25.2 一元二次方程的解法 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法（含根的判别式）及因式分解法，构建从基础开方到转化配方，再到公式推导与因式分解的递进式学习支架。 资料以“知识点解析+即时练习+题型突破+过关检测”为框架，通过配方法步骤分解、公式法判别式应用等实例，培养学生运算能力与推理意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生强化落实，弥补知识盲点。

第25章 一元二次方程 · 课时2 一元二次方程的解法 01 预习航标 → 析目标·明方向 02 教材全解 → 建框架·精讲解 03 题型突破 → 析考点·破方法 04 过关检测 → 练考点·强落实 02 教材全解 → 建框架·精讲解 ▍知识点01 直接开平方法 定义：形如 x2=p（p≥0）的方程，可直接开平方得 x=±√p，这种方法叫直接开平方法． 要点：当方程一边是含未知数的一次式的平方、另一边是非负数时适用；若右边为负数，则方程无实数根． 【易错提醒】 开平方时务必写成 x=±√p 双解；若形式为 (x+a)2=p，则 x+a=±√p． ▶ 即时即练 1. 方程 x2=9 的解是（ ） A．x=3 B．x=-3 C．x=±3 D．x=±9 2. 用直接开平方法解方程 (x-2)2=16，得 x1=______，x2=______． 3. 方程 (2x+1)2=25 的解是______． ▍知识点02 配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫配方法． 步骤（二次项系数为1）：①移项（常数项右移）；②两边同加“一次项系数一半的平方”；③写成 (x+m)2=n；④开平方求解． 【易错提醒】 配方时，两边同加的是“一次项系数一半的平方”，且必须保持等式平衡；二次项系数不为1时先两边同除以a再配方． ▶ 即时即练 1. 方程 x2-4x+______=(x-2)2，横线上应填（ ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 2. 将方程 x2+6x-1=0 配方，得 (x+3)2=______． 3. 用配方法解方程 x2-2x-3=0，变形正确的是（ ） A．(x-1)2=2 B．(x-1)2=4 C．(x+1)2=4 D．(x-1)2=3 ▍知识点03 公式法（含根的判别式） 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式 Δ=b2-4ac． Δ>0 ⇔ 有两个不相等的实数根；Δ=0 ⇔ 有两个相等的实数根；Δ<0 ⇔ 没有实数根． 求根公式：当 Δ≥0 时，x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，即 x=−b±√Δ/(2a)． 【易错提醒】 用公式法前先化为一般形式并确定 a,b,c（带符号）；先算 Δ 再代公式；Δ<0 时无实数根，不必代公式． ▶ 即时即练 1. 方程 x2-3x+1=0 的根的判别式 Δ 的值为（ ） A．5 B．9 C．13 D．1 2. 不解方程，判断 2x2-3x+2=0 的根的情况是（ ） A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实数根 D．无法确定 3. 用公式法解方程 x2-4x-5=0，得根为______． 4. 若关于x的方程 x2+2x+k=0 有两个相等的实数根，则k=______． ▍知识点04 因式分解法 定义：先因式分解使方程化为 A·B=0 的形式，再令 A=0 或 B=0 求解，叫因式分解法． 常用方法：①提公因式法；②公式法（平方差 a2-b2=(a-b)(a+b)，完全平方）；③十字相乘法（分解二次三项式）． 【易错提醒】 慎用两边同除以含未知数的式子（会丢根）；优先移项使右边为0再分解；分解后令各因式为0． ▶ 即时即练 1. 方程 x(x-3)=0 的解是（ ） A．x=0 B．x=3 C．x1=0,x2=3 D．x=±3 2. 方程 x2-4=0 可化为（ ） A．(x-2)2=0 B．(x-2)(x+2)=0 C．x(x-4)=0 D．(x+2)2=0 3. 解方程 (x-1)2=2(x-1)，可提取公因式(x-1)后得（ ） A．(x-1)(x-3)=0 B．(x-1)(x+1)=0 C．x(x-3)=0 D．(x-1)2=0 03 题型突破 → 析考点·破方法 ▍题型1 直接开平方法解一元二次方程 【例1】. 解方程：(x-5)2=9． 【技巧归纳】 1. 形如 (x+a)2=p（p≥0）直接开平方． 2. 务必写双解 x+a=±√p． 【变式1-1】. 解方程：2(x+1)2-8=0． 【变式1-2】. 方程 (3x-2)2=16 的解是______． ▍题型2 用配方法解二次项系数为1的方程 【例2】. 用配方法解方程：x2-6x+4=0． 【技巧归纳】 1. 移项：常数项右移． 2. 配方：两边加(一次项系数/2)2． 3. 开平方求解． 【变式2-1】. 用配方法解方程：x2+4x-1=0． 【变式2-2】. 用配方法解方程：x2-2x-8=0． ▍题型3 用配方法解二次项系数不为1的方程 【例3】. 用配方法解方程：2x2-4x-6=0． 【技巧归纳】 1. 两边同除以二次项系数a，使二次项系数为1． 2. 再按系数1配方． 【变式3-1】. 用配方法解方程：3x2+6x-9=0． 【变式3-2】. 用配方法解方程：2x2+x-1=0． ▍题型4 配方法的应用（求最值） 【例4】. 用配方法求代数式 x2-4x+6 的最小值． 【技巧归纳】 1. 配方成完全平方式+常数． 2. 利用 (...)2≥0 求最值． 【变式4-1】. 代数式 -x2+2x+3 的最大值是______． 【变式4-2】. 用配方法说明 2x2-8x+11 的值恒为正，并求其最小值． ▍题型5 用公式法求解一元二次方程 【例5】. 用公式法解方程：x2-5x+3=0． 【技巧归纳】 1. 化一般式，定a,b,c（带符号）． 2. 算Δ． 3. 代公式 x=(-b±√Δ)/(2a)． 【变式5-1】. 用公式法解方程：2x2-3x-1=0． 【变式5-2】. 解方程：3x2-6x+2=0． ▍题型6 根据判别式判断根的情况 【例6】. 不解方程，判断 3x2-2x+1=0 根的情况． 【技巧归纳】 算Δ与0比较：Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根． 【变式6-1】. 方程 x2+2x+1=0 的根的情况是（ ） A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实数根 【变式6-2】. 关于x的方程 x2-kx+4=0 有两个相等实根，则k=______． ▍题型7 由根的情况求参数 【例7】. 若关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【技巧归纳】 将“根的情况”译为Δ的不等式：有实根用Δ≥0，两不等用Δ>0，两相等用Δ=0，无实根用Δ<0；注意a≠0． 【变式7-1】. 若关于x的方程 kx2-2x+1=0 有两个实数根，则k的取值范围是______． 【变式7-2】. 若关于x的一元二次方程 (m-1)x2+2x+1=0 无实数根，则m的取值范围是______． ▍题型8 因式分解法（提公因式/公式法） 【例8】. 解方程：x2-5x=0． 【技巧归纳】 1. 移项使右边为0． 2. 提取公因式或公式分解． 3. 令各因式为0． 4. 忌两边同除含x的式子（会丢根）． 【变式8-1】. 解方程：x2-9=0． 【变式8-2】. 解方程：(2x-1)2=(x-2)2． ▍题型9 用十字相乘法求解 【例9】. 用十字相乘法解方程：x2-5x+6=0． 【技巧归纳】 将 x2+(p+q)x+pq 分解为 (x+p)(x+q)；交叉相乘凑中间项系数． 【变式9-1】. 解方程：x2+x-6=0． 【变式9-2】. 解方程：2x2-5x+2=0． ▍题型10 换元法解一元二次方程 【例10】. 用换元法解方程：(x2-2)2-3(x2-2)-4=0． 【技巧归纳】 结构对称、含整体平方时，设整体为t降次，解出t后再回代求x． 【变式10-1】. 用换元法解方程：(x2+x)2-4(x2+x)+3=0． 【变式10-2】. 用换元法解方程：(x2-3)2-2(x2-3)-8=0． 04 过关检测 → 练考点·强落实 1. 方程 (x+3)2=4 的解是（ ） A．x=-1 B．x=-5 C．x=-1或-5 D．x=1或-5 2. 用配方法解方程 x2+8x+7=0，配方后正确的是（ ） A．(x+4)2=9 B．(x+4)2=23 C．(x+8)2=9 D．(x+8)2=57 3. 方程 x2-4x+4=0 的根的情况是（ ） A．两不等实根 B．两相等实根 C．无实根 4. 用公式法解方程 2x2-4x-1=0，则 Δ=______，根为______． 5. 方程 x2=3x 的解是（ ） A．x=3 B．x=0 C．x1=0,x2=3 D．x=±3 6. 解方程 x2-5x=0 的简便方法是（ ） A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法 7. 若关于x的方程 x2+2x+m=0 有两个实数根，则m的取值范围是______． 8. 用十字相乘法解方程 x2-3x-10=0，得______． 9. 代数式 x2-6x+10 的最小值是______． 10. 用适当方法解方程：3x2-12=0． 11. 若关于x的一元二次方程 (k-1)x2+2x+1=0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围；当k=0时求该方程的两个根． 12. 解下列方程，并说明所用方法：(1) (x-1)2=9；(2) x2+4x-5=0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一元二次方程 · 课时2 一元二次方程的解法 01 预习航标 → 析目标·明方向 02 教材全解 → 建框架·精讲解 03 题型突破 → 析考点·破方法 04 过关检测 → 练考点·强落实 02 教材全解 → 建框架·精讲解 ▍知识点01 直接开平方法 定义：形如 x2=p（p≥0）的方程，可直接开平方得 x=±√p，这种方法叫直接开平方法． 要点：当方程一边是含未知数的一次式的平方、另一边是非负数时适用；若右边为负数，则方程无实数根． 【易错提醒】 开平方时务必写成 x=±√p 双解；若形式为 (x+a)2=p，则 x+a=±√p． ▶ 即时即练 1. 方程 x2=9 的解是（ ） A．x=3 B．x=-3 C．x=±3 D．x=±9 【答案】 C 【分析】 直接开平方取正负． 【详解】 解：x=±√9=±3．故选C． 2. 用直接开平方法解方程 (x-2)2=16，得 x1=______，x2=______． 【答案】 6，-2 【分析】 先开平方再解一次式． 【详解】 解：x-2=±4，故x=6或x=-2． 3. 方程 (2x+1)2=25 的解是______． 【答案】 x1=2，x2=-3 【分析】 整体开平方． 【详解】 解：2x+1=±5，得x=2或x=-3． ▍知识点02 配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫配方法． 步骤（二次项系数为1）：①移项（常数项右移）；②两边同加“一次项系数一半的平方”；③写成 (x+m)2=n；④开平方求解． 【易错提醒】 配方时，两边同加的是“一次项系数一半的平方”，且必须保持等式平衡；二次项系数不为1时先两边同除以a再配方． ▶ 即时即练 1. 方程 x2-4x+______=(x-2)2，横线上应填（ ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】 A 【分析】 展开右边对照． 【详解】 解：(x-2)2=x2-4x+4，故填4．故选A． 2. 将方程 x2+6x-1=0 配方，得 (x+3)2=______． 【答案】 10 【分析】 移项后加一次项系数一半的平方． 【详解】 解：x2+6x=1，两边加9得(x+3)2=10． 3. 用配方法解方程 x2-2x-3=0，变形正确的是（ ） A．(x-1)2=2 B．(x-1)2=4 C．(x+1)2=4 D．(x-1)2=3 【答案】 B 【分析】 移项配方． 【详解】 解：x2-2x=3，两边加1得(x-1)2=4．故选B． ▍知识点03 公式法（含根的判别式） 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式 Δ=b2-4ac． Δ>0 ⇔ 有两个不相等的实数根；Δ=0 ⇔ 有两个相等的实数根；Δ<0 ⇔ 没有实数根． 求根公式：当 Δ≥0 时，x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，即 x=−b±√Δ/(2a)． 【易错提醒】 用公式法前先化为一般形式并确定 a,b,c（带符号）；先算 Δ 再代公式；Δ<0 时无实数根，不必代公式． ▶ 即时即练 1. 方程 x2-3x+1=0 的根的判别式 Δ 的值为（ ） A．5 B．9 C．13 D．1 【答案】 A 【分析】 代入判别式公式． 【详解】 解：Δ=(-3)2-4×1×1=9-4=5．故选A． 2. 不解方程，判断 2x2-3x+2=0 的根的情况是（ ） A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】 C 【分析】 算 Δ 比0． 【详解】 解：Δ=(-3)2-4×2×2=9-16=-7<0，无实数根．故选C． 3. 用公式法解方程 x2-4x-5=0，得根为______． 【答案】 x1=5，x2=-1 【分析】 代求根公式． 【详解】 解：a=1,b=-4,c=-5，Δ=16+20=36，x=(4±6)/2=5或-1． 4. 若关于x的方程 x2+2x+k=0 有两个相等的实数根，则k=______． 【答案】 1 【分析】 Δ=0求解． 【详解】 解：Δ=4-4k=0，得k=1． ▍知识点04 因式分解法 定义：先因式分解使方程化为 A·B=0 的形式，再令 A=0 或 B=0 求解，叫因式分解法． 常用方法：①提公因式法；②公式法（平方差 a2-b2=(a-b)(a+b)，完全平方）；③十字相乘法（分解二次三项式）． 【易错提醒】 慎用两边同除以含未知数的式子（会丢根）；优先移项使右边为0再分解；分解后令各因式为0． ▶ 即时即练 1. 方程 x(x-3)=0 的解是（ ） A．x=0 B．x=3 C．x1=0,x2=3 D．x=±3 【答案】 C 【分析】 两因式乘积为0． 【详解】 解：x=0 或 x-3=0．故选C． 2. 方程 x2-4=0 可化为（ ） A．(x-2)2=0 B．(x-2)(x+2)=0 C．x(x-4)=0 D．(x+2)2=0 【答案】 B 【分析】 用平方差分解． 【详解】 解：x2-4=(x-2)(x+2)=0．故选B． 3. 解方程 (x-1)2=2(x-1)，可提取公因式(x-1)后得（ ） A．(x-1)(x-3)=0 B．(x-1)(x+1)=0 C．x(x-3)=0 D．(x-1)2=0 【答案】 A 【分析】 移项后再提公因式． 【详解】 解：移项 (x-1)2-2(x-1)=0，得(x-1)(x-3)=0．故选A． 03 题型突破 → 析考点·破方法 ▍题型1 直接开平方法解一元二次方程 【例1】. 解方程：(x-5)2=9． 【答案】 x1=8，x2=2 【分析】 整体开平方． 【详解】 解：x-5=±3，得x=8或x=2． 【技巧归纳】 1. 形如 (x+a)2=p（p≥0）直接开平方． 2. 务必写双解 x+a=±√p． 【变式1-1】. 解方程：2(x+1)2-8=0． 【答案】 x1=1，x2=-3 【分析】 先除以2再开方． 【详解】 解：(x+1)2=4，x+1=±2，得x=1或x=-3． 【变式1-2】. 方程 (3x-2)2=16 的解是______． 【答案】 x1=2，x2=-2/3 【分析】 整体开方． 【详解】 解：3x-2=±4，得3x=6或3x=-2，x=2或-2/3． ▍题型2 用配方法解二次项系数为1的方程 【例2】. 用配方法解方程：x2-6x+4=0． 【答案】 x1=3+√5，x2=3-√5 【分析】 移项配方开平方． 【详解】 解：x2-6x=-4，两边加9得(x-3)2=5，x-3=±√5，得x=3±√5． 【技巧归纳】 1. 移项：常数项右移． 2. 配方：两边加(一次项系数/2)2． 3. 开平方求解． 【变式2-1】. 用配方法解方程：x2+4x-1=0． 【答案】 x1=-2+√5，x2=-2-√5 【分析】 配方成完全平方式． 【详解】 解：x2+4x=1，加4得(x+2)2=5，x+2=±√5． 【变式2-2】. 用配方法解方程：x2-2x-8=0． 【答案】 x1=4，x2=-2 【分析】 配方后开方． 【详解】 解：(x-1)2=9，x-1=±3，得x=4或x=-2． ▍题型3 用配方法解二次项系数不为1的方程 【例3】. 用配方法解方程：2x2-4x-6=0． 【答案】 x1=3，x2=-1 【分析】 先除以a使系数为1． 【详解】 解：两边除以2得x2-2x-3=0，配方(x-1)2=4，x-1=±2． 【技巧归纳】 1. 两边同除以二次项系数a，使二次项系数为1． 2. 再按系数1配方． 【变式3-1】. 用配方法解方程：3x2+6x-9=0． 【答案】 x1=1，x2=-3 【分析】 化为系数1配方． 【详解】 解：除以3得x2+2x-3=0，配方(x+1)2=4． 【变式3-2】. 用配方法解方程：2x2+x-1=0． 【答案】 x1=1/2，x2=-1 【分析】 系数化为1后配方． 【详解】 解：除以2得x2+0.5x-0.5=0，两边加0.0625得(x+0.25)2=0.5625=9/16，x+0.25=±3/4． ▍题型4 配方法的应用（求最值） 【例4】. 用配方法求代数式 x2-4x+6 的最小值． 【答案】 最小值为2 【分析】 配方利用非负性． 【详解】 解：x2-4x+6=(x-2)2+2≥2，当x=2时取最小值2． 【技巧归纳】 1. 配方成完全平方式+常数． 2. 利用 (...)2≥0 求最值． 【变式4-1】. 代数式 -x2+2x+3 的最大值是______． 【答案】 4 【分析】 提出负号配方． 【详解】 解：-(x-1)2+4≤4，最大值为4． 【变式4-2】. 用配方法说明 2x2-8x+11 的值恒为正，并求其最小值． 【答案】 最小值为3，恒为正 【分析】 配方后判断符号． 【详解】 解：2(x-2)2+3≥3>0，恒为正，最小值为3． ▍题型5 用公式法求解一元二次方程 【例5】. 用公式法解方程：x2-5x+3=0． 【答案】 x=(5±√13)/2 【分析】 代求根公式． 【详解】 解：a=1,b=-5,c=3，Δ=25-12=13，x=(5±√13)/2． 【技巧归纳】 1. 化一般式，定a,b,c（带符号）． 2. 算Δ． 3. 代公式 x=(-b±√Δ)/(2a)． 【变式5-1】. 用公式法解方程：2x2-3x-1=0． 【答案】 x=(3±√17)/4 【分析】 确定a,b,c代入． 【详解】 解：a=2,b=-3,c=-1，Δ=9+8=17，x=(3±√17)/4． 【变式5-2】. 解方程：3x2-6x+2=0． 【答案】 x=(3±√3)/3 【分析】 化简结果． 【详解】 解：a=3,b=-6,c=2，Δ=36-24=12，x=(6±√12)/6=(3±√3)/3． ▍题型6 根据判别式判断根的情况 【例6】. 不解方程，判断 3x2-2x+1=0 根的情况． 【答案】 没有实数根 【分析】 算Δ比0． 【详解】 解：Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0，无实数根． 【技巧归纳】 算Δ与0比较：Δ>0两不等实根；Δ=0两相等实根；Δ<0无实根． 【变式6-1】. 方程 x2+2x+1=0 的根的情况是（ ） A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实数根 【答案】 B 【分析】 Δ=0． 【详解】 解：Δ=4-4=0，有两个相等实根．故选B． 【变式6-2】. 关于x的方程 x2-kx+4=0 有两个相等实根，则k=______． 【答案】 ±4 【分析】 Δ=0求k． 【详解】 解：Δ=k2-16=0，得k=±4． ▍题型7 由根的情况求参数 【例7】. 若关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 m<1 【分析】 两不等⇒Δ>0． 【详解】 解：Δ=4-4m>0，得m<1． 【技巧归纳】 将“根的情况”译为Δ的不等式：有实根用Δ≥0，两不等用Δ>0，两相等用Δ=0，无实根用Δ<0；注意a≠0． 【变式7-1】. 若关于x的方程 kx2-2x+1=0 有两个实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 k≤1 且 k≠0 【分析】 二次且Δ≥0． 【详解】 解：k≠0且Δ=4-4k≥0，得k≤1且k≠0． 【变式7-2】. 若关于x的一元二次方程 (m-1)x2+2x+1=0 无实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 m>2 【分析】 二次且Δ<0． 【详解】 解：m-1≠0且Δ=4-4(m-1)<0，得8-4m<0，m>2． ▍题型8 因式分解法（提公因式/公式法） 【例8】. 解方程：x2-5x=0． 【答案】 x1=0，x2=5 【分析】 提取公因式x． 【详解】 解：x(x-5)=0，得x=0或x=5． 【技巧归纳】 1. 移项使右边为0． 2. 提取公因式或公式分解． 3. 令各因式为0． 4. 忌两边同除含x的式子（会丢根）． 【变式8-1】. 解方程：x2-9=0． 【答案】 x1=3，x2=-3 【分析】 平方差分解． 【详解】 解：(x-3)(x+3)=0，得x=±3． 【变式8-2】. 解方程：(2x-1)2=(x-2)2． 【答案】 x1=1，x2=-1 【分析】 移项用平方差． 【详解】 解：移项平方差得 (x+1)(3x-3)=0，得x=-1或x=1． ▍题型9 用十字相乘法求解 【例9】. 用十字相乘法解方程：x2-5x+6=0． 【答案】 x1=2，x2=3 【分析】 分解为(x-2)(x-3)． 【详解】 解：x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0，得x=2或x=3． 【技巧归纳】 将 x2+(p+q)x+pq 分解为 (x+p)(x+q)；交叉相乘凑中间项系数． 【变式9-1】. 解方程：x2+x-6=0． 【答案】 x1=2，x2=-3 【分析】 十字相乘． 【详解】 解：(x+3)(x-2)=0，得x=2或x=-3． 【变式9-2】. 解方程：2x2-5x+2=0． 【答案】 x1=2，x2=1/2 【分析】 二次项非1的十字相乘． 【详解】 解：(2x-1)(x-2)=0，得x=1/2或x=2． ▍题型10 换元法解一元二次方程 【例10】. 用换元法解方程：(x2-2)2-3(x2-2)-4=0． 【答案】 x=±1，x=±√6 【分析】 设整体为t降次． 【详解】 解：设t=x2-2，则t2-3t-4=0，得t=4或t=-1；t=4⇒x2=6⇒x=±√6；t=-1⇒x2=1⇒x=±1． 【技巧归纳】 结构对称、含整体平方时，设整体为t降次，解出t后再回代求x． 【变式10-1】. 用换元法解方程：(x2+x)2-4(x2+x)+3=0． 【答案】 x=(-1±√5)/2 或 (-1±√13)/2 【分析】 设整体降次． 【详解】 解：设t=x2+x，则t2-4t+3=0，t=1或3；t=1⇒x2+x-1=0⇒x=(-1±√5)/2；t=3⇒x2+x-3=0⇒x=(-1±√13)/2． 【变式10-2】. 用换元法解方程：(x2-3)2-2(x2-3)-8=0． 【答案】 x=±1，x=±√7 【分析】 设整体降次． 【详解】 解：设t=x2-3，t2-2t-8=0⇒t=4或-2；t=4⇒x2=7⇒x=±√7；t=-2⇒x2=1⇒x=±1． 04 过关检测 → 练考点·强落实 1. 方程 (x+3)2=4 的解是（ ） A．x=-1 B．x=-5 C．x=-1或-5 D．x=1或-5 【答案】 C 【分析】 开平方． 【详解】 解：x+3=±2，x=-1或x=-5．故选C． 2. 用配方法解方程 x2+8x+7=0，配方后正确的是（ ） A．(x+4)2=9 B．(x+4)2=23 C．(x+8)2=9 D．(x+8)2=57 【答案】 A 【分析】 移项加一半平方． 【详解】 解：x2+8x=-7，加16得(x+4)2=9．故选A． 3. 方程 x2-4x+4=0 的根的情况是（ ） A．两不等实根 B．两相等实根 C．无实根 【答案】 B 【分析】 Δ=0． 【详解】 解：Δ=16-16=0，两相等实根．故选B． 4. 用公式法解方程 2x2-4x-1=0，则 Δ=______，根为______． 【答案】 24；x=(2±√6)/2 【分析】 代公式． 【详解】 解：a=2,b=-4,c=-1，Δ=16+8=24，x=(4±√24)/4=(2±√6)/2． 5. 方程 x2=3x 的解是（ ） A．x=3 B．x=0 C．x1=0,x2=3 D．x=±3 【答案】 C 【分析】 因式分解． 【详解】 解：x2-3x=0，x(x-3)=0，x=0或3．故选C． 6. 解方程 x2-5x=0 的简便方法是（ ） A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法 【答案】 C 【分析】 有公因式x． 【详解】 解：提取x最简便．故选C． 7. 若关于x的方程 x2+2x+m=0 有两个实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 m≤1 【分析】 Δ≥0． 【详解】 解：Δ=4-4m≥0，m≤1． 8. 用十字相乘法解方程 x2-3x-10=0，得______． 【答案】 x1=5，x2=-2 【分析】 分解求根． 【详解】 解：(x-5)(x+2)=0，x=5或-2． 9. 代数式 x2-6x+10 的最小值是______． 【答案】 1 【分析】 配方求最值． 【详解】 解：(x-3)2+1≥1，最小值1． 10. 用适当方法解方程：3x2-12=0． 【答案】 x1=2，x2=-2 【分析】 直接开平方或分解． 【详解】 解：3(x2-4)=0，x2=4，x=±2． 11. 若关于x的一元二次方程 (k-1)x2+2x+1=0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围；当k=0时求该方程的两个根． 【答案】 k<2且k≠1；k=0时 x1=1+√2，x2=1-√2 【分析】 由两不等实根得 Δ>0 且 a≠0；代入k=0求解． 【详解】 解：由有两个不相等实根得 k-1≠0 且 Δ=4-4(k-1)>0，解得 k<2 且 k≠1；当k=0时，方程为 -x2+2x+1=0，即 x2-2x-1=0，Δ=4+4=8，x=(2±√8)/2=1±√2． 12. 解下列方程，并说明所用方法：(1) (x-1)2=9；(2) x2+4x-5=0． 【答案】 (1)x=4或-2（直接开平方法）；(2)x=1或-5（配方法/因式分解法） 【分析】 依题选合适方法． 【详解】 解：(1)开平方x-1=±3，x=4或-2；(2)(x+5)(x-1)=0，x=1或-5． 学科网（北京）股份有限公司 $