专题09 一元二次方程及其应用（5大考点36题）（1年汇编）（全国通用01期）【好题汇编】2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇聚2026年多地中考真题，聚焦一元二次方程5大核心考点，通过36道梯度题实现概念理解、实际应用与综合创新的全面考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约22题|方程概念（函数图象估根）、解法（菱形对角线计算）、根的判别式（新定义运算）|数形结合（函数图象分析根范围）、逆向考法（由根特征求参数）| |解答题|约14题|实际应用（文创销售利润、体育赛事场次）、根与系数关系（抛物线交点问题）|情境创新（融合长征文创、足球联赛）、综合升级（二次函数最值与方程建模）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09一元二次方程及其应用(5大考点36题) 中考命题规律 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 基础必考，以根的代入求值、参数求 数形创新：结合函数图象估算根的范 考点01方程相关 解为主，结合函数图象、坐标几何情 围； 概念 境命题，侧重概念理解与基础运算辨 逆向考法：由根的特征反求参数，强 析。 化逻辑辨析能力。 情境创新：结合文创销售、体育赛 核心高频考点，覆盖增长率、比赛场 考点02方程实际 事、科技产品生产： 次、销售利润等场景，考查建模列方 应用 程、求解取舍，兼顾实际意义验证。 考法升级：融合二次函数求最值，综 合考查建模与最值分析。 融合创新：方程解联动几何边长、面 侧重因式分解、配方法、公式法规范 积计算； 考点03方程解法 求解，常结合菱形、赵爽弦图等几何 图形综合计算，注重转化数学思想。 思想考查：显性考查转化、配方思 想，弱化机械解方程。 综合升级：联动二次函数、不等式取 重难点考点，依托韦达定理进行整体 考点04根与系数 值； 代入求值、参数范围判定，多结合抛 关系 物线与坐标轴交点问题综合设问。 创新设问：已知根的数量关系、倍数 关系逆向求参，灵活性更强。 定义创新：结合新定义运算、一次函 高频基础考点，考查判别式判断根的 考点05根的判别 数背景命题： 式 情况、根据根的个数求参数范围，覆 盖选择填空与简单解答题。 综合考法：判别式与方程、函数、参 数取值多层结合考查。 真题考点精练 1/9 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点01一元二次方程的相关概念 1.(2026江西中考真题)如图，观察函数'=+3r- 的图象，可以发现方程”+3x-3=0在0,1之 间有根.取0,1的平均数0.5，当x=0.5时，y<0,进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程 x2+3x-3=0 另一根更接近的是（) A.-4.5 B.-4 C.-3.5 D.-3 2.(2026河南中考真题)已知x=2是关于x的方程x2-mx=6的一个根，则m的值为() A.5 B.-5 C.1 D.-1 3.(2026江西中考真腰)如图，点P在直线'=-x+6b>0)上，过P作×精、)轴的垂线，垂足分别为 A,B,矩形OAPB的面积为1(O为坐标原点)，若满足条件的点P有且仅有三个，则点P的横坐标 为 VA B 4.(2026广东中考真题)已知方程x+3x+c=0的一个根是1，则C=一 5.(2026:甘肃天水·中考真题)已知m是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根，则代数式2m2+4m的值 2/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是 考点02一元二次方程的实际问题 1.(2026山西中考真题)某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作.今年3 月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台.若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均 增长率为x,则下列方程正确的是() 1200(1+x)=1600 1200(1+2x)=1600 B C.1200(1+x)2=1600 D.1600(1-x/=1200 2.(2026四川凉山中考真题)四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进 入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为() A.x-)=2 B.x(x-1)=72 C.x(x+1)=72 D.2x(r+)=72 3.(2026湖北中考真题)2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事.楚 超有”支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可 列方程() A.2m0n-0=136 B.nn-1)=136 C.2m0n+0=136 D.n(n+1)=136 4.(2026山东烟台中考真题)为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品.已知 某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量少（件）与每件售价x(元)的函数关系如图所示。 y(件)个 40 30 3040 x(元) 3/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求y与x的函数表达式： (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的 售价为多少元？ 5.(2026四川眉山中考真题)2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育 经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动， (1)某食品厂原计划每月生产艺麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880 件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率： (2)该食品厂原来每天可销售60件艺麻糕，每件盈利30元.参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可 多售出5件.问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 考点03一元二次方程的解法 1.(2026四川宜宾中考真题)已知方程x2-9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的 面积是() A.4 B.5 c.6 D.7 2.(2026四川泸州中考真题)在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点 为“倒数点”.如： A2,2 B-3,- 3)都是“倒数点”.给出下列结论： ①函数y=3x的图象上存在2个“倒数点”； ②函数少=r- 的图象上不存在“倒数点”： ③函数少=2r2+1 图象上存在1个“倒数点”； ④若函数y=c+2的图象上存在“倒数点”，则k≤-1. 其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2026四川达州中考真题)“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是() ① ② 4/9 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 锐角三角形 高 三角形直角三角形 钝角三角形 底 S平行四边形=S矩形 ③ x2-4x+3=0 ④ 一元二 (a+b)2d-b）多项式×多项式 次方程 ↓ =a2a-b+b(d-b)单项式×多项式 x-3=0或x-1=0 =a2a3-ab+b2a2-b.b单项式×单项式 一元一次方程 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 4.(2026山东中考真题)若关于x的一元二次方程x-2x-m)=0的一个根是10，则另一个根是 c2-a2 5.(2026江苏连云港中考真题)若a、b、c是三个不为零的实数，且a=bc,则b2的最小值为一 6.(2026山东德州中考真题)探究小组发现了日历中的数学奥秘.规定如下：在日历中选取某月，任意 框出3×3的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务. 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 日 B 2 3 6 7 P 10 11 12 13 n 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 C 28 29 30 (I)如图，若九宫格的中心数为n,四个角的数字分别是A、B、C、D 5/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①用含n的式子表示A: ②探究BC-AD是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程x2-13x+22=0的根，求九宫格中最大的数 7.(2026新疆中考真题)解决问题： 32 (1)解方程：2xx+3: (2)被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一，如图，已知正方形 ABCD的面积为100，正方形EFGH的面积为4，求BF的长. D B 8.(2026黑龙江齐齐哈尔中考真题)解方程：x2-6=5x. 9(2026-江苏连云港中考真思)解方程*(-)=8x-8 品 考点04一元二次方程的根与系数的关系 1.(2026黑龙江绥化中考真题)已知，是一元二次方程+2x-9=0的两个根，则+-25的 值为() A.16 B.-16 C.20 D.-20 2.(2026四川巴中中考真题)已知、，是关于x的一元二次方程-x+1=0的两个实数根，则 x+x 的最小值是 3.(2026四川眉山中考真题)若方程-4红-3=0的两个根是，。，则+的值为 美（2心5因川南充中考直)箱物线++m-之与较于么，8清在，且8= ,则的值 6/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为 5。（2026四川凉山中考真题)已知一元=次方程+4-30的两根是，，则了+ 2的值为 6。(2026四川乐山~中考真愿)已知方程-4+3=0的两个根是和，则 7.(2026四川广安中考真题)已知，无是关于的一元二次方程-2x+k=0 两个实数根，且 x+x2≤3-2xx2 k ,则的取值范围是一 8(26河北中考真题)已知关于，的一元=次方程2+好+m=0有两个实数银，其中一个根是另 个根的平方，则m= 2-(2k+1)x+k2+k-2=0 9.(2026四川南充中考真题)关于x的一元二次方程 ()求证：方程有两个不相等的实数根. ②已知方程的两个实数根分别为，。，且 =2x2 ,求k的值. 考点05一元二次方程根的判别式 1.（2026安徽中考真题)已知关于'的一元二次方程r-br+b-a=0(a≠0 有两个相等的实数根，则 b =() 1 A.-2 B.-2 c.3 D.2 2.(2026上海中考真题)下列方程中，没有实数根的是（) A.x2-2x=0B.x2-2=0 C.x2+2x=0 D.x2+2=0 3.(2026四川广元中考真题)若关于x的一元二次方程x2+bx+3=0有两个相等的实数根，则b的值为 7/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.25 9 t25 D.⑤ 4. (2026江苏扬州中考真题)关于x的一元二次方程x2+x-1=0根的情况是() A,有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 5.(2026四川遂宁·中考真题)关于x的一元二次方程x2+mx-1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 6.(2026四川内江中考真题)对于实数a、b,定义运算“☆”如下：a☆b=ab2-ab,例如： 3☆2=3×22-3×2=6 2☆x=3 则方程 的根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 7.(2026四川甘孜中考真题)若关于x的方程x2-4x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 8.(2026广西中考真聪)关于X的-次函数+=0叭的图家与x轴。y转分别交于A,B两点， 0是坐标原点。 【性质初探】 ()y随x的增大而_（填“增大”或“减小”）； (2)求证：△AOB的面积为1； 【归钠提炼】我们把形如x+0)的一次西数称为“正向积1图数。 【深入探究】 (3)图象经过点 2,2) 的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式：若不存在，请说明理由： P(m,n) 4)已知点 不在坐标轴上，若图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个. ①求n关于m的函数解析式： 8/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②选取一个符合条件的点P,并验证该点是线段AB的中点. 9/9函学科网 www.zxxk.com 专题09一元二次方程及其应用 答案版 考点01一元二次方程的相关概念 1.B 2.D 3.1或 -V21+V2 “或 4.-4 5.6 考点02一元二次方程的实际问题 6.C 7.B 8.A 9.(1)y=-x+70 (2)该款文创产品每件的售价为35元. 10.(1)每月产量的增长率为20%. (2)应降价9元，最大利润为2205元。 考点03一元二次方程的解法 11.D 12.B 13.C 1/4 让教与学更高效 (5大考点36题) 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14. 2 15.-40.25 16.(1)①n-8； ②BC-AD为定值28，理由如下： 由题意可得：B=n-6,C=n+6,D=n+8, .B.C-AD=(n-6)(n+6)-(n-8)(n+8)=n2-36-n2+64=28 (2)19 17.1)x=9 (2)6 18.=65=-1 19.=8x2=1 考点04一元二次方程的根与系数的关系 20.A 1 21.2 22.-12 23.1或3 24. 22 25.3 26 1 27.-8 28.(1) 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 证明：：原方程为 2-(2k+1)x+K2+k-2=0 :.△=-(2k+1)-4x1×(k2+k-2 =4k2+4k+1-4k2-4k+8 =9>0 方程有两个不相等的实数根 (2) k的值为4或-5 -品 考点05一元二次方程根的判别式 29.D 30.D 31.B 32.A 33.A 34.A 35.a<4 36.(1)增大 (2)证明：函数与x轴，y轴分别交于A,B两点， 令x=0,得y=k, ..B(0,k)OB=k 令y=0:得0-x4 :k≠0，两边除以k得c+1=0, 2 解得尤= k' 3/4 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 o-a 8m-0a08-s1 1 6)存在，函数解析式为y=2x+1和y=2x-2 (,1 40日=六a=0,回示：食P1-司为合条件，晚E见解折（名案不华） 专题09 一元二次方程及其应用（5大考点36题） 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 考点01 方程相关概念 基础必考，以根的代入求值、参数求解为主，结合函数图象、坐标几何情境命题，侧重概念理解与基础运算辨析。 数形创新：结合函数图象估算根的范围； 逆向考法：由根的特征反求参数，强化逻辑辨析能力。 考点02 方程实际应用 核心高频考点，覆盖增长率、比赛场次、销售利润等场景，考查建模列方程、求解取舍，兼顾实际意义验证。 情境创新：结合文创销售、体育赛事、科技产品生产； 考法升级：融合二次函数求最值，综合考查建模与最值分析。 考点03 方程解法 侧重因式分解、配方法、公式法规范求解，常结合菱形、赵爽弦图等几何图形综合计算，注重转化数学思想。 融合创新：方程解联动几何边长、面积计算； 思想考查：显性考查转化、配方思想，弱化机械解方程。 考点04 根与系数关系 重难点考点，依托韦达定理进行整体代入求值、参数范围判定，多结合抛物线与坐标轴交点问题综合设问。 综合升级：联动二次函数、不等式取值； 创新设问：已知根的数量关系、倍数关系逆向求参，灵活性更强。 考点05 根的判别式 高频基础考点，考查判别式判断根的情况、根据根的个数求参数范围，覆盖选择填空与简单解答题。 定义创新：结合新定义运算、一次函数背景命题； 综合考法：判别式与方程、函数、参数取值多层结合考查。 考点01 一元二次方程的相关概念 1．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 2．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 3．（2026·江西·中考真题）如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 【分析】设，依题意，，得出或，根据满足条件的点有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，依题意， ∴或 ∵中，，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点有且仅有三个 ∴方程有且只有一个解， ∴ ∵ ∴ 所以方程， ∴ ∴ ∴ 解得： 解方程 ∴ 解得： 综上所述，点的横坐标为1或或 4．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 5．（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 考点02 一元二次方程的实际问题 1．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 2．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 3．（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 4．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 5．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 考点03 一元二次方程的解法 1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 2．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“倒数点”定义，若为倒数点，则满足，即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可. 【详解】解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则， 整理得， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立， ， ， 当时，，整理得， ， 解得，， 正根，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立， ∴， 画出函数和图象的草图如图所示： 由图象知：函数和图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立， 整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点， 此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 3．（2026·四川达州·中考真题）“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（   ） ① ②   ③ 一元二次方程 ↓ 或一元一次方程 ④ 多项式多项式 单项式多项式 单项式单项式 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．①属于分类讨论思想；②将平行四边形转化为长方形；③将一元二次方程转化为一元一次方程；④将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式． 【详解】解：①将三角形分为锐角、直角、钝角三角形，这是分类讨论思想，不是转化思想； ②利用割补法将平行四边形转化为长方形，从而推导面积公式，用到了转化思想； ③解一元二次方程时，通过因式分解将其转化为两个一元一次方程，用到了转化思想； ④多项式乘多项式通过分配律转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，用到了转化思想． 综上所述，用到转化思想的是②③④． 4．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 6．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 【答案】(1)①； ②为定值，理由如下： 由题意可得：，，， ∴． (2) 【分析】（1）①根据中心数的特点可得；②根据中心数的特点分别表示，，，再进一步求解即可； （2）先解方程，再结合中心数的特点可得答案． 【详解】（1）解：①由题意可得：； ②略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵为九宫格的中心数， ∴不符合题意， ∴中心数为， ∴九宫格中最大的数为． 7．（2026·新疆·中考真题）解决问题： (1)解方程：； (2)被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形的面积为100，正方形的面积为4，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）根据正方形的面积求出边长，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，， 经检验，当时，， 分式方程的解为； （2）解：正方形的面积为100，正方形的面积为4， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：或（舍）， 即的长为6． 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 或 ，． 9．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程． 【答案】， 【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 考点04 一元二次方程的根与系数的关系 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 2．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 3．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 4．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 5．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 6．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 7．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 8．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 9．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 考点05 一元二次方程根的判别式 1．（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 2．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 3．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 5．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 6．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 7．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·广西·中考真题）关于的一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，是坐标原点． 【性质初探】 (1)随的增大而 （填“增大”或“减小”）； (2)求证：的面积为1； 【归纳提炼】我们把形如的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 (3)图象经过点的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； (4)已知点不在坐标轴上，若图象过点的“正向积1”函数有且只有一个． ①求关于的函数解析式； ②选取一个符合条件的点，并验证该点是线段的中点． 【答案】(1)增大 (2)证明：函数与轴，轴分别交于，两点， 令，得， ，， 令，得， ，两边除以得， 解得， ，， (3)存在，函数解析式为和 (4)① ；② 示例：点符合条件，验证见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据一次函数增减性的判定，由得一次项系数，可直接判断增减性； （2）先求出函数与两坐标轴的交点坐标，得到直角三角形两条直角边的长度，代入三角形面积公式计算即可证明结论； （3）将点坐标代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，求解得到非零的，即可得到对应函数解析式； （4） ① 将点代入函数，整理得到关于的一元二次方程，由函数有且只有一个可知方程有两个相等实根，利用判别式为0整理即可得到关于的解析式； ② 任意取符合条件的点，求出对应函数和坐标，计算中点验证即可． 【详解】（1）一次函数为， ， ，即， 随的增大而增大. （2）略 （3）解： 将代入得： ， 整理得， 解得，，均满足， 因此存在符合要求的函数， 当时，解析式为， 当时，解析式为. （4）① 解： 将代入 得： ， 整理得， 函数有且只有一个，即关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式， 令得， 不在坐标轴上， ， 整理得. ② 验证： 取，得，即， 代入得， 解得，满足， 函数解析式为， 令得， ， 令得， ， 中点坐标为，与坐标一致，因此是的中点. 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $