第01讲 平面向量的概念及线性运算（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的概念、线性运算及共线向量定理三大核心考点，按“概念辨析—运算规则—定理应用”逻辑层次梳理知识，通过考情分析明确高考要求，知识归纳构建体系，重难突破结合典例与方法指导，分层练习覆盖基础、能力及真题实战，形成系统复习链条。 讲义突出“数学思维”与“数学语言”培养，如“三点共线两步证明法”规范推理过程，“相等向量判定两步法”强化概念辨析。设置考法预测对接高考题型，分层集训适配不同学生需求，助力学生高效突破易错点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用教学资源。

第01讲 平面向量的概念及线性运算 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 向量的有关概念 知识2 向量的线性运算 知识3 共线向量定理 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 平面向量的概念与表示 考点02 相等向量与共线向量 方法技巧 相等向量与共线向量的判定 考点03 平面向量的线性运算 考点04 平面向量共线定理与点共线问题 方法技巧 三点共线两步证明法 考点05 已知共线向量求参 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。 2．理解平面向量的几何表示和基本要素。 3．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。 4．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。 5．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 向量的线性运算 全国一卷T2 全国一卷T6 共线向量定理 考情解读 平面向量的概念及线性运算为高考基础内容，整体难度偏低，依托三角形、平行四边形几何图形命题。主要考查向量基础概念辨析、加减与数乘线性化简、共线向量定理三类核心内容，常结合三点共线判定、参数求解设问，易错点集中在零向量、向量平行与直线平行区分，属于易拿分基础板块。 备考策略 熟记向量、特殊向量核心定义，分清向量平行与直线平行的区别；熟练掌握向量加减、数乘运算法则与全部运算律，勤做向量式子化简训练。吃透共线向量定理，规范三点共线证明步骤，多练含参数求解题型。做题时刻留意零向量特殊情况，整理易混淆概念错题，依托几何图形辅助分析，夯实基础避免粗心失分。 知识・归纳梳理 知识1 向量的有关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识2 向量的线性运算 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： （2）结合律： 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， ； ； 两向量模长和的大小关系 设任意向量，，则有：； ①若、共线且同向：；②若、共线且反向：。 知识3 共线向量定理 1.定理内容：若，则向量与共线的充要条件：存在唯一实数，使得。 2.三点共线推论：已知三点不共线，若，则三点共线的充要条件：。 重难・核心突破 考点01 平面向量的概念与表示 典例1．下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 典例2．下列有四个结论，其中说法正确的结论是（    ） A．模为0的向量与任意向量平行 B．若，则 C．若，，则 D．不存在和，使得且 【考法预测1】（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．若与是共线向量，则点、、共线 B．若为非零向量，则与反向 C．若，则 D．若，，则 【考法预测2】是 或的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考法预测3】（多选）下列说法中正确的是（     ） A．若，为单位向量，则 B．若，则 C．若，，为非零向量，且，则 D．是与非零向量共线的单位向量 考点02 相等向量与共线向量 典例1．已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 典例2．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为所在边的中点，则下列向量中，与共线的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 相等向量与共线向量的判定 （1）相等向量判定两步法：①模长相等；②方向完全相同，二者缺一不可。 （2）共线（平行）向量判定：两向量方向相同或相反即为共线，规定和任意向量共线。 概念区分技巧：向量共线 ≠空间/平面直线平行，向量共线允许线段重合，直线平行无交点。 【考法预测1】在四边形中，若，则四边形的形状一定是（   ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【考法预测2】如图，点为等腰梯形底边的中点，，，下列向量中，与相等的是（　　）    A． B． C． D． 【考法预测3】如图，在方格纸中，取两个格子的格点（A，B，C，D，E，F）为起点和终点作向量，分别写出满足下列条件的向量： (1)与相等的向量； (2)与的相反向量； (3)与的模相等的向量. 考点03 平面向量的线性运算 典例1．已知正方形的边长为1，那么____________． 典例2．在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】若非零向量，且设，则实数__________． 【考法预测2】如图，在梯形中与交于点则__________． 【考法预测3】（多选）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 考点04 平面向量共线定理与点共线问题 典例1．已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 典例2．已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 三点共线两步证明法 ①找出两个共起点向量，证明满足； ②说明两向量存在公共点，即可判定共线。 【考法预测1】已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【考法预测2】（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 【考法预测3】已知，，点P满足，求点到直线距离为__________ 考点05 已知共线向量求参 典例1．在中，，且三点共线，则___________． 典例2．已知，是平面的基底，内的两个向量分别为，，若，则实数的值为______. 【考法预测1】已知向量不共线，且，若，则的可能值是（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】设两向量，不共线，若向量与向量共线，则实数的值为_________． 【考法预测3】若，能构成平面向量的一组基，但，不能，则实数t的所有可能之和为___________. 拔高・分层集训 基础演练 1．是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（ 2026·陕西榆林·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A． B．是单位向量，则 C．若，则或 D．对于任意向量，有 3．已知O为正六边形的中心，在如图所标出的向量中，与相等的向量为（    ） A． B． C． D． 4．下列向量运算错误的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，分别是的边，，的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（     ） A． B．6 C． D． 7．已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（     ） A． B． C． D． 8．（ 2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 9．（多选）已知向量，满足，，则可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．在矩形中，，，则_____________. 11．（1）化简 （2）设向量，，求． 12．已知是平面上两个不共线的向量，且，， . (1)若方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 能力进阶 1．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A．且 B． C． D． 2．（新考法）设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 3．（新角度）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 4．已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 5．（新考法）（ 2025·河北·三模）对于平面内个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（    ） A．垂直 B．反向平行 C．同向平行 D．无法确定 6．在线段的反向延长线上（不包括端点），且，则实数的取值范围是___________. 7．如图，，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，则y的最大值是_____________． 8．（新角度）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 真题实战 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面向量的概念及线性运算 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 向量的有关概念 知识2 向量的线性运算 知识3 共线向量定理 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 平面向量的概念与表示 考点02 相等向量与共线向量 方法技巧 相等向量与共线向量的判定 考点03 平面向量的线性运算 考点04 平面向量共线定理与点共线问题 方法技巧 三点共线两步证明法 考点05 已知共线向量求参 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。 2．理解平面向量的几何表示和基本要素。 3．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。 4．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。 5．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 向量的线性运算 全国一卷T2 全国一卷T6 共线向量定理 考情解读 平面向量的概念及线性运算为高考基础内容，整体难度偏低，依托三角形、平行四边形几何图形命题。主要考查向量基础概念辨析、加减与数乘线性化简、共线向量定理三类核心内容，常结合三点共线判定、参数求解设问，易错点集中在零向量、向量平行与直线平行区分，属于易拿分基础板块。 备考策略 熟记向量、特殊向量核心定义，分清向量平行与直线平行的区别；熟练掌握向量加减、数乘运算法则与全部运算律，勤做向量式子化简训练。吃透共线向量定理，规范三点共线证明步骤，多练含参数求解题型。做题时刻留意零向量特殊情况，整理易混淆概念错题，依托几何图形辅助分析，夯实基础避免粗心失分。 知识・归纳梳理 知识1 向量的有关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识2 向量的线性运算 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： （2）结合律： 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， ； ； 两向量模长和的大小关系 设任意向量，，则有：； ①若、共线且同向：；②若、共线且反向：。 知识3 共线向量定理 1.定理内容：若，则向量与共线的充要条件：存在唯一实数，使得。 2.三点共线推论：已知三点不共线，若，则三点共线的充要条件：。 重难・核心突破 考点01 平面向量的概念与表示 典例1．下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 【答案】B 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 典例2．下列有四个结论，其中说法正确的结论是（    ） A．模为0的向量与任意向量平行 B．若，则 C．若，，则 D．不存在和，使得且 【答案】A 【详解】A：零向量方向任意，规定它与任何向量平行，故A正确； B：因相等向量包括向量的模相等，且方向相同，故B错误； C：当时，满足，，但与方向不能确定，故C错误； D：因零向量与任意向量既平行又垂直，故存在，即D错误. 【考法预测1】（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．若与是共线向量，则点、、共线 B．若为非零向量，则与反向 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，∵ 与为共线向量，且两向量有公共端点，则、、共线，故A正确. 对于B，∵ 为非零向量，，的方向与的方向相同，不可能反向，故B错误. 对于C，当、均为非零向量时，等价于两向量夹角为，即； 根据教材规定，零向量与任意向量的数量积为0，且零向量与任意向量垂直， ∴ 对任意向量、，若，则，故C正确. 对于D，因相等向量的大小与方向均相同，由 ，，可得，故D正确. 【考法预测2】是 或的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为只说明向量的长度相等，并不知方向的关系，推不出或； 而由或知两向量为相等向量或负向量，故必有， 所以是 或的必要不充分条件. 【考法预测3】（多选）下列说法中正确的是（     ） A．若，为单位向量，则 B．若，则 C．若，，为非零向量，且，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【答案】BD 【详解】对于A，若，为单位向量，但向量与的方向不一定相同， 所以与不一定相等，所以A错误； 对于B，由零向量的定义知，若，则，所以B正确； 对于C，例如：向量， 则， 此时满足，但，所以C不正确； 对于D，由是与非零向量同向的单位向量，所以与是共线向量，所以D正确. 考点02 相等向量与共线向量 典例1．已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得， 所以， 因为与均为非零向量的倍数， 所以与共线，即，充分性成立. 若，当时，，所以； 当时，存在实数，使得，所以， 假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，， 所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 典例2．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为所在边的中点，则下列向量中，与共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，在正方形ABCD中，因为分别为的中点， 所以，，则四边形为平行四边形， 所以，则与共线， 而与不共线，与不共线，与不共线， 则与不共线，与不共线，与不共线. 方法技巧 相等向量与共线向量的判定 （1）相等向量判定两步法：①模长相等；②方向完全相同，二者缺一不可。 （2）共线（平行）向量判定：两向量方向相同或相反即为共线，规定和任意向量共线。 概念区分技巧：向量共线 ≠空间/平面直线平行，向量共线允许线段重合，直线平行无交点。 【考法预测1】在四边形中，若，则四边形的形状一定是（   ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【详解】四边形中，所以，且， 所以四边形为平行四边形. 而邻边不一定相等、且不一定垂直， 所以四边形不是梯形，也不一定是菱形、矩形. 【考法预测2】如图，点为等腰梯形底边的中点，，，下列向量中，与相等的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等腰梯形中，， 又，点为中点， 则有，， 则四边形为平行四边形，故. 【考法预测3】如图，在方格纸中，取两个格子的格点（A，B，C，D，E，F）为起点和终点作向量，分别写出满足下列条件的向量： (1)与相等的向量； (2)与的相反向量； (3)与的模相等的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由图可得与相等的向量为. （2）由图可得与的相反向量为. （3）由图可得与的模相等的向量为. 考点03 平面向量的线性运算 典例1．已知正方形的边长为1，那么____________． 【答案】 【详解】根据向量运算法则可得， 又因为正方形边长为，因此，且， 又因为，根据模长公式可得， 因此. 典例2．在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 【考法预测1】若非零向量，且设，则实数__________． 【答案】 【详解】由向量，可得，所以， 因为，所以. 【考法预测2】如图，在梯形中与交于点则__________． 【答案】 【详解】因为，，， 所以. 【考法预测3】（多选）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】 对于A，因为，而， 所以，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 考点04 平面向量共线定理与点共线问题 典例1．已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 【答案】B 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项，设 ，则 ，即 无解，A错误； 对于B选项， ，所以三点共线，B正确； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 典例2．已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与共线，由平面向量共线定理可知，存在实数λ，使得， 而，，故， 非零向量，不共线，可得方程组：，解得. 方法技巧 三点共线两步证明法 ①找出两个共起点向量，证明满足； ②说明两向量存在公共点，即可判定共线。 【考法预测1】已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 【考法预测2】（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 【答案】（1）因为，是不共线的两个向量，且，， 所以， 因为，所以， 所以与共线. 又与有公共点，所以三点共线. （2） 【分析】 【详解】（1）略 （2）若与共线， 则存在实数，使得， 即， 因为与不共线，所以， 整理得，，解得. 所以. 【考法预测3】已知，，点P满足，求点到直线距离为__________ 【答案】1 【详解】因为点P满足， 所以，即，则， 所以点到直线距离，即为点A到直线距离, 则, 故答案为：1 考点05 已知共线向量求参 典例1．在中，，且三点共线，则___________． 【答案】 【详解】因三点共线，则， 又，则（显然不为0），从而，结合，平面向量基本定理， 可得. 典例2．已知，是平面的基底，内的两个向量分别为，，若，则实数的值为______. 【答案】/ 【详解】因为，，且， 所以，即，解得. 【考法预测1】已知向量不共线，且，若，则的可能值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，， 则存在一个非零实数，使得， 即，得， 两式相除得，即，只有B选项满足题意. 故选：B 【考法预测2】设两向量，不共线，若向量与向量共线，则实数的值为_________． 【答案】 【详解】因为向量，不共线，向量与向量共线，所以存在实数使得，即，解得．故答案为． 【考法预测3】若，能构成平面向量的一组基，但，不能，则实数t的所有可能之和为___________. 【答案】1 【详解】由题意可得，，不共线，但，共线， 设，则， 所以，解得或. 时，，，两向量共线； 时，，，两向量互为相反向量. 均符合题意. 所以实数t的所有可能之和为. 拔高・分层集训 基础演练 1．是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若或，则必有，故必要性成立； 若，不一定有或，例如方向不同但模相等的向量，故充分性不成立； 因此是或的必要非充分条件． 2．（ 2026·陕西榆林·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A． B．是单位向量，则 C．若，则或 D．对于任意向量，有 【答案】C 【详解】选项A：和是相反向量，方向相反但模长相等，因此，A正确， 选项B：单位向量的定义是模长为1的向量，即，B正确， 选项C：当时，除了或的情况，当（两个非零向量垂直）时，数量积也为0，C错误， 选项D，若方向相同，则， 若方向相反，则， 若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知. 综上可知对于任意向量，必有，故D正确； 3．已知O为正六边形的中心，在如图所标出的向量中，与相等的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，与方向不同，与方向相同且长度相等. 4．下列向量运算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，根据向量减法的三角形法则，，故A正确； 对于B，根据向量加法的三角形法则，，即，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 5．如图，分别是的边，，的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为分别是的边，，的中点， 所以，，即，且，所以四边形是平行四边形. 由向量加法的三角形法则，得，； 由向量加法的平行四边形法则，得，，故A，B，D错误，C正确. 6．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（     ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由向量与向量共线，且向量不共线， 得，所以. 7．已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，则， 由于，因此. 8．（ 2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 【答案】A 【详解】， 所以，且， 所以四边形是梯形. 9．（多选）已知向量，满足，，则可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【详解】解：由题可得，从而， 所以选项BCD符合题意． 10．在矩形中，，，则_____________. 【答案】 【详解】因为四边形为矩形，所以. 11．（1）化简 （2）设向量，，求． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，， 所以原式 ． 12．已知是平面上两个不共线的向量，且，， . (1)若方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 【答案】(1)2 (2)或3 【分析】 【详解】（1）由题意得，则存在实数，使得， 所以， 则，解得或， 因为方向相反，所以，则. （2）因为，所以， 所以， 因为A，C，D三点共线， 所以存在实数，使得， 则， 所以，解得或3. 能力进阶 1．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A：且，则，两个为相等向量或相反向量， 当时，，不成立， 所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确； 对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确； 对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出， 所以不是成立的充分条件，故选项C不正确； 对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即， 所以是成立的充分条件，故选项D正确； 2．（新考法）设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即. 当、、这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时. 当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为. 的最大值为，最小值为，它们的差为. 故选：D. 3．（新角度）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 【答案】A 【详解】如图，记、、，则， 则当时，取得最小值1， 若确定，则唯一，不确定， 若确定，可能有两解（图中或）， 若确定，则不确定，从而也不确定.    故选：A 4．已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以, 所以 取的中点,则, . ，即为中线的中点,如图所示， 则的面积为，的面积为， . 所以. 故选：A 5．（新考法）（ 2025·河北·三模）对于平面内个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（    ） A．垂直 B．反向平行 C．同向平行 D．无法确定 【答案】B 【详解】根据题意可得， 所以， 所以与的位置关系为反向平行. 故选：B. 6．在线段的反向延长线上（不包括端点），且，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】依题意，设， 因为，所以， 则，故，所以. 故答案为：. 7．如图，，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，则y的最大值是_____________． 【答案】/1.5 【详解】由题意：,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边. 当时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在线段DE上(含端点D,E). 因为,所以. 因为，所以. 所以. 所以y的取值范围是. 所以y的最大值是. 故答案为：. 8．（新角度）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【答案】(1)8个 (2)个 【分析】 【详解】（1）解：当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个:， 总共有8个． （2）由（1）知， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， ....依次类推， 当模长为时，有2个， 总共有个． 真题实战 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 2．（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，且 ，则， 所以， 所以当反向时，取最大值为4. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $