐标轴有交点吗？ 学生观察后发现： - 两个图象都由两支曲线组成，这种曲线叫做双曲线。 - 的图象位于第一、第三象限。 - 的图象位于第二、第四象限。 - 图象与 轴、 轴都没有交点。 设计意图：通过亲手画图、观察比较，让学生直观感受反比例函数图象的形状特征，为归纳性质积累感性经验。 环节三：归纳性质 师生活动：教师引导学生从图象的位置和变化趋势两个角度归纳性质： 性质总结： 对于反比例函数 （）： 当 时： 双曲线的两支分别位于第一、第三象限。 - 在每一个象限内， 随 的增大而减小。 当 时： 双曲线的两支分别位于第二、第四象限。 - 在每一个象限内， 随 的增大而增大。 教师强调两个易错点： 1. 增减性必须强调“在每一个象限内”，不能跨象限比较。 2. 图象无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。 追问：为什么不能说“ 随 的增大而减小”（不加“在每一个象限内”）？ 学生讨论后教师举例说明：以 为例，取 ，；，。虽然 ，但 ，并不是“ 随 的增大而减小”。因此必须限定“在每一个象限内”。 设计意图：通过反例辨析，让学生深刻理解“在每一个象限内”这一限制条件的必要性，避免常见错误。 环节四：例题讲解 【例1】 已知反比例函数 的图象在第二、第四象限，求 的值，并指出在每个象限内， 随 的变化情况。 解： ∵ 是反比例函数， ∴ ，且 。 由 ，得 ，解得 或 。 又∵ 图象在第二、第四象限， ∴ ，即 。 ∴ 。 此时 。 ∴ 在每个象限内， 随 的增大而增大。 【例2】 下列函数中，图象位于第一、第三象限的是（ ） A. B. C. D. 解： 图象位于第一、第三象限 ⟺ 。 A 中 ，图象在第二、第四象限，不符合； B 中 ，图象在第一、第三象限，符合； C 中 ，图象在第二、第四象限，不符合； D 中 ，图象在第二、第四象限，不符合。 ∴ 选 B。 环节五：课堂练习 1. 下列图象中是反比例函数图象的是（ ） A. B. C . D. 解：反比例函数的图象是双曲线，由两支曲线组成。 A 是一次函数图象，不是； B 是圆的图象，不是； C 是双曲线，符合反比例函数图象的特征； D 是二次函数图象，不是。 ∴ 选 C。 2. 关于反比例函数 的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象位于第二、第四象限 B. 在每一个象限内， 随 的增大而增大 C. 图象与 轴有交点 D. 图象位于第一、第三象限 解： ∵ 中 ， ∴ 图象位于第一、第三象限，选项 D 正确； 在每一个象限内， 随 的增大而减小，选项 B 错误； 图象与坐标轴无交点，选项 C 错误； 选项 A 描述的是 的情形，错误。 ∴ 选 D。 3. 填空： （1）反比例函数 的图象在第______象限。 （2）反比例函数 的图象如图所示（位于第二、第四象限），则 ____；在图象的每一支上， 随 的增大而______。 解： （1）∵ ，∴ 图象位于第一、第三象限。 （2）∵ 图象位于第二、第四象限，∴ ； ∵ ，∴ 在每一个象限内， 随 的增大而增大。 4. 已知反比例函数 的图象在第二、第四象限，求 的值，并指出在每个象限内， 随 的变化情况。 解： ∵ 是反比例函数， ∴ 且 。 解 ：， 或 。 ∵ 图象在第二、第四象限， ∴ 比例系数 ，即 。 ∵ ，不满足 ； 而 ，满足 。 ∴ 。 此时比例系数为 。 ∵ ，∴ 在每个象限内， 随 的增大而增大。 环节六：课堂小结 师生活动： 教师引导学生回顾本节课内容，完成知识梳理： 1. 画反比例函数图象的方法：描点法（列表 → 描点 → 连线）。 1. 反比例函数 （）的图象是双曲线。 1. 性质： ①：图象在第一、第三象限；在每个象限内， 随 增大而减小。 ②：图象在第二、第四象限；在每个象限内， 随 增大而增大。 1. 注意事项： ①增减性必须说“在每一个象限内”。 ②图象与坐标轴无限接近，但不相交。 设计意图：通过师生共同梳理，帮助学生形成完整的知识结构，强化易错点的记忆。 五、当堂检测 A 基础巩固 1. 反比例函数 的图象位于（ ） A. 第一、第二象限 B. 第一、第三象限 C. 第二、第四象限 D. 第三、第四象限 解： ∵ ，∴ 图象位于第一、第三象限。选 B。 2. 反比例函数 的图象，在每一个象限内， 随 的增大而______。 解： ∵ ，∴ 在每一个象限内， 随 的增大而增大。 B 能力提升 3. 已知反比例函数 的图象在第一、第三象限，求 的取值范围。 解： ∵ 图象在第一、第三象限，∴ 比例系数 。 解不等式 ：，。 ∴ 的取值范围为 。 4. 点 、 在反比例函数 的图象的同一支上，且 ，比较 与 的大小。 解： ∵ 中 ， ∴ 在第一象限和第三象限内， 随 的增大而减小。 又∵ ，说明 、 两点都在第三象限的图象上， 且 ， ∴ 。 C 拓展延伸 5. 已知反比例函数 的图象在第二、第四象限，且 为整数，求 的最小值。 解： ∵ 图象在第二、第四象限，∴ 。 解不等式：，。 ∵ 为整数且 ， ∴ 的最小值为 。 6. 已知点 、、 都在反比例函数 的图象上，比较 、、 的大小。 解： ∵ 中 ， ∴ 在每一个象限内， 随 的增大而增大。 分别计算各点纵坐标： ； ； 。 ∵ ， ∴ 。 学科网（北京）股份有限公司 $