25.2 一元二次方程的解法 公式法 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，涵盖求根公式推导、判别式应用及解法步骤。通过课前小测回顾配方法，以“用配方法解一般形式方程”的思考搭建支架，衔接旧知与新知。 其亮点是推导过程注重逻辑推理，分类讨论判别式三种情况培养抽象能力，例题含字母系数及变式题，还配有求根公式趣味记忆视频。能提升学生数学思维与应用意识，教师使用可高效教学，助学生掌握解题步骤。

一元二次方程 公式法 25.2 一元二次方程的解法 学习目标 1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 利用配方法解一元二次方程 （1）x2+10x+9=0; （2）2x2-7x+1=0; 课前小测 用配方法解一元二次方程的步骤 【思考】如何用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？ ①移项； ②二次项系数化为1； ③左边配方写成完全平方式； ④直开； ⑤解一次方程. 二次项系数化为1，得 移项，得 ax2＋bx＝-c 配方，得 即 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 探究新知 解： 方程有两个不等的实数根 探究新知 方程有两个相等的实数根 探究新知 方程无实数根 探究新知 最终可以发现式子b²-4ac决定一元二次方程ax²+bx+c=0根的情况，所以把式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式 用希腊字母Δ表示，即Δ=b²-4ac 当Δ＞0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根 当Δ=0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根 当Δ＜0时，一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根 探究新知 当Δ≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式. 通过求根公式可以发现一元二次方程ax²+bx+c=0的根由各项系数决定.解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接带入求根公式直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 探究新知 例2 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 + 4x − 3 = 0； （2）4x2 = 12x − 9； 解：（1）a = 3，b = 4，c = −3， ∴ Δ= b2 − 4ac = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0， a = 4，b = −12，c = 9， ∴ Δ= b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 按要求完成下列表格： 练一练 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 Δ 例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程即 x2 + x − 1 = 0，a = 1，b = 1，c = −1， ∵ Δ = b2 − 4ac = 12 − 4×1×(−1) = 5＞0， ∴ 该方程有两个不等的实数根，故选 B. B 典例精析 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 例3 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有两个不等的实数根，则 q 的取值范围是 ( ) A. q≤4 B. q≥4 C. q＜16 D. q＞16 C 解析：方程有两个不等的实数根，根据根的判别式，则Δ= b2 − 4ac＞0，即 82 − 4q＞0. 解得 q＜16，故选 C. 典例精析 【变式题】二次项系数含字母 若关于 x 的一元二次方程 kx2 − 2x − 1 = 0 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > −1 B. k > −1 且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 B (-2)2 + 4k > 0 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围. 归纳 方程有两个不等的实数根 分析： 二次项系数不为 0 k≠0 k > −1 且 k≠0 【变式题】删除限制条件“二次” 若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k≥ −1 B. k≥ −1且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 分析： 分类讨论 k = 0 k≠0 原方程变形为 −2x − 1 = 0，有实数根 Δ= 4 + 4k≥0 k≥−1 A 注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当Δ= b2 - 4ac≥0 时，才可以用求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解方程 三 由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. ± - 例4 用公式法解下列方程： 典例精析 (1) x2 − 4x − 7 = 0； (2) 2x2 − x + 1 = 0； (3) 5x2－3x = x + 1； (4) x2 + 17 = 8x. 例4 用公式法解下列方程： 典例精析 (1) x2 − 4x − 7 = 0； 方程有两个不等的实数根 解：a = 1，b = −4，c = −7. Δ= b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0. 即 方程有两个相等的实数根 (2) 2x2 − x + 1 = 0； 解：a = 2，b = − ，c = 1. Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. x1 = x2 (3) 5x2－3x = x + 1； 方程有两个不等的实数根 即 a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0. 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0. (4) x2 + 17 = 8x. 方程没有实数根. a = 1，b = −8，c = 17. Δ= b2 − 4ac = (−8)2 − 4×1×17 = −4＜0. 解：方程化为 x2－8x + 17 = 0. 要点归纳 公式法解方程的步骤 1. 化：化已知方程为一般形式； 2. 定：确定各项系数a，b，c的值； 3. 求：求Δ=b2 − 4ac 的值； 4. 判：若Δ= b2 − 4ac≥0，则方程有实数根； 若 b2 − 4ac＜0，则方程没有实数根. 5. 代：将a，b，c的值代入求根公式，写出方程的根. 3. (1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围. 解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0． Δ= 4m2 − 4(m − 1)(m − 2)≥0，且 m − 1≠0. 解得 且 m≠1. 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 务必将方程 化为一般形式 判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法： Δ=b2 − 4ac > 0 Δ=b2 − 4ac = 0 Δ=b2 − 4ac＜ 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 视频：求根公式的趣味记忆 $