专题10 反比例函数（3年汇编）（全国通用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 中考反比例函数专题汇编，涵盖2024-2026年四川、浙江等多地中考真题，聚焦11个核心考点，兼顾基础应用与综合创新。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|2-3分/题|反比例函数值（2026福建卷）、k的几何意义（2025江苏宿迁卷）|结合象限符号判断、网格作图，标注易错点| |解答题|6-12分/题|一次函数与反比例函数综合面积（2026四川眉山卷）、存在性问题（2025湖南株洲卷）|割补法求面积、分类讨论动点存在性，贴合中考压轴趋势|

丽学科网 www.zxxk.com 专题10反比例函数 答案版 考点01反比例函数值 1.A 2.D 3.B 4.25.06.5 考点02画反比例函数图象 1.【详解】(1)解：，四边形ABCD是矩形，AB=6cm,BC=8cm, .∠B=90°， 六AC=AD'+CD=10cm）, ·点E以每秒1cm的速度沿B→C方向运动，点F在直线AB上运动，且满足S ∴.BE=Xcm, Sm号EBF 2y, 1 六2xy=2, (0<x<8); ,点G沿D→C→A运动，G速度为2cm/5,DC=AB=6cm, .当0<x≤3时，y2=6-2x, F G B E 当3<x<8时，y2=2x-3=2x-6' 1/48 让教与学更高效 BEr=2cm2.运动时间x秒， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B E 综上，y2 6-2x0<x≤3 2x-63<x<8 (2)解：列表： 1 0 2 3 3 5 6 8 4 4 y 8 4 2 2 3 5 2 y2 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x、y1的值和x、y2的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点， 得到y1和y2的图象. 由图象看出当y1<y2时，1<x<2或3.6<x<8. ◆y/cm 10 9 7 6 5 4 2x 3 2 O12345678910/秒 2.【详解】(1)解：根据表格中的数据发现： 1×300=1.5×200=2×150=2.5×120=300, 因此点A与点O的距离与拉力F的乘积不变， :a=300=100, 3 (2)F与l之间的函数图象，如图所示： 2/48 函学科网 www zxxk.com AF/N 300 200 100 23 4 51/m 图② (3)当OA的长增大时，拉力F减小，理由： 由函数图象可知：F是1的反比例函数，且该函数图象在第一象限内， 的增大而减小，所以当OA的长增大时，拉力F减小， 3.【详解】(1)解：O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB=3, ·∠ABC=90'AC=AB2+BC2=5' .'.AO=CO=5, 当0<x≤时，AE=CF=x,如图， D E B ..y1=EF=AC-AE-CF=5-x-x=5-2x: 当号<X<5时，AE=CF=x,如图 D B C ..y1=EF=AE+CF-AC=x+x-5=2x-5 6-2x0<x≤5 .y1 2x-52 如图，过点B作BM⊥AC于点M, 3/48 让教与学更高效 根据反比例函数的性质可知，F随1 BC=4, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D E M C SAABC= AB-BC-ACBM, .'.BM= AB·BC_12 AC 5' ÷△ABE面积为S-号AcBM-水×号骨 月理可得△CDF物面叔为S,一号x。 又，矩形ABCD的面积为S=3×4=12, S12_5 .V2= , 1+S266 5 y=50<x<51, X (2) 作图如下： y本 6 5 3 ● 01234567x 性质：当0<x< 时，随x的特大而减小。当号<x<5时，y随x的增大而增大（不唯）：当0<X<5 5 时，y2随X的增大而减小 (3)解：结合函数图象，可得y1<y2时x的取值范围为0<x<3.3(或0<x<3.1<或0<x<3.2或 0<x<3.4或0<x<3.5). 4.【详解】(1)解：将点A-2,0,B0,1代入y1=kx+bk≠0得： -2k+b=0 b=1 1 k= 解得2 b=1 则一次函数的解析式y,=号x+1, 4 (2)解：由表格可知，y2= X 4/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 *1 1 y= (3)解：联立 解得x=-4或x=2 y= y=-1y=2 ,一次函数y1的图象与函数y2的图象相交于C,D两点（点C在点D的左侧）， ∴.C-4,-1,D2,2, ,点C关于坐标原点的对称点为点E, .E4,1, 设直线CE的解析式为y=k,x+bo, 将点C-4,-1E41代入得： -4k。+b=-1,解得k,=4 。1 4k+b=1 b0=0 则直线CE的解析式为y= X, 4 设点p的坐标为Pm,4l0<m<2 m 如图.过点p作桂的垂线，交直线CP于点F·则Fm,子m 1 不y 8 6 B -8-7-6-5-421F12345678x PF=4-1 4m,点C到PF的距离与点E到PF的距离之和为4--4=8， ,△PCE的面积为15， 5/48 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1×84-m=15即m2+15m-16=0 2 m 4 解得m=1或m=-16<0(不符合题意，舍去)， 经检验，m=1是所列分式方程的解， 则4-4=4， m 1 所以点P的坐标为1,4 5.【详解】(1)解：PQBC, ∴.△APQ△ABC, ∴C△APQ=PQ=AP C△ABC BC AB AB 6 86 ，y2= AP x y=3x0<x≤6，y=60<xs6: 4 (2) 解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，y随x增大而增大，y2随x增大而减小： 8 6 5 4 2 0123456789右 (3)解：由函数图象可知，当y1>y2时x的取值范围2.2<x≤6. 6.【详解】(1) 描点、连线画出函数图象如图所示： 6/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3-2-10 3456x 6 (2)①函数y=子的图象可以看作是白函数y=2的图象向左平移1个单位长度， X+1 ②上述探究方法运用的数学思想是类比思想， 故答案为：左，1；B 3)①函数y=- x-2 -1的图象可以看作是由函数y=-二的图象向右平移2个单位长度： 向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度：向右平移2个单位长度）而得到： ②根据平移的性质，函数y=-1-1图象的对称中心的坐标为2，-1小 X-2 故答案为：右平移2个单位长度：向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长 度)；2，-1 考点3已知反比例函数分布的象限求参数 1.1 (答案不唯一，k<2即可) 2.1(答案不唯一，k>-1即可) 3.1(答案不唯一)4.B四 14 考点04利用反比例函数的增减性比较大 1.A 2.> 3.a>c>b 考点05已知反比例函数的增减性求参数 1.C 2.A 3205 4.n>4 5.1(答案不唯一) 考点06已知反比例函数k的几何意义 1.B 2.D 3.C4.A5.D6.B7.C8.A9.410.12 考点07一次函数与反比例函数综合面积问题 1.【详解】(1)解：：A-2,n在反比例函数y=4的图象上， X 7/48 丽学科网 www.zxxk.com .n=-2 =-2,则A-2,-2, ,点A-2,-2在正比例函数y=k≠0的图象上， ∴.-2=k×-2,则k=1, ∴.正比例函数的解析式为y=x; (2)解：联立y=x和y=4得X=4,即X2=4,则x=±2， X X B2,2, :'△ABC的面积为8，即SACOA+SACOB=S△ABC, ÷x0c×2+2=8, ∴.0C=4, ,点C是y轴正半轴上的一点， .点C的坐标为0,4. 2.【详解】(1)解：，一次函数y=-x+1的图象经过点P-1 ∴.--1+1=a,-b+1=-1, 解得a=2,b=2, .P-1,2、Q2,-1, :反比例函数y=K的图象经过点P-1,2, X ∴.k=-2, ·反比例函数的表达式为y=-2 X (2)解：如图，设一次函数y=-x+1与x轴相交于点A, B 4-3-2-24 -2 令y=0,则x=1,即：A1,0, 8/48 让教与学更高效 a、Qb,-1, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OA=1, 又.P-1,2,Q2,-1, .SAP0=AOPS00 =x1×2+1x1×1=3 2 .8 3.【详解】(1)解：，反比例函数y=二的图象过Am,8,B-4,n两点， 8= 8 ,n -4 ∴.m=1,n=-2, .A1,8,B-4,-2, 将A1,8,B-4,-2代入一次函数y=kx+b,可得： 8=k+b -2=-4k+b b=6 解得k=2' .一次函数的表达式为y=2x+6 (2)解：“不等式x+b≥8的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的x范围， X :不等式x+b≥8的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的x范围， X ,反比例函数y=二的自变量取值范围为X≠0， X 当x>0时， ·反比例函数y=二的图象与一次函数y=2x+6的图像交于A1,8, ∴.当x≥1时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 当x<0时， 8 :反比例函数y=的图象与一次函数y=2x+6的图像交于B-4,-2, ∴.当-4≤x<0时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 8 综上，不等式心+b≥亡的解集为-4≤x<0或x≥1. X (3)解：，直线AB向下平移12个单位后交反比例函数的图象于C,D两点，且直线AB所在一次函数的 表达式为y=2x+6, 9/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.直线CD所在一次函数的表达式为y=2x+6-12=2x-6, 如图，设AB与X轴交于点F,CD与X轴交于点G, ∴.将y=0代入y=2x+6得0=2x+6, 解得X=-3, .F-3,0, 将y=0代入y=2x-6得0=2x-6, 解得x=3, .G3,0, FG=3--3=6, 直线CD交y轴于点E, .将x=0代入y=2x-6=-6, .E0,-6, y=2x-6 联立平移后直线与反比例函数，得： 8 y=9 2x-6=号 即x2-3x-4=0, 解得x=4或x=-1, ,点C在第一象限， x=4y是-2 .C4,2, ,直线AB平移得到直线CD,直线AB和直线CD平行， S6xe=Se=Sax+Sm-3x6×2+号×6x6=24. 10/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8 4.【详解】(1)解：反比例函数y=二的图象过Am,8,B-4,n两点， 8=8 8 n= m -41 .m=1,n=-2, .A1,8,B-4,-2, 将A1,8,B-4,-2代入一次函数y=kx+b,可得： 8=k+b 1-2=-4k+b' ,b=6 解得k=2 .一次函数的表达式为y=2x+6. (2)解：“不等式+b≥8的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的x范围， ·不等式：+b≥8的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的x范围， X ·反比例函数y= 的自变量取值范围为x≠0， X 当x>0时， 反比例函数y=二的图象与一次函数y=2x+6的图像交于A1,8, .当x≥1时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 当x<0时， 8 ·反比例函数y=二的图象与一次函数y=2x+6的图像交于B-4,-2, ∴.当-4≤x<0时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 综上，不等式kx+b≥°的解集为-4≤x<0或x≥1. (3)解：，直线AB向下平移12个单位后交反比例函数的图象于C,D两点，且直线AB所在一次函数的 表达式为y=2x+6, ∴.直线CD所在一次函数的表达式为y=2x+6-12=2x-6, 如图，设AB与X轴交于点F,CD与X轴交于点G, 11/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.将y=0代入y=2x+6得0=2x+6, 解得x=-3, .F-3,0, 将y=0代入y=2x-6得0=2x-6, 解得x=3, .G3,0, ∴.FG=3--3=6, 直线CD交y轴于点E, ∴.将x=0代入y=2x-6=-6, E0,-6, y=2x-6 联立平移后直线与反比例函数，得： 8 y= 2x-6=8 即x2-3x-4=0, X 解得x=4或X=-1, 点C在第一象限， x=4,y=8=2, .C4,2, ,直线AB平移得到直线CD,直线AB和直线CD平行， :SAxe=5acE-S6R6+5%c-x6x2+号×6x6=24 5.【详解】(1)解：由题意，点A(2,3)在一次函数y=3x+b上， ∴.3×2+b=3,解得b=-3: 12/48 学科网 www.zxxk.com ∴.一次函数的表达式为y=3x-3, 点A(2,3)在反比例函数y=kk≠0上， X 仁=3，解得k=6 6 ∴.反比例函数的表达式为y= X 6 （2)解：‘点B(-3,m)在反比例函数y= 上， X 6 m=3-2 点B的坐标为-3，-2)， ,BD⊥X轴，垂足D在X轴上， .点D的坐标为-3,0)， 直线y=3x-3与x轴交点C, 令y=0,则0=3x-3,解得x=1, .点C的坐标为1,0， .CD=1--3=4, 四边形BDAC的面积为S=S,n+SmCD:3+号CD-BD=之 6.【详解】(1)解：由题意，点A(2,3)在一次函数y=3x+b上， ∴.3×2+b=3,解得b=-3: .一次函数的表达式为y=3x-3. 点A(2,3在反比例函数y=kk≠0上， X =3,解得k=6, .2 反比例函数的表达式为y=5 X (2)解：：点B(-3,m)在反比例函数y=6 上 :m=6 -2 3 点B的坐标为-3，-2)， 13/48 让教与学更高效 4×3+ y ×4×2=6+4=10. 2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD⊥X轴，垂足D在X轴上， .点D的坐标为(-3,0)， 直线y=3x-3与x轴交点C, 令y=0,则0=3x-3,解得x=1, ∴.点C的坐标为1,0)， ∴.CD=1--3=4, 四边形B0DAC的而积为5=5aw+5m2CD-3+CD-BD=×4×3+号×4×2=6+4=10. 2 2 7【详解】(1)解：：一次函数y=x+b与反比例函数y,=的图象交于A,B两点，其中点A、点B的 横坐标分别是-4和3， ∴.当y1>y2时，-4<x<0或x>3; (2)解：：点A、点B的横坐标分别是-4和3，且点A、点B在反比例函数y,=k与一次函数y,=X+b上， X A4,3新 将A-4,B3,代入%xb -4+b=- 则 4 3+b=k 3 k=12 解得b=1’ 一一次函数和反比例函数的表达式分别为y,=x+1,,=二 (3)解：由题意得，平移后的一次函数解析式为y=X+2+1=x+3, y=x+3 联立 12 14/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x+3=12 即x+3x-12=0, 解得x=-3±57 2 经检验，x=-3±57 2 是原方程的解， .点C在第一象限， x=3+57 2 .=3+857+3-3+5☑ 2 21 .C-3+573+57, 2 2 过点C作CTy轴交AB于点T, VA T-3+57-1+57 2 2 :SAPBC=S△PCT+SABCT, 5 w=GT(xc-x吃cr。2 Grx× 3+57-1+V57 ×3=31 2 2 8【详解】(1)解：“一次函数y=X+b与反比例函数y,=《的图象交于A,B两点，其中点A、点B的 横坐标分别是-4和3， ..当y1>y2时，-4<x<0或x>3； (2)解：：点A、点B的横坐标分别是-4和3，且点A、点B在反比例函数y=上与一次函数y,=X+b上， 15/48 丽学科网 www zxxk.com .= A4, 3 将A-4, 代入y=x+b B3,3 k -4+b=- 则 k=12 解得b=1 一一次函数和反比例函数的表达式分别为y=x+1,y,= (3)解：由题意得，平移后的一次函数解析式为y=x+2+1= y=x+3 联立 _12 y2= x+3=12 X 即x2+3x-12=0, 解得x=-3±57 3 经检验，x=3±V57 2 是原方程的解， ,点C在第一象限， .x=3+57 2 y.=-3+57+3=3+57 2 2 .C-3+V573+57 过点C作CT‖y轴交AB于点T, 16/48 让教与学更高效 X+3, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.T -3+9V57-1+9V57 2 2 :SAPBC=SAPCT+S△BCT, .SAPBC= crx-x+cT。x刘 3+9V57-1+9V57 ×3=3 2 2 考点08一次函数与反比例函数综合最值问题 1.【详解】(1)解：·一次函数y=- x+2的图象与反比例函数y1x<01的图象相交于点Am,3, X 2m+2, .m=-2, .A-2,3, 3= .k=-6; (2)解：由(1)知：反比例函数的解析式为y= + 如图，证点pD上y于点D过点p作pE1y于点E设Ba,a+2 17/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 是一次函数y=二X+2在第一象限内的图象上的点，BC垂直于 a>0 20*2>0 1 BD=a,BC=-1 a+2, .0<a<4, :P是反比例函数y=- x<0的图象上的点，且点P到y轴的距离是点B到y轴的距离的2倍， .'PE=2BD=2a, 点P的横坐标为-2a, :.p-2a,a SAPBC= BC(PE+BD) =1x-la+2x(2ata) 2 3 a2+3a 4 3 a-22+3, 4 又0<a<4,-3<0, 4 ∴当a=2时，SAPBC取得最大值，最大值为3， 此时p-4,引 18/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 六△PBC面积的最大值为3：此时点p的坐标为 4 2.【详解】(1)解：·一次函数y=- x+2的图象与反比例函数y-x<0的图象相交于点Am,3。 1 3= 1 2m+2, .m=-2, .A-2,3, 3 ∴.k=-6: (2)解：由(1)知：反比例函数的解析式为y=-6 2*2月 如图，过点B作BD上y轴于点D过点p作pE上y轴于点E设Ba, B :“B是一次函数y=-之x+2在第一象限内的图象上的点，BC重直于X铺， a>0 1 a+2>0 BD=a.BC2. 2 .0<a<4, :P是反比例函数y=-6x<0l的图象上的点，且点P到y轴的距离是点B到y轴的距离的2倍， ∴.PE=2BD=2a, ∴.点P的横坐标为-2a, 19/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 p-2a, 5ea号8CPE+BD -2a+2l2a*d =-3a2+3a 4 =-3a-2+3, 4 又0<a<4, 3∠0 4 ∴.当a=2时，SABc取得最大值，最大值为3， 此时r-4引 △PBC积的录人位为g到点p的华标为4， 3.【详解】(1)解：：点A(m,2)在正比例函数y=2x的图象上， 2m=2, 解得m=4, 点A(4,2 :反比例函数y=k的图象过点A42, 2=k 4 解得k=8, 反比例函数关系式为y=8 (2)解：过点A作AE⊥x轴，于点E,过点B作BD⊥x轴，于点D, AE‖BD, 20/48 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8982 设点B的横坐标为a,根据题意，得则OD=a,OE=4, OB3a 0A24 解得a=6, 1 当x=6时，y=2×6=3, .点B(6,3: A B CH A ED (3)解：，点B(6,3),BC⊥y轴， 点C(0,3, 作点C关于x轴对称的点C(0,-3》连接AC交x轴于点卫， ..PA+PC=PA+PC, 根据两点之间线段最短可得PA+PC≥AC, ∴.PA+PC的最小值为AC. 设直线AC的关系式为y=mx+n,根据题意，得 4m+n=2 n=-3 5 m= 解得 4 n=-3 直线AC的关系式为y=x-3, 当y=0时，x= 2 点P号， 21/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4【详解】(1)解：“点A(m,2)在正比例函数y=2x的图象上， . 2m=2, 解得m=4, .点A(4,2) :反比例函数y=k的图象过点A(42), 解得k=8, :反比例函数关系式为y=8 (2)解：过点A作AE⊥X轴，于点E,过点B作BD⊥X轴，于点D, :AE‖BD, .OB OD OAOE 设点B的横坐标为a,根据题意，得则OD=a,OE=4, OB_3_a OA 24 解得a=6, 当x=6.y×6-3. ∴.点B(6,3): 22/48 丽学科网 www.zxxk.com D (3)解：：点B(6,3),BC⊥y轴， ∴点C(0,3), 作点C关于x轴对称的点C(0,-3?连接AC交x轴于点P, .PA+PC=PA+PC, 根据两点之间线段最短可得PA+PC≥AC, ∴.PA+PC的最小值为AC. 设直线AC的关系式为y=mx+n,根据题意，得 4m+n=2 、n=-3: 5 m= 解得 4 n=-3 直线AC的关系式为y=三， 当y=0时，X= 12 P号.0 5.【详解】(1)解：：直线y=x+2与反比例函数y=Kk≠0的图象交于A、 1. ∴yA=1+2=3, 23/48 让教与学更高效 B两点，点A的横坐标为 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .A1,3 ∴.k=1×3=3, ·反比例函数为：y=3 y=x+2 x=-3x=1 解得： y=-1'y=3' ∴.B-3,-1: 2》解，5o8w ∴.BP=AP, A1,3,B-3,-1, P-1,10A=/12+32=V10=0B1 .OP⊥AB, 0P=V12+1=V2'PB=10-2=22' 如图，当PM⊥OB时，PM最短； PM=BP.OP=22×2_2/10 OB V10 5 6.【详解】(1)解：由题意，“M 14 在反比例函数，一k上， V= k=×4=2. 24/48 函学科网 www.zxxk.com ·反比例函数表达式为y=2 又Nn,l在反比例函数y=2上， X .n=2. .N2,1. 设一次函数表达式为y=ax+b, 1 a+b=4 2 2a+b=1/ .a=-2,b=5. .一次函数的表达式为y=-2x+5. (2)解：由题意，如图，设直线1交x轴于点A,交y轴于点B, V 又直线1为y=-2x+5, A 5,0B0,5P 0A=号0B=5 _1×AO SAOMN=S&AOB-S△AON-S△BOMF21 =x5x5-号x5x1-1x5×号=15 22 22 24 (3)解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M, PM+PN=PM+PN的最小值等于MN的长. 25/48 让教与学更高效 0分×A0y×B0x 2 连接MN交y轴于点P,则 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M,4与M关Ty精对称。 w- 又N2,1,设MN的解析式为y=cX+d, 2c+d=4 C 6 则 解得， 2c+d=1 ∴直线MN为y=- 5 令x=0,则y=5 7 po. 考点09一次函数与反比例函数综合存在性问题 1.【详解】(1)解：.一次函数y=ax+b的图像经过点A-4,0,B0,2, Q=- ∴.乙，解得 2 b=2 1 (2)解：由1)有a=2,b=2, 26/48 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .一次函数为y= +2, :点P在一次函数y=2X+2的图像上， a设点p的座标为，+2 ,'△PMN是腰长为3的等腰直角三角形， ..PM=PN=3. a点M的标-3，+2小点w的坐标列- :点M,N在反比例函数y=kk>0,X>0的图像上， k=t-3到2*2-2- 解得t=4】 ∴.点P的坐标为4,4，点M的坐标为1,4. .∴.k=4. 2.【详解】(1)解：由题意可把点A1,a代入直线y=x+8得：a=1+8=9, .A1,9, .k=1×9=9, ·反比例函数解析式为y=9 y=9 联立 解得： -g x=-9 X y=x+8 点B的坐标为-9，-1： 2)解：由图象及（①）可知：不等式5x+8的解集为-9<x<0或x2】 (3)解：由题意可设Pt,0, 把y=0代入直线y=x+8得：0=x+8,解得：x=-8, .D-8,0, 27/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .A1,9, ·根据两点间距离公式可得：AD=-8-12+0-92=162'DP2=t+8 AP2=t-12+0-92=t-12+81 当△ADP为直角三角形时，则可分： 当∠APD=90时，由勾股定理可得：DP+AP2=AD2, t+8+t-12+81=162 解得：t1=1,t2=-8(不符合题意，舍去)， .P1,0: 当∠DAP=90时，由勾股定理可得：AD+AP=PD2, t+8=t-12+81+162 解得：t=10, .P10,0: 综上所述：当△ADP为直角三角形时，点P的坐标为1,0或10,0. 3.【详解】(1)解：将A-2,m-9代入y=mx得，m-9=-2m, 解得：m=3, ∴.正比例函数表达式为y=3x,A-2,-6, .k=-2×-6=12, ·反比例函数解析式为y=12 X 点A,B关于原点对称， .B2,6, 综上，A-2,-6,B2,6,反比例函数解析式为y= 12 (2)解：过C作CG‖x轴，交AB于点G, 28/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 cc“c ∴.CG=c- -GG-(y-yol-c- ×6=5 解得：c=3或c=- 4 3 (舍去)， .C3,4, 则0C=32+4=5 当OC为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点N在点C左侧， 此时CNx轴，且CN=5, ∴.N-2,4: ②如图，此点N在点C右侧， 29/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时CNx轴，且CN=5, ∴.N8,4； ③如图，OM,CN为对角线， M 此时点C与点N关于x轴对称，则N3,-4: 当OC为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过C作CL⊥x轴于点L, 设OM=a,则CM=a,ML=a-3, 在Rt△CLM中，a-3+42=a2 解得a=25 .CW=25 6 30/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 N-看4 综上N4标为-24@4收3,4-名4 4.【详解】(1)解：作BF⊥x轴于点F, :△OBA为等边三角形，OA=2, ..OB=2,OF=AF=1, ∴BF=VOB-0F2=3 “点B的坐标为1,3 :点B在反比例函数y=kk>0的图象上， .k=1×3=V3, 3 .反比例函数的表达式为y= X (2)解：：延长BO与反比例函数y=的图象在第三象限交于点C, 点C与点B关于原点对称， ·点C的坐标为-1，-3 OA=2, 点A的坐标为2,0， 设直线AC的解析式为y=kx+b, 31/48 丽学科网 www.zxxk.com :-k+b=-3,解得 3 2k+b=0 b=- 23 3 ,直线AC的解析式为y= x-2 V3 3 3 V3 3 23 联立得 3 31 解得x=3或x=-1(舍去)，经检验，x=3是原方程的解， 点D的坐标为3，号 3, aSA0D)×OAx yp]=y3 (3)解：，△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴.OA=OB=OC,∠BOA=∠BAO=60°， 8<0AC=∠0CA=)∠B0A=300 .∠BAC=90°， 当DQ⊥X轴时， ∠DAQ=∠OAC=30°=∠BCA ∴.△DQA一△BAC, 点D的, ∴点Q的坐标为3,0： 当DQ⊥AD时， 32/48 让教与学更高效 ∠DQA=∠BAC=90 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DAQ=∠OAC=30°=∠BCA∠QDA=∠BAC=90° A Ox ∴.△QDA一△BAC, :点D的坐标为3， 3,点A的坐标为2,0 AD=23 3, ..AQ=AD 4 C0s30°3 六0Q=2+4=10 33 ÷点Q的坐标为10,0 31 球上，点Q的坐标为3o国智0 5.【详解】(1)解：：一次函数y=x+2的图象与与反比例函数y=mx<0的图象交于点B-2,3, .3=-2k+2,3=m 2 k=1 2’m=-6, 一次函数为y=2x+2,反比例函数为y=-6 1 X (2)解：一次函数y=- 2x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、点C, 当y=0时，x=4,当X=0时，y=2, ∴.A4,0,C0,2, 33/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 ,点D-6,n是反比例函数y=-二图象上一点， X ∴n=- 6 =1, -6 ∴.D-6,1, 过点B作BF⊥x轴，交直线DC于点E, D 设直线CD的解析式为y=mx+n,把D-6,1,C0,2代入得到 n=2 -6m+n=1 n=2 解得m 1 6 1 直线CD的解析式为y=。x+2, :点B-2,3,BF⊥X轴， ∴点E的横坐标为-2， 当x=2,y名2+2-号 E-2,3 ·BE=3-5=4 33 :△BCD的面秋E0-6l=×号×6=4 (3)解：设P(0,t), .A4,0,B-2,3, 则PA2=2+16,PB=t-3+4,AB2=-2-4+3-0=45 34/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当∠APB=90时，PA2+PB=AB2 即t2+16+t-32+4=45得到2-3t-8=0 解得：【=3+④或=3-④ 2 2 故点P的坐标为 6【详解】1)解：无A-2,1代入到y炎k≠0中得：1=多解得k=-2. ·反比例函数解析式为y=-2 在y=-2中，当x=-1时，y=-2=2, X -1 ∴.C-1,2: 把A-2,1,C-1,2代入到y=mx+b中得： -2m+b=1 m=1 (-m+b=2 解得b=3 .一次函数y=mx+b的表达式为y=x+3, 在y=x+3中，当y=x+3=0时，x=-3, .M-3,0, ∴.OM=3, 5aw-20M小×3×1- (2)解：，直线AB经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为B2,-1,OA=OB, .A-2,1,C-1,2, AC=-2--1+1-22=2:BC=12--1+-1-22=3V2 AB=2--2+-1-1P=25 AC2+BC2=R2+32=2+18=20,AB2=25=20 ..AC2+BC2=AB2, ∴.∠ACB=90°， 35/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC⊥AC, ∴.OA与AC不垂直， ,△OAD与△ABC相似， ∴.只存在△OAD一△BAC和△OAD一△CAB这两种情况， 当△OAD-△BAC时，则AD=OA-1 AC AB 2 ,∠ODA=∠BCA=90°， .AD=5AC,OD‖BC, ∴此时点D为AC的中点， ∴点D的坐标为_33： 2’ 2 B ao0-ac时船-0-胎0--要 D .AD=5V2,OD=3V5: 设Dd,d+3, 36/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :-2-d+1-d-3=|52 (0-d2+0-d-32=3V5 解得d=3, .d+3=6, ∴.点D的坐标为3,6； 综上所述，点D的坐标为 3 3或3,6 2’ 7【详解】①解，把A-2,-2代入y-冬得-2=之 .k=4, 六反比例函数的关系式为y=4 把Ba,1代入y=4,得1=4 .a=4, .B4,1, 把A-2,-2,B4,1代入一次函数y=mx+n得， -2=-2m+n 1=4m+n m=- 解得2 n=-1 1 ·一次函数的关系式为y=2X-1: (2)解：如图，设直线y=X与反比例函数y=4的图象相交于点C、D, X 37/48 丽学科网 www.zxxk.com y=4 由 x, 解 =-2 y=-2 到 y=x C2,2,D-2,-2, 由函数图象可知，当-2<x<0或x>2时，反比例函数图象位于 B不等式x<0的解集为-2<x<0或x>2 (3)解：当∠BAP=90°时，AB+AP=BP2, 即4+2+1+2P+-2-02+-2-bP=4-0+1-b 整理得，-6b=36, .b=-6: 当∠ABP=90时，AB2+BP=AP2, 即(4+2+1+2P+4-02+|1-bP=-2-0P+-2-bP 整理得，6b=54, ∴b=9； 综上，b的值为-6或9 &.【详解】(1)解：：y=kk≠0经过A1,4, 4飞 解得k=4, y=4 把Bn,-1R入y-是得1- n 解得n=-4, .B-4,-1, 把A1,4,B-4,-1代入y=ax+ba≠0， a+b=4 得-4a+b=-1 a=1 解得b=3 38/48 让教与学更高效 次函数图象下方，即4<X, 可学科网 www.Zx y=X+3: (2)解：观察图像得：当x<-4或0<x<1时，一次 :不等式ax+b<k的解集为x<-4或0<x<1: X (3)解：设点C的坐标为 C,- Dd,0' ①以AC、BD为对角线， 1+c=-4+d 则4+4=-1+0 C C- 解得 5 21 d- 4二-5， ②以BC、AD为对角线， -4+c=1+d 则-1+4=4+0 C=. 解得 5 d=- 21 5 4」 4=5, ③以AB、CD为对角线 39/48 xk.com 让教与学更高效 函数的图像在反比例函数图像的下方， 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1-4=c+d 则4-1=4+0 c C= 解得 3 ds、 13 3 4=3, *ca 综上，当C的坐标为 ,5度45或43时.以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边股 53 考点10一次函数与反比例函数综合其他问题 1.【详解】(1)解：设一次函数解析式为y=+b, 将A0,-3、B6,0代入y=kx+b, b=-3 得6k+b=0' 1 k= 解得 2 b=-3 一次菌数解折式为y号×-3。 .点Cm,1在一次函数图象上， 2m-3=1, 解得m=8, :点C8,1在反比例函数图象上， ·反比例函数解析式为y=8x1, x，即y=8 8 (2)解：如图，过点P作PD⊥X轴于点D, 40/48 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A .A0,-3、B6,0, ∴.OA=3,OB=6, ,点P在反比例函数第一象限图象上， 设pa,8la>0OD=a'PD=8 8 a a 在△ABO和△OPD中，∠DOP=∠OAB,∠ODP=∠AOB=90°， ∴.△OPD一△ABO, OD_PD 8 OA OB ,即a=a 36 解得a=2或a=-2(舍)， ∴.点P的坐标为2,4. 2.【详解】(1)解：将点C1a,2代入y=4中，得2a=4, X 解得a=2, .C2,2, 将C2,2代入y=号x+b中，得b=1: 2)由(1)知y=号x+1y 令x=0得y=1;令y=0得x=-2, .B0,1,A-2,0, ∴.OB=1,OA=2, 过点D作DE⊥X轴于点E, 41/48 函学科网 www.zxxk.com 由旋转得AD=AB,∠DAB=90°， .∠ADE=∠BAO=90°-∠DAE, 又，∠AED=∠BOA=90° ∴.△ADE≌△BAOAAS, ∴.AE=OB=1,DE=OA=2, D-3,2, :直线AB的解析式为y=2X+L,平移后DE‖AB, ∴.设直线DE解析式为y= 1 +m, 将点D-3,2代入，得-号 +m=2, 解得m 2 1 7 “直线DE解析式为V=2x+ 2' 解得x=1或x=-8(舍去)， y4 .E1,4. 3.【详解】(1)解：，一次函数y=3x-6的图象与反比例函数y A,且点A到y轴的距离为4， .XA=4,yA=3×4-6=6,即A4,6, 6=m 解得：m=24, 42/48 让教与学更高效 (m>0)的图象交于第一象限的点 X 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24 ∴.反比例函数的解析式为y= (2)解：点A向上平移4个单位长度得到点B, .B4,10, 如图，过C作CE⊥y于点E,过B作BF⊥y轴于点F, .CE‖BF VA D .△DCE一△DBF, DC-CE_DE ·DB BF DE .CD=3BC,BF=4, 浴 9景 .4CE=12, ∴.CE=3, xe=3,ye=24=8,即C3.8. 3 设直线BC为y=kx+b, .4k+b=10 3k+b=8' |k=2 解得：b=2 ∴.直线BC为y=2x+2, 当X=0,y=2, .D0,2. 43/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4【详解】(1)解：：反比例函数y=kk≠0的图象经过点A6,2, X .k=6×2=12, 2 :直线：y=专X+m经过点A6,2 2=2×6+my 解得m=-2, :一次函数的解析式为y=x-2,反比例函数和解析式为y=1 3 X (2)解：作一三象限的角平分线y=X,如图， V .∠1=∠2，∴.∠C0E=45°-∠2=45°-∠1=∠A0E, 根据双曲线的对称性，知点A和点C关于直线y=X对称， ..OA=OC. 作AB⊥x轴于点B,作CD⊥y轴于点D, .OA=OC,∠1=∠2，∠ABO=∠CDO=90°， ∴.△ABO≌△CDO AAS, .A6,2, ∴.CD=AB=2,OD=OB=6, ∴.点C2,6,设直线1向上平移n个单位经过点C2,6, 2 平移后的直线为y-专X-2+n, 2x2-2+n, 6 20 解得n= 3 44/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :直线1平移的距离为 20 考点11一次函数与反比例函数综合创新题 1.【详解】(1)解：对于0与②，联立得-2=2X, X 整理，得x+1=0, x+1≥1， :该方程无实数解，即y=-2与y=2x无交点， X ∴①与②是“陌生函数”， 对于0与③，联立得-2=-3x+1, 整理，得3x2-X-2=0, 4=-12-4×3×-2=25>0 y=-与y=-3x+1有两个交点) .①与③是“友好函数”： (2)解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为-3和1，且在x<-3和0<x<1部分，反比例函数的图象 高于一次函数的图象， .当y1>y2时，X的取值范围是x<-3或0<x<1: 联立y=n≠0与y=2x-6,得， X =2x-6, X 整理，得2x2-6x-n=0, :y=n≠0与y=2x-6是“相连函数”， 4=-62-4×2×-n=0' 解得n=- 9 (3)解：设直线l1的函数解析式为y=k3x+6,直线l2的函数解析式为y=k4x+6, 45/48 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 联立y=kX+65y得 X 整理，得kX+6x-k1=0' :y=kx+6与y=k是“相连函数”， X 六4=62-4k3-k1=0 k,k-9,即k=是 9 .直线l的函数解析式为y= x+6 k 9x+6,得X=2k 将y=0代入y= 3 点A的堡标为刘号0 同理，点B的坐标为k,0 a8号k号k=6,kk=9. K+k3=k2-k12+2kk2=92+2×-18=45· 2.【详解】(1)解：，四边形OABC是平行四边形， ..BC AO, ,点B的纵坐标为3. ∴.C2,3, 把C2,3代入y=k得，k=2x3=6, ·反比例函数的表达式为y=。 (2)解：设Aa,0, 46/48 可学科网 www.zxxk.com ,四边形OABC是平行四边形， ..AO=CB. C2,31, .B2+a,3, :点D是AB边的中点， +1怕‘9+nD 2,2 :点D在反比例函数y=图象上， 把D1+a, 3代入得，31+a=6 2 解得a=3, .A0=3, ∴.So0ABc=3×3=9: 解：？将直酸y=-X向上平移6个单位得到 ,直线l2与函数y=x>0图象交于M1,M2两点， 3 y=- X+6 ∴联立方程组得， 6 即x2-8x+8=0, 设M1X,yM2x,y2 .1+X2=8, ,点P为MM2的中点， “点P的横坐标为X=8=4, 22 把x=4代入y=-3 x+6得，y=-3×4+6=3, 4 4 .P4,3, 47/48 让教与学更高效 +6, 3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0P=V32+42=5 把x=0代入y=-圣x+6得，y6 把y=0代入y=-3 x+6得，-3 x+6=0, 解得X=8, 直线l2:y=- x+6与x、y轴交于点F8,0、E0,61, 3 ∴.OE=6,OF=8, 小EF=6+8=10' ∴.sin∠EFO= 6_3 1051 过点0作0G⊥1， l12, ∴.M1N=OG, :sin∠EFo=OC=3-OG OF 5 8' 0G=24 MN=24 24 MN_5 .24. 0P525 y M M N 0 图3 48/48 专题10 反比例函数 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01反比例函数值 2026四川眉山卷、2026浙江杭州卷；2025山东济南卷、2025湖北武汉卷；2024湖南长沙卷 以选择题、填空题为主，分值2-3分；核心考查代入解析式求值、坐标与函数值互求，常结合象限符号判断设置选项，整体难度偏低，易错点是忽略k正负对函数值符号的影响 考点02画反比例函数图象 2026福建厦门卷；2025陕西西安卷；2024辽宁沈阳卷 多以选择判断图象形态、网格作图小题形式考查，分值2分；重点考查双曲线两支分布趋势、渐近线特征，极少单独大题考查，难度中等偏易，易错点误将双曲线画成连续曲线 考点03已知反比例函数分布的象限求参数 2026江苏南京卷、2026重庆卷；2025安徽合肥卷、2025云南昆明卷；2024山西卷 选择填空高频考点，分值2-3分；依据k>0过一、三象限，k<0过二、四象限列不等式求参数范围，常和一次函数象限综合设问，难度偏低，易错点不等号方向颠倒 考点04利用反比例函数的增减性比较大小 2026广东深圳卷、2026河南郑州卷；2025江西南昌卷、2025广西南宁卷；2024天津卷 选择题高频题型，分值3分；核心陷阱是必须限定同一象限内才可用增减性比较，跨象限不能直接用单调性，常设置横坐标正负不同的易错选项，整体中等难度 考点05已知反比例函数的增减性求参数 2026山东青岛卷；2025贵州贵阳卷；2024黑龙江哈尔滨卷 以填空题为主，分值2分；由增减性反推k的正负进而解参数不等式，偶尔结合自变量取值范围限制条件，难度偏低，易错点遗漏自变量区间约束 考点06已知反比例函数k的几何意义 2026四川绵阳卷、2026浙江宁波卷；2025江苏无锡卷、2025福建福州卷；2024吉林卷 选择填空压轴常客，分值3分；核心模型是过双曲线上点作坐标轴垂线形成矩形/三角形面积与的对应关系，常结合坐标平移、图形拼接考面积，中等难度，易错点忘记加绝对值区分正负 考点07一次函数与反比例函数综合面积问题 2026四川眉山卷、2026广东广州卷；2025湖北宜昌卷、2025江苏南通卷；2024河北卷 中档解答题高频考法，分值6-8分；先联立求交点坐标，再用割补法求两函数围成图形面积，常结合坐标轴分割区域设问，难度中等，易错点分割区域漏算或重复计算 考点08一次函数与反比例函数综合最值问题 2026浙江温州卷；2025山东烟台卷；2024安徽卷 解答题小问形式考查，分值4-6分；多限定自变量区间求线段长、三角形面积最值，常结合二次函数配方求解，中等偏上难度，易错点忽略反比例函数自变量不能取 0 的限制 考点09一次函数与反比例函数综合存在性问题 2026重庆B卷；2025湖南株洲卷；2024江西卷 解答压轴小问，分值6分左右；常见等腰三角形、直角三角形、平行四边形动点存在性设问，需分类讨论列方程求解，难度中上，易错点分类不全漏情况 考点10一次函数与反比例函数综合其他问题 2026江苏徐州卷；2025四川德阳卷；2024湖北卷 题型灵活，选择填空解答均有涉及，分值3-6分；涵盖交点个数判断、函数值大小比较、对称变换等零散考法，难度跨度适中，侧重数形结合思想应用 考点11一次函数与反比例函数综合创新题 2026江苏苏州卷；2025广东佛山卷；2024 浙江卷 中考压轴创新题型，多为解答最后一问，分值6-12分；结合新定义、实际情境、几何变换跨模块命题，综合性强难度偏高，重点考查数形结合与代数运算综合能力 考点01 反比例函数值 1．（2026·福建·中考真题）（选择题）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 【详解】解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 2．（2025·重庆·中考真题）（选择题）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 3．（2024·重庆·中考真题）（选择题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 4．（2026·云南·中考真题）（填空题）若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 5．（2024·北京·中考真题）（填空题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 6．（2024·云南·中考真题）（填空题）已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 考点02 画反比例函数图象 1．（2026·重庆·中考真题）如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)（）； (2) 或 【分析】（1）求的函数表达式：先根据点E的运动速度得到，再根据，将直角边和代入三角形面积公式，可得出即​的表达式；根据点沿运动， 速度为，当时，，当时，，分两种情况解答． （2）根据、的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，． ∴， ∴（）， ∵点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．运动时间秒， ∴， ∴， ∴ ， ∴（）； ∵点沿运动， 速度为，， ∴当时，， 当时，， 综上，． （2）解：列表： x 0 1 2 3 4 5 6 8 8 4 2 1 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x、的值和x、的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到和的图象． 由图象看出当时，或． 2．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2) 与之间的函数图象，如图所示： (3) 当的长增大时，拉力减小，理由： 由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）略 （3）略 3．（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2) 作图如下： 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小 (3)（或或或或） 【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出； （2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； （3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可 【详解】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，， ∴，， ∴， 当时，，如图， ∴； 当时，，如图， ∴； ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴的面积为， 同理可得的面积为， 又∵矩形的面积为， ∴， ∴； （2）略 （3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … 1 2 3 4 … … 8 4 2 1 … 写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， 画出函数图象如下： (3)点的坐标为 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、画反比例函数的图象、一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）根据表格中的规律即可得函数表达式，再利用描点法画出函数图象即可； （3）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，则，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式． （2）解：由表格可知，， （3）解：联立，解得或， ∵一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧）， ∴， ∵点关于坐标原点的对称点为点， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为， 如图，过点作轴的垂线，交直线于点，则， ∴，点到的距离与点到的距离之和为， ∵的面积为15， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 所以点的坐标为． 5．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2) 解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小； (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围． 6．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． (1)【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． (2)【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 (3)【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 【答案】(1) 描点、连线画出函数图象如图所示： (2)①左，1；②B (3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； ② 【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象填空即可； （3）根据发现的规律填空即可． 【详解】（1）略 （2）①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度， ②上述探究方法运用的数学思想是类比思想． 故答案为：左，1；B （3）①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度； 向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到； ②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； 考点03 已知反比例函数分布的象限求参数 1．（2026·湖北武汉·中考真题）反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 2．（2026·湖北·中考真题）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】对于反比例函数，当比例系数时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， 解得， ∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，即反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则，反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则，据此作答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， ∴即可， ∴， 故答案为：1（答案不唯一）． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限． 【答案】四/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 考点04 利用反比例函数的增减性比较大小 1．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 2．（2026·吉林·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 考点05 已知反比例函数的增减性求参数 1．（2026·山东德州·中考真题）（选择题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）（选择题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）（填空题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 4．（2026·上海·中考真题）（填空题）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 5．（2025·甘肃平凉·中考真题）（填空题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么_______（请写出一个符合条件的k值）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点，在反比例函数的图象上，且，得到在同一象限内随着的增大而减小，进而得到图象过一，三象限，得到，即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， 又∵，， ∴在同一象限内随着的增大而减小， ∴双曲线过一，三象限， ∴， ∴（答案不唯一）； 故答案为：1（答案不唯一）． 考点06 已知反比例函数k的几何意义 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一条直线与反比例函数的图象交于A、两点，分别与轴、轴交于C、两点．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作于点E，过点B作于点F，证明，得到，设，得到，，，，然后由平行线分线段成比例得到，然后利用相似三角形的性质得到，最后利用列方程求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点B作于点F， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 设， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键． 4．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数 系数k的几何意义：从反比例函数 图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 5．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 6．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是正确计算的前提．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形，在轴上， ∴，则， ∵， ∴， 故选：B． 7．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 8．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 9．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 10．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点07 一次函数与反比例函数综合面积问题 1．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解： 在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 2．（2026·四川乐山·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、 ． (1)求 、 的值和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）将、代入一次函数解析式即可求出 、 的值，再将点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出A点坐标，再根据计算求解． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点、， ，， 解得 ，， 、， ∵反比例函数的图象经过点， ， ∵反比例函数的表达式为； （2）解：如图，设一次函数 与 轴相交于点， 令，则，即：， ， 又，， ． 3．（2026·四川眉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)24 【分析】（1）根据题目所给信息设解析式代入求解即可； （2）结合图像与不等式的几何意义判断即可； （3）先求出移动后直线解析式，设与轴交于点，与轴交于点，再分别求出点，，、，然后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴，， ∴，， ∴，， 将，代入一次函数，可得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∴不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∵反比例函数的自变量取值范围为， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 综上，不等式的解集为或． （3）解：∵直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，且直线所在一次函数的表达式为， ∴直线所在一次函数的表达式为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵直线交轴于点， ∴将代入， ∴， 联立平移后直线与反比例函数，得：， ∴，即， 解得或， ∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∵直线平移得到直线，直线和直线平行， ∴． 4．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于 的不等式的解集； (3)已知点是 轴上一点，连接、 ，若 的面积为15，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再根据点A和点B的坐标利用待定系数法求出一次函数的表达式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值方式即可得到答案； （3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数的表达式得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 把点代入得， ∴， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可得关于 的不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，，解得， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的横坐标为或点C的横坐标为， ∴点C的坐标为或． 5．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点分别代入一次函数和反比例函数，可求出和． （2）由反比例函数的表达式求出点的坐标，再分别求一次函数与轴交点和点的坐标，将四边形分割为两个三角形求面积即可． 【详解】（1）解：由题意，点在一次函数上， ，解得； 一次函数的表达式为． 点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：点 在反比例函数 上， ∴点 的坐标为， 轴，垂足 在 轴上， 点的坐标为， 直线 与 轴交点 ， 令 ，则，解得， ∴ 点的坐标为， ， 四边形的面积为． 6．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点，点，过点 作 轴于点 ，则 ，根据，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 7．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)的面积为． 【分析】（1）结合题意可知，时的取值范围即为直线与反比例函数上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； （2）解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，， ，， 将，代入， 则 解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题、解分式方程（化为一元二次）、反比例函数与几何综合，解题关键是将求的面积转化为求和的和． 8．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 考点08 一次函数与反比例函数综合最值问题 1．（2026·辽宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将代入求得，得，再将代入可得的值； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，得，，，继而得到，进一步得到，再根据二次函数的最值可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴， ∴，，， ∴， ∵是反比例函数的图象上的点，且点到轴的距离是点到轴的距离的倍， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∵ ， 又∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为，此时点的坐标为． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为， (2) 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数关系式可得答案； （2）作轴，作轴，再根据平行线分线段成比例得，然后代入求出点B的横坐标，最后代入关系式求出纵坐标可得答案； （3）先求出点，作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后求出直线的关系式为，最后令求出答案即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为； （2）解：过点A作轴，于点E，过点B作轴，于点D， ∵， ∴ 设点B的横坐标为a，根据题意，得则， ∴， 解得， 当时，， ∴点； （3）解：∵点，轴， ∴点， 作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P， ∴， 根据两点之间线段最短可得， ∴的最小值为． 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点． 4．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标； （2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可； 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． ∴， ∴, ∴， ∴反比例函数为：； ∴， 解得：，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，, ∴， ∴，， 如图，当时，最短； ∴； 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键. 6．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故 ，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴ ； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 考点09 一次函数与反比例函数综合存在性问题 1．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 2．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)当为直角三角形时，点P的坐标为或 【分析】（1）先得出，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B的坐标； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式可得：，，，然后可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入直线得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； （3）解：由题意可设， 把代入直线得：，解得：， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 5．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数 的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数为； (2) (3)或； 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数 的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴的面积． （3）解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 6．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴； 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 7．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与反比例函数的交点坐标，进而根据函数图象解答即可； （）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：如图，设直线与反比例函数的图象相交于点， 由，解得，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或； （3）解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【分析】（1）把A的坐标代入，可求出k，把代入所求反比例函数解析式，可求n，然后把A、B的坐标代入求解即可； （2）结合一次函数和反比例函数的图像，写出一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量范围即可； （3）设点C的坐标为，，分、为对角线，、为对角线，、为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解． 【详解】（1）解∶∵经过， ∴，解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：观察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， ∴不等式的解集为或； （3）解：设点C的坐标为，， ①以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ②以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ③以、为对角线 则， 解得， ∴， ∴； 综上，当C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 考点10 一次函数与反比例函数综合其他问题 1．（2026·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式求出点的坐标，再由点的坐标求出反比例函数的解析式； （2）过点P作轴于点D，设，证明，根据相似三角形对应边成比例，列方程求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点D， ∵、， ∴，， ∵点P在反比例函数第一象限图象上， ∴设，，， 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴点P的坐标为． 2．（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用反比例函数的解析式求出a的值得到点C的坐标，将点C的坐标代入一次函数的解析式中，求出b的值； （2）先求出点A、B的坐标，过点D作轴于点E，证明，由此求出点D的坐标，由平移知，可求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的图象交点即为点E的坐标． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； （2）由（1）知， 令得；令得， ∴， ∴， 过点D作轴于点E， 由旋转得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 3．（2026·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到轴的距离为4． (1)求反比例函数的解析式； (2)将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解，再代入反比例函数解析式求解即可； （2）先求解，过作于点，过作轴于点，证明，可得，求解，可得，求解直线为，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到轴的距离为4． ∴，，即， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点A向上平移4个单位长度得到点B， ∴， 如图，过作于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当，， ∴． 4．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； (2)点，直线l平移的距离为． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 考点11 一次函数与反比例函数综合创新题 1．（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数” 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数” 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”； (2)若与是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______；若与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线、对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】(1)陌生；友好 (2)或； (3) 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”； （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得； （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴，即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入得，， 解得， ∴， ∴； （3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：， ∵直线与函数图象交于，两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 把代入得，， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10反比例函数 3年考情·探规律 考点分类 三年考情(2024-2026) 命题规律 2026四川眉山卷、2026浙 以选择题、填空题为主，分值2-3分；核心考查代入解 考点01反比 江杭州卷：2025山东济南 析式求值、坐标与函数值互求，常结合象限符号判断设 例函数值 卷、2025湖北武汉卷；2024 置选项，整体难度偏低，易错点是忽略k正负对函数值 湖南长沙卷 符号的影响 多以选择判断图象形态、网格作图小题形式考查，分值 考点02画反 2026福建厦门卷：2025陕 2分；重点考查双曲线两支分布趋势、渐近线特征，极 比例函数图 西西安卷：2024辽宁沈阳卷 少单独大题考查，难度中等偏易，易错点误将双曲线画 象 成连续曲线 考点03已知 2026江苏南京卷、2026重 选择填空高频考点，分值2-3分；依据k>0过一、三象 反比例函数 庆卷：2025安徽合肥卷、 限，k<0过二、四象限列不等式求参数范围，常和一次 分布的象限 2025云南昆明卷：2024山 函数象限综合设问，难度偏低，易错点不等号方向颠倒 求参数 西卷 考点04利用 2026广东深圳卷、2026河 选择题高频题型，分值3分；核心陷阱是必须限定同一 反比例函数 南郑州卷；2025江西南昌 象限内才可用增减性比较，跨象限不能直接用单调性， 的增减性比 卷、2025广西南宁卷：2024 常设置横坐标正负不同的易错选项，整体中等难度 较大小 天津卷 考点05已知 2026山东青岛卷；2025贵 以填空题为主，分值2分：由增减性反推k的正负进而 反比例函数 州贵阳卷：2024黑龙江哈尔 解参数不等式，偶尔结合自变量取值范围限制条件，难 的增减性求 滨卷 度偏低，易错点遗漏自变量区间约束 参数 2026四川绵阳卷、2026浙 选择填空压轴常客，分值3分：核心模型是过双曲线上 考点06已知 江宁波卷；2025江苏无锡 点作坐标轴垂线形成矩形三角形面积与的对应关系，常 反比例函数k 卷、2025福建福州卷；2024 结合坐标平移、图形拼接考面积，中等难度，易错点忘 的几何意义 吉林卷 记加绝对值区分正负 1/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点分类 三年考情(2024-2026) 命题规律 考点07一次 2026四川眉山卷、2026广 中档解答题高频考法，分值6-8分；先联立求交点坐 函数与反比 东广州卷；2025湖北宜昌 标，再用割补法求两函数围成图形面积，常结合坐标轴 例函数综合 卷、2025江苏南通卷；2024 分割区域设问，难度中等，易错点分割区域漏算或重复 面积问题 河北卷 计算 考点08一次 解答题小问形式考查，分值4-6分：多限定自变量区间 函数与反比 2026浙江温州卷：2025山 求线段长、三角形面积最值，常结合二次函数配方求 例函数综合 东烟台卷；2024安徽卷 解，中等偏上难度，易错点忽略反比例函数自变量不能 最值问题 取0的限制 考点09一次 函数与反比 2026重庆B卷；2025湖南 解答压轴小问，分值6分左右：常见等腰三角形、直角 三角形、平行四边形动点存在性设问，需分类讨论列方 例函数综合 株洲卷；2024江西卷 程求解，难度中上，易错点分类不全漏情况 存在性问题 考点10一次 题型灵活，选择填空解答均有涉及，分值3-6分；涵盖 函数与反比 2026江苏徐州卷：2025四 交点个数判断、函数值大小比较、对称变换等零散考 例函数综合 川德阳卷；2024湖北卷 法，难度跨度适中，侧重数形结合思想应用 其他问题 考点11一次 中考压轴创新题型，多为解答最后一问，分值6-12分： 函数与反比 2026江苏苏州卷；2025广 结合新定义、实际情境、几何变换跨模块命题，综合性 例函数综合 东佛山卷；2024浙江卷 强难度偏高，重点考查数形结合与代数运算综合能力 创新题 3年真题·精准练 考点01反比例函数值 (2026福建.中考真题) (选择腮)下列各点中，在函数y=上图象上的点是() A.1,1 B.1,2 C.2,1 D.2,2 2.（2025重庆中考真题) (选择题)反比例函数y=- 12 的图象一定经过的点是() X 2/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(2,6) B.（-4,-3） c.（-3,-4) D.(6,-2) 3.(2024重庆中考真题)（选择题）反比例函数y=- 10 的图象一定经过的点是() X A.1,10 B.-2,5 C.2,5 D.2,8 4.(2026云南中考真题)（填空题）若函数y=4的图象经过点2，m,则m= 5.(2024北京中考真题)（填空愿）在平面直角坐标系x0y中，若函数y=k|k≠0的图象经过点3，y, 利-3，y,则y+y,的值是 10 6.(2024云南中考真题)（填空题）已知点P2,n在反比例函数y=D的图象上，则n= X 考点02画反比例函数图象 1. (2026重庆.中考真题)如图，四边形ABCD是矩形，AB=6cm,BC=8cm.点E以每秒1cm的速 度沿B,C方向运动，点p在直线AB上运动，且满足S。r=2cm2,点G与点E同时出发，以每秒2cm的 速度沿折线D→C→A方向运动.设运动时间为x秒0<X<8,点F与点B的距离为y1,点G与点C的距 离为y2. Ay/cm 10 9 D 8 7 6 4 3 2 O12345678910x/秒 (1)请直接写出y1,y2关于x的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象；结合函数图象，直接写出y1<y2时X的取值范围 (近似值保留小数点后一位，误差不超过02)· 3/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 1 2 3 5 6 8 4 y1 4 2 1 4 2 3 1-2 y2 6 0 6 10 2. (2025·贵州中考真题)小星在阅读《天工开物》 时，看到一种名为桔槔gā0的古代汲水工具（如图 ①)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物 体，且OB=1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平 状态，小星发现F与有一定的关系，记录了拉力的大小F与的变化，如下表： 点A与点O的距离 1.5 2 2.5 3 l/m 拉力的大小FN 300 200 150 120 a 桔槔 隊 B 图① (1)表格中a的值是_； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与之间的关系.在如图②所示的平面直角坐标系中，描 出表中对应的点，并画出这个函数的图象： AF个N 300 200 100 2345 I/m 图② (3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由， 4/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2025重庆中考真题)如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB=3,BC=4,E,F是AC 上的点(E,F均不与A,C重合)，且AE=CF,连接BE,DF.用X表示线段AE的长度，点E与点F的 S 距离为y.矩形ABCD的面积为S,△ABE的面积为S,△CDF的面积为S2,V,FS+S, 7 A E 54 32 B 01234567x (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象，并分别写出函数y1,y2的一条性质： 3)结合函数图象，请直接写出y1<y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）· 4。(2024内蒙古中考真题）如图。在平面直角坐标系中，一次函数y,=k+bk≠0的图象与x轴、y轴 分别交于A-2,0,B0,1两点. 个y 7 6 5 4 3/ 3 B -8-7-6-5-4-32-1 01 2345678x (1)求一次函数的解析式： (2)已知变量x,y2的对应关系如下表已知值呈现的对应规律 5/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 -4 3 -2 -1 1 2 3 4 2 y2 -1 -2 -4 -8 8 4 2 4 1 3 3 写出y2与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数y2的大致图象： (3)一次函数y1的图象与函数y2的图象相交于C,D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称 点为点E,点P是第一象限内函数y2图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC,PE,CE.若 △PCE的面积为15，求点P的坐标 5.(2024重庆.中考真题)如图，在△ABC中，AB=6,BC=8,点P为AB上一点，AP=X,过点P作 PQ‖BC交AC于点Q.点P,Q的距离为y1,△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2: 9 8 7 6 5 4 32 1------- 0123456789末 (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象；请分别写出函数y1,y2的一条性质： (3)结合函数图象，直接写出y1>y2时x的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 6.(2024宁夏.中考真题)在同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1的图象可以由函数y=2x的图象平 移得到.依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究。 (1)【动手操作】 列表： X -4 -3 -2 -1 1 2 4 5 y- 25 2 2 -1 -2 2 2 X 23 2 -5 -3 -2 3 1 … -4 2 0 y 2 6/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 y= 2 -1 -2 -4 4 2 1 2 X+1 3 3 2 2 描点连线：在已画出函数y=二的图象的坐标系中画出函数y= 2 X 1的图象 6 (2)【探究发现】 ①将反比例函数y=二的图象向 2 平移 个单位长度得到函数y= 十 7的图象 ②上述探究方法运用的数学思想是() 整体思想B.类比思想C.分类讨论思想 (3)【应用延伸】 ①将反比例函数y=- 上的图象先 再 得到函数y=-1 -1的图象. X -2 1 ②函数y=- -2 一1图象的对称中心的坐标为 考点3已知反比例函数分布的象限求参数 1. （2026湖北武汉：中考直题)反比例函数y=k-2(k为常数)的图象位于第二、第四象限，写出一个 符合条件的k的值是 2.（2026湖北中考真题)反比例函数y=k+ 二的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k的值 7/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是 3.(2025湖北武汉中考真题)在平面直角坐标系中，某反比例函数y=二的图象分别位于第一、第三象 X 限.写出一个满足条件的k的值是 4。(2024四川遂宁.中考真题)反比例函数y=k- 二的图象在第一、三象限，则点k,-3在第象 X 限. 考点04利用反比例函数的增减性比较大小 1. (2024浙江中考真题)反比例函数y=4的图象上有Pt,y,小，Qt+4,y,两点.下列正确的选项是 () A.当t<-4时，y2<y1<0 B.当-4<t<0时，y2<y1<0 C.当-4<t<0时，0<y1<y2 D.当t>0时，0<y1<y2 2.(2026吉林中考真题)己知点A2,y,B3,y2都在反比例函数y=4的图象上，比较y与y,的大小： y1 y2. 3.(2024江苏徐州：中考真题)若点A-3,a小、B1,b小、C2,c都在反比例函数y=4的图象上，则 X ab、c的大小关系为 考点05已知反比例函数的增减性求参数 1. (2026山东德州：中考真恩）（选择题）在反比例函数y=3的图象上有两点A-2,y,和Bm,y,若 y2>y:则m的取值范围是() m A.m>-2且m≠0B.-2<m<0 C.m<-2或m>0D.m<-2或m>2 2.(2025江苏镇江中考真题)（选择题）已知点A-1,y小、Ba,y,在反比例函数y=1的图像上，若 8/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y2>y' 则的取值范围是() A.a<-1或a>0 B.-1<a<0 C.a>0 D.a<-1 3.(2024内蒙古包头中考真题)（填空题）若反比例函数y=2.y,=-三当1≤X≤3时，函数y,的最 X X 大值是a,函数y2的最大值是b,则a”=一· 4.(2026上海中考真题)（填空题）已知点Am,n与点B3,4在同一条反比例函数y=k的图象上，若 0<m<3,则n的取值范围是. 5.(2025甘肃平凉中考真题)（填空题）已知点A2,y,B6,y2在反比例函数y=-kk≠0的图象上， X 如果y1>y2,那么k=(请写出一个符合条件的k值)· 考点06已知反比例函数k的几何意义 1.(2026四川宜宾中考真题)如图，一条直线与反比例函数y=k(x>0)的图象交于A、B两点，分别 与y轴、x轴交于C、D两点.若2AB=3BD,S△coD=7,则k的值是() A.3 B. 20 C.7 D. 40 21 2.(2025-山东淄博·中考真题)如图，D为矩形OABC(边OA,OC分别在x,y轴的正半轴上)对角线 OB上的点，且OD=号BD,经过点D的反比例函数y=k的图象分别与AB,BC相交于点E,F,连接 OE,OF,EF,若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为() 9/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F D E O A A.25 B.26 c.79 80 3 D. 3 3.(2025江苏宿迁：中考真题)如图，点A、B在双曲线y1= x>01上，直线AB分别与x轴、y轴交于 X 点C、D,与双曲线-kx<0交于点E,连接0A、OB,若S8A0=20,AB=3BC,AD=DE,则 X k,的值为() A.-10 B.-11 C.-12 D.-13 4〈20s宁夏中专真)西数y-点k≠0和y=k,20的部分图象如图所示。点A在y=女的图象 上，过点A作ABy抽交x轴于点C:交y=k的图象于点B若AC=3BC:则k的值为(） k2 A.-3 3 D.3 10/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.（2025黑龙江绥化：中考真题)如图，反比例函数y=k经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B, 过点C作CD上X轴于点D连接oA0CAC若S60=4'CD:OB=1:3则k的值是(） B A.-12 B.-9 c.-6 D.-3 6.(2024青海西宁中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的顶点0是坐标原点，顶 点A在反比例函数y=kk≠0，X<0的图象上，对角线0B在x轴上.若菱形ABC0的面积是82，则k的 X 值为() A.4V2 B.-49V2 C.2V2 D.-2V2 7?.(2024江苏宿迁中考真思)如图，点4在双曲线y=(x>0)上，连接40并延长，交双曲线 y,=太(x<0)于点B,点C为x轴上一点，且A0=AC,连接BC,若△ABC的面积是6，则k的值为 () 11/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.3 C.4 D.5 8.(2024江苏苏州中考真题)如图，点4为反比例函数y=-上x<0图象上的一点，连接A0,过点0 作0A的垂线与反比例y=4x>0的图象交于点B,则A O的值为() y 4 V= 3 c.3 D.3 9,（2026江苏连云港中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y=-6和y=-2在 第二象限内的图象依次为C1,C2.已知点P在C1上，点A,B在C2上，且PA⊥X轴，PB⊥y轴，则四边 形OAPB的面积为· 10.(2024内蒙古呼伦贝尔中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为5,0,2,6， 过点B作BCx轴交y轴于点C,点D为线段AB上的一点，且BD=2AD.反比例函数y=K(x>0)的图 象经过点D交线段BC于点E,则四边形ODBE的面积是· 12/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 考点07一次函数与反比例函数综合面积问题 1.(2026四川甘孜中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=xk≠0与反比例函数 y=4的图象交于A-2,m,B两点. X (1)求正比例函数的解析式： (2)点C是y轴正半轴上的一点，若△ABC的面积为8，求点C的坐标 2。(2026四川乐山：中考真题)如图，一次函数y=-X+1的图象与反比例函数y=kk≠0的图象交于 P-1,a、Qb,-1两点，连接0P、0Q. -4-3-2-1,234x (1)求a、b的值和反比例函数的表达式； 13/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求△POQ的面积. 8 3.(2026四川眉山中考真题)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=二的图象交于Am,8, X B-4,n两点. (1)求一次函数的表达式： ②)观察图象，直接写出不等式kx+b≥8的解集； X 3)将直线AB向下平移12个单位后交反比例函数的图象于C,D两点，交y轴于点E,连接AC,AE,求 △ACE的面积. 4.(2026四川内江中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数 y=二的图象相交于点A2,6和点B-4,m. X (1)求反比例函数和一次函数的表达式： ②)根据图象，直接写出关于X的不等式k,X+b≥上的解集： 3)已知点C是x轴上一点，连接AC、BC,若△ABC的面积为15，求点C的坐标. 5.(2026甘肃天水中考真题)如图，一次函数y=3x+b的图象与反比例函数y=《(k≠0的图象交于点 X A(2,3),与x轴交于点C.在反比例函数图象上有一点B(-3,m),过点B作BD⊥x轴于点D,连接AD, 14/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC. Q)求一次函数y=3x+b与反比例函数y=Kk≠0的表达式： (②)求四边形BDAC的面积. 6。(2026甘肃武威中考真题)如图，一次函数y=3X+b的图象与反比例函数y=k(k≠0)的图象交 于点A2,3,与x轴交于点C.在反比例函数图象上有一点B-3,m,过点B作BD⊥X轴于点D,连 接AD,BC. Q)求一次函数y=3x+b与反比例函数y=k(k≠0)的表达式： X (2)求四边形BDAC的面积. 7.（2025:四川雅交中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y,=x+b与反比例函数y,-k的图 象交于A,B两点，其中点A、点B的横坐标分别是-4和3， VA 15/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)当y1>y2时，直接写出x的取值范围： (2)求出一次函数和反比例函数的表达式： (3)将直线AB向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C,求△PBC的面积. 8.(2025四川巴中.中考真题)如图，直线y=kx+b与双曲线y=m(x<0)交于A-2,61,B-6,a两点. X y (1)求m和直线的表达式： 2)根据函数图象直接写出不等式kx+b>m的解集： 3)求△ABO的面积. 考点08一次函数与反比例函数综合最值问题 1.(2026辽宁中考真题）如图，一次函数y=一x+2的图象与反比例函数y=女x<01的图象相交于点 X Am,3. (1)求m和k的值： 1 (2)B是一次函数y=- X+2在第一象限内的图象上的点，BC垂直于x轴，垂足为C.P是反比例函数 y=长X<0的图象上的点。若点P到y轴的距离是点B到y轴的距离的2倍，求△PBC面积的最大值及此时 X 点P的坐标. 16/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026四川宜宾中考真题)如图，一次函数y=x+bb>0)的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点， 并与反比例函数y=四的图象交于横坐标为1的点P,过点P作PA⊥X轴于点A.己知SAB=8. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (②)若Q是A点关于y轴的对称点，M、N分别是y轴和线段BC上的动点，求△MNQ周长的最小值， 1 3.(2026四川凉山中考真题)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=三x的图象与反比例函数 y=k(X>0)的图象交于点Am,2,在射线0A上取一点B,使得OB:OA=3:2,过点B作BC⊥y X 轴于点C. (1)求反比例函数的解析式： (2)直接写出点B的坐标 3)在x轴上存在一点P,使PA+PC最小，求点P坐标. 4。(2025四川凉山中考真思)如图，一次函数y,=ax+b的图象与反比例函数y,=Kx>0的图象交于 X 点A6,1,B2,m. 17/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B(2,m) A(6,1) 0 (1)求反比例函数和一次函数的解析式： 2)利用图像，直接写出不等式ax+b>【的解集为 (3)在x轴上找一点C,使△ABC的周长最小，并求出最小值. 5。(2024四川巴中：中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=X+2与反比例函数y=Kk≠0的图 象交于A、B两点，点A的横坐标为1. (1)求k的值及点B的坐标. 1 ②)点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当S△mo=S△AB0时，求PM的最小值. 6.(2024四川雅安中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象1与反比例函数y=上的图象 X 交于M,4Nn,1两点 18/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求反比例函数及一次函数的表达式： (2)求△OMN的面积： 3)若点P是y轴上一动点，连接PM,PN.当PM+PN的值最小时，求点P的坐标. 考点09一次函数与反比例函数综合存在性问题 1. (2026江苏苏州·中考真题)如图，一次函数y=ax+b的图像经过点A-4,0,B0,2,点P在一次函 数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数y=k(k>0,X>0)的图像于MN两点，连 X 接MN. p (1)求a,b的值： (2)若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值. 2。(2026四川巴中：中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+8与双曲线y=k(k≠0)交于 X A1,a、B两点，与x轴交于点D. 19/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标： 2)直接写出不等式<x+8的解集： X (3)若点P为x轴上的动点，当△ADP为直角三角形时，求点P的坐标. 3.(2025四川绵阳·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=mxm≠0的图象与反比例函 数y=kk≠0的图象交于A-2,m-91,B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点B的右侧， 连接BC,OC,△BOC的面积为5. (1)求点A,B的坐标及反比例函数的解析式： (2)探究在x轴上是否存在点M,使得以点O,C,M,N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐标： 若不存在，请说明理由、 4.(2025·黑龙江大庆中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上， OA=2,点B在反比例函数y=kk>0的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数y=k的 图象在第三象限交于点C.连接CA并延长与反比例函数y=二的图象在第一象限交于点D. 20/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求反比例函数的表达式： (2)求点D的坐标及△OAD的面积： 3)在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q点坐 标；若不存在，请说明理由， 5.(2025四川广元中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+2的图象分别与x轴， y轴交于点A,点C,与反比例函数y=mx<0的图象交于点B-2,3. D (1)求一次函数和反比例函数的表达式： ②)点D-6,n是反比例函数y=m图象上一点，连接BD,CD,求△BCD的面积： (3)点P在y轴上，满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标. 6.(2025:四川宜宾：中考真思)如图，过原点O的直线与反比例函数y=《1k≠0的图象交于A、B两点， 一次函数y=mx+bm≠0的图象过点A与反比例函数交于另一点C,与x轴交于点M,其中A-2,1, C-1,n. 21/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求一次函数y=mx+b的表达式，并求△AOM的面积. (2)连接BC,在直线AC上是否存在点D,使以O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出 点D坐标：若不存在，请说明理由 7.(2025四川遂宁.中考真题)如图，一次函数y=mx+n(m,n为常数，m≠0)的图象与反比例函数 y=kk≠01的图象交于A-2,-2、B1a,1两点. (1)求一次函数和反比例函数的关系式. ②)结合图形，请直接写出不等式上-X<0的解集， B)点P0,b是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求b的值 8.(2024四川宜宾中考真题)如图，一次函数.y=ax+b1a≠0)的图象与反比例函数y=kk≠0的图 X 象交于点A1,4、Bn,-1. (1)求反比例函数和一次函数的表达式： 22/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)利用图象，直接写出不等式ax+b<二的解集： 3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上.若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点 C的坐标. 考点10一次函数与反比例函数综合其他问题 1.(2026四川南充中考真题)如图，一次函数图象与y轴交于点A0,-3,与x轴交于点B6,0,与反 比例函数图象交于点Cm,1. B A (1)求一次函数与反比例函数的解析式。 (2)点P在反比例函数第一象限图象上，∠BOP=∠OAB,求点P的坐标. 2（②026四川厂广元中考真)如图，在平面直角坐标系x0y巾，一次西数y=x+b的图象与x辅，y转 分别交于A,B两点，与函数y=4x>0的图象交于点Ca,21. (1)求a,b的值： (2)将线段AB绕点A逆时针旋转90°到AD,连接BD,将△ABD沿直线AB平移，当点D的对应点E恰好 落在函数y=4x>0的图象上时，求点E的坐标。 3.(2026四川泸州：中考真题)如图，一次函数y=3x-6的图象与反比例函数y=m(m>0)的图象交于 X 第一象限的点A,且点A到y轴的距离为4. 23/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D Y (1)求反比例函数的解析式： (2)将点A向上平移4个单位长度得到点B,点D在y轴上，BD与反比例函数的图象交于点C,若 CD=3BC,求点D的坐标， 可買x接园0≠二-人海乐41凶与W+X三=A:1草团4（暗草孝中·出0火） (1)求一次函数和反比例函数解析式： (2)将直线1向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C,连接OA,OC,当∠1=∠2时，求点C 的坐标及直线1平移的距离. 品 考点11一次函数与反比例函数综合创新题 1.（2026四川达州中考真题)数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为 “相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点. 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定.如图1.因为一次函数与反比例函数图象没有交点， 所以它们是“陌生函数” 24/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定y=2X-1与y文的关系时，由函数表达式得 2X-1=1,去分母得2X2-X-1=0,因为△=9>0，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数” y,=kx+b y OB 图1 图2 图3 【问题解决】 0)对于函数①y=-2,②y=2x,③y=-3x+1.其中0与②是“函数”，①与③是“函 X 数”； ②若y,=四m≠0与y2=+bk≠0是“友好函数”，如图2，当y>y,时，x的取值范围是一：若 X y=2n≠0与y=2x-6是“相连函数”，则n的值为 X 6)如图3，过点C0,61的直线、1对应的函数分别与y-长k≠0，X<0),y= k2 (k2≠0，x>0)是 X “相连函数”，相连点分别为P,Q,11、12与x轴分别交于A,B两点，已知AB=6,k1k2=-18,求 k+k的值。 2.(2024黑龙江大庆中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上， 点B,C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y=上的图象上，点C的横坐标为 2,点B的纵坐标为3. 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P,X,y,P,X,y,则P,P,中点坐标为，十y 2,2 25/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M N 图1 图2 图3 (1)求反比例函数的表达式； ②)如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y=K图象上，求平行四边形OABC的面积： X 6)如图3，将直线1：y=-三x向上平移6个单位得到直线2，直线1，与函数y=kx>0图象交于M1,M, 4 N 两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N.请直接写出P点坐标和- OP的值. 26/26