第4练 一元二次不等式专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦一元二次不等式全题型突破，以问题链串联概念理解、参数讨论与实际应用，提炼分类整合、模型转化等可迁移方法，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|题1-2|分式不等式整式化、二次项系数分类讨论|从解集概念到含参不等式解法，构建“形式→等价转化→解集”逻辑链| |应用与综合|题3-8|实际问题建模、恒成立分离参数法、根与系数关系转化|联结函数最值、方程根分布与不等式，形成“问题情境→数学抽象→运算求解”应用链条|

第4练　一元二次不等式 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.不等式≥0的解集为(　　) A. B. C.∪[1，+∞) D.∪(1，+∞) 2.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　) A.a≤2 B.-2≤a≤2 C.-2<a≤2 D.a<-2 3.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价的方式来增加利润.已知这种商品每件的售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售单价应定为(　　) A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间 4.当0<a<1时，关于x的不等式(x-3)[(1-a)x+(a-3)]<0的解集为(　　) A.∪(3，+∞) B.(-∞，3)∪ C. D. 5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若对于任意的x∈[1，3]，f(x)<-m+4恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A.m< B.0≤m< C.m<0或0<m< D.m≤0 6.已知关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集为(-∞，m)∪其中m≤-2，则+的最小值为(　　) A.-4 B.4 C.5 D.8 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4} C.不等式cx2-bx+a<0的解集为 D.a+b+c>0 8.已知关于x的方程mx2-mx+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<x2，则下列说法正确的是(　　) A.m<0或m>4 B.若x1<0，则关于x的不等式mx2-mx+1>0的解集为{x|x1<x<x2} C.若x1>0，则+-(x1-x2)2的最小值为3 D.若x1<0，当x=时，函数y=mx2-mx+1取得最大值 9. (2025高一上·祁东期中) 已知不等式的解集为， 则下列结论正确的是 （ ） A.  B.  C.  D.  三、填空题(每小题5分，共10分) 10.设矩形ABCD(AB>BC)的周长为12+6把它沿对角线AC对折后，设AB交DC于点P，此时点B记作B'，如图所示，设AD=x，DP=y，则△ADP面积的最大值为　　　　. 11.若关于x的不等式x2-(2a+1)x+2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是　　　　　　　　　. 四、解答题（12分） (2026·深圳月考) 已知函数 (1) 若在上恒成立，求实数的取值范围； (2) 解关于的不等式. 第4练　一元二次不等式 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.不等式≥0的解集为(　　) A. B. C.∪[1，+∞) D.∪(1，+∞) 答案　D 解析　由≥0，得解得x≤-或x>1. 2.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　) A.a≤2 B.-2≤a≤2 C.-2<a≤2 D.a<-2 答案　C 解析　当a=2时，原不等式化为-4<0，显然恒成立；当a≠2时，不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立， 则有a-2<0且Δ<0， 即解得-2<a<2. 综上可得，-2<a≤2. 3.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价的方式来增加利润.已知这种商品每件的售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售单价应定为(　　) A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间 答案　C 解析　设销售单价应定为x元，利润为y元， 则y=(x-8)[100-10(x-10)]， 依题意有(x-8)[100-10(x-10)]>320， 即x2-28x+192<0，解得12<x<16， 所以销售单价应定为12元到16元之间. 4.当0<a<1时，关于x的不等式(x-3)[(1-a)x+(a-3)]<0的解集为(　　) A.∪(3，+∞) B.(-∞，3)∪ C. D. 答案　C 解析　当0<a<1时，1-a>0， 不等式(x-3)[(1-a)x+(a-3)]<0可化为(x-3)<0， 因为-3== 且0<a<1，所以>0，即>3， 解原不等式，得3<x< 所以原不等式的解集为. 5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若对于任意的x∈[1，3]，f(x)<-m+4恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A.m< B.0≤m< C.m<0或0<m< D.m≤0 答案　A 解析　若对于任意的x∈[1，3]，f(x)<-m+4恒成立，即可知mx2-mx+m-5<0在x∈[1，3]上恒成立， 方法一　令g(x)=mx2-mx+m-5，对称轴为x=.当m=0时，-5<0恒成立； 当m<0时，有g(x)开口向下且在[1，3]上单调递减，∴在[1，3]上，g(x)max=g(1)=m-5<0，得m<5，故有m<0； 当m>0时，有g(x)开口向上且在[1，3]上单调递增，∴在[1，3]上，g(x)max=g(3)=7m-5<0，∴0<m<. 综上，实数m的取值范围为m<. 方法二　即m<在x∈[1，3]上恒成立，令g(x)=则m<g(x)min， 又g(x)在[1，3]上单调递减，则m<g(3)=故实数m的取值范围为m<. 6.已知关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集为(-∞，m)∪其中m≤-2，则+的最小值为(　　) A.-4 B.4 C.5 D.8 答案　C 解析　由ax2+bx+4>0的解集为(-∞，m)∪则a>0，且m是关于x的方程ax2+bx+4=0的两个根，由根与系数的关系知 解得a=1，b=(-m)+≥4，当且仅当m=-2时等号成立， 故+=b+设f(b)=b+(b≥4)， 函数f(b)在b∈[4，+∞)上单调递增， 所以f(b)min=f(4)=4+=5， 所以+的最小值为5. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4} C.不等式cx2-bx+a<0的解集为 D.a+b+c>0 答案　AC 解析　因为关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为(-∞，-3]∪[4，+∞)， 所以二次函数y=ax2+bx+c的开口方向向上，即a>0，故A正确； 且方程ax2+bx+c=0的两根为-3，4，由根与系数的关系得解得 则bx+c>0⇔-ax-12a>0，由于a>0，所以x<-12， 所以不等式bx+c>0的解集为{x|x<-12}，故B不正确； 因为 所以cx2-bx+a<0，即-12ax2+ax+a<0， 所以12x2-x-1>0，解得x<-或x> 所以不等式cx2-bx+a<0的解集为故C正确； a+b+c=a-a-12a=-12a<0，故D不正确. 8.已知关于x的方程mx2-mx+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<x2，则下列说法正确的是(　　) A.m<0或m>4 B.若x1<0，则关于x的不等式mx2-mx+1>0的解集为{x|x1<x<x2} C.若x1>0，则+-(x1-x2)2的最小值为3 D.若x1<0，当x=时，函数y=mx2-mx+1取得最大值 答案　ABD 解析　易知m≠0且Δ=m2-4m>0，所以m<0或m>4，故A正确； 因为x1+x2=1，x1x2=x1<0，所以x2>0，m<0，所以关于x的不等式mx2-mx+1>0的解集为{x|x1<x<x2}，故B正确； 因为x1>0，所以x2>0，m>0，故m>4， 所以+-(x1-x2)2=-(x1+x2)2+4x1x2=-1+4x1x2=m+-1≥3， 当且仅当m=2时，等号成立，又因为m>4，所以等号不成立，故C错误； 当x1<0时，m<0，二次函数y=mx2-mx+1的图象开口向下，且对称轴为直线x=所以当x=时，函数y=mx2-mx+1取得最大值，故D正确. 9. (2025高一上·祁东期中) 已知不等式的解集为， 则下列结论正确的是 （ ） A.  B.  C.  D.  答案　BCD 解析　因为不等式的解集为， 故相应的二次函数的图像开口向下，所以， 故A错误； 易知2和是方程的两个根，则有，， 又， 故，， 故BC正确； 因为， 所以， 故D正确. 故答案为：BCD 三、填空题(每小题5分，共10分) 10.设矩形ABCD(AB>BC)的周长为12+6把它沿对角线AC对折后，设AB交DC于点P，此时点B记作B'，如图所示，设AD=x，DP=y，则△ADP面积的最大值为　　　　. 答案　 解析　由题意知△ADP≌△CB'P，而AD=x，DP=y，所以PC=PA=而矩形ABCD(AB>BC)的周长为12+6 则AD+DP+PC=x+y+=6+3≥2+=当且仅当x=y时等号成立， 又>0，可得0<≤3， 则0<xy≤9，而△ADP的面积S=故S的最大值为此时x=y=3. 11.若关于x的不等式x2-(2a+1)x+2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是　　　　　　　　　. 答案　 解析　令x2-(2a+1)x+2a=0，解得x=1或x=2a.当2a>1，即a>时， 不等式x2-(2a+1)x+2a<0的解集为{x|1<x<2a}，则3<2a≤4，解得<a≤2； 当2a=1，即a=时，不等式x2-(2a+1)x+2a<0无解，所以a=不符合题意； 当2a<1，即a<时，不等式x2-(2a+1)x+2a<0的解集为{x|2a<x<1}， 则-2≤2a<-1，解得-1≤a<-. 综上，a的取值范围是 . 四、解答题（12分） (2026·深圳月考) 已知函数 (1) 若在上恒成立，求实数的取值范围； (2) 解关于的不等式. 解：(1) 因为时，恒成立，即恒成立，即， 设，则函数在上单调递减， 所以函数的最大值，，得； (2) 关于的不等式，整理得，即， 当时，即，解得； 当时，即，解得； 当时，即，解得； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 学科网（北京）股份有限公司 $