第三单元 第 1 课时 乘法的意义和乘除法的关系（讲义）2026-2027学年四年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦乘法的意义、乘除法互逆关系及0和1的特殊运算等核心知识点，承接三年级表内乘除法及两位数乘除口算基础，为后续学习数量关系、运算律等筑牢理论基石，构建完整的整数乘除法认知支架。 该资料以模型思想构建“因数×因数=积”运算模型，通过分层练习（基础到思维拓展）提升运算能力与推理意识，结合易错预警精准避坑。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，深化对运算本质的理解。

第 1 课时 乘法的意义和乘除法的关系 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心学习方法图谱记忆 1 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：乘法的意义与各部分名称（基础核心） 3 考点二：除法是乘法的逆运算（核心必考） 5 考点三：0 和 1 的特殊运算（重点易错） 6 第三部分 高频易错预警与避坑指南 8 易错点 1：乘法意义理解偏差，不同加数也用乘法 8 易错点 2：乘除互逆转换错位，因数与积对应混乱 8 易错点 3：忽略 “0 不能作除数”，表述不严谨 8 易错点 4：1 的运算混淆，误认为除以 1 得 1 9 易错点 5：有余数除法验算，遗漏加余数 9 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 10 一、基础夯实达标练（6 题） 10 二、能力拓展提升练（4 题） 12 三、思维拓展培优练（2 题） 13 四、 数学活动拓展 13 第五部分 习题精准解析与知识点睛 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版四年级上册第三单元《乘法数量关系》的起始概念课，承接三年级表内乘除法、两位数乘两位数与除数是两位数的口算除法的计算基础，系统梳理乘法的本质意义、乘除法的互逆关系及 0 与 1 的特殊运算规律，是整数乘除法运算体系的核心理论课，也是后续学习常见数量关系、运算律、四则混合运算的重要基石。 本课时核心掌握乘法的意义与各部分名称、除法是乘法的逆运算、乘除法各部分间的关系、0 和 1 的特殊运算规则、乘除法的验算方法、生活场景实际应用六大核心内容。全课时建立 “意义建构 — 关系探究 — 特例归纳 — 验算应用 — 实践巩固” 的完整认知路径，围绕运算能力、推理意识、模型意识、应用意识四条新课标核心素养主线，帮助学生建立完整的乘除法认知体系，深化对运算本质的理解，为后续复杂运算与问题解决筑牢理论根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 乘法的意义 乘法的定义、各部分名称、乘法与加法的联系 加法转化法、概念识记法 混淆乘法与加法的适用前提，任意连加都用乘法表示 乘除法互逆关系 除法是乘法的逆运算，乘除法各部分对应转换 逆运算推导法、对比辨析法 搞不清乘除法的对应关系，转换时因数和积的位置混淆 0 和 1 的运算特性 0、1 在乘除法中的运算规则，0 不能作除数 特例归纳法、对比记忆法 忽略 0 不能作除数的限定，混淆 1 的乘除运算规律 乘除法验算 利用乘除互逆关系验算计算结果 逆运算法、交叉验证法 验算方法使用错误，无法发现计算偏差 实际应用 结合购物、平均分等场景解决问题 数量关系法、场景建模法 数量关系判断错误，乘除方法选用不当 二、核心学习方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 意义判断法 乘法意义辨析题型 核查加数是否完全相同→是则可改写为乘法→写出对应算式 乘法是简算，相同加数连加，个数乘加数 逆运转换法 乘除法算式互转题型 乘法的积对应除法被除数→两个因数分别对应除数和商→写出除法算式 乘转除，积当被，因数分作除和商 关系式解题法 求乘除法未知数题型 明确已知量与未知量→匹配对应关系式→列式计算 求啥先找关系式，对应列式算准确 逆运验算法 乘除法计算验算题型 乘法用积 ÷ 一个因数验证；除法用商 × 除数验证 乘法用除验，除法用乘验，逆运算检验，结果更准确 特例记忆法 0 和 1 的运算题型 分类归纳运算规则→牢记核心限定→解题直接应用 0 乘任何数得 0，1 乘任何数得原数，0 作除数无意义 三、课时数学思想与素养提升 1. 模型思想：乘除法运算的关系模型 核心要义：提炼出 “因数 × 因数 = 积”“被除数 ÷ 除数 = 商” 的通用运算模型，以及乘除法互逆转换的对应规律，构建完整的整数乘除法运算体系，培养模型意识与抽象概括能力。 典型范式：根据乘法算式，可推导出两道除法算式、，一道乘法对应两道除法，直观体现乘除法的互逆模型。 2. 逆运算思想：运算关系的辩证认知 核心要义：除法是乘法的逆运算，二者既对立又统一，可互相转化、互相验证，通过逆运算的辩证认知培养严谨的运算思维与推理意识。 典型范式：计算乘法后可用除法验算，计算除法后可用乘法验算，通过逆运算交叉验证结果的正确性，是逆运算思想的直接应用。 3. 转化思想：加法向乘法的转化 核心要义：求几个相同加数的和，可转化为乘法计算，将繁琐的连加运算简化为乘法运算，体现化繁为简的转化思想，培养转化意识与运算能力。 典型范式：计算，4 个 15 连加，可转化为快速计算，体现了加法向乘法的转化价值。 4. 应用思想：运算规律的生活落地 核心要义：乘除法的意义与关系广泛应用于购物计价、平均分、倍数问题等生活场景，是解决实际问题的核心运算工具，体会数学规律的实用价值，培养应用意识。 典型范式：已知单价和数量求总价用乘法，已知总价和单价求数量用除法，是乘除法关系在生活中的直接体现。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：乘法的意义与各部分名称（基础核心） 典型例题 1（基础层级）—— 意义辨析 题目：下面的加法算式中，哪些能改写成乘法算式？能改写的写出来，不能的说明理由。 （1） （2） （3） 思路点拨： ① 回忆乘法的定义：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法，只有加数完全相同的连加算式才能改写为乘法。 ② 逐个分析：第（1）题加数都是 6，共 4 个 6，可改写为或；第（2）题加数为 4、4、5，不完全相同，不能改写；第（3）题加数都是 9，共 5 个 9，可改写为或。 ③ 总结判断标准：核心看加数是否完全一致，相同加数的个数即为其中一个因数，相同加数为另一个因数。 【答案】 （1）可以改写，或； （2）不可以改写，因为加数不相同，不符合乘法的意义； （3）可以改写，或。 【知识点睛】 1. 乘法的定义：。 2. 各部分名称：相乘的两个数叫做因数，乘得的结果叫做积。 3. 核心限定：只有加数完全相同的连加算式，才能用乘法简便计算；加数不同时，不能直接改写为乘法。 4. 两种表述：乘法既可以表示 “几个几相加的和”，也可以表示 “一个数的几倍是多少”，二者本质一致。 典型例题 2（提升层级）—— 意义解读 题目：说一说算式表示的两种含义。 思路点拨： ① 从加法意义理解：表示 4 个 12 相加的和是多少，即； ② 从倍数意义理解：表示 12 的 4 倍是多少； ③ 可结合生活场景举例，如每本书 12 元，买 4 本的总价，进一步验证两种含义的统一性。 【答案】表示 4 个 12 相加的和是多少，也表示 12 的 4 倍是多少。 【知识点睛】 乘法的意义有两类核心表述：一是求几个相同加数的和，二是求一个数的几倍是多少。解题时需结合具体语境判断，但运算本质完全一致，都遵循乘法的计算法则。 典型例题 3（拓展层级）—— 求未知因数 题目：已知两个因数的积是 96，其中一个因数是 16，另一个因数是多少？ 思路点拨： ① 回忆乘法各部分的关系：因数 × 因数 = 积，因此一个因数 = 积 ÷ 另一个因数； ② 代入数据计算：； ③ 反向验证：，与已知积一致，结果正确。 【答案】 ，另一个因数是 6。 【知识点睛】 已知积和其中一个因数，求另一个因数，用除法计算，关系式为： 这是乘除法互逆关系的直接体现，也是乘法验算的核心理论依据。 考点二：除法是乘法的逆运算（核心必考） 典型例题 1（基础层级）—— 乘除互转 题目：根据乘法算式，写出两道对应的除法算式。 思路点拨： ① 明确乘除法的对应关系：乘法中的积，对应除法中的被除数；乘法中的两个因数，分别对应除法中的除数和商。 ② 第一道除法：用积除以第一个因数，得到第二个因数，即； ③ 第二道除法：用积除以第二个因数，得到第一个因数，即。 【答案】 ； 【知识点睛】 1. 除法的定义：。 2. 核心关系：。一道乘法算式通常可以写出两道除法算式，积作为被除数，两个因数分别作为除数和商。 3. 各部分对应：乘法的积 ↔ 除法的被除数；乘法的因数 ↔ 除法的除数 / 商。 典型例题 2（提升层级）—— 除法各部分关系 题目：被除数是 192，商是 12，除数是多少？ 思路点拨： ① 回忆除法各部分关系：被除数 ÷ 除数 = 商，因此除数 = 被除数 ÷ 商； ② 代入计算：； ③ 验算：，与被除数一致，结果正确。 【答案】，除数是 16。 【知识点睛】 无余数除法的三大核心关系式： 1. 商 = 被除数 ÷ 除数 2. 除数 = 被除数 ÷ 商 3. 被除数 = 商 × 除数 已知任意两个量，都可通过对应关系式求出第三个量。 典型例题 3（拓展层级）—— 有余数的乘除关系 题目：根据除法算式，写出对应的乘法验算算式。 思路点拨： ① 回忆有余数除法的各部分关系：被除数 = 商 × 除数 + 余数； ② 对应数据：商 12，除数 7，余数 1，被除数 85； ③ 写出验算算式：； ④ 验证：，，与被除数相等，验算成立。 【答案】 【知识点睛】 有余数的除法中，乘除法的互逆关系为： 这是有余数除法的验算依据，注意余数必须小于除数。 考点三：0 和 1 的特殊运算（重点易错） 典型例题 1（基础层级）—— 口算规律 题目：直接写得数，并总结对应的运算规律。 思路点拨： ① 0 的运算部分：0 和任何数相乘都得 0，因此，；0 除以任何非 0 的数都得 0，24 和 36 均不为 0，因此，。 ② 1 的运算部分：1 和任何数相乘都得原数，因此，；一个数除以 1 仍得原数，因此；两个相同的非 0 数相除，商是 1，因此。 ③ 分类总结规律，重点标注 “0 不能作除数” 的限定条件。 【答案】0；0；0；0 ；56；78；63；1 【知识点睛】 0 的运算规则 1. ； 2. ； 3. 0 不能作除数：0 作除数时，要么找不到对应的商，要么商不唯一，没有数学意义。 1 的运算规则 1. ； 2. ； 3. 两个相同的非 0 数相除，商是 1。 典型例题 2（提升层级）—— 概念判断 题目：判断下列说法是否正确，说明理由。 （1）0 除以任何数都得 0。 （2）一个数乘 1 的结果，一定比这个数除以 1 的结果大。 （3）两个数相乘的积，一定大于其中任意一个因数。 思路点拨： ① 第（1）题：“任何数” 包含 0，但 0 不能作除数，因此表述错误，必须强调 “除以任何不是 0 的数”。 ② 第（2）题：一个数乘 1 和除以 1，结果都等于原数，二者相等，因此说法错误。 ③ 第（3）题：举反例验证，比如一个因数是 0 时，积为 0，小于另一个因数；一个因数是 1 时，积等于另一个因数，因此说法错误。 【答案】 （1）错误。理由：0 不能作除数，正确表述应为 “0 除以任何不是 0 的数都得 0”。 （2）错误。理由：一个数乘 1 和除以 1，结果都等于原数，二者相等。 （3）错误。理由：当其中一个因数是 0 或 1 时，积不大于另一个因数，例如，积小于 5。 【知识点睛】 判断乘除法相关的概念题，要重点关注 0 和 1 这两个特殊数的运算特性，它们往往是概念辨析题的易错陷阱。解题时可通过举反例的方式验证说法的正确性。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：乘法意义理解偏差，不同加数也用乘法 错误范式：将错误改写为，忽略第三个加数不相同。 成因剖析：对乘法 “相同加数” 的核心前提记忆不牢，误以为只要是连加就能用乘法。 避坑方案：牢记 “乘法是相同加数连加的简便运算，加数必须完全一致”。 口诀：乘法简算有前提，加数相同才可以，加数不同不能乘，老老实实加起来。改写前先逐一核对所有加数，完全相同再改写。 易错点 2：乘除互逆转换错位，因数与积对应混乱 错误范式：根据，错误写出，积与因数的位置完全颠倒。 成因剖析：对乘除法的对应关系理解不清，不知道乘法的积对应除法的被除数。 避坑方案：牢记 “乘转除，积当被除数，两个因数分作除数和商”。 口诀：乘法积是被除数，两个因数分两处，一个作除一个商，两道除法不重样。转换前先标出积和因数，再对应写除法算式。 易错点 3：忽略 “0 不能作除数”，表述不严谨 错误范式：表述 “0 除以任何数都得 0”，遗漏 “非 0” 的限定条件。 成因剖析：对 0 的运算规则记忆不完整，只记住了结果为 0，忽略了除数的限定。 避坑方案：牢记 “0 作除数无意义，除法中除数不能为 0”。 口诀：0 作除数没意义，除以非 0 才得 0，表述一定要严谨，漏掉前提就出错。遇到 0 的除法题目，先确认除数不为 0 再计算。 易错点 4：1 的运算混淆，误认为除以 1 得 1 错误范式：计算时，错误得出结果 1，混淆了 “一个数除以 1” 和 “两个相同数相除” 的规则。 成因剖析：对 1 的两类除法规则记忆混淆，区分不清适用场景。 避坑方案：分类记忆 1 的运算：乘 1、除以 1 都得原数；自己除以自己（非 0）才得 1。 口诀：乘 1 除 1 都不变，自己除自己得 1，两类规则分清楚，做题才不会出错。 易错点 5：有余数除法验算，遗漏加余数 错误范式：验算有余数的除法时，只用商 × 除数，忘记加上余数，导致验算结果与被除数不符。 成因剖析：混淆了无余数和有余数除法的验算方法，直接套用无余数的验算公式。 避坑方案：牢记 “有余数除法验算，商乘除数加余数，等于被除数才正确”。 口诀：有余数，来验算，商乘除数加余数，结果等于被除数，计算正确才算数。验算后比对被除数，一致才算验算通过。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）求几个（ ）加数的和的简便运算，叫做乘法。 （2）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做（ ）。 （3）除法是乘法的（ ）运算。 （4）乘任何数都得（ ）；除以任何（ ）的数，都得；（ ）不能作除数。 （5）和任何数相乘，都得（ ）；任何数除以，都得（ ）。 （6）根据，写出两道除法算式：（ ）、（ ）。 2. 判断： （1）所有的加法算式都能改写成乘法算式。（ ） （2）除法是乘法的逆运算。（ ） （3）。（ ） （4）验算乘法只能用交换因数再乘一遍的方法。（ ） （5）相同的两个数相除（0 除外），商是 1。（ ） 3. 选择： （1）下面算式中，能改写成乘法的是（ ）。 A. B. C. （2）已知两个因数的积是 72，其中一个因数是 8，求另一个因数，列式是（ ）。 A. B. C. （3）下面说法正确的是（ ）。 A. 0 除以任何数都得 0 B. 0 不能作除数 C. 1 乘任何数都得 1 （4）一个数除以 1，所得的商（ ）。 A. 大于原数 B. 等于原数 C. 小于原数 4. 计算并验算： （1） （2） 5. 列式计算： （1）一个数乘 24 得 720，这个数是多少？ （2）被除数是 312，商是 26，除数是多少？ （3）一个数除以 15，商是 12，余数是 8，这个数是多少？ 6. 说理题： 请你说一说，乘法和除法之间有什么关系？关于 0 和 1 的乘除法运算，有哪些重要规则？ 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）在一道乘法算式中，积是其中一个因数的 18 倍，另一个因数是（ ）。 A. 18 B. 1 C. 无法确定 （2）如果（无余数），下面正确的是（ ）。 A. B. C. （3）一个数（0 除外）乘 0，得到的积与这个数相比，（ ）。 A. 积大 B. 原数大 C. 相等 8. 填空： （1） （2）一道除法算式中，除数是 16，商是 15，余数最大是（ ），此时被除数是（ ）。 （3）根据，直接写出得数：，。 （4）一个数乘 1，除以 1，结果（ ）。 9. 解决问题： （1）文具店购进 18 盒钢笔，每盒钢笔售价 125 元，这批钢笔一共可以卖多少元？用乘除法关系验算。 （2）学校采购一批跳绳，一共花了 336 元，每根跳绳售价 8 元，学校一共采购了多少根跳绳？ 10. 探究题： 小明计算一道除法题时，把除数 9 看成了 6，结果得到的商是 24，且没有余数。正确的商应该是多少？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 被除数、除数、商三个数的和是 127，已知商是 7，没有余数。被除数和除数各是多少？ 12. 小虎计算有余数的除法时，把被除数 137 错写成了 173，结果商比原来多了 4，余数恰好相同。这道题的除数和余数各是多少？ 四、 数学活动拓展 实践活动：生活中的乘除法大发现 活动任务： 1. 寻找生活中 3 个能用乘法或除法解决的实际问题，记录相关数据； 2. 分别列式解答，并用乘除互逆关系验算结果； 3. 和同学分享你的发现，说一说乘除法在生活中的应用价值； 4. 自编一道乘除法实际应用题，和同学交换解答。 要求：通过真实场景的调查与实践，深化对乘除法意义和关系的理解，体会数学与生活的联系，提升应用意识与实践能力。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）相同 （2）除法 （3）逆 （4）0；不是 0；0 （5）原数；原数 （6）； 思路点拨： ① 乘法定义的核心关键词； ② 除法的定义； ③ 乘除法的互逆关系； ④ 0 的运算规则，重点标注 0 不能作除数； ⑤ 1 的运算规律； ⑥ 一道乘法对应两道除法，积作被除数。 【知识点睛】基础概念识记题型，全面覆盖乘法意义、除法定义、互逆关系、0 和 1 的运算规则，夯实概念基础。 2. 【答案】（1）× （2）√ （3）× （4）× （5）√ 思路点拨： ① 只有相同加数的加法才能改乘法，错误； ② 除法是乘法的逆运算，正确； ③ 0 不能作除数，算式无意义，错误； ④ 乘法还可以用除法验算，错误； ⑤ 非 0 的相同数相除商为 1，正确。 【知识点睛】概念辨析题型，针对性规避核心易错点，深化对概念的精准理解。 3. 【答案】（1）B （2）B （3）B （4）B 思路点拨： ① B 选项加数全为 7，可改写为乘法，选 B； ② 求另一个因数用除法，选 B； ③ 0 不能作除数表述正确，选 B； ④ 一个数除以 1 商等于原数，选 B。 【知识点睛】基础选择题型，考查乘法意义、各部分关系、特殊数运算，训练基础应用能力。 4. 【答案】 （1） 验算：，结果正确。 （2） 验算：，结果正确。 思路点拨： 先按运算法则计算，再利用乘除法互逆关系验算，确保结果准确。 【知识点睛】基础计算题型，巩固乘除法计算与验算方法，培养验算习惯。 5. 【答案】 （1） 答：这个数是 30。 （2） 答：除数是 12。 （3） 答：这个数是 188。 思路点拨： 先判断所求量，对应乘除法各部分关系式列式；有余数的除法用 “商 × 除数 + 余数” 求被除数。 【知识点睛】列式计算题，考查乘除法各部分关系的灵活应用，强化关系式的理解与运用。 6. 【答案】 关系：除法是乘法的逆运算；乘法的积对应除法的被除数，两个因数分别对应除法的除数和商。 重要规则： · 0 的运算：0 乘任何数都得 0；0 除以任何非 0 的数都得 0；0 不能作除数。 · 1 的运算：1 乘任何数都得原数；任何数除以 1 都得原数；两个相同的非 0 数相除，商是 1。 · 思路点拨： · 从互逆关系、0 和 1 的运算规则两个维度阐述，逻辑清晰，覆盖核心要点。 · 【知识点睛】概念归纳题型，培养总结概括能力，深化对乘除法关系的整体认知。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）A （2）C （3）B 思路点拨： ① 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数，积是一个因数的 18 倍，另一个因数就是 18，选 A； ② 被除数 = 商 × 除数，选 C； ③ 任何数乘 0 都得 0，原数更大，选 B。 【知识点睛】综合应用题型，考查各部分关系、特殊数运算的灵活应用，提升推理能力。 8. 【答案】 （1）113 （2）15；255 （3）24；36 （4）相等（都等于原数） 思路点拨： ① 被除数 = 商 × 除数 + 余数，； ② 余数小于除数，最大为 15，被除数 =； ③ 根据乘除互逆直接写结果； ④ 乘 1 和除以 1 结果都等于原数。 【知识点睛】进阶填空题，考查有余数除法、乘除互逆、1 的运算特性，强化综合应用能力。 9. 【答案】 （1）总价：（元） 验算：（元），单价正确。 答：这批钢笔一共可以卖 2250 元。 （2）数量：（根） 验算：（元），总价正确。 答：学校一共采购了 42 根跳绳。 思路点拨： 结合购物场景，根据 “总价 = 单价 × 数量” 及其变形列式，并用乘除互逆验算。 【知识点睛】综合应用题，结合生活场景考查乘除法应用与验算，提升分析与解决问题的能力。 10. 【答案】 先求不变的被除数： 正确的商： 答：正确的商是 16。 思路点拨： 先根据错误的除数和商求出被除数，再用被除数除以正确的除数得到正确的商。 【知识点睛】错中求解题型，培养逆向思维与逻辑推理能力。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】被除数是 105，除数是 15 思路点拨： 商是 7，说明被除数是除数的 7 倍；三数之和 127 减去商 7，剩下的 120 是被除数与除数的和，对应除数的倍。 除数： 被除数： 【知识点睛】和倍问题与乘除法关系结合的拓展题，培养综合推理与应用能力。 12. 【答案】 被除数增加了： 商多了 4 且余数相同，说明增加的被除数等于 4 个除数。 除数： 余数：，余数是 2。 答：除数是 9，余数是 2。 思路点拨： 余数相同时，被除数的差除以商的差即为除数，再代入原式求余数。 【知识点睛】错中求解拓展题，培养逻辑推理与综合分析能力。 四、 数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 生活调查：收集购物计价、物品平均分、倍数计算等场景的乘除法问题，记录相关数据； 2. 计算实践：对每个问题列式计算，用乘除互逆关系验算结果，确保计算准确； 3. 分享交流：和同学分享调查结果，讨论乘除法在生活中的广泛应用，如购物结算、物品分配、行程测算等； 4. 拓展延伸：自编一道乘除法实际应用题，和同学交换解答，互相批改，巩固乘除法的意义与关系。 【知识点睛】通过真实生活场景的实践，整合乘除法的意义、关系、计算、验算等知识，提升应用意识、实践探究能力与合作交流能力，让学生在真实场景中感受数学的实用价值，落实运算能力与应用意识核心素养的培养目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $