专题09 一次函数（3年汇编）（全国通用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 中考一次函数专题试题汇编，整合2024-2026年多省市中考真题，覆盖10个核心考点，注重基础性质与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|2-5分/题|正比例函数图象性质、一次函数平移、参数求解|结合坐标系基础情境，融入扇文化、水电计费等生活素材| |解答题|6-8分/题|一次函数与不等式综合、最大利润/行程问题|以人形机器人测试、商品销售为情境，分层设计建模与最值分析|

专题09 一次函数 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01正比例函数的图象与性质 2026江苏卷、2026广东卷2025浙江卷、2025福建卷2024河北卷 常以选择题、填空题形式考查，分值稳定在3-5分；多结合坐标系基础情境命题，核心围绕k 的正负与图象走向、增减性对应关系展开，重点辨析正比例函数过原点的独有特征；整体难度中等偏易，近三年常与生活情境坐标结合设问，性质辨析类题型占比逐年上升。 考点02求一次函数的自变量或函数值 2026四川卷、2026河南卷2025湖北卷、2025安徽卷2024江西卷 选择、填空、简单解答题均有考查，分值2-4分；以代入求值、根据函数值反求自变量为基础考法，常搭配分段函数小情境设计题目；核心考查代数式代入计算能力，难度偏低，设问形式固定，侧重基础运算熟练度考查。 考点03判断一次函数图象 2026重庆卷、2026陕西卷2025天津卷、2025广西卷2024云南卷 以选择题为主，分值3分左右；命题多给出 k、b 取值范围筛选图象，或由图象特征反推k、b符号；核心围绕k、b对图象位置的影响考查，情境多结合实际问题坐标轴标注，近三年图象识图辨析的灵活度有所提升。 考点04已知一次函数经过的象限求参数 2026黑龙江卷、2026吉林卷2025山西卷、2025贵州卷2024甘肃卷 多为填空、选择压轴小问，分值3-4分；以象限限定条件列不等式求解参数范围为核心考法；紧扣k、b符号和象限分布的对应规律，难度中等，近三年常结合参数整数取值增设小陷阱。 考点05一次函数图象中平移问题 2026安徽卷、2026江苏卷2025河北卷、2025湖南卷2024山东卷 选择填空高频考查，分值3分；核心考查 “左加右减、上加下减” 平移法则，分沿坐标轴上下/左右平移两类考法；命题常结合平移后过定点求解析式，难度中等，侧重法则的灵活运用，易混淆左右平移的符号方向。 考点06利用一次函数的增减性求解 2026湖北卷、2026福建卷2025河南卷、2025四川卷2024广东卷 选择填空为主，分值2-4分；以根据k正负判断增减趋势、结合自变量大小比较函数值大小为核心；常搭配取值范围限定设计题目，整体难度偏低，近三年逐渐结合实际最值小情境考查增减性应用。 考点07一次函数与不等式综合 2026山东卷、2026浙江卷2025重庆卷、2025陕西卷2024天津卷 选择、填空、中档解答题均有涉及，分值4-6分；核心利用函数图象高低关系解不等式、确定解集范围；数形结合特征明显，难度中等，是函数模块高频综合考点，近三年常结合两条直线交点设问。 考点08一次函数实际应用之最大利润问题 2026湖南卷、2026河南卷2025安徽卷、2025江西卷2024湖北卷 以解答题为主，分值6-8分；设定商品销售定价、成本销量的现实情境，依托一次函数增减性求利润最值；核心考查建模列式 + 增减性最值分析，难度中等偏上，是应用题高频热点，常搭配取值整数限制条件。 考点09一次函数实际应用之行程问题 2026河北卷、2026山西卷2025黑龙江卷、2025吉林卷2024广西卷 解答题高频考查，分值6-8分；围绕相遇、追及、变速行程设计坐标图象题，从图象提取信息建立函数关系；核心考查识图建模能力，难度中等，近三年多结合双对象行程图象设问，信息提取量有所增加。 考点10一次函数实际应用之其他问题 2026贵州卷、2026云南卷2025甘肃卷、2025海南卷2024辽宁卷 选择、解答题灵活考查，分值 3-7 分；涵盖水电计费、方案优选、工程调配等多元生活情境；核心考查从不同现实场景抽象一次函数模型的能力，命题情境逐年贴近生活热点，设问形式灵活多变。 考点01 正比例函数的图象与性质 1．（2026·陕西·中考真题）（选择题）一个正比例函数的图象经过点，则该函数图象经过的点的坐标还可以是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北·中考真题）（选择题）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 3．（2025·陕西·中考真题）（选择题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·中考真题）（选择题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·陕西·中考真题）（选择题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北·中考真题）（选择题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A．B． C． D． 7．（2024·四川德阳·中考真题）（选择题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河南·中考真题）（填空题）请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式_________． 9．（2024·天津·中考真题）（填空题）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于___________（填一个即可）． 考点02 求一次函数的自变量或函数值 1．（2025·广西·中考真题）（选择题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 2．（2026·江苏苏州·中考真题）（填空题）点在一次函数的图像上，则a的值为_________． 3．（2025·广东广州·中考真题）（填空题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）（填空题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为________．（填一个符合要求的点的坐标即可） 5．（2025·四川广安·中考真题）（填空题）已知一次函数，当时，y的值可以是__________．（写出一个合理的值即可） 6．（2024·湖北·中考真题）（填空题）铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时，______g． 7．（2024·甘肃陇南·中考真题）（填空题）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是________（写出一个合理的值即可）． 考点03 判断一次函数图象 1．（2026·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）函数的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点04 已知一次函数经过的象限求参数 1．（2025·江苏南通·中考真题）（选择题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·中考真题）（选择题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）（填空题）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是______． 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）（填空题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式______． 考点05 一次函数图象中平移问题 1．（2025·河北·中考真题）（选择题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·中考真题）（选择题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·中考真题）（填空题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 4．（2026·天津·中考真题）（填空题）将直线（为常数）向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 5．（2024·西藏·中考真题（填空题））将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为________． 考点06 利用一次函数的增减性求解 1．（2025·安徽·中考真题）（选择题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东德州·中考真题）（选择题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·新疆·中考真题）（选择题）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2024·山东潍坊·中考真题）（填空题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：______． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）（填空题）请写出一个过点且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 _____． 6．（2024·吉林长春·中考真题）（填空题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是________．（写出一个即可） 考点07 一次函数与不等式综合 1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点08 一次函数实际应用之最大利润问题 1．（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． (1)分别求出A，两地各收到多少吨物资； (2)请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 2．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 3．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 4．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 5．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 6．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 7．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 8．（2024·内蒙古通辽·中考真题）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． (1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案． 9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． (1)求的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 考点09 一次函数实际应用之行程问题 1．（2026·陕西·中考真题）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出发后运动员才出发，运动员出发后追上机器人．如图，，分别表示运动员、机器人距起点的距离与时间之间的关系． (1)求对应的函数表达式； (2)求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离． 2．（2026·四川成都·中考真题）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． (1)直接写出的函数表达式； (2)如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 3．（2026·吉林·中考真题）一位记者乘坐汽车赴外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求汽车在高速公路上行驶的速度． (2)求所在直线对应的函数解析式． (3)记者出发后多长时间到达采访地？ 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有，两地，机器人甲、乙分别从，两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后，立即以米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后停止运动，机器人乙到达地一段时间后，机器人甲也到达地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离（米）与机器人甲行进的时间（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)，两地之间的距离为 米，图中的值为 ； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米？（直接写出答案即可） 5．（2026·四川甘孜·中考真题）图1是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1联系小明，发现小明在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明．图2中，，分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系． (1)表示 （“小聪”或“小明”）到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； (2)分别求出，的函数解析式； (3)若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3前追上小明？请通过计算说明． 6．（2026·天津·中考真题）已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家，体育公园离家．小杰从家出发，先匀速骑行了到体育公园，在体育公园停留了，之后匀速骑行了到民俗文化馆，在民俗文化馆停留后，再匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 (2)当时，请直接写出小杰离家的距离关于时间的函数解析式； (3)当小杰离开家时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了直接回到家．在的时段内，对于同一个的值，小杰离家的距离为，小杰的爷爷离家的距离为，当时，求的值（直接写出结果即可）． 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 7．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 10．（2026·河北·中考真题）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时（分钟）的模型：．其中，（为常数），（千米）表示登山路线的长度；，（千米）表示山顶与起点的海拔高度差．从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示．（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间） (1)①求，的值； ②计算路线3的长度． (2)已知山顶M的海拔高度为1000米，B在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从出发到山顶的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶的预估用时． 考点10 一次函数实际应用之其他问题 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？ 2．（2026·上海·中考真题）某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，时第一位游客站上扶梯，时第一位游客到达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为秒． (1)设登上观景台的游客数为，时间为（从开始计时，单位为秒），请完成表格，并写出关于的函数解析式；（不用写定义域） 表1 (2)①请你求出从整，一共有几位游客到达观景台； ②请你求出，一共有几位游客到达观景台． 3．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 4．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数 答案版 考点01 正比例函数的图象与性质 1. D 2. B 3. B 4. A 5. A 6. C 7. A 8. （答案不唯一） 9. （答案不唯一） 考点02 求一次函数的自变量或函数值 1. D 2. -3 3. 或 4. （答案不唯一） 5. （答案不唯一） 6. 79 7. （答案不唯一） 考点03 判断一次函数图象 1. A 2. B 3. D 4. D 考点04 已知一次函数经过的象限求参数 1. D 2. D 3. 4. （答案不唯一） 考点05 一次函数图象中平移问题 1. A 2. B 3. 2（答案不唯一，满足即可） 4. （答案不唯一，满足即可） 5. 考点06 利用一次函数的增减性求解 1. D 2. C 3. D 4. （答案不唯一） 5. （答案不唯一） 6. 2（答案不唯一） 考点07 一次函数与不等式综合 1. B 2. C 考点08 一次函数实际应用之最大利润问题 1. 【详解】（1）解：设A地收到吨物资，B地收到吨物资． 由题意得： ，解得：． 答：A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． （2）解：设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨， 由题意得： ， ∴W随的增大而增大， 当，总费用最少，元． ，， 答：从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 2.【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 3.【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 4.【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 5.【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 6.【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 7.【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 8.【详解】（1）解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元． 由题意得：， 解得：， 答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； （2）解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台， 由题意得：， 解得：， ∵a只能取正整数， ∴a的最大值为33， 设总的购买费用为元， ∴ ， ∵， ∴当时，费用最低， 此时的购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台； 答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台． 9.【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元． 考点09 一次函数实际应用之行程问题 1. 【详解】（1）解：由题意得，机器人的速度为， 由题意得，运动员时追上机器人，此时机器人跑了 ∴，的交点为， 设对应的函数表达式为，代入点，， 则， 解得， ∴， 当时，则，解得， ∴对应的函数表达式为； （2）解：对于，当时， 则， 解得， ∴， ∴当运动员到达终点时，机器人距终点的距离为． 2.【详解】（1）解：设的函数表达式分别为，， 将点，代入可得，， 解得， 即的函数表达式为：， 将代入可得，，解得， 即的函数表达式为：； （2）解：由题意可得，甲走远路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，甲到达景点4， 乙走近路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，乙到达景点4， ∵， ∴乙能比甲先到达景点4． 3.【详解】（1）解：， 答：汽车在高速公路上行驶的速度为； （2）解：设所在直线对应的函数解析式为， 代入和 则 解得 ∴所在直线对应的函数解析式为； （3）解：由解析式，得到汽车在普通公路上行驶的速度为； 则汽车在普通公路上行驶时间为， 总用时为 答：记者出发后到达采访地． 4.【详解】（1）解：时，甲乙还未出发，距离就是A、B两地距离，因此距离为米； 甲乙相向而行，速度和为米/分， 相遇时间（分）， 因此； （2）解：由（1）得：，由题意可知G点为甲到达B地的点， 甲走完全程的时间为分钟， 此时乙走了米， 因此甲乙距离为2400米， 即． 设解析式为，代入两点坐标： ， 解得：， 因此的解析式为：； （3）解：由图象可知，两地距离为米． 乙从匀速跑到，速度为米/分， 因此乙走完全程的时间为：分钟 即图中点对应的时间分钟， 此时乙已经到达地，甲乙相距米，从甲开始返回到乙到达地，一共经过了分钟，甲返回走了米， 因此， 即甲到达B后返回速度为米/分，返回全程需分钟，总耗时分钟， 乙从B到A速度为米/分，走完全程到A的时间为分钟， 设甲行进时间为分钟，甲乙距离米，分阶段计算： 阶段1：相遇前（）， 甲乙相向而行，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 阶段2：相遇后，甲未到B地（）， 相遇后甲乙背向而行，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 阶段3：甲到B开始返回，乙未到A地（）， 甲在B后返回，乙仍向A行走，两人距离满足：， 该阶段的范围是，始终大于600，此阶段无解； 阶段4：乙到达A停止，甲仍在返回途中（）， 乙已经停在A点，两人距离就是甲到A点的距离，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 综上所述，机器人甲行进时间为5分或7分或20分时，甲乙相距600米． 5.【详解】（1）解：由题意得，当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为，而小聪到观景台1的路程为0， ∴由函数图象可知，表示小明到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； （2）解：设的函数解析式为， 把代入得，解得， ∴的函数解析式为； 设的函数解析式为， 把和代入得， ∴， ∴的函数解析式为； (3)解：小聪能在到达观景台3前追上小明，计算说明如下： 令，解得， 在中，当时，， ∴小聪追上小明时所走的路程为， ∵， ∴小聪能在到达观景台3前追上小明． 6.【详解】（1）解：小杰骑行到体育公园的速度为， ∴当小杰离开家时，离家的距离为； 由图象得，当小杰离开家时，离家的距离为； 当小杰离开家时，离家的距离为； 填表略； （2）解：当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时，由图象得，， ∴； 当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 综上，小杰离家的距离关于时间的函数解析式为； （3）解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为， 由题意得，与满足一次函数关系，设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的值为或或． 7.【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 8.【详解】（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 8.【详解】（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 9.【详解】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为（米）， 由题意可知，表示甲到达B区的时间，则， 故答案为： （2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区， ∴点E的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； （3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米， 当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 10.【详解】（1）解：①由题意得，， 代入两组数据得， 解得； ②由①得， 路线3同样从A到M，海拔差仍为， 将代入，得 解得 即路线3的长度为5千米； （2）解：由等高线图可知，B点位于400米等高线上，海拔为； 山顶M海拔为，因此海拔差： 将代入得， 即预估用时为135分钟 考点10 一次函数实际应用之其他问题 1.【详解】解：设销售额为，销量为，则降价前的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴降价前的函数表达式为， ∴降价前的单价为3元/千克， ∴降价后单价为2.5元/千克， 设降价后的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴降价后的函数表达式为， 当时，， 解得， ∴总销量为160千克， ∴留作下一季的种植基金为（元）， ∴捐给福利院（元）． 答：该班级本次共捐给福利院322元． 2.【详解】（1）解：由题意可知，第一位游客到达时间为从计时开始51秒． 所以当时，． 每位游客到达间隔为秒， 当时，． ∵位游客，第一位用时51秒，剩余位每位间隔秒， ∴ （2）解：①从8点10分0秒整到8点12分0秒整，总计时秒． 令 解得 为正整数，因此最大． 答：一共有位游客到达观景台． ②从8点10分0秒整到8点14分0秒整，总计时秒． 令 解得 为正整数， 因此到8点14分0秒整最多有位游客到达． 该时间段游客数为． 答：一共有位游客到达观景台． 3.【详解】（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； （2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； （3）解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 4.【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01正比例函数的图象与性质 2026江苏卷、2026广东卷2025浙江卷、2025福建卷2024河北卷 常以选择题、填空题形式考查，分值稳定在3-5分；多结合坐标系基础情境命题，核心围绕k 的正负与图象走向、增减性对应关系展开，重点辨析正比例函数过原点的独有特征；整体难度中等偏易，近三年常与生活情境坐标结合设问，性质辨析类题型占比逐年上升。 考点02求一次函数的自变量或函数值 2026四川卷、2026河南卷2025湖北卷、2025安徽卷2024江西卷 选择、填空、简单解答题均有考查，分值2-4分；以代入求值、根据函数值反求自变量为基础考法，常搭配分段函数小情境设计题目；核心考查代数式代入计算能力，难度偏低，设问形式固定，侧重基础运算熟练度考查。 考点03判断一次函数图象 2026重庆卷、2026陕西卷2025天津卷、2025广西卷2024云南卷 以选择题为主，分值3分左右；命题多给出 k、b 取值范围筛选图象，或由图象特征反推k、b符号；核心围绕k、b对图象位置的影响考查，情境多结合实际问题坐标轴标注，近三年图象识图辨析的灵活度有所提升。 考点04已知一次函数经过的象限求参数 2026黑龙江卷、2026吉林卷2025山西卷、2025贵州卷2024甘肃卷 多为填空、选择压轴小问，分值3-4分；以象限限定条件列不等式求解参数范围为核心考法；紧扣k、b符号和象限分布的对应规律，难度中等，近三年常结合参数整数取值增设小陷阱。 考点05一次函数图象中平移问题 2026安徽卷、2026江苏卷2025河北卷、2025湖南卷2024山东卷 选择填空高频考查，分值3分；核心考查 “左加右减、上加下减” 平移法则，分沿坐标轴上下/左右平移两类考法；命题常结合平移后过定点求解析式，难度中等，侧重法则的灵活运用，易混淆左右平移的符号方向。 考点06利用一次函数的增减性求解 2026湖北卷、2026福建卷2025河南卷、2025四川卷2024广东卷 选择填空为主，分值2-4分；以根据k正负判断增减趋势、结合自变量大小比较函数值大小为核心；常搭配取值范围限定设计题目，整体难度偏低，近三年逐渐结合实际最值小情境考查增减性应用。 考点07一次函数与不等式综合 2026山东卷、2026浙江卷2025重庆卷、2025陕西卷2024天津卷 选择、填空、中档解答题均有涉及，分值4-6分；核心利用函数图象高低关系解不等式、确定解集范围；数形结合特征明显，难度中等，是函数模块高频综合考点，近三年常结合两条直线交点设问。 考点08一次函数实际应用之最大利润问题 2026湖南卷、2026河南卷2025安徽卷、2025江西卷2024湖北卷 以解答题为主，分值6-8分；设定商品销售定价、成本销量的现实情境，依托一次函数增减性求利润最值；核心考查建模列式 + 增减性最值分析，难度中等偏上，是应用题高频热点，常搭配取值整数限制条件。 考点09一次函数实际应用之行程问题 2026河北卷、2026山西卷2025黑龙江卷、2025吉林卷2024广西卷 解答题高频考查，分值6-8分；围绕相遇、追及、变速行程设计坐标图象题，从图象提取信息建立函数关系；核心考查识图建模能力，难度中等，近三年多结合双对象行程图象设问，信息提取量有所增加。 考点10一次函数实际应用之其他问题 2026贵州卷、2026云南卷2025甘肃卷、2025海南卷2024辽宁卷 选择、解答题灵活考查，分值 3-7 分；涵盖水电计费、方案优选、工程调配等多元生活情境；核心考查从不同现实场景抽象一次函数模型的能力，命题情境逐年贴近生活热点，设问形式灵活多变。 考点01 正比例函数的图象与性质 1．（2026·陕西·中考真题）（选择题）一个正比例函数的图象经过点，则该函数图象经过的点的坐标还可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设正比例函数的一般解析式，代入已知点求出解析式，再将选项中点坐标代入验证，即可得到正确结果． 【详解】解：设该正比例函数解析式为， ∵函数图象经过点， ∴将代入解析式得， 解得， ∴该正比例函数解析式为， A选项，时，，不符合； B选项，时，，不符合； C选项，时，，不符合； D选项，时，，符合解析式要求． 2．（2026·河北·中考真题）（选择题）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 【答案】B 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 3．（2025·陕西·中考真题）（选择题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 4．（2025·吉林长春·中考真题）（选择题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、在同一正比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，当时，当时， ∵， ∴，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 5．（2024·陕西·中考真题）（选择题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 6．（2024·河北·中考真题）（选择题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 7．（2024·四川德阳·中考真题）（选择题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， ∴选项A符合题意． 故选：A． 8．（2026·河南·中考真题）（填空题）请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】正比例函数的一般形式为，由图象经过第一、三象限可得，写出一个满足条件的表达式即可． 【详解】解：取，满足， 因此图象经过第一、三象限的正比例函数表达式为（答案不唯一）． 9．（2024·天津·中考真题）（填空题）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于___________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握：在正比例函数中，当时，随的增大而增大，图象经过第一、三象限；当时，随的增大而减小，图象经过第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴的值可以等于． 故答案为：（答案不唯一）． 考点02 求一次函数的自变量或函数值 1．（2025·广西·中考真题）（选择题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）（填空题）点在一次函数的图像上，则a的值为_________． 【答案】 【分析】点在一次函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在一次函数的图象上， 将代入，得． 3．（2025·广东广州·中考真题）（填空题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）（填空题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为________．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式，可以令，求出函数值，进而得到点B的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点B的坐标可以为； 故答案为：（答案不唯一） 5．（2025·四川广安·中考真题）（填空题）已知一次函数，当时，y的值可以是__________．（写出一个合理的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．取求得的值，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2024·湖北·中考真题）（填空题）铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时，______g． 【答案】79 【分析】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式求出对应函数值是解题的关键． 将代入求出对应m的值即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：79． 7．（2024·甘肃陇南·中考真题）（填空题）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是________（写出一个合理的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，选择，此时，解答即可．本题考查了函数值的计算，正确选择自变量进行计算是解题的关键． 【详解】根据，选择，此时， 故答案为：． 考点03 判断一次函数图象 1．（2026·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数 中和的符号即可确定图象经过的象限． 【详解】解：一次函数中，， 该函数图象经过第一、二、三象限， 观察选项可知，只有A选项符合题意． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）函数的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，根据k与b的值求出该一次函数的图像的位置是解题的关键． 根据一次函数的k与b的值即可知道该一次函数的图像经过哪些象限． 【详解】解：由题意可知：，， ，， 该一次函数的图像经过第一、三、四象限，即不经过第二象限， 故选：B． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 4．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可． 【详解】解：∵由已知，得：， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴图象不经过第四象限． 故选：D． 考点04 已知一次函数经过的象限求参数 1．（2025·江苏南通·中考真题）（选择题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 2．（2025·广东广州·中考真题）（选择题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）（填空题）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数得；图象经过第一、二、三象限，得到，解答即可; 【详解】解：根据题意，得；且， 解得． 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）（填空题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k、b的符号是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过一、二、三象限判断出函数k及b的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 考点05 一次函数图象中平移问题 1．（2025·河北·中考真题）（选择题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 2．（2025·陕西·中考真题）（选择题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 3．（2025·天津·中考真题）（填空题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 4．（2026·天津·中考真题）（填空题）将直线（为常数）向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象性质得到的取值范围，写出一个符合要求的值即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵平移后的直线经过第一、二、四象限， ∴，， 解得， 的值可以取，符合题意（答案不唯一）． 5．（2024·西藏·中考真题（填空题））将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 考点06 利用一次函数的增减性求解 1．（2025·安徽·中考真题）（选择题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 2．（2024·山东德州·中考真题）（选择题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 3．（2024·新疆·中考真题）（选择题）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， 而四个选项中，只有D符合题意， 故选：D． 4．（2024·山东潍坊·中考真题）（填空题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：______． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而减小， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴正半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）（填空题）请写出一个过点且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 _____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了函数的增减性，待定系数法求函数解析式．写出一个一次项系数为负数且经过点的一次函数即可． 【详解】解：设满足题意得的一次函数的关系式为， 代入得：， ， ∴满足题意的一次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2024·吉林长春·中考真题）（填空题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可． 【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点， ∴． ∵y随x的增大而减小， ∴， 当时，， 解得：， ∴b的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一） 考点07 一次函数与不等式综合 1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 考点08 一次函数实际应用之最大利润问题 1．（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． (1)分别求出A，两地各收到多少吨物资； (2)请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． (2)从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 【分析】（1）设A地收到吨物资，B地收到吨物资．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨，易得、再利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设A地收到吨物资，B地收到吨物资． 由题意得： ，解得：． 答：A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． （2）解：设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨， 由题意得： ， ∴W随的增大而增大， 当，总费用最少，元． ，， 答：从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 2．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 3．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 (2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； (3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 4．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 (2)当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 5．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 6．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 7．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 8．（2024·内蒙古通辽·中考真题）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． (1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案． 【答案】(1)煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； (2)购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台． 【分析】（1）设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元，根据购头2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元，列出方程组，解方程组即可； （2）设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台，根据三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，列出不等式，可得的范围，设总的购买费用为元，再结合一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元． 由题意得：， 解得：， 答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； （2）解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台， 由题意得：， 解得：， ∵a只能取正整数， ∴a的最大值为33， 设总的购买费用为元， ∴ ， ∵， ∴当时，费用最低， 此时的购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台； 答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键. 9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． (1)求的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【答案】(1)， (2)，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元． 考点09 一次函数实际应用之行程问题 1．（2026·陕西·中考真题）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出发后运动员才出发，运动员出发后追上机器人．如图，，分别表示运动员、机器人距起点的距离与时间之间的关系． (1)求对应的函数表达式； (2)求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点为，再由待定系数法求解对应的函数表达式； （2）可求运动员在第时到达终点，然后求出机器人行驶的路程，即可求解机器人距终点的距离． 【详解】（1）解：由题意得，机器人的速度为， 由题意得，运动员时追上机器人，此时机器人跑了 ∴，的交点为， 设对应的函数表达式为，代入点，， 则， 解得， ∴， 当时，则，解得， ∴对应的函数表达式为； （2）解：对于，当时， 则， 解得， ∴， ∴当运动员到达终点时，机器人距终点的距离为． 2．（2026·四川成都·中考真题）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． (1)直接写出的函数表达式； (2)如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 【答案】(1)的函数表达式为：，的函数表达式为： (2)乙能比甲先到达景点4 【分析】（1）利用待定系数法求得的函数表达式即可； （2）分别求出甲，乙两人到达景点4所用的时间，比较大小即可． 【详解】（1）解：设的函数表达式分别为，， 将点，代入可得，， 解得， 即的函数表达式为：， 将代入可得，，解得， 即的函数表达式为：； （2）解：由题意可得，甲走远路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，甲到达景点4， 乙走近路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，乙到达景点4， ∵， ∴乙能比甲先到达景点4． 3．（2026·吉林·中考真题）一位记者乘坐汽车赴外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求汽车在高速公路上行驶的速度． (2)求所在直线对应的函数解析式． (3)记者出发后多长时间到达采访地？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据路程除以时间即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入即可求解． 【详解】（1）解：， 答：汽车在高速公路上行驶的速度为； （2）解：设所在直线对应的函数解析式为， 代入和 则 解得 ∴所在直线对应的函数解析式为； （3）解：由解析式，得到汽车在普通公路上行驶的速度为； 则汽车在普通公路上行驶时间为， 总用时为 答：记者出发后到达采访地． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有，两地，机器人甲、乙分别从，两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后，立即以米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后停止运动，机器人乙到达地一段时间后，机器人甲也到达地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离（米）与机器人甲行进的时间（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)，两地之间的距离为 米，图中的值为 ； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)3600，6 (2) (3)5分或7分或20分 【分析】（1）由图可知距离为米，甲乙相向而行，相遇时间为总路程除以甲乙速度和，即可求出的值； （2）由（1）得：，由题意可知G点为甲到达B地的点，根据甲、乙速度得到，设解析式为，根据待定系数法求解即可； （3）先求出n的值，进而分四种情况作答即可． 【详解】（1）解：时，甲乙还未出发，距离就是A、B两地距离，因此距离为米； 甲乙相向而行，速度和为米/分， 相遇时间（分）， 因此； （2）解：由（1）得：，由题意可知G点为甲到达B地的点， 甲走完全程的时间为分钟， 此时乙走了米， 因此甲乙距离为2400米， 即． 设解析式为，代入两点坐标： ， 解得：， 因此的解析式为：； （3）解：由图象可知，两地距离为米． 乙从匀速跑到，速度为米/分， 因此乙走完全程的时间为：分钟 即图中点对应的时间分钟， 此时乙已经到达地，甲乙相距米，从甲开始返回到乙到达地，一共经过了分钟，甲返回走了米， 因此， 即甲到达B后返回速度为米/分，返回全程需分钟，总耗时分钟， 乙从B到A速度为米/分，走完全程到A的时间为分钟， 设甲行进时间为分钟，甲乙距离米，分阶段计算： 阶段1：相遇前（）， 甲乙相向而行，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 阶段2：相遇后，甲未到B地（）， 相遇后甲乙背向而行，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 阶段3：甲到B开始返回，乙未到A地（）， 甲在B后返回，乙仍向A行走，两人距离满足：， 该阶段的范围是，始终大于600，此阶段无解； 阶段4：乙到达A停止，甲仍在返回途中（）， 乙已经停在A点，两人距离就是甲到A点的距离，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 综上所述，机器人甲行进时间为5分或7分或20分时，甲乙相距600米． 5．（2026·四川甘孜·中考真题）图1是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1联系小明，发现小明在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明．图2中，，分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系． (1)表示 （“小聪”或“小明”）到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； (2)分别求出，的函数解析式； (3)若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3前追上小明？请通过计算说明． 【答案】(1)小明 (2)的函数解析式为；的函数解析式为； (3)解：小聪能在到达观景台3前追上小明，计算说明如下： 令，解得， 在中，当时，， ∴小聪追上小明时所走的路程为， ∵， ∴小聪能在到达观景台3前追上小明． 【分析】（1）当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为，而小聪到观景台1的路程为0，据此结合函数图象可得答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出两人相遇时的时间，进而求出两人相遇时小聪所走的路程即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为，而小聪到观景台1的路程为0， ∴由函数图象可知，表示小明到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； （2）解：设的函数解析式为， 把代入得，解得， ∴的函数解析式为； 设的函数解析式为， 把和代入得， ∴， ∴的函数解析式为； （3）略 6．（2026·天津·中考真题）已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家，体育公园离家．小杰从家出发，先匀速骑行了到体育公园，在体育公园停留了，之后匀速骑行了到民俗文化馆，在民俗文化馆停留后，再匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 (2)当时，请直接写出小杰离家的距离关于时间的函数解析式； (3)当小杰离开家时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了直接回到家．在的时段内，对于同一个的值，小杰离家的距离为，小杰的爷爷离家的距离为，当时，求的值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)填表如下： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 (2) (3)或或 【分析】（1）先求出小杰骑行到体育公园的速度，得到小杰离开家时离家的距离；再根据图象分别得到小杰离开家和时离家的距离，即可填表； （2）分三种情况讨论：、、，结合图象，利用待定系数法即可求解； （3）根据题意与满足一次函数关系，利用待定系数法求出，再分三种情况讨论：、、，令，即可求出的值． 【详解】（1）解：小杰骑行到体育公园的速度为， ∴当小杰离开家时，离家的距离为； 由图象得，当小杰离开家时，离家的距离为； 当小杰离开家时，离家的距离为； 填表略； （2）解：当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时，由图象得，， ∴； 当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 综上，小杰离家的距离关于时间的函数解析式为； （3）解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为， 由题意得，与满足一次函数关系，设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的值为或或． 7．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】(1)300，2 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】(1)购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 (2)当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题： （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【详解】（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2) (3)7分或11分或13分 【分析】本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a； （2）求出，由图象可得，设直线的解析式为，进而问题可求解； （3）由题意可分三种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为（米）， 由题意可知，表示甲到达B区的时间，则， 故答案为： （2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区， ∴点E的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； （3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米， 当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 10．（2026·河北·中考真题）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时（分钟）的模型：．其中，（为常数），（千米）表示登山路线的长度；，（千米）表示山顶与起点的海拔高度差．从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示．（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间） (1)①求，的值； ②计算路线3的长度． (2)已知山顶M的海拔高度为1000米，B在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从出发到山顶的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶的预估用时． 【答案】(1)①；②千米 (2)分钟 【分析】（1）①由题意得，，再用待定系数法求解即可；②先得到，然后将代入，解方程即可； （2）求出海拔差为，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， 代入两组数据得， 解得； ②由①得， 路线3同样从A到M，海拔差仍为， 将代入，得 解得 即路线3的长度为5千米； （2）解：由等高线图可知，B点位于400米等高线上，海拔为； 山顶M海拔为，因此海拔差： 将代入得， 即预估用时为135分钟 考点10 一次函数实际应用之其他问题 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？ 【答案】322元 【分析】设销售额为，销量为，由图象先可得降价前的函数表达式为，可得降价前的单价为3元/千克，则降价后单价为2.5元/千克，可得降价后的函数表达式为，则可得总销量为160千克，则可得留作下一季的种植基金，最后可得捐给福利院的钱数． 【详解】解：设销售额为，销量为，则降价前的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴降价前的函数表达式为， ∴降价前的单价为3元/千克， ∴降价后单价为2.5元/千克， 设降价后的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴降价后的函数表达式为， 当时，， 解得， ∴总销量为160千克， ∴留作下一季的种植基金为（元）， ∴捐给福利院（元）． 答：该班级本次共捐给福利院322元． 2．（2026·上海·中考真题）某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，时第一位游客站上扶梯，时第一位游客到达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为秒． (1)设登上观景台的游客数为，时间为（从开始计时，单位为秒），请完成表格，并写出关于的函数解析式；（不用写定义域） 表1 (2)①请你求出从整，一共有几位游客到达观景台； ②请你求出，一共有几位游客到达观景台． 【答案】(1)表格依次填入，；关于的函数解析式为 (2)①位；②位 【分析】本题为一次函数实际应用问题，解题思路为：首先根据题意得到第一位游客到达的时间，结合游客到达间隔推出表格数据，再推导得到关于的一次函数解析式，最后根据不同时间段的总计时的范围，结合为正整数的性质，计算得到对应游客数量．用到的性质为一次函数的定义与一元一次不等式的求解． 【详解】（1）解：由题意可知，第一位游客到达时间为从计时开始51秒． 所以当时，． 每位游客到达间隔为秒， 当时，． ∵位游客，第一位用时51秒，剩余位每位间隔秒， ∴ （2）解：①从8点10分0秒整到8点12分0秒整，总计时秒． 令 解得 为正整数，因此最大． 答：一共有位游客到达观景台． ②从8点10分0秒整到8点14分0秒整，总计时秒． 令 解得 为正整数， 因此到8点14分0秒整最多有位游客到达． 该时间段游客数为． 答：一共有位游客到达观景台． 3．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 【答案】(1)， (2) (3)该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. 【详解】（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； （2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； （3）解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 4．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 1 / 3 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