专题03 函数（5年汇编）（江西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合江西近5年中考函数真题及模拟题，聚焦三大考点，以生活情境、新定义问题及几何综合设计，体现从基础到创新的能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择、填空、解答题|覆盖三大考点，含19道题（真题15道+模拟4道）|一次函数图象分析（如2025趣味跳高比值）、反比例与几何综合（如2026平行四边形与双曲线）、二次函数新定义（如2026“伴随对称抛物线”）|生活情境（温度变化、体育运动）、新定义探究（不动点函数）、几何代数结合（等腰直角三角形与双曲线）、动态分析（小球飞行轨迹）|

专题03函数 5年真题1年模拟 考点分类 江西考情 命题规律 考点01平面直角坐标系、函数基础和一次函数（常量与变量、函数解析式、自变量和函数值、函数的图象、一次函数） 2025江西(1题)、2024江西(1题) ·情境设置：依托温度变化、体育比赛等生活情境或新定义问题呈现，强调函数与实际联系。 ·考查重点：函数图象的识别与理解，根据图象分析变量关系，结合新定义考查函数概念本质。 ·命题趋势：情境更加真实多元，愈发注重从图象中提取信息、分析变化趋势的能力，新定义题型逐步常态化。 考点02反比例函数和一次函数综合（双曲线） 2025江西(1题)、2023江西(1题) ·情境设置：常在几何图形背景下，借助直线与双曲线的交点及关键点构建综合题。 ·考查重点：一次函数与反比例函数解析式的确定，结合等腰直角三角形、平行四边形等几何性质求参数或坐标。 ·命题趋势：几何变换与函数综合程度加深，强化代数推理与几何直观的结合，注重分类讨论思想。 考点03二次函数（抛物线） 2026江西(1题)、2024江西(1题) ·情境设置：以体育运动轨迹、新定义“伴随对称抛物线”或实践探究为情境，兼具应用性与创新性。 ·考查重点：二次函数解析式与性质、顶点与对称轴、图象与方程的联系，以及抛物线间的位置关系。 ·命题趋势：新定义类问题增多，强调化归与建模能力，从静态计算向动态分析、探究规律转变。 考点1平面直角坐标系、函数基础和一次函数（常量与变量、函数解析式、自变量和函数值、函数的图象、一次函数） 1.(2025·江西·中考真题)在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（     ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2.(2024·江西·中考真题)将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（       ） A.  B.  C.  D.  3.(2022·江西·中考真题)甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（       ） A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B. 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C. 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于 D. 当温度为时，甲、乙的溶解度相等 4.(2025·江西·中考真题)问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 考点2反比例函数和一次函数综合（双曲线） 1.(2026·江西·中考真题)如图，四边形是平行四边形，，，，点在轴上，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 2.(2025·江西·中考真题)如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 3.(2024·江西·中考真题)如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）点B的坐标为______； （2）求所在直线的解析式． 4.(2023·江西·中考真题)如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．     （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 5.(2022·江西·中考真题)已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为　　　　　　　　　　． 6.(2022·江西·中考真题)如图，点在反比例函数的图象上，点B在y轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且． （1）点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）； （2）求k的值和直线的表达式． 考点3二次函数（抛物线） 1.(2026·江西·中考真题)如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（   ） A.  B.  C.  D.  2.(2026·江西·中考真题)如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． （1）试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； （2）如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 3.(2024·江西·中考真题)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 4.(2023·江西·中考真题)综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系     （1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，_______． ②S关于t的函数解析式为_______． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． （3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． 5.(2022·江西·中考真题)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． （1）c的值为__________； （2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h； ②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 1.(2026·江西上饶·模拟)在探究“镁条燃烧时，参加反应的镁的质量与生成氧化镁的质量的关系”时，下列选项能正确反映两者函数关系的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  2.(2026·江西九江·模拟)密度公式：．其中表示密度，表示质量，表示体积．小敏同学探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，她将测量得到的数据绘制成如图所示的图象．则四种物质中密度最大的是（          ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3.(2026·江西·临考预测)下列四个点中只有一个点不在一次函数的图象上，这个点是（     ） A.  B.  C.  D.  4.(2026·江西上饶·模拟)“水稻出米率”是指一定重量的稻谷，经过加工后所能得到的米粒重量与稻谷总重量的比值．如图描述了A，B，C，D四块试验田在丰收时的出米率y与稻谷产量x的情况．则这四块试验田在这次丰收中，最终产出的米粒重量最多的是（     ） A. A B. B C. C D. D 5.(2026·江西上饶余干·模拟)如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  6.(2026·江西上饶余干·模拟)若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（        ） A.  B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7.(2026·江西上饶余干·模拟)已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  8.(2026·江西抚州·模拟)如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9.(2026·江西年江西上饶市铅山县名校联盟·模拟)一个简易电子秤的工作电路图如图1所示．已知是定值电阻，压力传感器踏板受到压力后，其阻值R随所称质量m的变化而改变，如图2所示，并导致电路中的电流发生改变，通过改写电流表表盘数值后可直接读出所称物体的质量，且电子秤最大称重质量为．下列说法不正确的是（        ） A. 压力传感器R的阻值随称重质量m的增大而减小 B. 电子秤没有称重时，压力传感器R的阻值为 C. 当压力传感器R的阻值为时，称重质量m为 D. 压力传感器R的最小阻值为 10.(2026·江西九江·模拟)直线向上平移2个单位，恰好过点，则b的值为　　　　　　　　　　. 11.(2026·江西·学业水平样卷)在平面直角坐标系中，若点在第一象限，则的取值范围是　　　． 12.(2026·江西年江西上饶市铅山县名校联盟·模拟)问题背景 旋转物体在流体中运动时，因两侧流速差异产生侧向力，从而改变运动轨迹，这种现象叫做马格努斯效应，足球中的“香蕉球”即典型例子（如图1，图2）． 研究团队利用高速摄像机分析足球飞行轨迹．在相同的水平飞行距离下，足球的侧向偏移距离y（单位：m）、旋转角速度ω（单位）与水平位移距离x（单位：m）满足． 某次罚球，足球被踢出后的运动可分解为水平方向匀速运动和竖直方向运动，水平位移距离（t单位：s），竖直方向满足（h单位：m，其图象如图3所示），当时，足球的高度为． 问题解决 （1）求b的值． （2）求这次罚球足球从踢出到落地的水平位移距离x． （3）已知这次罚球足球的旋转角速度，当足球飞行到高度时（上升阶段），求此时由马格努斯效应产生的侧向偏移距离y． 13.(2026·江西九江·模拟)一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； （2）小球在斜坡上的落点A的垂直高度为________米； （3）若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由； 14.(2026·江西九江·模拟)如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，以，为邻边作，反比例函数的图象经过点，设点的横坐标为． （1）当时，求的值； （2）当时，求反比例函数的解析式． 15.(2026·江西上饶余干·模拟)如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为　　　　　　． 16.(2026·江西上饶余干·模拟)已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． （1）求抛物线W经过的定点坐标； （2）将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 17.(2026·江西抚州·模拟)综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值． 18.(2026·江西抚州·模拟)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标； （3）对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围． 19.(2026·江西上饶·模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式和的面积； （2）在x轴上取一点B，使，求直线的函数解析式． 试卷第1页，共3页 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数 5年真题1年模拟 考点分类 江西考情 命题规律 考点01平面直角坐标系、函数基础和一次函数（常量与变量、函数解析式、自变量和函数值、函数的图象、一次函数） 2025江西(1题)、2024江西(1题) ·情境设置：依托温度变化、体育比赛等生活情境或新定义问题呈现，强调函数与实际联系。 ·考查重点：函数图象的识别与理解，根据图象分析变量关系，结合新定义考查函数概念本质。 ·命题趋势：情境更加真实多元，愈发注重从图象中提取信息、分析变化趋势的能力，新定义题型逐步常态化。 考点02反比例函数和一次函数综合（双曲线） 2025江西(1题)、2023江西(1题) ·情境设置：常在几何图形背景下，借助直线与双曲线的交点及关键点构建综合题。 ·考查重点：一次函数与反比例函数解析式的确定，结合等腰直角三角形、平行四边形等几何性质求参数或坐标。 ·命题趋势：几何变换与函数综合程度加深，强化代数推理与几何直观的结合，注重分类讨论思想。 考点03二次函数（抛物线） 2026江西(1题)、2024江西(1题) ·情境设置：以体育运动轨迹、新定义“伴随对称抛物线”或实践探究为情境，兼具应用性与创新性。 ·考查重点：二次函数解析式与性质、顶点与对称轴、图象与方程的联系，以及抛物线间的位置关系。 ·命题趋势：新定义类问题增多，强调化归与建模能力，从静态计算向动态分析、探究规律转变。 考点1平面直角坐标系、函数基础和一次函数（常量与变量、函数解析式、自变量和函数值、函数的图象、一次函数） 1.(2025·江西·中考真题)在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（     ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 [答案]A[详解]【分析】 本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】 解：如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A． 2.(2024·江西·中考真题)将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（       ） A.  B.  C.  D.  [答案]C[详解]【分析】 本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变． 【详解】 解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 3.(2022·江西·中考真题)甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（       ） A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B. 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C. 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于 D. 当温度为时，甲、乙的溶解度相等 [答案]D[详解]【分析】 利用函数图象的意义可得答案． 【详解】 解：由图象可知，A、B、C都正确， 当温度为t1时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键． 4.(2025·江西·中考真题)问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． [答案]（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．[详解]【分析】 （1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】 解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】 本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 考点2反比例函数和一次函数综合（双曲线） 1.(2026·江西·中考真题)如图，四边形是平行四边形，，，，点在轴上，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． [答案]（1）     （2）     [详解]【分析】 （1）如图，过点作轴于点．证明，根据全等三角形的性质可得，进而求得的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据已知可得为的中点，则坐标为．待定系数法求得直线的表达式为，可得直线经过坐标原点，进而根据正比例函函数与反比例函数图象的性质即可得出点的坐标． (1)小问详解： 解：如图，过点作轴于点． ∵四边形为平行四边形， ，， ， 又∵， ． ， ． ， ∴反比例函数的表达式为． (2)小问详解： 的面积等于的面积的， 为的中点， 的坐标为． 设直线的表达式为， 则， 解得∴直线的表达式为，即直线经过坐标原点， 又∵， ∴由中心对称可得． 2.(2025·江西·中考真题)如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． [答案]（1）一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为；     （2）点，直线l平移的距离为．     [详解]【分析】 本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． (1)小问详解： 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； (2)小问详解： 解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 3.(2024·江西·中考真题)如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）点B的坐标为______； （2）求所在直线的解析式． [答案]（1）     （2）     [详解]【分析】 题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键． （1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，即可确定点B的坐标； （2）根据点确定反比例函数解析式，然后即可得出，再由待定系数法确定一次函数解析式即可． (1)小问详解： 解：过点B作轴于D，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； (2)小问详解： 由（1）得，代入， 得， ∴， ∵过点作x轴的垂线交双曲线于点C， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得， ∴直线的解析式为． 4.(2023·江西·中考真题)如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．     （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． [答案]（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为     （2）6     [详解]【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果． (1)小问详解： 解：∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴，，即， ∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)小问详解： 解：∵直线的图象与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C， ∴点C的纵坐标为1， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 5.(2022·江西·中考真题)已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为　　　　　　　　　　． [答案]5或或[详解]【分析】 因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可． 【详解】 解：①当AO=AB时，AB=5； ②当AB=BO时，AB=5； ③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0）， 设A（a，）（a>0）， ∵OA=5， ∴， 解得：，， ∴A（3，4）或（4，3）， ∴AB=或AB=； 综上所述，AB的长为5或或． 故答案为：5或或． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键． 6.(2022·江西·中考真题)如图，点在反比例函数的图象上，点B在y轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且． （1）点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）； （2）求k的值和直线的表达式． [答案]（1）（0，2），（1，0），（m＋1，2）     （2）4；y＝-2x＋6     [详解]【分析】 （1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标； （2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式． (1)小问详解： ∵点B在y轴上，， ∴B（0，2）， ∵点D落在x轴正半轴上，且 ∴D（1，0）， ∴线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD， ∵点A（m，4）， ∴C（m＋1，2）， 故答案为：（0，2），（1，0），（m＋1，2）； (2)小问详解： ∵点A和点C在反比例函数的图象上， ∴k＝4m＝2（m＋1）， ∴m＝1， ∴A（1，4），C（2，2）， ∴k＝1×4＝4， 设直线AC的表达式为：， ∴ [解析]得， ∴直线AC的表达式为：y＝-2x＋6． 【点睛】 此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键． 考点3二次函数（抛物线） 1.(2026·江西·中考真题)如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（   ） A.  B.  C.  D.  [答案]B[详解]【分析】 由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】 解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 2.(2026·江西·中考真题)如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． （1）试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； （2）如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． [答案]（1）解：与互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 故与互为“伴随对称抛物线”．     （2）①，证明如下： ∵：与： ∴，， ∵若：与：互为“伴随对称抛物线”， ，， 两式相加得． ， ． ②的对称中心为线段的中点； ③     [详解]【分析】 （1）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （2）①先求出，，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出，，两式相加即可解答； ②根据为中心对称图形，可得的对称中心为线段的中点，即可解答； ③根据题意得出，则：．设与相交于点，根据四边形为正方形，得出为的对称中心，．过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为．证明，得出，．设，得出，．结合，点在上，可得，即可解答． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 解：①略 ②∵为中心对称图形， ∴的对称中心为线段的中点． ③：，， ∴，， ：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， 为的对称中心，， ． 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∴， ∴，． 设， 则，，即，． 又， ，． ∵点在上， ，化简整理得， ． 3.(2024·江西·中考真题)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． [答案]（1）①3，6；②；     （2）①8，②     [详解]【分析】 本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． (1)小问详解： 解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 [解析]， ∴点A的坐标是， (2)小问详解： ①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 4.(2023·江西·中考真题)综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系     （1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，_______． ②S关于t的函数解析式为_______． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． （3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①_______； ②当时，求正方形的面积． [答案]（1）①3；②     （2），     （3）①4；②     [详解]【分析】 （1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． (1)小问详解： 解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)小问详解： 解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； (3)小问详解： 解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， 故答案为：4； ②由（3）①可得， ∵， ∴， ∴， ∴．    . 【点睛】 本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 5.(2022·江西·中考真题)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． （1）c的值为__________； （2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h； ②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． [答案]（1）66     （2）①基准点K的高度h为21m；②b＞；     （3） 他的落地点能超过K点，理由如下： ∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m， ∴抛物线的顶点为（25，76）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76， 把（0，66）代入得： 66＝a（0﹣25）2+76， 解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76， 当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36， ∵36＞21， ∴他的落地点能超过K点．     [详解]【分析】 （1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66； （2）①由a＝﹣，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m； ②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案； （3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点． (1)小问详解： 解：∵起跳台的高度OA为66m， ∴A（0，66）， 把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得： c＝66， 故答案为：66； (2)小问详解： 解：①∵a＝﹣，b＝， ∴y＝﹣x2+x+66， ∵基准点K到起跳台的水平距离为75m， ∴y＝﹣×752+×75+66＝21， ∴基准点K的高度h为21m； ②∵a＝﹣， ∴y＝﹣x2+bx+66， ∵运动员落地点要超过K点， ∴当x＝75时，y＞21， 即﹣×752+75b+66＞21， 解得b＞， 故答案为：b＞； (3)小问详解： 略 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题． 1.(2026·江西上饶·模拟)在探究“镁条燃烧时，参加反应的镁的质量与生成氧化镁的质量的关系”时，下列选项能正确反映两者函数关系的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  [答案]A[详解]【分析】 由题意得到反应的镁的质量与生成氧化镁的质量是正比例函数关系，即可判断． 【详解】 解：由题意得反应的镁的质量与生成氧化镁的质量是正比例函数关系，且图象过原点， 故选项A符合题意． 2.(2026·江西九江·模拟)密度公式：．其中表示密度，表示质量，表示体积．小敏同学探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，她将测量得到的数据绘制成如图所示的图象．则四种物质中密度最大的是（          ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 [答案]A[详解]【分析】 本题考查了从函数图象中获取信息．根据密度质量体积，从图象中比较每种物质的质量和体积，即可得到答案． 【详解】 解：甲和丙的体积相等， 甲的质量丙的质量， 甲的密度大； 乙和丁的体积相等， 乙的质量丁的质量， 乙的密度大， 甲和乙的质量相等， 甲的体积乙的体积， 甲的密度大， ∴四种物质中密度最大的是甲． 故选：A． 3.(2026·江西·临考预测)下列四个点中只有一个点不在一次函数的图象上，这个点是（     ） A.  B.  C.  D.  [答案]D[详解]【分析】 先选取两个点求出一次函数的解析式，再将剩余两个点代入解析式验证，不满足解析式的点即为不在图象上的点． 【详解】 解：选取点和代入得： ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴当时，则；当时，则； ∴选项C在该一次函数图象上，而选项D不在这个一次函数图象上． 4.(2026·江西上饶·模拟)“水稻出米率”是指一定重量的稻谷，经过加工后所能得到的米粒重量与稻谷总重量的比值．如图描述了A，B，C，D四块试验田在丰收时的出米率y与稻谷产量x的情况．则这四块试验田在这次丰收中，最终产出的米粒重量最多的是（     ） A. A B. B C. C D. D [答案]C[详解]【分析】 根据函数图象可知横，纵坐标的乘积即为米粒的重量，再比较得出答案． 【详解】 解：根据题意可知出米率， ∴米粒的重量， 可知A试验田的米粒的重量； B试验田的米粒的重量； C试验田的米粒的重量； D试验田的米粒的重量， 因为， 所以产出的米粒重量最多的是C． 5.(2026·江西上饶余干·模拟)如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  [答案]D[详解]【分析】 本题考查二次函数与系数的关系．根据函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置得出，，，即可判断A；根据对称轴推出，等量代换即可判断B，再结合，即可判断D；当时，根据图象可得，即可判断C． 【详解】 解：由图可知，，， ∵根据对称轴公式， ∴， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴， 把代入中得， ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， ∴当时，； 把代入得， 即，故D选项符合题意； 根据函数图像可知，当时，，即，故C选项不符合题意． 6.(2026·江西上饶余干·模拟)若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（        ） A.  B. 当时， C. 当时， D. 当时， [答案]B[详解]【分析】 本题考查反比例函数的性质，反比例函数中，图象在第一、三象限，每个象限内随的增大而减小，根据点、的横坐标，分情况讨论的范围，即可判断和的大小及符号． 【详解】 解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小． 由题意得，点横坐标为，点横坐标为，满足， 分情况讨论：当时，，两点都在第三象限 ∵随增大而减小 ∴，选项B正确； 当时，，在第三象限，在第一象限 ∴，选项C错误； 当时，，两点都在第一象限 ∵随增大而减小 ∴，选项D错误； 由以上可知，不恒成立，选项A错误． 7.(2026·江西上饶余干·模拟)已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  [答案]A[详解]【分析】 本题考查了二次函数的图象，由已知函数图象可得，，即得，进而可得二次函数的图象经过点且与轴交于负半轴上，据此判断即可求解，能从已知函数图象中获取有关信息是解题的关键． 【详解】 解：由函数图象可得，，， ∴， 把代入，得， ∴二次函数的图象经过点且与轴交于负半轴上， ∴符合题意的图象为选项， 故选：． 8.(2026·江西抚州·模拟)如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 [答案]C[详解]【分析】 本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键． 利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令即可判断②；利用时函数值最大，即可判断③；令即可判断④． 【详解】 ①由图象可知：， ，故①正确； ②当时，，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故②正确； ③当时，y的值最大，此时，， 而当时，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④当时，，对称轴为直线 ∴当时，， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 9.(2026·江西年江西上饶市铅山县名校联盟·模拟)一个简易电子秤的工作电路图如图1所示．已知是定值电阻，压力传感器踏板受到压力后，其阻值R随所称质量m的变化而改变，如图2所示，并导致电路中的电流发生改变，通过改写电流表表盘数值后可直接读出所称物体的质量，且电子秤最大称重质量为．下列说法不正确的是（        ） A. 压力传感器R的阻值随称重质量m的增大而减小 B. 电子秤没有称重时，压力传感器R的阻值为 C. 当压力传感器R的阻值为时，称重质量m为 D. 压力传感器R的最小阻值为 [答案]D[详解]【分析】 观察图象即可判断AB选项，求出电阻与质量的函数关系式，即可判断CD选项． 【详解】 解：观察图象可得， 图象是一条从左向右下降的直线，说明随着横坐标的增大，纵坐标在减小，即压力传感器R的阻值随称重质量m的增大而减小，故A选项正确； 图象与纵坐标的交点坐标为，即当电子秤没有称重时，压力传感器R的阻值为，故B选项正确； 设电阻与质量的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴电阻与质量的函数关系式为， 当时，， 解得， 故当压力传感器R的阻值为时，称重质量m为，C选项正确； 当时，，故压力传感器R的最小阻值为，D选项错误． 10.(2026·江西九江·模拟)直线向上平移2个单位，恰好过点，则b的值为　　　　　　　　　　. [答案]5[详解]【分析】 本题主要考查一次函数与几何变换的知识，将直线向上平移2个单位后直线的解析式为：，又该直线经过点，将点代入直线即可求出答案． 【详解】 解：将直线向上平移2个单位后直线的解析式为：， 将点代入，得 解得：． 故答案为：5． 11.(2026·江西·学业水平样卷)在平面直角坐标系中，若点在第一象限，则的取值范围是　　　． [答案][详解]【分析】 根据点在第一象限纵横坐标满足的条件列不等式解答即可． 【详解】 解：∵点在第一象限， ∴， 解得：． 12.(2026·江西年江西上饶市铅山县名校联盟·模拟)问题背景 旋转物体在流体中运动时，因两侧流速差异产生侧向力，从而改变运动轨迹，这种现象叫做马格努斯效应，足球中的“香蕉球”即典型例子（如图1，图2）． 研究团队利用高速摄像机分析足球飞行轨迹．在相同的水平飞行距离下，足球的侧向偏移距离y（单位：m）、旋转角速度ω（单位）与水平位移距离x（单位：m）满足． 某次罚球，足球被踢出后的运动可分解为水平方向匀速运动和竖直方向运动，水平位移距离（t单位：s），竖直方向满足（h单位：m，其图象如图3所示），当时，足球的高度为． 问题解决 （1）求b的值． （2）求这次罚球足球从踢出到落地的水平位移距离x． （3）已知这次罚球足球的旋转角速度，当足球飞行到高度时（上升阶段），求此时由马格努斯效应产生的侧向偏移距离y． [答案]（1）12     （2）     （3）     [详解]【分析】 （1）将，代入求解； （2）把将，代入求解，即可求解位移； （3）令时，，解得，，对于抛物线，可得对称轴为直线，因此上升阶段取，则水平位移，再代入求解． (1)小问详解： 解：∵当时，足球的高度为 ∴ 解得； (2)小问详解： 解：由（1）得， 将代入得， 解得，（舍去） ∴， ∴这次罚球足球从踢出到落地的水平位移距离； (3)小问详解： 解：当时， 解得， 对于抛物线，可得对称轴为直线， 因此上升阶段取，则水平位移， ∴， ∴此时由马格努斯效应产生的侧向偏移距离为． 13.(2026·江西九江·模拟)一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； （2）小球在斜坡上的落点A的垂直高度为________米； （3）若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由； [答案]（1）     （2）     （3）当时，，， ∵， ∴小球M能飞过这个广告牌．     [详解]【分析】 （1）根据题意设抛物线的表达式为，把代入即可确定抛物线解析式； （2）联立两个函数求解确定，即可得出结果； （3）将分别代入两个函数求解，比较即可． (1)小问详解： 解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为； (2)小问详解： 解：联立方程组， 解得或， ∴， ∴小球在斜坡上的落点A的垂直高度为米， 故答案为：； (3)小问详解： 略 14.(2026·江西九江·模拟)如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，以，为邻边作，反比例函数的图象经过点，设点的横坐标为． （1）当时，求的值； （2）当时，求反比例函数的解析式． [答案]（1）     （2）     [详解]【分析】 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得C的坐标是解题的关键． （1）由题意可知，结合平行四边形的性质求出，然后利用待定系数法即可求解； （2）由题意可知，然后利用待定系数法，根据得到，即可求解． (1)小问详解： 点在直线上，点的横坐标为1， ． 四边形为平行四边形，轴， 轴，． ． 点在反比例函数的图象上， ． (2)小问详解： 点在直线上，点的横坐标为， ． 四边形为平行四边形，轴， 轴，． ． 点在反比例函数的图象上，， ， 解得（舍去），． 故反比例函数的解析式为． 15.(2026·江西上饶余干·模拟)如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为　　　　　　． [答案][详解]【分析】 先根据题意确定弹簧测力计关于的函数解析式，再根据反比例函数上点的坐标特征，即可求解． 【详解】 解：根据题意设反比例函数的解析式为， 根据图乙可得，反比例函数的图象经过点， 把代入求得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，代入得， 解得． 16.(2026·江西上饶余干·模拟)已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． （1）求抛物线W经过的定点坐标； （2）将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． [答案]（1）抛物线W经过的定点坐标为和     （2）①a；②     [详解]【分析】 （1）将变形为，即可解答； （2）①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称，据此得到，化简即可解答；②求出的顶点坐标为，代入抛物线的解析式，得解得，再根据抛物线W：的对称轴在y轴左侧，建立不等式组得到或，即可解答． (1)小问详解： 解：∵， ∴当时，；当时，， ∴抛物线W经过的定点坐标为和． (2)小问详解： 解：①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称， ∴， 即抛物线的解析式为． ②由得抛物线W的顶点坐标为， 整理得，代入抛物线的解析式，得， 整理得， 解得． ∵抛物线W：的对称轴在y轴左侧， ∴，即， ∴或∴，则不合题意，舍去， 故a的值为． 【点睛】 本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键． 17.(2026·江西抚州·模拟)综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值． [答案]（1）     （2）解：当时，，解得， ， ， ， ， 轴， ， 四边形为平行四边形，根据勾股定理可得， ， 平行四边形为菱形；     （3）点时，的面积最大为     [详解]【分析】 本题考查了二次函数和几何综合，菱形的判定，正确做出辅助线表示出的面积是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可解答； （2）求得点的坐标，得到的长度，即可解答； （3）过点作的平行线交直线于点，设的横坐标为，求得的长，进而表示出的面积，利用二次函数的性质，即可解答． (1)小问详解： 解：把代入函数解析式， 可得， 解得， 抛物线的函数解析式为； (2)小问详解： 略 (3)小问详解： 解：设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，过点作的平行线交直线于点， 设点，则点， ， ， 当，即时，的面积最大为． 18.(2026·江西抚州·模拟)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标； （3）对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围． [答案]（1）一次函数的解析式为；     （2）点P的坐标为     （3）或     [详解]【分析】 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，数形结合是解题的关键． （1）先将点的坐标代入反比例函数的解析式求出，从而求出反比例函数的解析式，最后将点的坐标代入解析式就可以求出的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式． （2）由直线解析式求得、的坐标，进而求得，进一步根据题意得到，即，求得的纵坐标，进而求得横坐标； （3）通过图象观察就可以直接看出当时的取值范围． (1)小问详解： 反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵在双曲线上． ∴， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过A、B两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； (2)小问详解： 在中，当时，；当时，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵点P在第四象限， ∴， 代入得，， 解得， ∴点P的坐标为； (3)小问详解： 观察图象可知，对于反比例函数，当时，x的取值范围是或． 19.(2026·江西上饶·模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式和的面积； （2）在x轴上取一点B，使，求直线的函数解析式． [答案]（1）；4     （2）或     [详解]【分析】 （1）利用待定系数法即可得反比例函数的解析式；求出的长，利用三角形的面积公式求解即可； （2）先利用两点之间的距离公式可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可． (1)小问详解： 解：将点代入函数得：， ∴反比例函数的解析式为； ∵直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点， ∴轴， ∴， ∴的面积为． (2)小问详解： 解：设点的坐标为， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或， 设直线的函数解析式为， ①将点代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为； ②将点代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为； 综上，直线的函数解析式为或． 试卷第1页，共3页 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $