第25章 25.2 降次——解一元二次方程-25.2.2 公式法-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程”中的公式法，涵盖根的判别式、求根公式及应用，通过“刷基础”“刷提升”目录引导，从基础知识点到综合应用，构建由浅入深的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于分层设计与核心素养融合，以运算能力（如公式法步骤训练）、推理意识（如判别式分类讨论）和模型意识（如矩形中线段与方程关系题）为导向，含“喜鹊数”探究等创新题，帮助学生提升数学思维，教师可利用分层题目实施精准教学。

数 学 九年级上册 RJ 1 2 3 第二十五章 一元二次方程 4 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.2 公式法 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 一元二次方程根的判别式 1.【2026山东潍坊质检】若实数，满足，则关于 的方程 根的情况是( ) B A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【解析】 实数，满足， ， ， 方程有两个不相等的实数 根，故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2026广西南宁期中】如果关于的方程有实数根，那么 的取 值范围是( ) A A. B.且 C. D.或 【解析】当时,方程为一元一次方程，且方程的根为;当 时,方程为 一元二次方程. 一元二次方程 有实数根， ，解得.综上, .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 易错警示 方程中的二次项系数含有字母时，有可能是一元一次方程，也有可能是一元二次 方程，需要分类讨论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.【2026四川宜宾质检】嘉淇在解关于的方程 时，解出其中一个 根是.他核对时发现所抄的比原方程的 值小1，则原方程的根的情况是 ____________________. 有两个相等的实数根 【解析】 关于的方程的一个根是 ， ，解得 他核对时发现所抄的比原方程的 值 小1， 原方程的值为，那么原方程为 ， ， 原方程有两个相等的实数 根．故答案为有两个相等的实数根． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 开放性试题 【2025河南郑州质检】请写出一个关于 的一元二次方程， 并满足以下两个条件：①二次项系数为 ；②方程必须有两个不相等的实 数根，这个一元二次方程可以是______________________________________. （答案不唯一） 【解析】 方程必须有两个不相等的实数根，.又 二次项系数为， 不 妨设，，此时， 满足条件的一元 二次方程可以是.故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识点2 一元二次方程的求根公式 5.【2025福建厦门期中】关于 的一元二次方程 的根是( ) A A. B. C. D. 【解析】， 方程的根是 ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 6.【2025河南信阳校级质检】用公式法解关于 的一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是_________________. 【解析】设一元二次方程为，则 ，与 对比，得，，， 该一元二次方程为 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点3 公式法解一元二次方程 7.【2025河北张家口期末】利用公式法解一元二次方程 ，可得两 根为，，若，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】，，， ， ，. 一元二次方程 的两根为，，，的值为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 8.【2025吉林长春质检】用公式法解一元二次方程： （1） ； 【解】，，， ， ，该方程有两个不相等的实数根， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （2） . 【解】，二次项系数化为1得， ， ，， ，该方程有两个不 相等的实数根，，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 刷易错 易错点 在用公式法时未将方程化为一般形式而出错 9.小明在解方程 时出现了错误，解答过程如下： ，， ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ， .（第四步） （1）小明解答过程是从第____步开始出错的，其错误原因是__________________ _______. 一 原方程没有化成一 般形式 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （2）写出此题正确的解答过程. 【解】原方程化成一般形式为，， ， , , , . 易错警示 针对这类问题一定要先将一元二次方程化为一般形式，确定,, 的值，再利用求 根公式解方程就不会导致错解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 1.【2026湖北武汉质检，中】已知函数（是常数），自变量 的取值 范围不是全体实数，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 函数（是常数），自变量 的取值范围不是全体实数， 方程有实数根，，解得 ，故选A． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 2.【2026安徽池州期中，中】对于一元二次方程 ，下列说法: ①若，则方程 必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相 等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有 成立； ④若是一元二次方程的根，则 . 其中所有正确说法的序号为( ) A A.①② B.①②④ C.①②③④ D.①②③ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】①当时，，故①正确； 方程 有两个 不相等的实根，，， 方程 根的判 别式， 方程 必有两个不相等的实根，故②正确； 是方程的一个根， ， ，当时，等式成立，但 不一定成立，故③错误；④若是一元二次方程 的根，由求根公 式可得或， 或 ， ，故④错误.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 3.【2025四川达州质检，中】如图，在矩形中，以点 为 圆心，为半径作弧与交于点，以点为圆心， 为半 径作弧与交于点.设， ，则( ) A A.线段的长是方程 的一个解 B.线段的长是方程 的一个解 C.线段的长是方程 的一个解 D.线段的长是方程 的一个解 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解析】 四边形为矩形，， ， .由作法得，， ， .解方程得 ，故A选项符合题 意；解方程得 ，故B选项不符合题意；解方程 得，故C选项不符合题意；解方程 得 ，故D选项不符合题意.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 4.【2025内蒙古呼和浩特调研，中】已知关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根分别为， （其中），若是关于的函数，且，当时， 的取值范 围为__________. 【解析】是关于 的一元二次方程， ，由求根公式，得. ， ，， ， .当时， ，解得 ，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 5.【2026河南郑州期中，中】已知关于的方程 . （1）求证：无论 取何值，这个方程总有实数根； 【证明】 ， 即， 无论 取何值，这个方程总有实数根. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 （2）若等腰三角形的一边长，另两边长, 恰好是这个方程的两个根， 求 的周长. 【解】,，.当时， ，故舍 去；当时,,且当，或， 时，符合三 角形的三边关系，的周长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 刷素养 走向重高 6.核心素养 运算能力 【2025江西南昌期中，较难】对于任意一个三位数 ，如果 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个 位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”.例如： ，因为 ，所以169是“喜鹊数”. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （1）已知一个“喜鹊数”（， ， ，且，，为整数），请直接写出，， 所满足的关系式：________ _______；241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”）. 不是 【解】（，，，且,, 为整 数）是“喜鹊数”，，即， ， ，不是“喜鹊数”.故答案为 ,不是. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （2）利用（1）中“喜鹊数”中的，， 构造两个一元二次方程 与，若是方程①的一个根， 是 方程②的一个根，求与 满足的关系式. 【解】是一元二次方程的一个根， 是一元二次方程 的一个根，,， ， .将两边同除以，得 ， 将，看成是一元二次方程的两个根.， 方 程有两个相等的实数根，，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （3）在（2）的条件下，若，请直接写出满足条件的所有 的值. 【解】满足条件的所有的值为121,242,363,， ， ，，， ， ，， 满足条件的所有 的值为121，242，363，484. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 $