第1-2章 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 北师大版高一数学暑期自测卷（第一章-第二章），以基础巩固与应用创新为梯度，通过集合、函数、不等式等知识考查数学抽象、运算推理及应用意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题40分|集合运算、充分条件、命题真假|基础概念辨析，如第4题公园绿化率比较| |多选题|3题18分|函数性质、不等式应用|综合判断，如第9题结合基本不等式| |填空题|3题15分|集合Venn图、新定义函数|创新情境，如第14题分段函数最值| |解答题|5题77分|集合运算、函数奇偶性、应用题|劳动教育基地篱笆问题（16题）、企业利润建模（19题），体现数学建模与数据分析|

北师大版2026年暑期自测题（第一章-第二章） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（　　） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 5．下列各组函数是同一个函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．， 6．如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 7．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．已知正数，满足．则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．下列说法中正确的有（　　） A．与是同一个函数 B．函数在定义域内是减函数 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．关于x的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 11．下列四个结论中，正确的结论是（　　） A．与表示同一个函数 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的单调减区间为，则实数的值为 D．函数的值域为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是　 　. 13．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是　 　． 14．定义，若函数，则的最大值为　 　；若在区间上的值域为，则的最大值为　 　． 四、解答题（15题13分，16-17每小题15分，18-19题，每小题17分，共77分） 15．已知全集为R，集合，． （1）求，； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围． 16．如图，为创设劳动教育基地，计划用篱笆围一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区域，设育苗区域的长为米，宽为米. （1）若育苗区域面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值及此时，的值； （2）若使用的篱笆总长为18米，求育苗区域面积的最大值及此时，的值． 17．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）写出函数的解析式； （2）若函数，求函数的最小值. 18．已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求a，b的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 19．某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. （1）求的值； （2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）； （3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】交集及其运算 【解析】【解答】解：当或时，； 当时，. 所以，， 所以，. 故答案为：B. 【分析】逐个判断中元素与的关系，再求交集即可． 2．【答案】C 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式 【解析】【解答】解：若，则，，即充分性成立； 若，则，即，即必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故答案为：C. 【分析】根据不等式关系，结合充分、必要条件的定义判断即可. 3．【答案】B 【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；一元二次不等式 【解析】【解答】解：因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 则 所以，实数的取值范围是. 故答案为：B. 【分析】先根据全称量词命题与存在量词命题互为否定的关系，从而写出原命题的否定，再根据原命题是假命题，则原命题的否定为真命题，根据判别式法，从而得出实数m的取值范围. 4．【答案】C 【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小 【解析】【解答】解：原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， 则， 即扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比的变化情况与，的大小有关，故，错误； 当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变大，故C正确； 当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变小，故D错误. 故答案为：. 【分析】由题意原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，利用作差法比较判断即可. 5．【答案】D 【知识点】同一函数的判定 【解析】【解答】解：对于选项A：由函数， 可得， 解得， 可知函数的定义域为； 由函数， 可得， 解得， 可知函数的定义域为， 因为两个函数的定义域不同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为函数的定义域为，函数的定义域为， 所以，两个函数的定义域不同， 因此不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为函数的定义域为，函数的定义域为， 所以两个函数的定义域不同， 因此不是同一个函数，故C错误； 对于选项D：因为函数、的定义域均为，且， 可知定义域与对应法则均相同， 因此是同一个函数，故D正确． 故答案为：D. 【分析】利用函数相等的充要条件，即对应法则、定义域相同，则两函数相同，从而逐项判断找出是同一个函数的一组函数. 6．【答案】D 【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；一元二次不等式及其解法 【解析】【解答】解：因为函数的图象为折线段，且， 则可设，且，，， 所以，， 则， 当时，不等式可化为，， 则，所以（舍去）； 当时，不等式可化为，， 则，所以， 则不等式的解集是. 故答案为：D. 【分析】根据函数的图象求出分段函数的解析式，再分类讨论结合一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集. 7．【答案】D 【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性 【解析】【解答】解：因为在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 所以当时，， 当时，. 所以由可得：或或， 解得或或，即或. 所以满足的的取值范围是. 故答案为：D. 【分析】先得到在上的单调性，再分类讨论解不等式即可. 8．【答案】A 【知识点】函数的值域 【解析】【解答】解：因为的图象开口向下，对称轴为，且， ∵函数在区间上的值域为， ∴由图可知，， 则实数的取值范围是. 故答案为：A． 【分析】由已知条件结合二次函数的图象的开口方向、二次函数的对称性和单调性，从而得出二次函数的的值域，再利用已知条件结合二次函数的图象，从而得出实数的取值范围． 9．【答案】C,D 【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：，满足， A、由，可得，即，当且仅当时取等号，故A错误； B、， 当且仅当，即时取等号，故B错误； C、由，得，则， 当且仅当时取等号，故C正确； D、由，，可得，， 则， 当且仅当时，取等号，故D正确. 故答案为：CD. 【分析】直接利用基本不等式求解即可判断A；利用基本不等式“1”的妙用计算即可判断B；将两边平方，利用放缩法求解即可判断C；由，可得，双变量转化为单变量，结合二次函数的性质计算即可判断D. 10．【答案】C,D 【知识点】充要条件；同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明 【解析】【解答】解：对于A，因为函数的定义域为， 又因为函数的定义域为， 所以，两个函数的定义域不一样，则两个函数不是同一个函数，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为且在定义域内不单调，故B错误； 对于C，在函数中，，则， 因此，函数的定义域为，故C正确； 对于D，若方程有两个正实数根，则， 解得，故D正确. 故答案为：CD. 【分析】利用函数三要素判断同一函数的方法，则可判断选项A；利用幂函数的单调性，则可判断选项B；根据抽象函数的定义域求解方法，则可判断选项C；根据一元二次方程根的分布和充要条件的判断方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项. 11．【答案】B,D 【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质 【解析】【解答】解：对于，因为函数的定义域为， 则函数的定义域为，定义域不同， 所以不是同一函数，故不正确； 对于，因为函数的定义域为， 所以， 则， 所以， 则函数的定义域为，故正确； 对于，因为函数的单调减区间为， 所以， 则，故不正确； 对于，设，，所以， 则，， 当时，取得最小值，最小值为， 则函数的值域为，故正确. 故答案为：. 【分析】由函数定义域求解方法和同一函数判断方法，则可判断选项；由抽象函数的定义域的求法，则可判断选项；根据二次函数的单调性得出a的值，则可判断选项；由换元法求函数值域的方法，则可判断选项，从而找出正确结论的选项. 12．【答案】​​​​​​​ 【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算 【解析】【解答】解：集合，，则； 图中阴影部分表示的集合为，即， 由题意可得：或，解得或， 则的取值范围是. 故答案为：. 【分析】根据集合的交集求，再根据图可知阴影部分表示的集合为，根据集合的交集和补集运算求解，最后利用有解求解的范围即可. 13．【答案】 【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解： 由不等式有解，可得. 因，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立，即得， 故有，即，解得或， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 【分析】先利用“1”的代换和基本不等式求出的最小值，再根据不等式有解的条件解一元二次不等式得到的取值范围. 14．【答案】3； 【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值 【解析】【解答】解：令，解得或， 函数，作出的图象，如图所示： 由图知：当时，有最大值，， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3，. 【分析】令，解得或，求得函数的解析式，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 15．【答案】（1）解：集合，， 易知，，或； （2）解：要使函数有意义，则，解得， 即集合， 集合，因为，所以， 则实数a的取值范围是． 【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算 【解析】【分析】（1）直接根据集合的并集，交集，补集的定义求解即可； （2）根据对数函数有意义，求得集合C，再根据集合的包含关系列式求实数a的取值范围即可． （1）集合，， 所以，， 所以或； （2）集合，集合， 因为，所以. 所以实数a的取值范围是． 16．【答案】（1）解：由题意知篱笆总长为， 因为，所以， 当时，即，时等号成立， 即，时所用篱笆总长最小，最小值为米； （2）解：由题意知，育苗区域面积为，， 当时取等号，解得，， 即，时所得育苗区域面积最大，最大值为平方米. 【知识点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【分析】（1）由题意知篱笆总长为，根据育苗区域面积为18平方米，利用基本不等式求解所用篱笆总长的最小值即可； （2）由题意知，育苗区域面积为，利用基本不等式求的最大值即可. （1）由题意知篱笆总长为，因为，所以， 当时取等号，解得，， 即，时所用篱笆总长最小，最小值为米. （2）由题意知，育苗区域面积为，， 当时取等号，解得，， 即，时所得育苗区域面积最大，最大值为平方米. 17．【答案】（1）解：设，则，可得， 因为函数是定义在上的奇函数， 可得， 所以. （2）解：当时，则， 可得， 可知的图象开口向下，对称轴为， 当时，即时，； 当时，即时，. 【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性 【解析】【分析】（1）当，利用函数为奇函数可得即可求解； （2）由（1）可得，先求出对称轴，再利用二次函数单调性即可求解. （1）设，则，可得， 因为函数是定义在上的奇函数， 可得， 所以. （2）当时，则， 可得， 可知的图象开口向下，对称轴为， 当时，即时，； 当时，即时，. 18．【答案】（1）解：由题意，得，， 则， 所以， 则，满足题意， 所以. （2）证明：由（1）得，令， 则 ， 由， 得， 所以函数在上单调递增. （3）解：由题意，得， 则， 所以， 则. 【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合 【解析】【分析】（1）由奇函数的性质得出，再利用结合代入法，再根据奇函数的定义，从而列方程组验证求出a，b的值. （2）根据函数单调性的定义，从而证出函数在上单调递增. （3）由函数的奇函数和单调性，从而得出不等式，再解一元二次不等式得出不等式的解集. （1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）由题设， 则， 所以，即. 19．【答案】（1）解：由题意可得：当时，，即，解得； （2）解：由题意得，，， 当时，由（1）知，，则； 当时，，则， 故年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：； （3）解：由（2）得：当时，，当时，； 当时，，， 当且仅当，即时等号成立，则当时，， 因为，所以当时，利润最大，最大利润是500万元， 综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元. 【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【分析】（1） 由题意将代入解析式求a的值即可； （2）由题意，根据销售额减去固定成本与另投入成本，求函数的关系式即可； （3）由（2）的结论，分别利用二次函数的性质、基本不等式求最值即可. （1）将，代入， 得，解得. （2）由题意得，，. 当时，由（1）知，， 则； 当时，. 则， 所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为： . （3）由（2）得当时， ， 所以当时，； 当时，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，. 又，故时，利润最大，最大利润是500万元. 综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元. 学科网（北京）股份有限公司 $