第01讲 计数原理（培优讲义）（全国通用）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦计数原理核心考点，涵盖分类加法、分步乘法计数原理及其综合应用和涂色问题，按考情分析、知识梳理、重难突破、分层集训的逻辑架构展开，通过考点梳理明确分类与分步本质，方法指导强化逻辑辨析，真题训练提升应用能力，帮助学生系统构建计数思维体系。 讲义特色在于以生活情境（如路线选择、选课问题）为切入点，引导学生用数学眼光观察实际问题中的计数逻辑，通过涂色问题分步与分类结合的实例教学，培养数学思维的严谨性。设置基础、能力、真题三层练习，配合典例精讲和考法预测，确保高效突破重难，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第01讲 计数原理 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 分类计数原理与分步计数原理 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 分类加法计数原理 方法技巧 分类加法计数原理的解题方法 考点02 分步乘法计数原理 方法技巧 分步乘法计数原理的解题方法 考点03 两个计数原理的综合应用 考点04 涂色问题 方法技巧 涂色问题的解题方法 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 计数原理 上海卷第10题 新课标Ⅱ第14题 考情解读 计数原理是概率统计板块的基础工具，高考考查通常以“隐性”方式呈现——不单独考查计数原理的机械记忆，而是将其融入排列组合、古典概型、二项式定理等问题的求解中。命题侧重于考查学生对“分类”与“分步”两种基本计数策略的识别与选择能力，常与实际问题情境（如选课、分配、抽样等）结合。近年高考中，计数原理的考查呈现两个特点：一是与古典概型融合，考查基本事件总数的计数；二是作为解答题中的计算步骤出现。难度以中等偏易为主，但要求学生具备清晰的逻辑分类能力，避免重复或遗漏。 备考策略 复习应回归“分类加法”与“分步乘法”的本质区别，通过大量具体实例帮助学生建立“先分类、后分步”的思维框架。建议从生活情境（如穿衣搭配、路线选择）入手，强化对“或”（加法）与“且”（乘法）两种逻辑关系的辨析，同时注意与后续排列组合、古典概型的知识衔接。 知识・归纳梳理 知识1 集合与元素 1．分类加法计数原理 (1)分类加法计数原理的概念 完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. (2)分类的原则 分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类 时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法 必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏. 2．分步乘法计数原理 (1)分步乘法计数原理的概念 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. (2)分步的原则 ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事； ②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤. ③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏. 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 (1)联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题. (2)区别 分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区别如下表： 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 ① 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 ② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存 ③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 (3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用. 重难・核心突破 考点01 分类加法计数原理 典例1．（25-26高二下·福建福州·期末）某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（   ） A．12种 B．27种 C．120种 D．600种 【答案】B 【解题思路】由分类加法计数原理即可求解. 【解答过程】已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次， 则小丁当天出行的方案共有. 故选：B. 典例2．（2025·浙江·模拟预测）将个相同的球放入编号为、、的个盒子中，要求每个盒子至少放个球，且编号为的盒子中球数不超过个，则不同的放法种数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】对编号为的盒子中球数进行分类讨论，确定编号为的盒子中的球数，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】若编号为的盒子中球数为，则编号为的盒子中的球数可以为、、、，有种情况， 若编号为的盒子中球数为，则编号为的盒子中的球数可以为、、，有种情况， 综上所述，不同的放法种数为种. 故答案为：. 方法技巧 分类加法计数原理的解题方法 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准； (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复； (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏. 【考法预测1】（2025·四川·模拟预测）在如下的数阵中选出3个数，要求这3个数既不在同一行，也不在同一列．若这3个数的极差不大于5，那么满足条件的选法共有 种． 2 5 7 4 9 10 6 8 11 【答案】3. 【分析】根据分类加法原理计算求解. 【详解】的数阵中选出3个数，要求这3个数既不在同一行，也不在同一列． 若这3个数的极差不大于5，那么满足条件的选法有；；，三种情况； 故答案为：3. 【考法预测2】（2025·贵州·模拟预测）省会贵阳已开通的地铁线路如图所示.某人乘坐地铁从贵阳北站（点）前往贵州大学（点），若同一站点最多经过一次，则不同的乘坐线路共有（   ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】B 【分析】逐个列举求解即可. 【详解】逐个列举，用站名第一个字， 贵阳北站-北-喷-望-中-贵州大学； 贵阳北站-北-喷-延-中-贵州大学； 贵阳北站-北-延-中-贵州大学； 贵阳北站-北-延-喷-望-中-贵州大学； 贵阳北站-林-延-中-贵州大学； 贵阳北站-林-延-北-喷-望-中-贵州大学； 贵阳北站-林-延 -喷-望-中-贵州大学； 共计7种路线， 故选：B 考点02 分步乘法计数原理 典例1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）学校要求学生从物理、化学、生物、历史、地理、政治这6科中选3科组合学习，要求物理历史两科中必须选且只能选择其中一科，则选科方式共有（   ）种． A．24 B．20 C．12 D．6 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理可得. 【详解】选科方式共有种， 故选：C． 典例2．（2026·湖北武汉·二模）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 【答案】B 【解题思路】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【解答过程】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 方法技巧 分步乘法计数原理的解题方法 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成. 【考法预测1】（25-26高三下·河南·阶段练习）同时满足：①偶数；②没有重复数字的三位数；③个位数不为0，这三个条件的数有（    ） A．64个 B．128个 C．196个 D．256个 【答案】D 【解题思路】根据分步计数原理求解即可. 【解答过程】个位数的选择：由于是偶数且个位不能为0，个位只能是2、4、6、8中的一个，共有4种选择. 百位数的选择：百位不能为0，且不能与个位数字重复.因此，对于每个个位数，百位有8种选择（1-9中排除个位数）. 十位数的选择：十位可以是0-9中排除百位和个位已经使用的数字，剩下的8种选择. 根据分步乘法计数原理同时满足题设三个条件得数得总个数为 种. 故选：D. 【考法预测2】（2026·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【解题思路】应用分步乘法原理计算即可. 【解答过程】4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况， 由分步计数原理得，共有种不同的方法. 故选：C. 考点03 两个计数原理的综合应用 典例1．（2026高二·河北石家庄·期末）如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有 条． 【答案】150 【分析】由分步乘法和分类加法计数原理及组合数的计算即可求解． 【详解】由题可知，的最短路线必经过两点， 则的最短路线有种，的最短路线有种； 的最短路线有种，的最短路线有种； 因为的最短路线有和， 所以的最短路线有种， 故答案为：150． 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（   ） A．15个 B．18个 C．19个 D．27个 【答案】C 【分析】分三个不同数字各出现一次，一个数字出现两次，一个数字出现三次，三种情况讨论即可. 【详解】当三个不同数字各出现一次时，有个； 当一个数字出现两次，其他两个数字各出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现三次，则仅有数字符合条件，则有个； 综上所述，满足条件的三位数共有个. 故选：C 典例3．（2026·全国·模拟预测）二维码是一种由黑色和白色组成的双色方格阵图，规定如果一个的二维码有对称轴且绕其中心逆时针旋转后能与自身重合，称其为“转转码”，则“转转码”的个数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】根据图形的旋转规律，结合分步计数原理即可求解. 【详解】由题意知，作出的正方形方格阵图，如图所示： 因为“转转码”有对称轴且绕其中心逆时针旋转后能与自身重合， 则可知正方形、、和的黑色和白色方格数量相等且位置排列完全相同，且每个正方形关于其对角线、、和对称， 矩形、、和的黑色和白色方格数量相等且位置排列也完全相同，其中正方形逆时针旋转后位置不变， 只需该的二维码中的正方形的个方格、矩形的3个方格及正方形方格，共计个方格，出现双色方格，该二维码即是“转转码”， 则该“转转码”的个数有：种， 故答案为：. 【考法预测1】（2026·安徽安庆·模拟预测）将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数，后三个数字构成三位数.记，则小于100的概率为 . 【答案】 【分析】利用分步乘法计数原理，结合古典概率列式计算得解. 【详解】由题意，要使小于100，百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步： 取百位的概率为； 取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给作十位，而的十位大于的十位与的十位小于的十位的概率相等，此步符合要求的概率为. 所以小于100的概率为. 故答案为：. 【考法预测2】（2026·河北邯郸·模拟预测）设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为 . 【答案】40 【分析】根据给定条件，利用“峰型三位数”是否含有数字0分类，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】①若“峰型三位数”由三个不同的数字组成： 当“峰型三位数”含有数字0时，0必为个位，再从余下5个数字中任取两个，大的数字为十位，有种方法； 当“峰型三位数”没有数字0时，从除0外的5个数字中任取3个，最大数字作十位，有种方法， 此时，“峰型三位数”的个数为； ②若“峰型三位数”由两个不同的数字组成，则一定不包含0，此时共有种方法； 综上，“峰型三位数”的个数为. 故答案为：40 考点04 涂色问题 典例1．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，某社区为墙面、、、四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．144种 【答案】C 【分析】由题，三种颜色的涂法有两种，即与同色或与同色，由计数原理列式求解. 【详解】三种颜色的涂法有两种，即与同色或与同色， 所以恰好使用3种颜色的涂法有种. 故选：C. 典例2．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（   ） A．120 B．160 C．180 D．300 【答案】C 【分析】分两步，第一步先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，第二步再排Ⅳ，然后根据分步计数原理相乘即可. 【详解】先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ共有种，再排Ⅳ有种， 故不同的着色方法数有种. 故选：C 典例3．（2026·江苏南京·模拟预测）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 【答案】216 【分析】如图，将6个行政区标上序号，根据分步乘法计数原理，按照一定的顺序对各个区域进行涂色，同时考虑相邻区域颜色不同的限制条件即可求解. 【详解】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 故答案为：216. 方法技巧 涂色问题的解题方法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 【考法预测1】（2026·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 【答案】A 【解题思路】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可 【解答过程】满足条件的摆放方案可分为两类， 第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种， 故选：A. 【考法预测2】（25-26高二上·山东德州·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解题思路】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案. 【解答过程】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色． 先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择； 当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择， 故不同的涂色方案有种． 故选：B． 【考法预测3】（2026·湖南郴州·模拟预测）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案． 【答案】96 【分析】根据使用颜色的数量进行分类计算即可． 【详解】若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有种涂法； 若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况， 先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法； 故总的涂色方案有种， 故答案为：96． 拔高・分层集训 基础演练 1．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这六个大站间)准备不同的火车票种数为（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】只需分析每两个大站之间需要的火车票的种数即可. 【详解】对于两个大站和，从到的火车票与从到的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站， 因此，每张火车票对应于从个不同元素(大站)中取出个元素(起点站和终点站)的一种排列． 所以问题归结为求从个不同元素中每次取出个不同元素的排列数种．故A正确． 2．甲、乙、丙、丁四人站成一排，则不同的站法有（   ） A．2 B．4 C．12 D．24 【答案】D 【详解】甲、乙、丙、丁四人站成一排，则不同的站法有种． 3．乘积展开后的项数为（    ） A．27 B．32 C．35 D．60 【答案】D 【详解】多项式乘法原理：展开每一项，都是从每个括号里各选一个字母相乘得到， 第1个括号有3种选择，第2个括号有5种选择，第3个括号有4种选择， 根据分步乘法计数原理得， 所以展开后的项数是60. 4．（2025·辽宁·一模）学校放三天假，甲､乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先用分步乘法计数原理得到共有6种选择，其中甲乙选择同一天的情况有2种，从而得到概率. 【解答过程】甲同学有3种选择，乙同学有2种选择，故共有种选择， 其中甲乙选择同一天的情况有2种，故甲乙选择同一天的概率为. 故选：C. 5．（2026·河北保定·一模）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．120 B．240 C．300 D．320 【答案】D 【解题思路】通过先确定中间的涂色情况，再依次确定其他部分的涂色情况，利用分步乘法原理计算总方案数. 【解答过程】先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为. 故选：D. 6．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排拍照，要求甲在左端或右端，且乙丙要相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．32种 【答案】C 【分析】先确定甲的位置，再通过捆绑法即可求解. 【详解】第一步：甲在左端或右端，共2种选择， 第二步：将乙丙视为1个整体，此时连同剩下的丁、戊，一共相当于3个元素排列， 剩余3个位置可以自由排列这3个元素，总类为； 同时乙丙两人内部可以互换顺序，有种排列方式， 故总排列数为两步结果相乘：. 7．（2026·四川眉山·模拟预测）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（   ） A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 【答案】ABC 【解题思路】根据题意，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理，逐项计算，即可求解. 【解答过程】对于A，根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法，故A正确. 对于B，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的选法，故B正确. 对于C，可分为三类：第一类是1幅选自国画，1幅选自油画，有种不同的选法； 第二类是1幅选自国画，1幅选自水彩画，有种不同的选法； 第三类是1幅选自油画，1幅选自水彩画，有种不同的选法， 故共有种不同的选法，故C正确. 对于D，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法； 第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法， 根据分步乘法计数原理知，不同挂法的种数是，故D错误. 故选：ABC. 8．（2025·安徽蚌埠·三模）空间中三个点、、满足，在空间中任取2个不同的点，使得它们与、、恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间中点线面的位置关系，和正四棱锥的几何性质，分类讨论，求出不同的取法数量. 【解答过程】 如图所示，设任取2个不同的点为、，当为正四棱锥的侧面时， 平面的两侧分别可以做以四边形为底面的正四棱锥，有2种情况， 同理以四边形、四边形为底面各有2种情况，所以共有6种情况； 当为正四棱锥的截面时，、位于两侧，四边形为圆锥的底面，只有一种情况， 同理以四边形、四边形为底面各有1种情况，所以共有3种情况； 综上，共有种情况． 故选：B． 9．（2026·浙江·二模）将个相同的球放入编号为、、的个盒子中，要求每个盒子至少放个球，且编号为的盒子中球数不超过个，则不同的放法种数为 ．（用数字作答） 【答案】 【解题思路】对编号为的盒子中球数进行分类讨论，确定编号为的盒子中的球数，结合分类加法计数原理可得结果. 【解答过程】若编号为的盒子中球数为，则编号为的盒子中的球数可以为、、、，有种情况， 若编号为的盒子中球数为，则编号为的盒子中的球数可以为、、，有种情况， 综上所述，不同的放法种数为种. 故答案为：. 10．（2026·河北秦皇岛·三模）安排4位顾客去三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则不同的安排方案共有 种． 【答案】27 【解题思路】根据题意，利用分步乘法计数原理计算即可. 【解答过程】由题意可知，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆， 则剩下3位顾客每人就餐餐馆有3种安排方案，故不同的安排方案共有种. 故答案为：. 11．某城市一地铁站有四个出站口，乘客甲，乙，丙相互独立地任选一个出站口出站，则共有_____________种出站方法． 【答案】64 【详解】每位乘客都有4种出站选择，根据分步乘法计数原理可得共有种出站方法． 12．2026年“五一”假期，北京文旅市场持续火热，相关数据显示，颐和园、天坛公园、故宫博物院、景山公园、奥林匹克公园成为北京热度前五的景区．现有4名游客，计划在五月五日当天，每人从这5个景区中选择1个景区参观． (1)若这4名游客选择参观的景区互不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)若这4名游客中，恰有2名游客选择了同一个景区，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)种 (2)种 【分析】（1）直接利用排列数计算即可； （2）根据组合及排列数计算． 【详解】（1）根据题意，共有种； （2）选出两名游客共有种， 这两名游客与其他两名游客有种选法， 故共有种选择方法． 能力进阶 1．（2025·全国·模拟预测）如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ） A．24 B．48 C．60 D．84 【答案】D 【解题思路】利用分步计数乘法原理与分类加法计数原理可求解. 【解答过程】根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，故可转化为有公共点的4个区域，如图所示： 1号小方格可以从4种颜色的染料中任取一种涂色，有4种不同的涂法. ①当2号，3号小方格涂不同颜色的染料时，有种不同的涂法，4号小方格有2种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. ②当2号，3号小方格涂相同颜色的染料时，有3种不同的涂法，4号小方格也有3种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. 综上，由分类加法计数原理，可得共有种不同的涂法. 故选：D. 2．（多选）（2026·四川成都·模拟预测）用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 【答案】ACD 【解题思路】由特殊位置优先的原则，结合两个计数原理逐个判断即可. 【解答过程】对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字的四位数个，A正确， B错误； 对于C，若个位数为0，则有个，若个位数不为0，则有个， 所以可以组成无重复数字的四位偶数个，C正确； 对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字且大于2000的四位数个，D正确． 故选：ACD. 3．（多选）（25-26高二下·广东东莞·阶段练习）某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是（    ） 站数 票价/元 2 3 4 A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种 B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种 C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种 D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后） 【答案】BCD 【解题思路】利用分类计数原理和分步计数原理可求答案. 【解答过程】两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种， 同理小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也是种，所以共有18种，A不正确，B正确. 两人共花费6元分为三类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种； 小明花费3元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种； 小明花费4元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有种， 共有27种，C正确. 小明比小华先下地铁有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种； 小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅有3种方案，所以共有12种方案，D正确. 故选：BCD. 4．（25-26高二下·山东济宁·阶段练习）用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 【答案】(1)900； (2)648； (3)379 【解答过程】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法； 第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法， 根据分步乘法计数原理，共有个. （2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法， 根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个． （3）作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类： 第一类，满足条件的一位自然数：有10个， 第二类，满足条件的两位自然数：有个， 第三类，满足条件的三位自然数： 第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法； 第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个， 所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）. 真题实战 1．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 3．（2007·全国·高考真题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（    ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 【答案】D 【分析】由分步乘法原理计算． 【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为. 故选：D 4．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______． 【答案】9 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解. 【详解】因为空间中有三个点，且， 不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种： 第一种：为正四棱锥的侧面，如图1， 此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的; 不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；    第二种：为正四棱锥的对角面，如图2， 此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的; 不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种； 综上所述：总共有9种情况. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解. 5．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 【答案】288 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 计数原理 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 分类计数原理与分步计数原理 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 分类加法计数原理 方法技巧 分类加法计数原理的解题方法 考点02 分步乘法计数原理 方法技巧 分步乘法计数原理的解题方法 考点03 两个计数原理的综合应用 考点04 涂色问题 方法技巧 涂色问题的解题方法 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 计数原理 上海卷第10题 新课标Ⅱ第14题 考情解读 计数原理是概率统计板块的基础工具，高考考查通常以“隐性”方式呈现——不单独考查计数原理的机械记忆，而是将其融入排列组合、古典概型、二项式定理等问题的求解中。命题侧重于考查学生对“分类”与“分步”两种基本计数策略的识别与选择能力，常与实际问题情境（如选课、分配、抽样等）结合。近年高考中，计数原理的考查呈现两个特点：一是与古典概型融合，考查基本事件总数的计数；二是作为解答题中的计算步骤出现。难度以中等偏易为主，但要求学生具备清晰的逻辑分类能力，避免重复或遗漏。 备考策略 复习应回归“分类加法”与“分步乘法”的本质区别，通过大量具体实例帮助学生建立“先分类、后分步”的思维框架。建议从生活情境（如穿衣搭配、路线选择）入手，强化对“或”（加法）与“且”（乘法）两种逻辑关系的辨析，同时注意与后续排列组合、古典概型的知识衔接。 知识・归纳梳理 知识1 集合与元素 1．分类加法计数原理 (1)分类加法计数原理的概念 完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. (2)分类的原则 分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类 时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法 必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏. 2．分步乘法计数原理 (1)分步乘法计数原理的概念 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. (2)分步的原则 ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事； ②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤. ③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏. 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 (1)联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题. (2)区别 分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区别如下表： 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 ① 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 ② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存 ③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 (3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用. 重难・核心突破 考点01 分类加法计数原理 典例1．（25-26高二下·福建福州·期末）某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（   ） A．12种 B．27种 C．120种 D．600种 典例2．（2025·浙江·模拟预测）将个相同的球放入编号为、、的个盒子中，要求每个盒子至少放个球，且编号为的盒子中球数不超过个，则不同的放法种数为 ．（用数字作答） 方法技巧 分类加法计数原理的解题方法 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准； (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复； (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏. 【考法预测1】（2025·四川·模拟预测）在如下的数阵中选出3个数，要求这3个数既不在同一行，也不在同一列．若这3个数的极差不大于5，那么满足条件的选法共有 种． 2 5 7 4 9 10 6 8 11 【考法预测2】（2025·贵州·模拟预测）省会贵阳已开通的地铁线路如图所示.某人乘坐地铁从贵阳北站（点）前往贵州大学（点），若同一站点最多经过一次，则不同的乘坐线路共有（   ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 考点02 分步乘法计数原理 典例1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）学校要求学生从物理、化学、生物、历史、地理、政治这6科中选3科组合学习，要求物理历史两科中必须选且只能选择其中一科，则选科方式共有（   ）种． A．24 B．20 C．12 D．6 典例2．（2026·湖北武汉·二模）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 方法技巧 分步乘法计数原理的解题方法 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成. 【考法预测1】（25-26高三下·河南·阶段练习）同时满足：①偶数；②没有重复数字的三位数；③个位数不为0，这三个条件的数有（    ） A．64个 B．128个 C．196个 D．256个 【考法预测2】（2026·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 考点03 两个计数原理的综合应用 典例1．（2026高二·河北石家庄·期末）如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有 条． 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（   ） A．15个 B．18个 C．19个 D．27个 典例3．（2026·全国·模拟预测）二维码是一种由黑色和白色组成的双色方格阵图，规定如果一个的二维码有对称轴且绕其中心逆时针旋转后能与自身重合，称其为“转转码”，则“转转码”的个数为 .（用数字作答） 【考法预测1】（2026·安徽安庆·模拟预测）将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数，后三个数字构成三位数.记，则小于100的概率为 . 【考法预测2】（2026·河北邯郸·模拟预测）设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为 . 考点04 涂色问题 典例1．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，某社区为墙面、、、四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．144种 典例2．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（   ） A．120 B．160 C．180 D．300 典例3．（2026·江苏南京·模拟预测）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 方法技巧 涂色问题的解题方法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 【考法预测1】（2026·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 【考法预测2】（25-26高二上·山东德州·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【考法预测3】（2026·湖南郴州·模拟预测）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案． 拔高・分层集训 基础演练 1．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这六个大站间)准备不同的火车票种数为（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．甲、乙、丙、丁四人站成一排，则不同的站法有（   ） A．2 B．4 C．12 D．24 3．乘积展开后的项数为（    ） A．27 B．32 C．35 D．60 4．（2025·辽宁·一模）学校放三天假，甲､乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北保定·一模）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．120 B．240 C．300 D．320 6．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排拍照，要求甲在左端或右端，且乙丙要相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．32种 7．（2026·四川眉山·模拟预测）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（   ） A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 8．（2025·安徽蚌埠·三模）空间中三个点、、满足，在空间中任取2个不同的点，使得它们与、、恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法种数为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·浙江·二模）将个相同的球放入编号为、、的个盒子中，要求每个盒子至少放个球，且编号为的盒子中球数不超过个，则不同的放法种数为 ．（用数字作答） 10．（2026·河北秦皇岛·三模）安排4位顾客去三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则不同的安排方案共有 种． 11．某城市一地铁站有四个出站口，乘客甲，乙，丙相互独立地任选一个出站口出站，则共有_____________种出站方法． 12．2026年“五一”假期，北京文旅市场持续火热，相关数据显示，颐和园、天坛公园、故宫博物院、景山公园、奥林匹克公园成为北京热度前五的景区．现有4名游客，计划在五月五日当天，每人从这5个景区中选择1个景区参观． (1)若这4名游客选择参观的景区互不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)若这4名游客中，恰有2名游客选择了同一个景区，那么共有多少种不同的选择方法？ 能力进阶 1．（2025·全国·模拟预测）如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ） A．24 B．48 C．60 D．84 2．（多选）（2026·四川成都·模拟预测）用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 3．（多选）（25-26高二下·广东东莞·阶段练习）某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是（    ） 站数 票价/元 2 3 4 A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种 B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种 C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种 D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后） 4．（25-26高二下·山东济宁·阶段练习）用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 真题实战 1．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2007·全国·高考真题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（    ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 4．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______． 5．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $