第01讲 直线方程（10核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦直线的方程专题，覆盖倾斜角与斜率、直线方程五种形式及10个核心考点，按考情分析、知识梳理、重难突破、分层集训逻辑展开，通过考点梳理明确课标要求，方法指导提炼解题要点，真题训练对接高考考情，帮助学生系统构建知识网络突破重难。 资料以分层提能为特色，基础演练夯实公式应用，能力进阶强化综合思维，真题实战提升应考技巧。如考点02通过分类讨论倾斜角与斜率关系培养数学思维，考点07结合方向向量求直线方程发展数学语言表达，助力学生高效掌握解题通法，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第01讲 直线的方程 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 直线的倾斜角与斜率 知识2 直线的方程 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 求直线的倾斜角和斜率 考点06 求两直线的夹角 考点02 由倾斜角与斜率关系求参数范围 考点07 求直线方程 方法技巧 由倾斜角与斜率的关系求参数注意要点 方法技巧 求直线方程的方法 考点03 由直线与线段的位置关系求参数 考点08 直线过定点问题 考点04 三点共线问题 考点9直线与坐标轴围成图形问题 考点05 斜率公式的应用 考点10直线方程的综合问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 直线方程相关内容 全国Ⅰ卷T4，T11 全国Ⅰ卷T7，全国Ⅱ卷T3， 北京卷T3，上海卷（春）T2 考情解读 近三年以选填基础题为主，常融合圆、圆锥曲线综合考查，考频稳定；预测2027 年重点考查方程灵活选取与转化，搭配几何图形命制计算类题型，侧重基础公式应用与数形结合思想。 备考策略 本节的备考应先抓基础：熟练倾斜角、斜率公式，以及点斜式、两点式、截距式、一般式的适用条件和局限，尤其注意斜率不存在、过原点、与坐标轴垂直等特殊情况。复习时按“设方程—列条件—求系数”的通法训练，重点练求直线方程、过定点、斜率范围题。再把直线与圆结合，掌握点到直线距离、相交弦长等常考综合题型. 知识・归纳梳理 知识1 直线的倾斜角与斜率 1.直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3.直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tan α.(α≠90°)  (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k=. 必记结论 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 知识2 直线方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含直线x=x0 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 两点式 =(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x=x1和直线y=y1 截距式 +=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 2、特殊位置的直线方程 (1)与x轴重合的直线方程为__y＝0__； (2)与y轴重合的直线方程为__x＝0__； (3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为__y＝b__； (4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为__x＝a__； (5)过原点且斜率为k的直线方程为__y＝kx__． 必记结论 谨记以下两个关键点 (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. (2)当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=kx+b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x=ty+b. 重难・核心突破 考点01 求直线的倾斜角与斜率 典例1．（2026·浙江·一模）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出斜率，再结合倾斜角的范围得出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，所以， 所以. 故选：C. 【考法预测1】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知直线的方程为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题知，所以直线的斜率为． 【考法预测2】已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由斜率与倾斜角的关系式可得答案. 【详解】由斜率计算公式得： 直线的斜率 . 故选：A 【考法预测3】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可. 【详解】由题意可将原直线方程变形为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误. 故选：D. 【考法预测4】（新考法）（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 考点02 由倾斜角与斜率的关系求参数 典例1．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 典例2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 【考法预测1】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率的范围求解即可. 【详解】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C. 若，则， 所以， 又，所以， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 【考法预测2】直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对进行讨论，当时得到直线倾斜角为，当时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】当时，直线为：， 故直线的倾斜角为：； 当时，直线为：， 设直线的倾斜角为， 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 综上所述：. 故选：A 【考法预测3】函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数求切线斜率不范围，利用斜率和倾斜角的关系，求倾斜角的取值范围. 【详解】设切线的倾斜角为，则，∵， ∴切线的斜率，则. 故选：B 方法技巧 根据倾斜角与斜率的关系求参数注意要点 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．． 考点03 由直线与线段的位置关系求参数 典例1．（2027高三·全国·专题练习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 典例2（新考法）设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直线过定点，直线与线段没有交点，转化为过定点的直线与线段无公共点，画出图像，结合图像，即可求得答案. 【详解】 直线与线段没有交点， 即直线与线段没有交点， 对于直线， 令，则，则直线恒过点 . 根据题意，作出如下图像： ，， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， ， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 若直线与线段没有交点， 则. 典例3已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果. 【详解】直线方程可化为：， 令得：，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：D. 【考法预测1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 【考法预测2】（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 【考法预测3】设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 【考法预测4】已知直线在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求得直线所过定点，然后利用横截距的范围来求得斜率的范围. 【详解】已知直线，所以 所以直线过点， 由题知，在轴上的截距取值范围是， 所以直线过点时的斜率分别为，如图：    所以或. 故选：D 考点04 三点共线问题 典例3（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得． 故选：B. 【考法预测1】已知，平面内三点共线，则________． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】解：因为三点共线， 所以， 又因为， 所以， 整理得：， 即， 又因为， 解得. 故答案为： 【考法预测2】若点、、在同一直线上，则实数k的值为__________． 【答案】 【分析】由的斜率和的斜率相等，求出实数m的值． 【详解】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴. 故答案为：． 【考法预测3】若三点，， (其中)共线，则________. 【答案】 【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 考点05 斜率公式的应用 典例1（25-26高二上·山西太原·期中）若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的几何意义是点与两点连线的斜率，利用直线与圆相切，列出方程，即可求解． 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径为1， 因为的几何意义是点与两点连线的斜率，设，即， 当直线与圆相切时， 则满足圆心到切线的距离等于半径，即，解得， 又由点在圆上， 所以. 故选：B. 典例2（新考法）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数 【答案】C 【分析】作出f（x）的函数图象，利用直线的斜率，根据不等式只有1整数解得出a的范围． 【详解】作出f（x）的函数图象如图所示：   表示点和点所在直线的斜率，即曲线上只有一个点且是整数和点所在直线的斜率大于零. 如图所示，动点在直线上运动. 因为,    当时，只有点这个点满足， 当时，只有点这个点满足. 所以. 所以满足条件的整数有4个. 故选：C. 【考法预测1】已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，根据直线与圆的位置关系可求得切线斜率，进而得到结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， ， 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 设过点的圆的切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，. 故选：C. 【考法预测2】“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．-1 【答案】C 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 【考法预测3】知点在直线上，且满足，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】作出直线，找到满足的点的位置，结合斜率的定义得结论． 【详解】如图，作出直线及，它们的交点为， 直线上满足的点在点右下方， ，又直线的斜率为，， 由图可得的范围是． 故答案为：． 考点06 求两直线的夹角 典例1（2026·甘肃·一模）直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定两直线的方向向量，结合向量夹角公式求解即可. 【详解】直线的斜率，可取方向向量. 直线的斜率，可取方向向量. 设两直线的夹角为，则， 所以. 【考法预测1】）直线与直线所成角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得两条直线的斜率，然后由两直线的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】直线斜率，直线斜率， 设两直线的夹角为，则， 且，所以. 故选：B 【考法预测2】．（2026·湖北·二模）将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题目条件计算出旋转后的直线斜率，再利用点斜式列出方程. 【详解】设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α， 又为锐角，其中，所以，则， 即，故直线方程为． 故选：A 【考法预测3】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知曲线（为实数），为坐标原点，是曲线上不同于的两个点，曲线在点处的三条切线两两相交，且任意两条切线的夹角均为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对曲线求导得到切线斜率表达式，再用两直线夹角公式结合已知夹角列等式，最后根据函数性质分析其值域，得出关于的不等式并求解范围. 【详解】因为曲线，所以， 所以原点处切线斜率为， 设，，两点处切线斜率为，， 显然，因为三条切线两两夹角为， 由两直线夹角公式可得：， 将，代入上式可得： ， 化简整理得：，同理也满足该式， 去掉绝对值得到两个不同的正根： ， 因为，分子，因此两个分母都必须为正， 即： ，因此的取值范围是. 考点07 求直线方程 典例1（2026高三·全国·专题练习）求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可求解； （2）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得解出即可. 【详解】（1）所求直线过点 ，且斜率为， 直线方程为， 即． （2）设直线方程为， 令，得， 令，得， ，解得， 直线方程为， 即． （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为， 又直线过点， ，解得， 直线方程为，即； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 典例2）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过点和点，求出直线的方程，再将点代入即可求出结果. 【详解】因为直线在轴上的截距是，所以过点， 又直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即直线方程为， 又直线过点，所以，解得. 故选：D. 【考法预测2】若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得. 故选：A 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可. 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 【考法预测4】已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程． 【详解】把坐标代入两条直线和,得 ,, , 过点,的直线的方程是：, ,则, ,, 所求直线方程为：． 故选 ：A. 【考法预测5】求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）利用同角三角函数关系求得倾斜角的正切值，得到斜率，然后利用直线方程的斜截式得到；（2）分截距为0和不为0两种情况求解；（3）利用二倍角的正切公式求得所求直线的斜率，进而利用点斜式写出方程. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则，则，直线的斜率． 又直线在轴上的截距是，由斜截式得直线方程为，即或． （2）设直线在，轴上的截距均为，若，即过点和． 则的方程为，即． 若，设的方程为． 过点，． ，的方程为． 综上可知，直线的方程为或． （3）由已知：设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为． ，． 又直线经过点，因此所求直线方程为，即． 方法技巧 求直线方程的方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数． 考点08 直线过定点问题 典例1（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 【答案】 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 典例2（新考法）（2026·湖南常德·二模）已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据条件可得直线过定点，再结合题设条件，可将问题转化成与直线恰有个交点，求出过点且与相切的直线方程，可得到，再对各个选项分析判断，即可求解. 【详解】因为成等差数列，则，代入得到， 整理得到，令，解得， 所以直线过定点，又由，得到， 因为方程组恰有组解，则与直线恰有个交点， 设过点的直线与切于点， 又，则，得到，解得 所以过点且与相切的直线方程为，即， 又的斜率为，由图可知，要使与直线恰有个交点， 则，即，所以，，故A和D正确， 取，显然满足，但，所以B错误， 取，显然满足，但，所以C错误. 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 【答案】 【分析】将直线方程化为，由求定点；直线方程化为，从而斜率为，再利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线方程可以化为， 由得， 直线方程化为， 则直线的斜率为， 因为，所以，则 ， 即， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以倾斜角的最小值是. 故答案为： 【考法预测2】（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最大距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点； 直线变形为，过定点； 因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为. 由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 【考法预测3】（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点在动直线上的射影为点，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】动直线过定点，所以点在以为直径的圆上. 又，所以圆心为，半径为.从而为5，则的最大值为. 【考法预测4】（2026·福建宁德·二模）直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知直线过定点，且斜率存在，结合圆的性质求弦长的最小值. 【详解】直线即， 所以直线过定点，且斜率存在， 圆的圆心为，半径， 则，直线的斜率， 当时，直线被圆截得的弦长的最小值为， 此时直线的斜率，符合题意. 考点09 直线与坐标轴围成图形问题 典例1（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)4，． 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论； （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 【考法预测1】在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（    ） A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而可得关于的函数，应用数形结合的方法判断在不同区间上对应直线l的条数. 【详解】由题意，直线与轴、轴交点分别为，， ∴，作出其图象如图所示， 由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解. 故选：A 【考法预测2】已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【考法预测3】过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点. (1)当△AOB面积最小时，求直线的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得， （1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程， （2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程． 【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，， （1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号， 面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即， （2）由于，当且仅当，即且时取等号， 所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即． 考点10 直线方程的综合问题 典例1（多选）（2026·湖南永州·三模）一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则（     ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．点到M中任意一条直线的距离为定值 C．点到M中所有直线距离的最大值为6 D．不在直线系M中的点都落在面积为的区域内 【答案】BCD 【分析】利用直线系的性质，把直线系方程转化为的圆的全部切线，再根据圆的切线的性质判断选项，利用动圆切线无公共点判断选项A；利用点到直线距离公式计算判断选项B；利用定点到切线最大距离为圆心距与半径的和，判断选项C；不在直线系M中的点落在圆内部，即，求面积判断选项D． 【详解】直线系方程表示圆心为，半径的圆的全部切线， 若直线过定点，则对任意恒成立， 不存在这样的定点，故A错误； 由点到直线的距离公式，点到直线距离， 距离恒为定值1，故B正确； 设，圆心，两点间距， 点到圆切线距离的最大值为，故C正确； 不在直线系M中的点到的距离小于1，在圆内部， 圆面积，故D正确． 【考法预测1】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，求出和的直线方程，从而求出点的坐标，进而利用向量夹角的余弦公式进行求解即可． 【详解】由ABCD是正方形，则以为原点，分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 如下图， 又正方形ABCD的边长为a， 则，，，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即， 则，， 所以． 【考法预测2】（25-26高三下·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 【考法预测3】（25-26高二下·北京·期中）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”. （1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）. 【答案】 / 【分析】（1）根据题意利用归纳推理可得的次近似值与的次近似值的关系式；（2）设，求导，化简，取，分析计算即可. 【详解】第一空：由曲线在处的切线方程为：， 令，解得， 又曲线在处的切线方程为：， 令，解得， 由此推理得的次近似值与的次近似值的关系式为：； 第二空：方程正实根为， 设函数，则， 由， 当时，， . 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求直线的倾斜角. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，， 则， 所以. 故选：D 2．（24-25高二上·山西·阶段检测）若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分别用两点式及倾斜角求斜率相等即可计算求参. 【详解】经过，的直线的斜率，又直线的倾斜角为， 所以，解得. 故选：D. 3．（25-26高二下·江西赣州·开学考试）已知直线经过点，则下列选项中正确的是（   ） A．直线的斜率为1 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量为 D．直线在y轴上的截距为2 【答案】C 【分析】由斜率公式求得斜率，得到直线方程，再结合倾斜角、方向向量和截距的概念逐项判断即可. 【详解】设直线的倾斜角为 由斜率公式得，故A错误； ，故B错误； 由斜率可得方向向量为，是直线方向向量，所以C正确． 直线方程为：，令得，即直线在轴上截距为，D错误. 4．（25-26高三上·四川眉山·期末）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线斜率得出，再应用二倍角余弦及同角三角函数关系计算求值. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以， 则. 故选：C. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线的方程化为斜截式，结合图象，根据斜率和在y轴上的截距的正负判断. 【详解】直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为； 直线可化为，斜率为，在y轴上的截距为， A.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； B.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故正确； C.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； D.由图知：，则， 在y轴上的截距为 ，则， 从而，在y轴上的截距为，故错误； 故选：B 6．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 7．（25-26高三上·贵州铜仁·阶段检测）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，再数形结合分析即可得解. 【详解】由题得，， 因为直线与连接，两点的线段总有交点， 结合图象可知，. 故选：A. 8．（多选）（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，，，则下列选项正确的是（    ） A．的倾斜角的取值范围是 B．一定经过第一､四象限 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由斜率的范围判断A，根据直线所过的定点判断B，根据直线平行或垂直的判断方法求出对应的参数值判断C，D即可. 【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则， 由题设有直线的斜率为，设，故，故A正确； 对于B，直线过定点，且该直线的斜率非零或不存在， 故一定经过第一､四象限，故B正确； 对于C，因为，故，故或，故C错误； 对于D，因为，故，故， 此时，，平行，故D正确. 故选：ABD. 9．（多选）（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．当时，直线l在y轴上的截距为3 C．若直线l不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线l的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】将方程变形为，即可列方程求解定点判断A，令，即可求解截距判断B，取，即可判断C，根据垂直即可求解最大距离判断D. 【详解】已知直线，则， 由，得， 所以直线恒过点，故A正确； 当时，直线,令，，故在轴上的截距为，B错误， 当时，直线的方程为，直线不经过第二象限，故C不正确； 因为直线过定点， 所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：AD． 10．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 能力进阶 1．（2026·江西宜春·一模）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】分析充分性： 已知，设直线的方程为：， 当时，，在轴上的截距为， 当时，，在轴上的截距为， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 已知直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： （1）截距不为0时，设两截距均为，则直线方程为，即，此时斜率； （2）截距为0时，直线过原点，此时斜率不一定为. 所以必要性不成立. 2．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 3．（25-26高二上·山东淄博·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角α的范围是（   ） A．（0，π） B． C． D． 【答案】C 【分析】按是否为0分类讨论，求出斜率的取值范围，进而求出倾斜角的范围. 【详解】设直线l的倾斜角为 当时，直线的斜率不存在，则直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当，即时，则； 当，即时，则； 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：C. 4．（2026·浙江台州·二模）已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【分析】设（），利用两点斜率公式求，再分别求即可判断. 【详解】因为点是抛物线上异于的动点， 故设（）， 则，， 对于选项A，，不是定值，A错误； 对于选项B，，不是定值，B错误； 对于选项C，，为定值，C正确； 对于选项D，，不是定值，D错误. 5．（多选）（（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系可以判断A；根据截距是否为0进行分类讨论求解直线方程可以判断B；根据两点式的使用条件可以判断C；根据斜率和倾斜角的关系，结合余弦函数的值域求解范围可以判断D. 【详解】对于A，直线可得，则斜率， 所以直线倾斜角满足，且，即，故正确； 对于B，当截距不为0时，由直线截距式可设直线方程为，代入 得，解得； 当截距为0时，可设直线方程为，代入得，即，故错误； 对于C，根据直线方程两点式可知，且，故错误； 对于D，由直线的方程为可得，斜率， 由得，设倾斜角为，则， 由，得,故正确， 故选：AD. 6．（多选）（（2026·辽宁大连·模拟预测）过点的直线分别交正半轴于点，则（    ） A．△面积最小时，的方程为 B．最小时，点到直线的距离为 C．的最小值为 D．周长最小值为 【答案】ACD 【分析】设的方程为：，则，根据基本不等式求出后可判断AB正误，利用三角换元可判断C的正误，利用直线的倾斜角的补角表示周长，再结合三角变换和基本不等式可求最小值，从而判断D的正误. 【详解】设的方程为：，则， 因为过，故.， 对于A，由基本不等式有即， 当且仅当时等号成立，故， 此时即的方程为：即，故A正确； 对于B， ， 当且仅当即时等号成立， 此时点到直线的距离为，故B错误； 对于C，，设， 则，则， 故，其中，故， 设，其中， 则当时，，当，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故当时，而， 故，故C正确； 对于D，设直线的倾斜角的补角为， 则 故的周长为 ， 当且仅当即时等号成立， 故周长最小值为，故D正确. 故选：ACD. 7．（多选）（2026·山东菏泽·二模）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数，则下列说法正确的有（） A．若，，则 B．若，，其中，则的最小值为 C．若，，其中，则的最小值为1 D．若，，则对任意实数，都有 【答案】ACD 【分析】A选项直接按1阶曼哈顿距离公式代入数值计算得结果为6判定正确，B选项，举反例取点，判断，进一步得出B错误；C选项把1阶距离最小值问题转化为指数曲线与直线的最短曼哈顿距离，通过切线找切点与垂足代入计算得最小值为1判定正确，D选项换元三角代换化简3阶、4阶距离表达式，利用正弦幂函数单调性比较大小，推得3阶距离恒大于4阶距离判定正确. 【详解】对于A：，故正确. 对于B：， ，，， . 取点在曲线上，点在直线上，，B选项错误. 对于C，点在曲线上运动，点在直线上运动，要使最小， 则两点距离最小.如图，平移直线与曲线相切， 根据切线不等式，当且仅当时等号成立， 则切线为，切点为， 过切点作直线的垂线，则垂线所在直线方程为， ；联立可易得垂足坐标为，故当最小，为，故正确；    对于D：，，，，. 由，得，令. 则， 所以. 因为，所以. 所以， 所以，D正确. 8.设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______． 【答案】10 【分析】根据直线过定点可得的坐标，进而利用两直线垂直可得勾股定理，结合不等式即可求解最值. 【详解】由得，故,由得, 由于直线与直线互相垂直，所以, 故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10 故答案为：10 9.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？ 【解答】　如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(30,0)，F(0，20)， ∴直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)． 易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF上时，草坪面积可取最大值，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R， 设矩形PQCR的面积为S， 则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)． 又＋＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－m. ∴S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)． ∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP|∶|PF|＝5∶1. ∴当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大． 真题实战 1．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 3．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 4．（2024·上海春·高考真题）直线的倾斜角为______． 【答案】 【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为， 所以， 所以， 所以直线的倾斜角为． 故答案为：. 2 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直线的方程 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 直线的倾斜角与斜率 知识2 直线的方程 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 求直线的倾斜角和斜率 考点06 求两直线的夹角 考点02 由倾斜角与斜率关系求参数范围 考点07 求直线方程 方法技巧 由倾斜角与斜率的关系求参数注意要点 方法技巧 求直线方程的方法 考点03 由直线与线段的位置关系求参数 考点08 直线过定点问题 考点04 三点共线问题 考点9直线与坐标轴围成图形问题 考点05 斜率公式的应用 考点10直线方程的综合问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 直线方程相关内容 全国Ⅰ卷T4，T11 全国Ⅰ卷T7，全国Ⅱ卷T3， 北京卷T3，上海卷（春）T2 考情解读 近三年以选填基础题为主，常融合圆、圆锥曲线综合考查，考频稳定；预测2027 年重点考查方程灵活选取与转化，搭配几何图形命制计算类题型，侧重基础公式应用与数形结合思想。 备考策略 本节的备考应先抓基础：熟练倾斜角、斜率公式，以及点斜式、两点式、截距式、一般式的适用条件和局限，尤其注意斜率不存在、过原点、与坐标轴垂直等特殊情况。复习时按“设方程—列条件—求系数”的通法训练，重点练求直线方程、过定点、斜率范围题。再把直线与圆结合，掌握点到直线距离、相交弦长等常考综合题型. 知识・归纳梳理 知识1 直线的倾斜角与斜率 1.直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 . 3.直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示， 即k= .(α≠90°)  (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k=. 必记结论 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 知识2 直线方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线x=x0 斜截式 不含垂直于x轴的直线 两点式 = 不含直线x=x1和直线y=y1 截距式 +=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 2、特殊位置的直线方程 (1)与x轴重合的直线方程为__ _； (2)与y轴重合的直线方程为__ __； (3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为_ __； (4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为__ _； (5)过原点且斜率为k的直线方程为__ __． 必记结论 谨记以下两个关键点 (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. (2)当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=kx+b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x=ty+b. 重难・核心突破 考点01 求直线的倾斜角与斜率 典例1．（2026·浙江·一模）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知直线的方程为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D． 【考法预测2】已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 【考法预测3】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【考法预测4】（新考法）（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 考点02 由倾斜角与斜率的关系求参数 典例1．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 典例2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 根据倾斜角与斜率的关系求参数注意要点 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．． 考点03 由直线与线段的位置关系求参数 典例1．（2027高三·全国·专题练习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 典例2（新考法）设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 典例3已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考法预测4】已知直线在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 考点04 三点共线问题 典例3（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】已知，平面内三点共线，则________． 【考法预测2】若点、、在同一直线上，则实数k的值为__________． 【考法预测3】若三点，， (其中)共线，则________. 考点05 斜率公式的应用 典例1（25-26高二上·山西太原·期中）若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例2（新考法）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数 【考法预测1】已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．-1 【考法预测3】知点在直线上，且满足，则的取值范围为_______． 考点06 求两直线的夹角 典例1（2026·甘肃·一模）直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】）直线与直线所成角是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】．（2026·湖北·二模）将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知曲线（为实数），为坐标原点，是曲线上不同于的两个点，曲线在点处的三条切线两两相交，且任意两条切线的夹角均为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点07 求直线方程 典例1（2026高三·全国·专题练习）求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 典例2已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【考法预测4】已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【考法预测5】求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍． 方法技巧 求直线方程的方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数． 考点08 直线过定点问题 典例1（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 典例2（新考法）（2026·湖南常德·二模）已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 【考法预测2】（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点在动直线上的射影为点，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【考法预测4】（2026·福建宁德·二模）直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点09 直线与坐标轴围成图形问题 典例1（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【考法预测1】在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（    ） A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条 【考法预测2】已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【考法预测3】过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点. (1)当△AOB面积最小时，求直线的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程. 考点10 直线方程的综合问题 典例1（多选）（2026·湖南永州·三模）一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则（     ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．点到M中任意一条直线的距离为定值 C．点到M中所有直线距离的最大值为6 D．不在直线系M中的点都落在面积为的区域内 【考法预测1】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三下·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【考法预测3】（25-26高二下·北京·期中）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”. （1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）. 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·阶段检测）若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高二下·江西赣州·开学考试）已知直线经过点，则下列选项中正确的是（   ） A．直线的斜率为1 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量为 D．直线在y轴上的截距为2 4．（25-26高三上·四川眉山·期末）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高三上·贵州铜仁·阶段检测）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，，，则下列选项正确的是（    ） A．的倾斜角的取值范围是 B．一定经过第一､四象限 C．若，则 D．若，则 9．（多选）（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．当时，直线l在y轴上的截距为3 C．若直线l不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线l的距离的最大值为 10．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 能力进阶 1．（2026·江西宜春·一模）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 3．（25-26高二上·山东淄博·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角α的范围是（   ） A．（0，π） B． C． D． 4．（2026·浙江台州·二模）已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 5．（多选）（（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 6．（多选）（（2026·辽宁大连·模拟预测）过点的直线分别交正半轴于点，则（    ） A．△面积最小时，的方程为 B．最小时，点到直线的距离为 C．的最小值为 D．周长最小值为 7．（多选）（2026·山东菏泽·二模）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数，则下列说法正确的有（） A．若，，则 B．若，，其中，则的最小值为 C．若，，其中，则的最小值为1 D．若，，则对任意实数，都有 8.设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______． 9.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？ 真题实战 1．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024·上海春·高考真题）直线的倾斜角为______． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $