18.5 分式方程（预习讲义）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学分式方程核心知识点，系统梳理分式方程的定义、解法步骤（去分母、解整式方程、检验）、增根概念及产生原因，延伸至根据整数解、增根、无解等特殊情况求解，最终落脚于行程、工程、经济等实际问题应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于题型分类细致（11种题型），例题与变式结合，通过增根、无解等问题训练提升学生推理意识，实际问题情境培养模型意识与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

第十八章 分式 05讲 分式方程 题型归纳 【题型1. 分式方程的定义 2】 【题型2. 解分式方程 3】 【题型3. 根据分式方程的整数解求解 4】 【题型4. 根据分式方程有增根求解 5】 【题型5. 根据分式方程无解求解 5】 【题型6. 根据分式方程解的其他情况求解 6】 【题型7. 分式方程中的行程问题 7】 【题型8. 分式方程中的工程问题 8】 【题型9. 分式方程中的经济问题 10】 【题型10. 分式方程中的和差倍问题 13】 【题型11. 分式方程的其他实际问题 14】 【巩固练习 15】 知识清单 知识点1 分式方程 1.定义：如方程 这样分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 【提示】分母中没有未知数的方程是整式方程. 知识点2 解分式方程 1.步骤：（1）去分母； （2）解这个整式方程； （3）检验（把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解，否则这个解不是原方程的解）. 例：解分式方程 . 解：方程两边乘，得 解得 检验：当时， 所以，原分式方程的解为 . 知识点3 增根 1.定义：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫作原方程的增根. 2.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子为0时，对于整式方程来说，求出的根能使整式方程成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 例：解分式方程 . 解：方程两边乘，得 解得 检验：当时， 所以，是增根，原方程无解 . 知识点4 列分式方程解实际问题 1.步骤：（1）审；（2）找；（3）设；（4）列；（5）解；（6）验；（7）答. （与一元一次方程的应用解题思路一致） 题型专练 题型1. 分式方程的定义 【例1】下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【变式2】给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【变式3】下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 题型2. 解分式方程 【例1】解方程： (1)； (2)． 【例2】解方程： (1)； (2)． 【变式1】解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】解分式方程： (1) ； (2) ． 【变式3】解分式方程： (1)； (2)． 【变式4】解方程：． 题型3. 根据分式方程的整数解求解 【例1】若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（    ） A．2 B．5 C．2或5 D．5或7 【例2】若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 【变式1】关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【变式2】若关于x的分式方程解为整数，且关于y的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为______． 【变式3】若整数使得关于的分式方程的解为正整数，且使得关于的不等式组有且只有两个奇数解，则所有符合条件的整数的值之和为__________． 题型4. 根据分式方程有增根求解 【例1】若关于x的方程有增根，则m的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】已知关于x的分式方程，若方程有增根，求k的值． 【变式1】关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 【变式2】若关于x的分式方程有增根，则a的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3】已知有增根，则______． 【变式4】（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 题型5. 根据分式方程无解求解 【例1】若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【例2】关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 【变式1】若关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．4或 B．或 C．1或或6 D．1或4或6 【变式2】已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 【变式3】已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 题型6. 根据分式方程解的其他情况求解 【例1】如果方程的解为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 【例3】若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 【变式1】已知关于的分式方程解为负数，则的值为（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2】已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【变式3】若整数a使关于x的不等式组有且只有三个整数解，且使关于y的方程的解为非正数，则符合条件的所有整数a的和为______． 【变式4】已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的和为_________． 【变式5】小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 题型7. 分式方程中的行程问题 【例1】某校组织部分学生步行2千米到纪念馆参加活动，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】A市与甲、乙两地的距离分别为和，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． 【变式1】一艘轮船在静水中航行的速度是，顺水航行后返回，返回时用同样的时间只航行了．求水流的速度． 【变式2】为了加快长株潭城市群建设与发展，要在长沙和株洲两座城市之间新建一条城际铁路方便出行．铁路建成后，铁路运行里程由现在的70km缩短至60km，城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快110km，运行时间是现行时间的．求该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间． 【变式3】司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 题型8. 分式方程中的工程问题 【例1】A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每天多搬5吨，A型机器人搬运100吨所用的时间与B型机器人搬运80吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少化工原料？设A型机器人每天搬运吨化工原料，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【例2】某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数．（列分式方程求解） 【变式1】甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度比乙队多50m，如果两队各自修建公路，甲队比乙队少用5天． (1)求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？ (2)我市计划修建长度为的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至多安排甲队施工多少天？ 【变式2】某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下宣传语： 根据该宣传语，求每台新型机器人每天搬运的货物量． 【变式3】某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条200米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.2倍，结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米； (2)由于天气等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过32天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，每天至少应多挖掘多少米？ 题型9. 分式方程中的经济问题 【例1】习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 【例2】王林端午节前后两次到某超市购买同一种粽子，节前按标价购买了80元的粽子，节后粽子半价，王林又花费35元购买若干粽子，两次共买了15个粽子，问这种粽子的标价是每个多少元？ 【变式1】2026年3月14日至27日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．求每个A种挂件的价格； 【变式2】某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【变式3】“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一，我校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：45L 电池容量： 油价：8元/L 电价：0.6元 续航里程：千米 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：____________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用___________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为2000元和5300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【变式4】某文具店销售A、B两种型号的文具盒．文具店老板在购进文具盒时发现，A型号文具盒的进价比B型号文具盒的进价少3元；用120元购进A型号文具盒的数量是用80元购进B型号文具盒数量的2倍． (1)求A、B两种型号文具盒的单价． (2)根据市场需要，老板准备购进A、B两种型号的文具盒共100个，要求A型号文具盒的数量不少于B型号文具盒的数量，但不能超过B型号文具盒数量的2倍．已知A型号文具盒的售价为12元，B型号文具盒的售价为14元．设A型号文具盒购进m个． ①求购进A型号文具盒数量m的取值范围． ②若购进的文具盒完全售出，则最大利润是多少？ 题型10. 分式方程中的和差倍问题 【例1】伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【变式1】某公司第一季度总共生产80万部手机．已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部的电影，手机比手机快190秒，设手机的下载速度为，则正确的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】为落实劳动教育，实施五育并举，某校合理利用空地，开垦校园农场，培养学生的劳动能力．农场去年种植的辣椒共收获50千克，西红柿共收获100千克．由于同学们劳动技能提高，今年的辣椒产量和西红柿产量都比去年增加．学校利用劳动课安排两组同学分别采摘辣椒和西红柿，每小时采摘西红柿的质量是采摘辣椒质量的1.2倍，两组同学同时开始采摘，结果辣椒采摘小组比西红柿采摘小组提前40分钟完成任务，辣椒采摘小组每小时采摘多少千克辣椒? 【变式3】某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料． (1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料? (2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框?  (不计材料损耗) 题型11. 分式方程的其他实际问题 【例1】在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图（1）），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端．”如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是______． 【变式2】照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰． (1)用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？ (2)当时，求的值． 【变式3】为推动绿色发展，我国大力发展新能源，光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将太阳能直接转变为电能的一种技术．现有一光伏发电厂经技术改良，每天的发电量比原来提高，现在发电千瓦比原来发电千瓦少用小时，求该光伏发电厂原来平均每小时的发电量． 巩固练习 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 2．（2026·湖南·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东菏泽·一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 7．（25-26八年级上·广东广州·期末）定义新运算“◎”：，如果，那么的值为（   ）． A．1或3或4 B．1或3 C．1或4 D．3或4 8．（2026·四川成都·一模）关于的分式方程的解为，则的值为_____． 9．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 10．（2026·山东济南·二模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 11．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为______． 12．（25-26八年级下·山东济南·期中）计算、解方程： (1) (2) 13．（2026·福建南平·一模）解方程：． 14．（25-26八年级下·四川宜宾·期中）解方程： 15．（2026·陕西榆林·二模）解方程：. 16．（25-26八年级下·河南南阳·期中）在解方程时，小李解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 17．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）定义：如果两个分式M与N的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，， ，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．求所代表的代数式． 18．（2026·云南西双版纳·一模）今年春节假期，昆明文旅市场呈现人气足、消费热、年味浓、时尚化的特点．在“文化体验+假日烟火”的双引擎带动下，春节假日经济热力十足，春城递出一张“来了就不想走”的城市名片、外地游客卫先生一家在即将离昆时，特意买了云南特产鲜花饼和小粒咖啡回去送给亲友，已知一盒鲜花饼的价格比一盒小粒咖啡贵40元，花1000元买的鲜花饼的盒数与花600元买的小粒咖啡的盒数相同．一盒鲜花饼和一盒小粒咖啡的价格各是多少元？ 19．（2026·云南玉溪·一模）曾是“稀罕物”的牛油果，如今在普洱市孟连县扎根落户，成为云南边境地区由“种得出”向“卖得好”转型的农业“新品牌”．某牛油果加工厂里，吴师傅和郑师傅正在包装牛油果，准备发往全国各地．吴师傅每小时包装的牛油果数量比郑师傅少20千克，吴师傅包装900千克牛油果所用时间与郑师傅包装1000千克牛油果所用时间相等．吴师傅和郑师傅每小时分别包装多少千克牛油果？ 20．（25-26八年级下·重庆·期中）2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高，若用360元等额资金分别购进A、B两类配件，则A类配件的数量比B类配件的数量少3个． (1)求A、B两类机器人配件每个的进价； (2)3月，该科技店用5400元购进A类配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 21．（2026·山西·一模）现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价． 22．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续多年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破近20万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购，两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 23．（2026·重庆綦江·二模）2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． (1)若购进甲型机器人3台，乙型机器人4台，共耗资27万元；若购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入120万元分别进行采购，因市场竞争激烈和产品迭代升级，甲型机器人的进价每台降低a万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求a的值． 24．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 25．（25-26八年级下·重庆万州·月考）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 26．（25-26八年级下·湖南衡阳·阶段检测）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式友好分式．如与，因为，所以是的友好分式． (1)分式__________分式的友好分式（填是或不是）； (2)小明在求分式的友好分式时，用了以下方法； 设的友好分式为，则， ． 请你仿照小明的方法求分式的友好分式． (3)①若分式的友好分式的值是正整数，求整数的值． ②若是的友好分式（，为整数），则的值为_____． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 05讲 分式方程 题型归纳 【题型1. 分式方程的定义 2】 【题型2. 解分式方程 4】 【题型3. 根据分式方程的整数解求解 8】 【题型4. 根据分式方程有增根求解 12】 【题型5. 根据分式方程无解求解 15】 【题型6. 根据分式方程解的其他情况求解 19】 【题型7. 分式方程中的行程问题 24】 【题型8. 分式方程中的工程问题 26】 【题型9. 分式方程中的经济问题 30】 【题型10. 分式方程中的和差倍问题 35】 【题型11. 分式方程的其他实际问题 37】 【巩固练习 40】 知识清单 知识点1 分式方程 1.定义：如方程 这样分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 【提示】分母中没有未知数的方程是整式方程. 知识点2 解分式方程 1.步骤：（1）去分母； （2）解这个整式方程； （3）检验（把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解，否则这个解不是原方程的解）. 例：解分式方程 . 解：方程两边乘，得 解得 检验：当时， 所以，原分式方程的解为 . 知识点3 增根 1.定义：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫作原方程的增根. 2.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子为0时，对于整式方程来说，求出的根能使整式方程成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 例：解分式方程 . 解：方程两边乘，得 解得 检验：当时， 所以，是增根，原方程无解 . 知识点4 列分式方程解实际问题 1.步骤：（1）审；（2）找；（3）设；（4）列；（5）解；（6）验；（7）答. （与一元一次方程的应用解题思路一致） 题型专练 题型1. 分式方程的定义 【例1】下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 【变式1】有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，据此逐一判断各方程即可. 【详解】解：∵ 方程①分母为和，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∵ 方程②分母为和，均含，∴ 是分式方程； ∵ 方程③可化为：，分母中含，∴ 是分式方程； ∵ 方程④可化为：，分母为，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∴ 是关于的分式方程的有②③. 故选：C. 【变式2】给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】分式方程是分母中含有未知数的方程，判断每个方程是否含有分母且分母中含有未知数． 本题考查了分式方程的概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程① 中，右边分式分母含有未知数 ， ∴ ①是分式方程． ∵ 方程② 中，左边分式分母 含有未知数 ， ∴ ②是分式方程． ∵ 方程③ 中没有分式，是整式方程， ∴ ③不是分式方程． ∵ 方程④ 中， 是常数系数，没有分母含有未知数， ∴ ④不是分式方程． ∴ 是分式方程的是①②． 故选：B． 【变式3】下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 题型2. 解分式方程 【例1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得：， 当时， ， ∴是增根，原方程无解； （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 【例2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验是否有增根即可． 【详解】（1）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 解得 经检验，是增根， ∴原方程无解． 【变式1】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项求解，并验根即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项求解，并验根即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 解得：， 当时，， 则分式方程无解． 【变式2】解分式方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 经检验时，， 故分式方程的解为. （2）解： ， 经检验时，， 故分式方程的解为. 【变式3】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 无解 【分析】（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可. 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验，当时，， 故是原方程的解； （2）解：， 去分母，得， 解得； 当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解. 【变式4】解方程：． 【答案】无解 【分析】先将分式方程两边同乘最简公分母，将其化为整式方程进行求解，再将解代入原分母检验． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当，， 故是增根，原方程无解． 题型3. 根据分式方程的整数解求解 【例1】若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（    ） A．2 B．5 C．2或5 D．5或7 【答案】B 【分析】先解方程得，，因为分式方程有正整数解，进而可得到整数m的值． 【详解】解：原方程为，， 可化为整式方程，， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∵分式方程有正整数解， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； ∴整数m的值是5， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解． 【例2】若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 【答案】2或3或7 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解可求出a的范围，接着解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出a的值，进而可得答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴； 解方程， 去分母得， 解得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴为整数，且， ∵， ∴或或， ∴或或， ∴符合题意的a的值可以为2，3，7， 故答案为：2或3或7． 【变式1】关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，结合，且为整数，为整数，得出可取，，，即可得解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∵，且为整数，为整数， ∴ ∴可取，，， ∴的可能取值的和为， 故选：B． 【变式2】若关于x的分式方程解为整数，且关于y的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为______． 【答案】10 【分析】先解分式方程，根据分式方程的解是整数，确定a值需要满足的条件，再解一元一次不等式组，根据不等式组有且仅有4个整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，然后求出符合条件的整数a的值，并求出所有符合条件的整数a的和即可．本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 【详解】解：， ， ∵关于x的分式方程解为整数 ∴是整数且， ∴是2的倍数，且，即 ， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于y的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴ ∴， 解得 ∴， ∴符合条件的所有整数a的值为：0，4，6 ∴符合条件的所有整数a的和为： 故答案为：10． 【变式3】若整数使得关于的分式方程的解为正整数，且使得关于的不等式组有且只有两个奇数解，则所有符合条件的整数的值之和为__________． 【答案】12 【分析】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到关于a的范围是解题的关键．根据题意可以求得a的取值范围，从而可以得到符合条件的a的整数值，从而可以解答本题． 【详解】， 去分母得，， ∴， 根据题意得，，即， ∴是正整数，且， ∴或3或4或5或13， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式的解集为， 根据题意得，， ∴， ∴所有符合条件的整数的值有3，4，5， ∴， ∴所有符合条件的整数的值之和为12． 故答案为：12． 题型4. 根据分式方程有增根求解 【例1】若关于x的方程有增根，则m的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先理解分式方程的增根是使分式分母为0的根，由此确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵原分式方程有增根，且分母为 ∴， 即 ∵ ∴ 整理得 将增根代入上式得． 【例2】已知关于x的分式方程，若方程有增根，求k的值． 【答案】k的值为6或 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的根的情况求参数；按解分式方程的步骤把分式方程化为整式方程，整理得，根据分式方程有增根，得出或， 并把，分别代入中，进行计算，即可求得k的值． 【详解】解：， 分式方程两边同时乘上，得， ， 解得， 由题知，该分式方程有增根，即， 解得或， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 综上所述，k的值为6或． 【变式1】关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据分式方程的增根是使最简公分母的的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母，解得， 即方程的增根为， 方程两边同乘，得， 展开整理得：， 移项化简得：， 将代入得， 解得． 【变式2】若关于x的分式方程有增根，则a的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，掌握解分式方程的方法，分式方程的增根是解题的关键．先根据解分式方程的方法，把分式方程转变为整式方程，求出，然后再根据分式方程有增根，可得，求出，由此可得，再解一元一次方程即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：． 分式方程有增根， ，即， ， 解得：． 故选：B． 【变式3】已知有增根，则______． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键．将原方程去分母后并整理，然后将增根代入该方程中解得a的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 原方程有增根， ， ， ， 解得：， 故答案为：1． 【变式4】（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的情况； （1）根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出的值即可． 【详解】解：（1）∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 去分母得：， 移项得：， 解得： ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 题型5. 根据分式方程无解求解 【例1】若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，分式方程无解即方程有增根，分母为零的情况，化简方程后，解出x关于m的表达式，当解为增根时方程无解即可求出m的值． 【详解】解：∵原方程：， 两边同乘（假设）： ， ∴， 即， 由于分母，当时方程有增根，无解， ∴， 解得， 故当时方程无解， 故选D． 【例2】关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 【答案】(1)分式方程的解为 (2)n的值为或或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法，分式方程的增根是解题的关键． （1）把代入分式方程，得，根据解分式方程的方法，先变形为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后检验即可； （2）先根据解分式方程的方法，求出再根据分式方程无解，得出或，，进而求出答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程为：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴或，或， 当时，， 当时， ∵， ∴， ∵或， ∴或， ， 解得：，， ∴如果分式方程无解，n的值为或或． 【变式1】若关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．4或 B．或 C．1或或6 D．1或4或6 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，先将分式方程去分母，化为整式方程，再分和两种情况解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并，得， 当时，方程无解； 当时，， 因为分式方程无解，且分式方程的增根为或， 所以或， 解得：或， 综上，k的值为1或或6， 故选：C． 【变式2】已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，根据原方程无解得到是原方程的增根，则，解之即可得到答案． 【详解】解：方程两边同时乘以得， 解得， ∵原分式方程无解， ∴是原方程的增根， ∵分式方程有增根的条件是分母为0， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 【变式3】已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． （1）把代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意； （2）根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解”由此即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入分式方程，得， 方程两边乘，得， 整理得，， 解得，， 检验：把代入， 是原分式方程的解． （2）解：， 当时，， 方程两边都乘最简公分母，得， 整理，得， 原分式方程无解， ， 解得，， 把代入， 当时，， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，． 题型6. 根据分式方程解的其他情况求解 【例1】如果方程的解为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，将代入分式方程解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：C． 【例2】关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为非负数列不等式求解，最后根据增根的约束条件得到不等式，即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于的方程的解是非负数 ∴， 解得， ∵是增根， ∴ ∴， ∴的取值范围是且． 【例3】若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据x的值非负，且不能有增根得到，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵x的值非负， ∴， ∴且． 【变式1】已知关于的分式方程解为负数，则的值为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围． 【详解】解：， ， 解得， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， ∵， ∴， 即， 解得， ∵时，不可能取， ∴； 故选：A． 【变式2】已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，表示出分式方程的解是解本题的关键． 先求解分式方程，得到解，根据解为负数且分母不为零的条件，列出不等式和排除条件即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴分母， ∴， ∵解为负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：B． 【变式3】若整数a使关于x的不等式组有且只有三个整数解，且使关于y的方程的解为非正数，则符合条件的所有整数a的和为______． 【答案】15 【分析】本题考查了解不等式组，分式方程，先整理不等式组得，结合不等式组有且只有三个整数解，则，即，再整理，得，根据解为非正数，则或5或6，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得：， 由得：， 原不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解应为4，3，2， ， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， 该分式方程的解为非正数，且a为整数， ，，且a为整数， 或5或6， 则， 故答案为： 【变式4】已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的和为_________． 【答案】70 【分析】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．先解出分式方程，得到，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解，同时注意分式有意义的条件． 【详解】解：由解得：， ，且且， ，且，且, 解得：且， 为整数， 为 ∴符合条件的k值的和为： ． 故答案为：70． 【变式5】小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）把？代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为，去分母后把增根代入整式方程求解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：设？为m，则分式方程为， 方程两边同时乘得 整理得， 由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即 所以把代入得，解得， 所以，原分式方程中“？”代表的数是． 题型7. 分式方程中的行程问题 【例1】某校组织部分学生步行2千米到纪念馆参加活动，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为行程问题列方程题，先统一单位，再根据“原计划用时实际用时提前到达的5分钟”的等量关系列方程即可． 【详解】解：2千米米， ∵实际行进速度比原计划快，原计划速度为米/分， ∴实际速度为 （米/分）， ∴原计划用时为分钟，实际用时为分钟， ∵队伍提前5分钟到达， ∴列方程得． 【例2】A市与甲、乙两地的距离分别为和，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． 【答案】 从A市开往甲地的列车速度为，从A市开往乙地的列车速度为 【分析】本题利用“时间=路程÷速度”的关系，设出开往甲地的列车速度，再表示出开往乙地的速度，根据两地所需时间相等列出分式方程，求解检验后即可得到结果． 【详解】解: 设从A市开往甲地的列车速度为km/h，则从A市开往乙地的列车速度为， 根据题意得， ， 解得， 经检验 是原方程的解，且符合题意， ， 答：从A市开往甲地的列车速度为，从A市开往乙地的列车速度为． 【变式1】一艘轮船在静水中航行的速度是，顺水航行后返回，返回时用同样的时间只航行了．求水流的速度． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用（流水行船问题），熟练掌握“顺水速度静水速度水流速度、逆水速度静水速度水流速度”的关系，并根据时间相等的条件建立方程是解题的关键． 设水流速度为未知数，根据“顺水航行的时间与逆水航行的时间相等”，结合顺水、逆水速度与静水速度、水流速度的关系列方程求解． 【详解】解：设水流的速度为．则顺水速度为，逆水速度为，由题意可得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：水流的速度为． 【变式2】为了加快长株潭城市群建设与发展，要在长沙和株洲两座城市之间新建一条城际铁路方便出行．铁路建成后，铁路运行里程由现在的70km缩短至60km，城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快110km，运行时间是现行时间的．求该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间． 【答案】该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为 【分析】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程. 利用速度=路程时间，根据“城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快km”，可列出关于x的分式方程，求解并检验，再代入中，即可得到结果. 【详解】解：设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的现行时间是． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以． 答：该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为. 【变式3】司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度是 【分析】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据乘坐型车比乘坐型车少用小时列分式方程求解即可． 【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是， 根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：型车的平均速度是. 题型8. 分式方程中的工程问题 【例1】A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每天多搬5吨，A型机器人搬运100吨所用的时间与B型机器人搬运80吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少化工原料？设A型机器人每天搬运吨化工原料，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等量关系为A型机器人搬运100吨的时间与B型机器人搬运80吨的时间相等，据此列方程即可． 【详解】解：设A型机器人每天搬运吨，则B型机器人每天搬运吨，A型机器人搬运100吨的时间为，B型机器人搬运80吨的时间为， ∵两者所用时间相等， ∴列方程得． 【例2】某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数．（列分式方程求解） 【答案】实际每天生产240个零件，实际完成任务的天数为20天． 【分析】本题考查分式方程的应用，设原计划每天生产x个零件，则实际每天生产个零件，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产x个零件，则实际每天生产个零件， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解． ∴（个）， （天）， ∴实际每天生产240个零件，实际完成任务的天数为20天． 【变式1】甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度比乙队多50m，如果两队各自修建公路，甲队比乙队少用5天． (1)求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？ (2)我市计划修建长度为的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至多安排甲队施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米 (2)20天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路米，根据工作时间工作总量工作效率结合两队各自修建公路时甲队比乙队少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设安排甲工程队施工m天，则安排乙工程队施工天，根据总费用不超过40万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙工程队每天修路米，则甲工程队每天修路米， 依题意，得：， 解得：， 经检验，，都是原方程的解，但负数不合题意应舍去， ， ， 甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米； （2）解：设安排甲工程队施工天，则安排乙工程队施工天， 依题意，得：， 解得：， 又为整数， 的最大值为20． 答：至多安排甲工程队施工20天． 【变式2】某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下宣传语： 根据该宣传语，求每台新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】80 【分析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，是“分式方程”章节的核心考查方向，重点体现“数学建模”思想（将实际问题转化为分式方程求解 ）； 通过设未知数，利用“工作时间 = 工作总量÷工作效率”，结合“时间相同”建立分式方程，再按分式方程解法（去分母、解整式方程、检验 ）求解，突出“找等量关系”（时间相等）和“分式方程验根”（排除增根及不符合实际的解 ）的重要性． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意可得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 故每台新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 【变式3】某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条200米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.2倍，结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米； (2)由于天气等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过32天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，每天至少应多挖掘多少米？ 【答案】(1)6米 (2)4米 【分析】（1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务，列方程求解； （2）设每天还应多挖掘m米．根据完成该项工程的工期不超过32天，列不等式进行分析． 【详解】（1）解：设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的根． 则实际每天挖掘为（米）． 答：实际每天挖掘6米； （2）解：设每天应多挖掘m米， 根据题意得， 解得， 答：至少每天应多挖掘4米． 题型9. 分式方程中的经济问题 【例1】习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“套数总价单价”，结合“第二批购买的套数比第一批少4套”的等量关系列出方程，即可选出正确选项． 【详解】解：∵设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，第二批八折销售， ∴第二批每套的价格为元， ∴第一批购买的套数为，第二批购买的套数为， 又∵第二批购买的套数比第一批少4套， ∴， 因此正确选项为B． 【例2】王林端午节前后两次到某超市购买同一种粽子，节前按标价购买了80元的粽子，节后粽子半价，王林又花费35元购买若干粽子，两次共买了15个粽子，问这种粽子的标价是每个多少元？ 【答案】10元/个 【分析】设这种粽子的标价是x元/个，则第二次购买的价格是元/个，根据“两次共买了15个粽子”建立分式方程求解，即可解题． 找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设这种粽子的标价是x元/个，则第二次购买的价格是元/个， 依题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：这种粽子的标价是10元/个． 【变式1】2026年3月14日至27日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．求每个A种挂件的价格； 【答案】每个A种挂件的价格为25元 【分析】设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元，然后根据“用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个”列出方程，进而求解即可． 【详解】解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元，由题意得： ， 解得； 经检验：是原方程的解， 答：每个A种挂件的价格为25元． 【变式2】某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个 (2)政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购政府预备支出不超过37000元，列出不等式求解，并取最小整数解，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， (元)， ∴单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）解：∵单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过37000元， ∴， 解得， ∴a的最小值为4， 则政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 【变式3】“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一，我校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：45L 电池容量： 油价：8元/L 电价：0.6元 续航里程：千米 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：____________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用___________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为2000元和5300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1) (2)燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元 (3)每年行驶里程大于千米时，新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据总费用除以续航里程，即可得到新能源车每千米行驶费用的代数式； （2）根据燃油车每千米行驶费用比新能源车多元，列分式方程，求解检验后得到两款车的每千米行驶费用； （3）设年行驶里程为未知数，根据新能源车年费用更低列一元一次不等式，求解得到行驶里程的范围． 【详解】（1）解：由表格信息可得，新能源车总费用为（元），续航里程为a千米，因此每千米行驶费用为元． （2）由题意得： 整理得 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 因此燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元． （3）设每年行驶里程为m千米，由题意得： 整理得 解得 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 【变式4】某文具店销售A、B两种型号的文具盒．文具店老板在购进文具盒时发现，A型号文具盒的进价比B型号文具盒的进价少3元；用120元购进A型号文具盒的数量是用80元购进B型号文具盒数量的2倍． (1)求A、B两种型号文具盒的单价． (2)根据市场需要，老板准备购进A、B两种型号的文具盒共100个，要求A型号文具盒的数量不少于B型号文具盒的数量，但不能超过B型号文具盒数量的2倍．已知A型号文具盒的售价为12元，B型号文具盒的售价为14元．设A型号文具盒购进m个． ①求购进A型号文具盒数量m的取值范围． ②若购进的文具盒完全售出，则最大利润是多少？ 【答案】(1)A型号文具盒的单价是9元，B型号文具盒的单价是12元 (2)①；②最大利润为266元 【分析】（1）设B型号文具盒的单价为x元，则A型号文具盒的单价为元．根据题意列出分式方程求解即可； （2）①根据题意，得B型号文具盒购进个，然后列出不等式组求解即可； ②根据（1），可得A型号文具盒单个利润为元，B型号文具盒单个利润为元，得出总利润为．再由不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B型号文具盒的单价为x元，则A型号文具盒的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 所以． 答：A型号文具盒的单价是9元，B型号文具盒的单价是12元． （2）解：①根据题意，得B型号文具盒购进个， 则 解得． ∵m为整数， ∴． 答：购进A型号文具盒数量m的取值范围为． ②根据（1），可得A型号文具盒单个利润为元，B型号文具盒单个利润为元， 总利润为． ∵， ∴， ∴最大利润为266元． 题型10. 分式方程中的和差倍问题 【例1】伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【答案】该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设该车每次换电池服务的时间是分钟，根据“花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， （分钟）， 答：该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【变式1】某公司第一季度总共生产80万部手机．已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部的电影，手机比手机快190秒，设手机的下载速度为，则正确的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据“手机比手机快190秒”列方程即可． 【详解】解：设手机下载速度为， 则手机下载速度为 下载时间为 秒， 下载时间为秒， 所以方程为， 故选B． 【变式2】为落实劳动教育，实施五育并举，某校合理利用空地，开垦校园农场，培养学生的劳动能力．农场去年种植的辣椒共收获50千克，西红柿共收获100千克．由于同学们劳动技能提高，今年的辣椒产量和西红柿产量都比去年增加．学校利用劳动课安排两组同学分别采摘辣椒和西红柿，每小时采摘西红柿的质量是采摘辣椒质量的1.2倍，两组同学同时开始采摘，结果辣椒采摘小组比西红柿采摘小组提前40分钟完成任务，辣椒采摘小组每小时采摘多少千克辣椒? 【答案】辣椒采摘小组每小时采摘60千克辣椒． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设每小时采摘水果千克，则每小时收割蔬菜千克，根据“辣椒采摘小组比西红柿采摘小组提前40分钟完成任务”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设辣椒采摘小组每小时采摘千克辣椒，则西红柿采摘小组每小时采摘千克西红柿， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解. ∴辣椒采摘小组每小时采摘60千克辣椒． 【变式3】某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料． (1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料? (2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框?  (不计材料损耗) 【答案】(1)制作甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米 (2)应安排米材料制作甲种边框 【分析】题目主要考查分式方程及一元一次方程的应用，理解题意，根据题意列出方程是解题关键． （1）设制作一个乙种边框需用材料米，根据题意列出方程求解即可； （2）应安排米材料制作甲种边框，根据题意列出一元一次方程求解即可得出结果； 【详解】（1）解：设制作一个乙种边框需用材料米，则制作一个甲种边框需用材料米， 由题意得： 解得：， 经检验是原分式方程的解， 当时，， 答：制作一个甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米； （2）设应安排米材料制作甲种边框，由题意得： 解得：， 答：应安排米材料制作甲种边框． 题型11. 分式方程的其他实际问题 【例1】在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题根据密度公式，结合已知的密度比和体积差，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设物体A的体积为， ∵物体B的体积比物体A大， ∴物体B的体积为， 根据密度公式，得，， 已知，，， 因此， 化简得， ， ， 解得， ∴物体A的体积为，答案选B． 【变式1】大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图（1）），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端．”如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，设蜡烛火焰倒立的像的高度为，利用比例关系建立方程来求解蜡烛火焰倒立的像的高度即可． 【详解】解：蜡烛火焰的高度与蜡烛火焰倒立的像的高度的比值等于物距与像距的比值． 设蜡烛火焰倒立的像的高度为，则， 解得，经检验其是分式方程的根， 即蜡烛火焰倒立的像的高度为． 故答案为：． 【变式2】照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰． (1)用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？ (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． （1）根据题意列得关于v的分式方程，解方程并检验即可； （2）将代入原式，将其通分并整理后即可求得答案． 【详解】（1）解：  ，代入得： ， 即， 所以， 经检验，是分式方程的解且符合实际， 答：拍摄时胶片到镜头的距离是． （2）当时，， 所以， 解得． 【变式3】为推动绿色发展，我国大力发展新能源，光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将太阳能直接转变为电能的一种技术．现有一光伏发电厂经技术改良，每天的发电量比原来提高，现在发电千瓦比原来发电千瓦少用小时，求该光伏发电厂原来平均每小时的发电量． 【答案】千瓦 【分析】设该光伏发电厂原来平均每小时发电千瓦，根据“现在发电千瓦比原来发电千瓦少用小时”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设该光伏发电厂原来平均每小时发电千瓦， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符号题意， 故该光伏发电厂原来平均每小时的发电量为千瓦． 巩固练习 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：． 2．（2026·湖南·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程，能够掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 先解方程得，再由方程无解得，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ①， ∵关于的方程无解， ∴，即； 把代入①，得，解得． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，将原方程去分母后化为整式方程并整理，然后根据题意列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， ∴且， 解得：且． 4．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为零得到的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到的最终范围，最后找出范围内符合条件的整数． 【详解】解：解方程， 得． ∵分式方程有正数解，且， ∴，且． ∴，且． 解不等式组， 解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组有解， ∴， ∴． 综上所述，的取值范围是，且． 所以符合条件的整数为，，，共个． 5．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据传统配送时间比无人机配送时间多，列方程即可． 【详解】解：∵设传统方式配送速度为，无人机配送速度是传统方式配送速度的倍 ∴无人机配送速度为， ∴传统配送时间为，无人机配送时间为， ∵无人机配送时间比传统方式快，即传统配送时间比无人机配送时间多， ∴列方程得 ． 6．（2026·山东菏泽·一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 【答案】C 【分析】设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过路段时的速度． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 ∴路段的速度是米/秒． 7．（25-26八年级上·广东广州·期末）定义新运算“◎”：，如果，那么的值为（   ）． A．1或3或4 B．1或3 C．1或4 D．3或4 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程，充分理解新定义运算是解题的关键． 首先根据新运算的定义，分两种情况讨论：当和，分别解分式方程，并检验解是否满足条件即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴，解得：， 经检验，，符合，且分母不为零， ∴； 当时，， ∴，解得：， 经检验，符合，且分母不为零， ∴； ∴x的值为1或3， 故选：B． 8．（2026·四川成都·一模）关于的分式方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 9．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【答案】1或2 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意分两种情况求得m的值即可． 【详解】解： 原方程去分母得：， 整理得：， 当时，该方程无解，符合题意， 解得：， 当时，原分式方程无解， 那么， 即， 则， 解得：， 综上，m的值为1或2． 10．（2026·山东济南·二模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 【答案】且 【分析】先解分式方程得到用表示的结果，再根据解为非负数得到，结合分式方程分母不为零得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边同乘，得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不能为， ∴， 解得且． 11．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据新定义运算得到关于的分式方程，再解分式方程并检验即可得到结果． 【详解】解：由定义新运算可知：， 即， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 经检验，是原分式方程的根． 12．（25-26八年级下·山东济南·期中）计算、解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 13．（2026·福建南平·一模）解方程：． 【答案】 【详解】解： ， ， ， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 14．（25-26八年级下·四川宜宾·期中）解方程： 【答案】 【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 15．（2026·陕西榆林·二模）解方程：. 【答案】 【详解】解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 16．（25-26八年级下·河南南阳·期中）在解方程时，小李解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】第一步是去分母；去分母的依据是：等式的基本性质；小李的解答过程不正确，见解析 【详解】解：小李的解法中，第一步是去分母； 去分母的依据是：等式的基本性质； 小李的解答过程不正确；正确的解答过程是： 去分母，得， 整理，得，， 移项并合并，得，， 系数化为1，得，， 检验：当时，． 原分式方程无解． 17．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）定义：如果两个分式M与N的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，， ，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．求所代表的代数式． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整数值” (2) 【分析】（1）先计算，再根据结果即可得解； （2）先求出，再+结合题意得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B是互为“和整分式”， “和整数值”； （2）解：∵，， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴ ． 18．（2026·云南西双版纳·一模）今年春节假期，昆明文旅市场呈现人气足、消费热、年味浓、时尚化的特点．在“文化体验+假日烟火”的双引擎带动下，春节假日经济热力十足，春城递出一张“来了就不想走”的城市名片、外地游客卫先生一家在即将离昆时，特意买了云南特产鲜花饼和小粒咖啡回去送给亲友，已知一盒鲜花饼的价格比一盒小粒咖啡贵40元，花1000元买的鲜花饼的盒数与花600元买的小粒咖啡的盒数相同．一盒鲜花饼和一盒小粒咖啡的价格各是多少元？ 【答案】一盒小粒咖啡的价格为60元，一盒鲜花饼的价格为100元 【分析】设一盒小粒咖啡的价格为元，则一盒鲜花饼的价格为元，根据花1000元买的鲜花饼的盒数与花600元买的小粒咖啡的盒数相同列分式方程求解即可． 【详解】解：设一盒小粒咖啡的价格为元，则一盒鲜花饼的价格为元． 根据题意可得：， 解得． 经检验：是所列方程的解，且符合题目要求， 此时． 答：一盒小粒咖啡的价格为60元，一盒鲜花饼的价格为100元． 19．（2026·云南玉溪·一模）曾是“稀罕物”的牛油果，如今在普洱市孟连县扎根落户，成为云南边境地区由“种得出”向“卖得好”转型的农业“新品牌”．某牛油果加工厂里，吴师傅和郑师傅正在包装牛油果，准备发往全国各地．吴师傅每小时包装的牛油果数量比郑师傅少20千克，吴师傅包装900千克牛油果所用时间与郑师傅包装1000千克牛油果所用时间相等．吴师傅和郑师傅每小时分别包装多少千克牛油果？ 【答案】吴师傅每小时包装180千克牛油果，郑师傅每小时包装200千克牛油果 【分析】设吴师傅每小时包装千克牛油果，则郑师傅每小时包装千克牛油果，列分式方程解决实际问题． 【详解】解：设吴师傅每小时包装千克牛油果，则郑师傅每小时包装千克牛油果． 根据题意可得：， 解得， 检验：∵时，． ∴原分式方程的解为，则． ∴吴师傅每小时包装180千克牛油果，郑师傅每小时包装200千克牛油果． 20．（25-26八年级下·重庆·期中）2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高，若用360元等额资金分别购进A、B两类配件，则A类配件的数量比B类配件的数量少3个． (1)求A、B两类机器人配件每个的进价； (2)3月，该科技店用5400元购进A类配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 【答案】(1) A类配件每个进价72元，B类配件每个进价45元 (2) 购进A类配件50个，B类配件40个 【分析】（1）设B类配件的进价为未知数，根据A、B进价的关系表示出A的进价，再结合“360元购买时A的数量比B少3个”列分式方程求解； （2）设购进两类配件的数量，根据总进价和总利润列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设B类配件每个进价为元，则A类配件每个进价为（元）， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 则， 答：A类配件每个进价72元，B类配件每个进价45元． （2）解：设购进A类配件个，购进B类配件个， 根据题意可得 解得， 答：购进A类配件50个，B类配件40个． 21．（2026·山西·一模）现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价． 【答案】青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元． 【分析】设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元，根据数量差列方程并 解方程即可． 【详解】解：设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元． 22．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续多年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破近20万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购，两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 【答案】(1)型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料 (2)17台 【分析】（1）根据题意列出分式方程并求解； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料， 根据题意列分式方程得，， 解得， 经检验，是所列方程的解且符合题意； 当时， ， 答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料； （2） 解：设购进型机器人台，则购进型机器人台， 则有 ， 解得， ∵是整数， ∴； 答：至少购进型机器人17台． 23．（2026·重庆綦江·二模）2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． (1)若购进甲型机器人3台，乙型机器人4台，共耗资27万元；若购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入120万元分别进行采购，因市场竞争激烈和产品迭代升级，甲型机器人的进价每台降低a万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求a的值． 【答案】(1)甲型机器人每台的进价为5万元，乙型机器人每台的进价为3万元 (2)a的值为 【分析】（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为x、y万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为x、y万元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲型机器人每台的进价为5万元，乙型机器人每台的进价为3万元． （2）解：根据题意得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：a的值为． 24．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26八年级下·重庆万州·月考）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 26．（25-26八年级下·湖南衡阳·阶段检测）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式友好分式．如与，因为，所以是的友好分式． (1)分式__________分式的友好分式（填是或不是）； (2)小明在求分式的友好分式时，用了以下方法； 设的友好分式为，则， ． 请你仿照小明的方法求分式的友好分式． (3)①若分式的友好分式的值是正整数，求整数的值． ②若是的友好分式（，为整数），则的值为_____． 【答案】(1)是 (2) (3)①，；②． 【分析】（1）根据友好分式的定义，分别计算两个分式的差与积，比较二者是否相等，完成判断． （2）仿照示例，设分式的友好分式为，根据定义列方程，通过移项、整理求解． （3）①先根据定义求出分式的友好分式，再根据其值为正整数，结合整数的性质求解的取值；②根据友好分式的定义列等式，通分后对比等式两边的系数，建立关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】（1）解： ， ， ， 是的友好分式； （2）解：设的友好分式为，根据定义得： ， ， ， ， ， ， ∴分式的友好分式为； （3）解：①设的友好分式为，根据定义得： ， ∴， 是正整数，为整数， 为整数，且， 为的非零因数，且． 当时，，不符合正整数，舍去； 当时，，符合； 当时，，不符合； 当时，，符合． 综上，整数的值为，． ②根据友好分式定义，其中，，得 ， ， ∴ ∴， ∴ 由方程得： ， 或． 当时，代入方程得 ∴， 本方程中，常数项为，首项系数为，因此可能的有理根为，． 代入：， 代入：， 代入：， 代入：， ∴该方程无有理根，故方程无整数解，舍去． 当，即时，代入方程得 ， ∴， ∴ 或（舍去）， 当时，． ， ∴的值为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $