第01讲 随机抽样、统计图表、用样本估计总体（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦随机抽样、统计图表、用样本估计总体等核心考点，按“概念梳理-方法归纳-考点突破”逻辑架构知识体系，通过考情解读明确命题方向，知识归纳夯实基础，重难突破点拨解题思路，分层集训强化实战能力，系统构建统计知识网络。 资料以分层教学和核心素养为导向，如频率分布直方图计算中结合“面积=频率”原理培养数学思维，分层方差计算通过公式推导提升数据处理能力，设置基础到真题的三阶训练。既帮助学生精准突破抽样计算、图表分析等难点，又为教师提供清晰复习路径，高效提升应考能力。

第01讲 随机抽样、统计图表、用样本估计总体 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 随机抽样 知识2 统计图表 知识3 总体取值规律的估计 知识4 总体集中趋势的估计 知识5 总体集中趋势的估计 知识6 总体离散程度的估计 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 随机抽样辨析与计算 考点02 频率分布直方图基础计算 考点03 百分位数计算 考点04 众数、中位数、平均数的计算 考点05 方差、分层方差拔高 考点06 统计图表综合 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.通过实例理解简单随机抽样（抽签法、随机数法）与分层随机抽样的概念、适用场景；通过实际问题掌握分层抽样比例分配的计算方法，能依据调查对象特征合理选择抽样方式。 2.通过观察、绘制条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图，掌握四类统计图表的结构特征；通过读取图表数据提取频数、频率、占比等有效信息，能利用图表直观呈现数据分布规律。 3.通过有序整理一组样本数据，掌握百分位数、四分位数的通用计算步骤；通过样本数据计算平均数、中位数、众数，学会用三类统计量估计总体集中趋势；通过极差、方差、标准差刻画数据波动，以此估计总体离散程度。 4.通过频率分布直方图完成众数、中位数、平均数的估算，深化用样本估计总体的统计核心思想；通过生活类统计应用题，建立数据分析思维，能完整解决抽样、绘图、数字特征综合类实际问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 随机抽样（简单随机抽样、分层抽样比例计算） 2026春季高考上海卷解答17 (1) 频率分布直方图（频率、中位数、四分位数、均值估算） 2026新高考Ⅱ卷解答 15 题 2026 北京卷解答17 题 2024新高考Ⅱ卷单选第4题 2024上海卷解答 19 (1) 样本数字特征（中位数、平均数、众数、极差、方差、百分位数） 2026新高考Ⅰ卷单选第1题 2025上海卷 17 (1) 2025新高考Ⅱ卷单选第1题 2024 原全国甲卷（理）填空 16 考情解读 随机抽样、统计图表与用样本估计总体是高考数学高频考点，命题形式灵活，既可单独设置小题，也常结合实际情境命制解答题。试题依托分层抽样、频率分布直方图、各类统计图表展开考查，重点围绕中位数、平均数、方差、百分位数等样本数字特征进行设问，注重考查数据读取、运算与数据分析能力。题目背景贴近现实生活，难度以基础、中档为主，极少出现复杂难题。 备考策略 熟练掌握简单随机抽样、分层抽样的适用条件与计算方法；能够读懂频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等统计图表，准确提取有效数据；牢固掌握各类样本数字特征的计算公式与几何意义，熟练运用样本估计总体的思想分析实际问题，重视图表信息转化与基础运算训练。 知识・归纳梳理 知识1 随机抽样 1.统计基本概念 总体：调查对象的全体。 个体：组成总体的每一个调查对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体。 样本容量：样本中包含的个体数量（无单位）。 2. 简单随机抽样 （1）概念：从总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本，每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，除非特殊声明，本章指不放回简单随机抽样. （2）分类 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有（为正整数）个个体，从中逐个抽取个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等．把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 （3） 常用方法 ①抽签法：先把总体中的（为正整数）个个体编号，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上（签可以是纸条、卡片或小球等），再将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀_，每次随机地从中抽取一个，然后将箱中余下的号签搅拌均匀，再进行下一次抽取．如此下去，直到抽到预先设定的样本容量．抽签法的具体步骤：①给总体中的每个个体编号；②抽签． ②随机数法：先把总体中的个个体依次编码为、、、、，然后利用工具（转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机）产生、、、、中的随机数，产生的随机数是几（号码重复，则舍去），就选第几号个体，直至选到预先设定的样本容量． 3. 分层随机抽样 （1）概念：按一个或多个变量把总体划分成若干个__子总体___，每个个体___属于且仅属于___一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这种抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为__层____，分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成__比例____，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． （2）抽样比例：各层抽取比例 = 样本容量 / 总体容量. （3）所有抽样中每个个体被抽取概率相等。 4.两类抽样对比 简单随机抽样：总体均匀、数量少； 分层随机抽样：总体分层差异大，结果更贴合总体。 知识2 统计图表 1.统计图表 图表名称 要点梳理 条形图 展示各组频数大小；离散数据，矩形间有空隙。 扇形图 展示各组占比，所有扇形百分比和为 100%。 折线图 反映数据随时间变化趋势。 频率分布直方图 纵轴表示； 各个小长方形的_面积____表示相应各组的频率；各小长方形的面积的总和等于. 2.频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图． 第一步，求极差 极差为一组数据中_最大值与最小值___的差． 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取_左闭右开___区间，最后一组数据取闭区间． 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是，作出频率分布表， 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)表示__． 知识3 总体取值规律的估计 1.百分位数（p%分位数）的定义：一般地，一组数据的p%（）分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据不大于该值，且至少有________的数据不小于该值． 2.可以通过下面的步骤计算一组个数据的第百分位数: 第1步，按____从小到大______排列原始数据. 第2步，计算  _______ 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据;若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的_平均数______ 3. 四分位数：常用的分位数有第___25_____百分位数、第__50______百分位数、第___75_____百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成__四等______份，因此称为四分位数．其中第__25______百分位数也称为第一个四分位数或下四分位数，第__75______百分位数也称为第三个四分位数或上四分位数． 知识4 总体集中趋势的估计 1. 众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法 优点与缺点 众数 一组数据中出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的中心位置，但显然它对其他数据信息的忽视使得其无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按大小顺序排列，处在______中间_______位置的一个数据（或两个数据的平均数） 中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数 如果有个数，，，…，，那么这个数的平均数______________ 平均数与每一个样本数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 2.加权平均数：（为频数） 3.频率分布直方图中估计数字特征 众数：最高矩形底边中点的横坐标. 中位数：使直方图左、右两边面积相等的分界线与横轴交点的横坐标. 平均数：每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 直方图偏态规律：若直方图右侧“拖尾”，则平均数 > 中位数；若左侧“拖尾”，则平均数 < 中位数. 知识5 总体离散程度的估计 1. 极差：是数据中最大值和最小值的___差_____，它计算简单，但没有充分利用其他数据． 2. 方差的定义：样本数据到平均数的平均距离的平方。如果的平均数为， 则方差 3.方差的性质：如果a，b为常数，那么的方差为________． 4.标准差：（方差的算术平方根） 由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位．为此，计算方差的算术平方根，得，称之为标准差． 5.线性变换性质:若把原始样本数据作线性变换得到新数据，其中、为常数，且，新样本的方差为，新样本的标准差等。 6.分层加权方差： 现有两组分层样本，第一组样本容量为，样本平均数，样本方差；第二组样本容量为，样本平均数，样本方差。 ① 将两组样本合并，全部数据的总体加权平均数 ② 合并之后全部数据的总体方差 重难・核心突破 考点01 随机抽样辨析与计算 典例1．（2026高三·全国·专题练习）“民以食为天，食以安为先”，食品安全是关系人们身体健康的大事，某粮油店经营A，B，C三类品牌的食用油，其中A类品牌的食用油40桶，B类品牌的食用油30桶，C类品牌的食用油20桶，为防止“地沟油”，要从中抽取一个容量为9的样本，若用分层抽样抽取，且在各层中按比例分配样本，则在A，B，C三类品牌的食用油中各抽取的桶数分别为（   ） A．3，3，3 B．4，3，2 C．4，2，3 D．3，2，4 【答案】B 【分析】利用分层抽样的方法进行解题. 【详解】由题意可知，三类油总桶数为 ， 因为要抽取容量为9的样本，所以抽样比为， 因此，按比例计算各层抽取数量：A类：桶， B类：桶， C类：桶. 典例2．（25-26高一下·北京东城·期末）某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】C 【详解】因为工厂男职工女职工， 所以抽取的男职工人数人. 典例3．（25-26高一上·安徽亳州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六．凡三乡，发役北乡一百三十六人，欲以算数多少出之，何各几何？“意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人．现要按人数多少从北乡征集136人，问从各乡征集多少人？在上述问题中．需从南乡征集的人数约为（    ） A．128人 B．130人 C．132人 D．134人 【答案】B 【分析】利用分层抽样公式，即可求解. 【详解】设从南乡征集人，则，解得：人. 故选：B 【考法预测1】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（    ） A．甲车间应抽取6件 B．乙车间应抽取8件 C． D．该抽样方法是随机抽样 【答案】AC 【分析】根据分层抽样的步骤及抽样比计算公式即可判断ABC，根据分层抽样的定义及随机抽样的定义即可判断选项D. 【详解】由分层抽样可得，解得，故C正确. 则甲车间应抽取，故A正确. 乙车间应抽取，故B错误. 分层抽样属于概率抽样，随机抽样一般指简单随机抽样，二者概念不同，故D错误. 【考法预测2】（新考法）（2026·上海徐汇·模拟预测）总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为________． 5044664421    6606580562    6165543502    4235489632 1452415248    2266221586    2663754199    5842367224 【答案】56 【详解】由题意可知，从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 个体编号依次为：64（舍去），42，16，60（舍去），65（舍去），80（舍去），56，26，16（舍去），55，43， 所以选出的6个个体编号依次为42，16，56，26，55，43，故第3个个体的编号为56． 方法技巧 随机数表抽取编号步骤 1.定位题目指定的读取起始位置 2.按照题目规定位数连续读取数字组合 3.对读取到的数字开展筛选工作，凡是编号数值超过总体最大编号或者重复出现的数字全部舍弃，只保留符合编号范围且不重复的数字，按照读取顺序依次记录即可得到对应样本编号。 【考法预测3】（2026·上海·模拟预测）标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行粗略估算的一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对自然个体总数进行数学推断.在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再放回原来的环境，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数量.标志重捕法估算种群密度是基于以下几种假设：①标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；②在调查期内标记的个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；③标记个体在种群中均匀分布.若应用标志重捕法调查鱼的种群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果与实际情况误差较大的是（    ）. A．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼 B．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 C．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼 D．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 【答案】D 【分析】先计算出理论数量，分别分析四个选项，结合公式，得到ABC选项，采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等；D选项，采用标志重捕法估算出的种群数量越等于种群中大鱼数量，与实际种群数量相比小. 【详解】理论计算公式为，其中为估算的种群数值，为第一次捕获并标记的个体， 为一段时间后，在原来的捕获点再次捕获的个体数，为二次捕获的个体中有标记的数量， 转换后得， 假设池塘中的鱼分为大鱼和小鱼，大鱼是指用大网和小网均能捕获的鱼，小鱼指仅能用小网能捕获的鱼， A选项，第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼， 第一次用小网眼的渔网捕鱼，，其中为捕获并标记的大鱼，为捕获并标记的小鱼， 设为池塘中实际的大鱼数，为池塘中实际的小鱼数，为池塘中实际的鱼条数， 则， 标记后全部放回池塘后，池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为，被标记的小鱼占全部小鱼比例为， 假设每条鱼被捕获的概率相等，故， 第二次捕获的大鱼条中，理论上含标记的大鱼有， 第二次捕获的小鱼条中，理论中含标记的小鱼有， 故， 故总的标记条数为， 所以，又，故， 结论：若两次捕鱼都用小网眼的渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等； B选项，第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 第一次用小网眼的渔网捕鱼，，其中为捕获并标记的大鱼，为捕获并标记的小鱼， 设为池塘中实际的大鱼数，为池塘中实际的小鱼数， 标记后全部放回池塘后，池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为，被标记的小鱼占全部小鱼比例为， 假设每条鱼被捕获的概率相等，故，其中为池塘中实际的鱼条数， 第二次用大网眼渔网捕鱼，捕获的全部是大鱼，即， 理论上，，故，又，故， 结论：第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等； C选项，第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼， 第一次用大网眼的渔网捕鱼，，标记后将鱼全部放回到池塘后， 池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为， 第二次用小网眼渔网捕鱼，捕获的鱼中既有大鱼也有小鱼，， 由于第一次用大网眼渔网捕鱼，标记的均为大鱼，故第二次捕获的鱼中，只有大鱼也有可能被标记， 理论上，， 其中， 因为每条鱼捕获的概率相等，所以第二次用小网眼渔网捕获的鱼中， 大鱼和小鱼的比例与池塘中的大鱼和小鱼的比例相等，即， 所以， 结论：第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等； D选项，第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 第一次用大网眼的渔网捕鱼，，标记后将鱼全部放回到池塘后， 池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为， 第二次用大网眼渔网捕鱼，捕获的全部是大鱼，即， 理论上，，故，又，故， 结论：第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量约等于种群中大鱼数量，与实际种群数量相比小，误差大； 故选：D 考点02 频率分布直方图基础计算 典例1．（25-26高二下·江苏镇江·期末）从某学校随机抽取名同学，将他们全部的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若该校有名学生，则身高在内的学生估计有（    ） A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图先计算，进而计算内的频率，即可求解. 【详解】由题意得：，解得， 所以，所以身高在内的学生估计有名. 方法技巧 频率分布直方图通用计算方法 1. 依靠组距数值乘以每一组纵轴数值得到单组频率，全部组别频率相加结果一定等于1，依靠该等量关系求解未知参数； 2.计算指定区间总频率，区间总频率乘以样本总容量，就能得到该区间对应频数，也就是对应个体数量。 典例2．（新考法）（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）某校组织1000名学生参加机器人知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．现用比例分配的分层随机抽样在内共抽取了学生50人，则在内抽取的学生人数为（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【详解】由题意，成绩在区间的人数为，在的人数为， 按照分层随机抽样在内共抽取了学生50人，故抽样比为， 所以在内抽取的学生人数为. 典例3.（25-26高三上·山东临沂·期末）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（    ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】ACD 【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，列等式求出实数的值，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项． 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 则，解得，故A正确； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B错误； 对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； 对于D选项，估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确． 故选：ACD． 【考法预测1】（25-26高三下·辽宁沈阳·阶段检测）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．则估计该中学学生对个性化作业的评分不低于70分的概率为（    ） A．0.65 B．0.68 C．0.72 D．0.55 【答案】B 【详解】由频率分布直方图的性质知：，解得， 故评分不低于70分的概率为：. 【考法预测2】（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 【答案】120 【分析】由频率和为1，列式先求出的值，再求对应区间的频数即可． 【详解】因为，解得， 所以此次考试的数学成绩位于区间的人数约为． 故答案为：120． 【考法预测3】（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：）并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是（   ） 车速 频数 6 12 18 30 24 10 A．100辆车的车速的中位数小于 B．100辆车中车速低于的车辆所占比例超过80% C．100辆车的车速的极差介于至之间 D．100辆车的车速的平均值介于至之间 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中，中位数的估计值、频率计算、极差的估计值以及平均数的估计值计算公式，可得答案. 【详解】对于A，，，则中位数位于，故A错误； 对于B，100辆车中车速低于的车辆数量为，频率为，故B错误； 对于C，100辆车的车速的极差小于等于，大于等于，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 考点03 百分位数计算 典例1．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第80百分位数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】将数据从小到大排列后使用百分位数的计算方法即可求解. 【详解】数据从小到大排列为3，3，4，5，6，7，7，8，共8个数据， ，则第80百分位数为第7位数据7. 典例2．（2026·山东聊城·模拟预测）某小学五年级共有200名学生．期末考试后，学校教导处统计了五年级全体学生的数学成绩，并绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这200名学生成绩的80%分位数是（    ） A．70.23 B．70.84 C．71.26 D．71.43 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】数学成绩低于60分的频率为， 数学成绩低于80分的频率为， 这200名学生成绩的80%分位数在内． 设200名学生成绩的80%分位数为，则，解得， 估计这200名学生成绩的80%分位数是71.43． 典例3．（2026·贵州贵阳·二模）为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（   ） A．该样本的70%分位数为7分 B．该样本的极差为5分 C．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 【答案】BCD 【分析】根据分位数、均值、极差、方差的定义计算即可. 【详解】将样本数据从小到大排序：5,6,6,6,7,7,7,8,8,10, 选项A，分位数位置：，因为为整数，所以70%分位数是第7项和第8项数据的平均值，即分位数是，A错误 选项B，极差=最大值-最小值=10-5=5，B正确； 选项C，样本均值，用样本均值估计总体均值，C正确； 选项D，样本方差，D正确. 【考法预测1】（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）若一组整数数据：，2，1，3，4，5，4，6，8，9的第75百分位数是，则可以是_______（写出其中一个即可）． 【答案】6（6或7或8写出其中一个即可） 【分析】对已知数据进行排序，结合百分位数的定义，直接求解即可. 【详解】将除的9个已知数据按从小到大顺序排列：1，2，3，4，4，5，6，8，9. 因为，可知第75百分位数为第8位数，所以必须大于或等于第7个数， 所以可以为6或7或8. 【考法预测2】（新考法）（2026·辽宁锦州·二模）在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如图所示.如果学生甲在这次数学测试中得了110分，那么学生甲的成绩可能是（    ） A．40%分位数 B．60%分位数 C．75%分位数 D．85%分位数 【答案】B 【详解】由表格可知，分数段的占比为，分数段的占比为，该区间的分数范围是分. 110分与90分的差值为分，因此分在的占比为：. 将低于分的占比与分在区间内的占比相加，即110分对应的百分位数为第百分位数. 【考法预测3】（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）2025年7月19日，雅鲁藏布江墨脱水电站正式宣布全面开工．这项总投资1.2万亿元的超级工程，以规划6000万千瓦装机容量（相当于三峡电站的三倍）、年均发电量3000亿千瓦时的规模，刷新了全球水电史纪录．某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量（单位：千瓦时）划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.6元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费．    (1)求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：千瓦时）的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过220元的占80%，求a，b的值； (3)根据（2）中求得的数据计算用电量的75%分位数． 【答案】(1) (2)a＝0.0015，b＝0.0020 (3)375 【分析】（1）根据题意，分，，三段列出对应解析式，再写成分段函数的形式即可； （2）由题知即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图求解即可； （3）先估算75%分位数在[300，400]内，再根据频率分布直方图百分位数求解公式求解. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，， 所以y与x之间的函数解析式为： （2）由（1）可知，当时，， 即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知 解得a＝0.0015，b＝0.0020． （3）因为用电量低于300千瓦时的所占比例为 ， 用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数在[300，400]内， 所以：， 即用电量的75%分位数为375千瓦时． 考点04 众数、中位数、平均数的计算 典例1．（2026·天津和平·二模）如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小. 平均数受极端值影响，与中位数相比，平均数总在“拖尾”那边，故平均数大于中位数， 故得. 典例2．（25-26高一下·天津河东·期末）某班级随机抽取名学生解答某题的时间记录如下表： 解答时间/分 频数 若每组数据以区间中点值代替，则名学生解答时间的平均值为___________． 【答案】 / 【分析】根据平均数的计算公式即可求解. 【详解】由表格，名学生解答时间的平均值为． 典例3．（2026高三·全国·专题练习）已知甲，乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组投中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．甲投中个数的极差是29 B．乙投中个数的众数是21 C．甲的投中率比乙高 D．甲投中个数的中位数是25 【答案】D 【详解】由茎叶图可知甲投中个数的极差为，故A正确； 易知乙投中个数的众数是21，故B正确； 甲的投中率为，乙的投中率为， 所以甲的投中率比乙高，C正确； 甲投中个数的中位数为，D不正确． 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）（多选）某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为（   ） A．81.5 B．75 C．81.25 D．85 【答案】CD 【分析】根据频率分布直方图，结合中位数、众数的求法求得正确答案. 【详解】因为， ， 所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在之间． 设中位数为，因为， 所以所求中位数为． 众数在之间，为85． 【考法预测2】（新考法）（2026·福建泉州·模拟预测）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（    ） A．景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B．景区这7日数据的极差是1.7 C．景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D．景区这7日数据的方差比景区的大 【答案】C 【详解】对于A项，将景区 A 的数据从小到大排序得， 因为，不是整数， 故景区这7日数据的第80%分位数是第项为，故A错误； 对于B项，景区这7日数据的极差是，故B错误； 对于C项，因为景区的平均数：, 景区的平均数：, 所以景区这7日数据的平均数比景区的两倍小，故C正确； 对于D项，由折线图可知景区的人数波动比景区的人数波动小，故景区这7日数据的方差比景区的小，故D错误. 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 众数 方差 甲 45 83 86 85 82 乙 45 83 84 85 133 某同学分析上表后得到如下结论，其中正确结论有（    ） A．甲、乙两班学生的平均成绩相同 B．乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀） C．甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多 D．乙班成绩波动比甲班小 【答案】ABC 【详解】对于A，从表看出甲、乙两班学生的平均成绩相同，正确； 对于B，甲班中位数为86，众数为85，则甲班竞赛得分分的至少有23+2=25人， 乙班中位数为84，则乙班竞赛得分分的最多有22人，所以乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数，正确； 对于C，根据甲、乙两班的众数都是85，所以正确； 对于D，因为乙班的方差比甲的大，所以波动比甲班大，所以错误． 考点05 方差、分层方差拔高 典例1．（25-26高一下·河北唐山·期末）若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为（    ） A．9，3 B．9，8 C．9，7 D．10，8 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用平均数、方差公式计算即得. 【详解】设这组数据为，依题意，， 所得新数据为， 新数据的平均数为， 方差为. 故选：B 典例2．（2026·陕西西安·模拟预测）某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩为__________分，方差为__________． 【答案】 115 140 【分析】根据分组数据平均数，方差计算公式可得答案. 【详解】因为公司有男性30人，女性10人， 男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95， 所以该公司的平均成绩为：； 该公司成绩的方差为：. 典例3．（2026·河南·三模）已知一组样本数据的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先根据平均数的性质确定删除的数据，再利用方差公式列出关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】由题意知：原数据的平均数为6，方差为24， 即，因此： 又因为删除某个数据后平均数没有变化，则被删去的数据等于原平均数6， 因此被删数据与平均数的差的平方为 ， 所以删除该数据后，新的方差为：, 因为 ，所以：， 所以 ，解得 . 【考法预测1】（2026·福建泉州·三模）已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个数据3和9，则剩下的8个样本数据的方差为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设原样本为，则去掉数据后的平均值为， 又，所以， 所以去掉数据后的方差为. 【考法预测2】（新考法）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）为调查某校学生每天学习的时间，现采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取高一学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高二学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高三学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，则估计该校学生每天学习时间的方差为 ________. 【答案】1.45 【分析】根据题意结合平均数、方差的计算公式运算求解. 【详解】由题意可得：抽取的总人数为， 则高一，高二，高三学生抽取的人数的频率分别为， 可得该校学生每天学习时间的平均数， 方差. 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）某高校欲了解在校学生用于课外进修（如各种考证辅导班、外语辅导班等）的开支，在全校8000名学生中用分层随机抽样抽出了一个200人的样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70%，调查最近一个学期课外进修支出（元）的结果如下： 层 样本量 样本均值 样本方差 本科生 140 253.4 231 研究生 60 329.4 367 试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差． 【答案】平均开支为276.2元，开支的方差为1484.76 【分析】根据平均数、方差的求法求得正确答案. 【详解】把本科生样本记为，其平均数记为，方差记为； 把研究生记为，其平均数为，方差记为； 把总体数据的平均数记为，方差记为． 则，；，． 所以，． 总样本平均数为（元）， 总样本方差为 ． 由于分层随机抽样是按比例分配的， 所以可以估计全校学生用于课外进修的平均开支为276.2元，开支的方差为1484.76． 考点06 统计图表综合 典例1．（2026高三·全国·专题练习）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法不正确的是（    ） A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 【答案】D 【分析】利用平均数和百分位数的定义逐项判断即可． 【详解】对于A，由饼图可知，平均数为：，故A正确； 对于B，，，故中位数在这一组， 设中位数为，则，解得，故B正确； 对于C，，，故第40百分位数在这一组， 设第40百分位数为，则，解得，故C正确； 对于D，上四分位数即第75百分位数，，， 故第75百分位数在]这一组，设第75百分位数为， 则，解得，故D错误． 典例2．（2026·福建泉州·模拟预测）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（    ） A．景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B．景区这7日数据的极差是1.7 C．景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D．景区这7日数据的方差比景区的大 【答案】C 【详解】对于A项，将景区 A 的数据从小到大排序得， 因为，不是整数， 故景区这7日数据的第80%分位数是第项为，故A错误； 对于B项，景区这7日数据的极差是，故B错误； 对于C项，因为景区的平均数：, 景区的平均数：, 所以景区这7日数据的平均数比景区的两倍小，故C正确； 对于D项，由折线图可知景区的人数波动比景区的人数波动小，故景区这7日数据的方差比景区的小，故D错误. 典例3．（25-26高三·全国·一轮复习）人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（   ）    A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B．我国人口的年平均增长率持续下降 C．2020年的全国人口相比2010年增加了 D．我国人口出生率仍然持续上升 【答案】A 【详解】我国人口近10年的年平均增长率为，保持低速增长态势，故A正确，C错误； 1964年年，我国人口的年平均增长率上升，故B错误； 从图中不能判定我国人口出生率的情况，故D错误． 【考法预测1】（2026·河南·模拟预测）某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是（    ） A．获得A等级的人数减少了 B．获得B等级的人数增加了1.5倍 C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同 【答案】B 【分析】设2020年参加选择考的总人数为a，根据统计图计算出这两年的每个等级的人数，进行比较，可得答案. 【详解】由题可知：设2020年参加选择考的总人数为a，则2022年参加选择考的总人数为2a人； 2020年评定为五个等级的人数为：； 2022年评定为五个等级的人数为∶； 由此可知获得A等级的人数增加了，A错误； 由于，即获得B等级的人数增加了1.5倍，B正确； 获得D等级的人数增加了，C错误； 获得E等级的人数增加了1倍，D错误； 故选∶B． 【考法预测2】（新考法）（25-26高三上·上海闵行·期末）某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用频率分布条形图可读出， ，且A部门数据更为集中，即可得出结论. 【详解】根据频率分布条形图可知， ，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即. 【考法预测3】（2026·重庆九龙坡·模拟预测）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（    ） A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份 B．这10个月营业额的极差为37万元 C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D．这10个月营业额数据的下四分位数为23 【答案】AC 【分析】对A ，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对 B ，最大数据减去最小数据，即可判断；对 C ，分别计算前 5 个月和后 5 个月营业额的方差，比较两者大小；对 D ，将数据排序后，根据百分位数公式计算即可判断. 【详解】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元， 六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元， 十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确； 对于B，极差为，B错误； 对于C：前5个月的平均数， 方差； 后5个月的平均数， 方差 因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确； 对于D：将10个数据从小到大排序： 因为，所以下四分位数取第3项，即25，D错误. 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高一下·天津河西·期中）某校为了了解高一学生的近视情况，计划先从高一年级的10个班级中抽取3个班，再按照男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是（     ） A．简单随机抽样 B．先用分层抽样，再用随机数表法 C．抽签法 D．先用抽签法，再用分层抽样 【答案】D 【详解】由题意可知先用抽签法抽出三个班级，再按照男女生比例分层抽样. 2.（25-26高一下·湖南邵阳·期末）为了了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．则下列抽样方法最合理的是（   ） A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．按性别或学段分层抽样都行 【答案】C 【详解】因为已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，所以为了了解该地区中小学生的视力情况，应按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理． 3.（25-26高一下·北京东城·期末）某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】C 【详解】因为工厂男职工女职工， 所以抽取的男职工人数人. 4.（25-26高二下·重庆·期中）某市有大型超市15家，中型超市75家，小型超市165家.为掌握全市超市的营业情况，现按大型超市、中型超市、小型超市进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取一个容量为68的样本，则应抽取中型超市（   ）家 A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】A 【详解】根据题意：中型超市应抽取：. 5.（25-26高二下·江苏镇江·期末）从某学校随机抽取名同学，将他们全部的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若该校有名学生，则身高在内的学生估计有（    ） A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图先计算，进而计算内的频率，即可求解. 【详解】由题意得：，解得， 所以，所以身高在内的学生估计有名. 6（2026·河南周口·模拟预测）已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．7 B．9 C．11 D．12 【答案】A 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40百分位数． 【详解】首先将该组数据从小到大排列为：，数据总个数， 因为， 因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7． 7.（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，104，110，115，120，125，130，134，140，145，这组数据的下四分位数为（ ） A．107 B．110 C．132 D．134 【答案】B 【详解】，位置为第3个数据，所以这组数据的下四分位数为. 8.（25-26高二上·云南·阶段检测）为了深入调研学生会考模拟考试成绩，掌握学生数学会考成绩情况，现从该年级同学中随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图，下列说法不正确的是（   ）    A． B．众数为85 C．第70百分位数为80 D．该样本平均成绩为76 【答案】C 【分析】根据频率之和为1求出可判断A；根据频率分布直方图估算众数、百分位数和平均数的方法求解可判断BCD. 【详解】对A，依题意，得（频率之和为1）， 解得，正确； 对B，众数为最高矩形对应中点横坐标为85，正确； 对C，因为， ， 所以第70百分位数，由解得为，错误； 对D，由频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数为： ，正确. 故选：C. 9.（2026·安徽·模拟预测）已知一组数据：，，，…，的平均数为m，方差为，在这组数据中的任意位置插入数字m，则插入后这11个数的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 则加入后，平均数保持不变， 方差为． 10.（25-26高一上·河南·阶段检测）若一组数据的方差为0.4，则另一组数据的方差为（   ） A．1.6 B．0.8 C．0.4 D．0.1 【答案】A 【分析】根据平均值与方差的计算公式，可得答案. 【详解】数据的平均数， 数据的方差 数据的平均数， 数据的方差 ， 所以数据的方差为. 故选：A. 11.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）引体向上是中小学体质健康测试男生的项目，主要测试学生上肢力量．在对某高中1000名高一、高二年级男生的引体向上成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名学生中高一年级男生有600人，且抽取的样本中高一男生成绩的平均数和方差分别为5.5和6.74，高二男生成绩的平均数和方差分别为6.5和5.34，则总体方差（   ） （附：） A．6.42 B．6.18 C．5.96 D．5.84 【答案】A 【详解】依题意，在分层随机抽样的方法所抽取的100人中，高一男生有人，高二男生有40人， 记高一男生成绩的平均数和方差分别为和； 高二男生成绩的平均数和方差分别为和， 则样本平均数为， 样本总体方差 12．（2026·广西桂林·模拟预测）高三（2）班有女生20人，男生30人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一个容量为10的样本，则男生应抽取（   ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 【答案】D 【详解】∵设男生应抽取人，女生应抽取人， 则且 解得， 故男生应抽取6人． 13.（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出，进而求出长度在内的频率． 【详解】由题意知，，整理得，解得. 所以任取一个垫片为合格品的概率为：. 14.（25-26高一上·湖北十堰·自主招生）高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 【答案】B 【分析】根据平均数、方差的定义即可解答． 【详解】∵小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分， ∴该班人的测试成绩的平均分为分， 该班人的方差，即方差变小． 故选：B． 15.（25-26高一下·河南·阶段检测）为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则__________． 【答案】 【分析】先利用平均数公式求得的值，再结合方差公式得到的值，最后通过完全平方公式的变形求出. 【详解】由题意，，整理得，解得， 又因为，化简为，即， 设，，则，且， 由完全平方公式，代入得，解得， 再由，代入得： ，故， 因此. 能力进阶 1．（25-26高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ） A．2800 B．1800 C．1400 D．1200 【答案】C 【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解. 【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为， 由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条， 所有池塘中有标记的鱼的概率为：， 又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼， 所以，解得， 即估计该池塘内共有条鱼. 故选：C. 2.（25-26高三上·北京海淀·期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲､乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图. 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为方差分别为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直方图求出甲、乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小 【详解】解：由题意 由频率分布直方图得： 甲地区： 的频率为， 的频率为 ∴甲地区用户满意度评分的中位数 乙地区： 的频率为， 的频率为 ∴甲地区用户满意度评分的中位数 ∴ 由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高， ∴ 故选：D. 3.（2026高三·全国·专题练习）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法不正确的是（    ） A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 【答案】D 【分析】利用平均数和百分位数的定义逐项判断即可． 【详解】对于A，由饼图可知，平均数为：，故A正确； 对于B，，，故中位数在这一组， 设中位数为，则，解得，故B正确； 对于C，，，故第40百分位数在这一组， 设第40百分位数为，则，解得，故C正确； 对于D，上四分位数即第75百分位数，，， 故第75百分位数在]这一组，设第75百分位数为， 则，解得，故D错误． 4.（2026·山东东营·模拟预测）(多选）一组数据1，2，2，4，5，6，8，则（     ） A．该组数据的极差为7 B．该组数据的中位数为3 C．该组数据的平均数为4 D．将每一个数据增加1，方差会变大 【答案】AC 【详解】样本的极差为，所以A选项正确； 样本的中位数为，所以B选项错误； 样本的平均数为，所以C选项正确； 样本原方差为， 数据全部加后，新样本的平均数为， 新样本的方差为，方差不变，所以D选项错误， 5.（2026·河北秦皇岛·模拟预测）为调查某校学生每天学习的时间，现采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取高一学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高二学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高三学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，则估计该校学生每天学习时间的方差为 ________. 【答案】1.45 【分析】根据题意结合平均数、方差的计算公式运算求解. 【详解】由题意可得：抽取的总人数为， 则高一，高二，高三学生抽取的人数的频率分别为， 可得该校学生每天学习时间的平均数， 方差. 6.（2026·湖南怀化·模拟预测）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成下面的频率分布直方图，则______；x的第80百分位数为______. 【答案】 / / 【详解】由图知，解得， 设销售额的第80百分位数为m，又， ，且，解得. 7.（2026·陕西西安·模拟预测）某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为_______． 【答案】10.8 【分析】根据已知条件先求出全班的数学均分，代入方差公式求解即可. 【详解】解：设男生平均分为，男生的方差为；女生的平均分为，女生的方差为， 则全班50个学生的数学平均分， 所以全班50个学生数学成绩的方差， 代入数据可得， 因此，全班50个学生的数学成绩的方差为. 8．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，以及样本的平均数； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）； (3)估计这组样本数据的众数和中位数． 【答案】(1)，平均数为 ； (2)； (3)众数为，中位数为． 【分析】（1）根据所有矩形的面积之和为1求解的值，根据平均数公式求解即可； （2）由题意可得不获奖人数占参赛总人数的，设获奖分数线为，先判断出，再由，求解即可； （3）由众数的定义求解众数，由中位的公式求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 解得； 设平均数为， 则； （2）因为本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的， 所以不获奖人数占参赛总人数的， 设获奖分数线为， 因为分人数占总人数的；分人数占总人数的； 分人数占总人数的；分人数占总人数的； 而，， 所以， 所以， 解得； （3）由众数的定义可知：此组数据的众数为; 设中位数为， 由（2）可知， 所以. 9．（25-26高二上·北京·阶段检测）2021年起，江苏省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．等级排名占比，赋分分数区间是等级排名占比35%，赋分分数区间是；等级排名占比35%，赋分分数区间是70；等级排名占比13%，赋分分数区间是；等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：    (1)求图中的值； (2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数； (3)用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（结果保留整数） 【答案】(1) (2)众数75分，平均数71分，中位数分； (3)54分. 【分析】（1）由各组频率之和为1列方程求解即可. （2）由频率分布直方图中众数、平均数和中位数的计算公式代入即可得出答案. （3）求出达到赋分后的C等级及以上（含C等级）频率，再利用总体百分位数即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得， 所以. （2）由频率分布直方图得，抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为分； 抽取的这100名学生的原始成绩的平均数的估计值为： 分； 原始成绩在的频率为， 原始成绩在的频率为， 因此中位数，且，解得， 所以抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分. （3）由已知等级达到及以上所占排名等级占比为， 设该校本次化学成绩原始分在等级及以上的最低分为，则， 于是，解得， 所以原始分不少于54分才能达到赋分后的等级及以上． 10.（2026高三·全国·专题练习）某高校欲了解在校学生用于课外进修（如各种考证辅导班、外语辅导班等）的开支，在全校8000名学生中用分层随机抽样抽出了一个200人的样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70%，调查最近一个学期课外进修支出（元）的结果如下： 层 样本量 样本均值 样本方差 本科生 140 253.4 231 研究生 60 329.4 367 试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差． 【答案】平均开支为276.2元，开支的方差为1484.76 【分析】根据平均数、方差的求法求得正确答案. 【详解】把本科生样本记为，其平均数记为，方差记为； 把研究生记为，其平均数为，方差记为； 把总体数据的平均数记为，方差记为． 则，；，． 所以，． 总样本平均数为（元）， 总样本方差为 ． 由于分层随机抽样是按比例分配的， 所以可以估计全校学生用于课外进修的平均开支为276.2元，开支的方差为1484.76． 真题实战 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 2．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 二、解答题 4．（2026·上海·高考真题节选）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ 【答案】(1)； 【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可； 【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为. 5．（2026新高考Ⅱ卷节选）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： (1)求第一四分位数和中位数； 【答案】(1)第一四分位数为，中位数为； 【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积表示频率，利用百分位数的定义列方程求解第一四分位数和中位数； 【详解】（1）由频率分布直方图可知，组距为． 第一组的频率为， 第二组的频率为， 第三组的频率为， 第四组的频率为． 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以第一四分位数位于第三组内． 设第一四分位数为，则，解得． 因为前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以中位数位于第四组内． 设中位数为，则，即，解得． 故第一四分位数为，中位数为． 6．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求样本中数学成绩低于分的频率，再由频率估计概率； （2）先分别求事件成绩不低于分的概率和事件成绩小于分的概率，再由独立事件概率乘法公式求结论； （3）根据方差公式分别求，比较大小可得结论. 【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以数学成绩低于分的概率为， （2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为， 小于分的概率为， 所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为， （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 7．（2025·上海·高考真题节选）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； 【答案】(1)；； 【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数； 【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为， 则极差为； 数据中间两数为与， 则中位数为. 故极差为，中位数为； 8．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可； （2）根据平均数的计算公式即可得到答案； 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.. 9．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ 【答案】(1)9； (2)； 【分析】（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案. （2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案； 【详解】（1）年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：； （2）由题可得人的平均年龄为：； 10．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【答案】(1) (2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 (3)方差克，平均数克，预估平均质量为克 【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案； （2）利用分层抽样的定义进行求解； （3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量. 【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； （2）因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； （3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 11．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； 【答案】(1)第一四分位数为 ，中位数为 ； 【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解； 【详解】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； 12．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 【答案】(1)甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米； (2)； (3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组. 【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可； （2）根据组合公式和古典概率公式计算即可； （3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）. 【详解】（1）甲队：， 所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米； 乙队：， 所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米． （2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件， . （3）， 要使两组平均身高都增大， 则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 随机抽样、统计图表、用样本估计总体 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 随机抽样 知识2 统计图表 知识3 总体取值规律的估计 知识4 总体集中趋势的估计 知识5 总体集中趋势的估计 知识6 总体离散程度的估计 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 随机抽样辨析与计算 考点02 频率分布直方图基础计算 考点03 百分位数计算 考点04 众数、中位数、平均数的计算 考点05 方差、分层方差拔高 考点06 统计图表综合 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.通过实例理解简单随机抽样（抽签法、随机数法）与分层随机抽样的概念、适用场景；通过实际问题掌握分层抽样比例分配的计算方法，能依据调查对象特征合理选择抽样方式。 2.通过观察、绘制条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图，掌握四类统计图表的结构特征；通过读取图表数据提取频数、频率、占比等有效信息，能利用图表直观呈现数据分布规律。 3.通过有序整理一组样本数据，掌握百分位数、四分位数的通用计算步骤；通过样本数据计算平均数、中位数、众数，学会用三类统计量估计总体集中趋势；通过极差、方差、标准差刻画数据波动，以此估计总体离散程度。 4.通过频率分布直方图完成众数、中位数、平均数的估算，深化用样本估计总体的统计核心思想；通过生活类统计应用题，建立数据分析思维，能完整解决抽样、绘图、数字特征综合类实际问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 随机抽样（简单随机抽样、分层抽样比例计算） 2026春季高考上海卷解答17 (1) 频率分布直方图（频率、中位数、四分位数、均值估算） 2026新高考Ⅱ卷解答 15 题 2026 北京卷解答17 题 2024新高考Ⅱ卷单选第4题 2024上海卷解答 19 (1) 样本数字特征（中位数、平均数、众数、极差、方差、百分位数） 2026新高考Ⅰ卷单选第1题 2025上海卷 17 (1) 2025新高考Ⅱ卷单选第1题 2024 原全国甲卷（理）填空 16 考情解读 随机抽样、统计图表与用样本估计总体是高考数学高频考点，命题形式灵活，既可单独设置小题，也常结合实际情境命制解答题。试题依托分层抽样、频率分布直方图、各类统计图表展开考查，重点围绕中位数、平均数、方差、百分位数等样本数字特征进行设问，注重考查数据读取、运算与数据分析能力。题目背景贴近现实生活，难度以基础、中档为主，极少出现复杂难题。 备考策略 熟练掌握简单随机抽样、分层抽样的适用条件与计算方法；能够读懂频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等统计图表，准确提取有效数据；牢固掌握各类样本数字特征的计算公式与几何意义，熟练运用样本估计总体的思想分析实际问题，重视图表信息转化与基础运算训练。 知识・归纳梳理 知识1 随机抽样 1.统计基本概念 总体：调查对象的________________。 个体：组成总体的________________。 样本：从总体中抽取的________________。 样本容量：样本中包含的________________。（无单位）。 2. 简单随机抽样 （1）概念：从总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本，每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，除非特殊声明，本章指不放回简单随机抽样. （2）分类 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有（为正整数）个个体，从中_____________抽取个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都____________，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内__________________被抽到的概率都相等．把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 （3） 常用方法 ①抽签法：先把总体中的（为正整数）个个体____________，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上（签可以是纸条、卡片或小球等），再将这些号签放在同一个不透明的箱子里___________，每次随机地从中抽取____________，然后将箱中余下的号签____________，再进行下一次抽取．如此下去，直到抽到预先设定的样本容量．抽签法的具体步骤：①给总体中的每个个体____________；②____________． ②随机数法：先把总体中的个个体依次编码为、、、、，然后利用工具（转盘或摸球、____________、科学计算器或计算机）产生、、、、中的随机数，产生的随机数是几（号码重复，则舍去），就选第几号个体，直至选到预先设定的样本容量． 3. 分层随机抽样 （1）概念：按一个或多个变量把总体划分成若干个_____________，每个个体______________一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这种抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为____________，分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成_____________，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． （2）抽样比例：各层抽取比例 = 样本容量 / 总体容量. （3）所有抽样中每个个体被抽取概率相等。 4.两类抽样对比 简单随机抽样：总体均匀、数量少； 分层随机抽样：总体分层差异大，结果更贴合总体。 知识2 统计图表 1.统计图表 图表名称 要点梳理 条形图 展示各组频数大小；离散数据，矩形间有空隙。 扇形图 展示各组占比，所有扇形百分比和为 100%。 折线图 反映数据随时间变化趋势。 频率分布直方图 纵轴表示； 各个小长方形的______________表示相应各组的频率；各小长方形的面积的总和等于. 2.频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图． 第一步，求极差 极差为一组数据中_____________的差． 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取_______________区间，最后一组数据取闭区间． 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是，作出频率分布表， 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)表示____________． 知识3 总体取值规律的估计 1.百分位数（p%分位数）的定义：一般地，一组数据的p%（）分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________________的数据不大于该值，且至少有______________的数据不小于该值． 2.可以通过下面的步骤计算一组个数据的第百分位数: 第1步，按___________排列原始数据. 第2步，计算  ____________ 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据;若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的____________. 3. 四分位数：常用的分位数有第____________百分位数、第____________百分位数、第_________百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成___________份，因此称为四分位数．其中第____________百分位数也称为第一个四分位数或下四分位数，第___________百分位数也称为第三个四分位数或上四分位数． 知识4 总体集中趋势的估计 1. 众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法 优点与缺点 众数 一组数据中出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的中心位置，但显然它对其他数据信息的忽视使得其无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按大小顺序排列，处在_____________位置的一个数据（或两个数据的平均数） 中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数 如果有个数，，，…，，那么这个数的平均数______________ 平均数与每一个样本数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 2.加权平均数：（为频数） 3.频率分布直方图中估计数字特征 众数：最高矩形底边中点的横坐标. 中位数：使直方图左、右两边面积相等的分界线与横轴交点的横坐标. 平均数：每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 直方图偏态规律：若直方图右侧“拖尾”，则平均数 > 中位数；若左侧“拖尾”，则平均数 < 中位数. 知识5 总体离散程度的估计 1. 极差：是数据中最大值和最小值的_____________，它计算简单，但没有充分利用其他数据． 2. 方差的定义：样本数据到平均数的平均距离的平方。如果的平均数为， 则方差 3.方差的性质：如果a，b为常数，那么的方差为_____________． 4.标准差：（方差的算术平方根） 由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位．为此，计算方差的算术平方根，得__________________，称之为标准差． 5.线性变换性质:若把原始样本数据作线性变换得到新数据，其中、为常数，且，新样本的方差为，新样本的标准差等___________. 6.分层加权方差： 现有两组分层样本，第一组样本容量为，样本平均数，样本方差；第二组样本容量为，样本平均数，样本方差。 ① 将两组样本合并，全部数据的总体加权平均数 ② 合并之后全部数据的总体方差 重难・核心突破 考点01 随机抽样辨析与计算 典例1．（2026高三·全国·专题练习）“民以食为天，食以安为先”，食品安全是关系人们身体健康的大事，某粮油店经营A，B，C三类品牌的食用油，其中A类品牌的食用油40桶，B类品牌的食用油30桶，C类品牌的食用油20桶，为防止“地沟油”，要从中抽取一个容量为9的样本，若用分层抽样抽取，且在各层中按比例分配样本，则在A，B，C三类品牌的食用油中各抽取的桶数分别为（   ） A．3，3，3 B．4，3，2 C．4，2，3 D．3，2，4 典例2．（25-26高一下·北京东城·期末）某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 典例3．（25-26高一上·安徽亳州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六．凡三乡，发役北乡一百三十六人，欲以算数多少出之，何各几何？“意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人．现要按人数多少从北乡征集136人，问从各乡征集多少人？在上述问题中．需从南乡征集的人数约为（    ） A．128人 B．130人 C．132人 D．134人 【考法预测1】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（    ） A．甲车间应抽取6件 B．乙车间应抽取8件 C． D．该抽样方法是随机抽样 【考法预测2】（新考法）（2026·上海徐汇·模拟预测）总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为________． 5044664421    6606580562    6165543502    4235489632 1452415248    2266221586    2663754199    5842367224 方法技巧 随机数表抽取编号步骤 1.定位题目指定的读取起始位置 2.按照题目规定位数连续读取数字组合 3.对读取到的数字开展筛选工作，凡是编号数值超过总体最大编号或者重复出现的数字全部舍弃，只保留符合编号范围且不重复的数字，按照读取顺序依次记录即可得到对应样本编号。 【考法预测3】（2026·上海·模拟预测）标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行粗略估算的一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对自然个体总数进行数学推断.在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再放回原来的环境，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数量.标志重捕法估算种群密度是基于以下几种假设：①标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；②在调查期内标记的个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；③标记个体在种群中均匀分布.若应用标志重捕法调查鱼的种群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果与实际情况误差较大的是（    ）. A．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼 B．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 C．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼 D．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 考点02 频率分布直方图基础计算 典例1．（25-26高二下·江苏镇江·期末）从某学校随机抽取名同学，将他们全部的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若该校有名学生，则身高在内的学生估计有（    ） A．名 B．名 C．名 D．名 方法技巧 频率分布直方图通用计算方法 1. 依靠组距数值乘以每一组纵轴数值得到单组频率，全部组别频率相加结果一定等于1，依靠该等量关系求解未知参数； 2.计算指定区间总频率，区间总频率乘以样本总容量，就能得到该区间对应频数，也就是对应个体数量。 典例2．（新考法）（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）某校组织1000名学生参加机器人知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．现用比例分配的分层随机抽样在内共抽取了学生50人，则在内抽取的学生人数为（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 典例3.（25-26高三上·山东临沂·期末）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（    ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【考法预测1】（25-26高三下·辽宁沈阳·阶段检测）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．则估计该中学学生对个性化作业的评分不低于70分的概率为（    ） A．0.65 B．0.68 C．0.72 D．0.55 【考法预测2】（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 【考法预测3】（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：）并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是（   ） 车速 频数 6 12 18 30 24 10 A．100辆车的车速的中位数小于 B．100辆车中车速低于的车辆所占比例超过80% C．100辆车的车速的极差介于至之间 D．100辆车的车速的平均值介于至之间 考点03 百分位数计算 典例1．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第80百分位数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 典例2．（2026·山东聊城·模拟预测）某小学五年级共有200名学生．期末考试后，学校教导处统计了五年级全体学生的数学成绩，并绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这200名学生成绩的80%分位数是（    ） A．70.23 B．70.84 C．71.26 D．71.43 典例3．（2026·贵州贵阳·二模）为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（   ） A．该样本的70%分位数为7分 B．该样本的极差为5分 C．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 【考法预测1】（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）若一组整数数据：，2，1，3，4，5，4，6，8，9的第75百分位数是，则可以是_______（写出其中一个即可）． 【考法预测2】（新考法）（2026·辽宁锦州·二模）在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如图所示.如果学生甲在这次数学测试中得了110分，那么学生甲的成绩可能是（    ） A．40%分位数 B．60%分位数 C．75%分位数 D．85%分位数 【考法预测3】（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）2025年7月19日，雅鲁藏布江墨脱水电站正式宣布全面开工．这项总投资1.2万亿元的超级工程，以规划6000万千瓦装机容量（相当于三峡电站的三倍）、年均发电量3000亿千瓦时的规模，刷新了全球水电史纪录．某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量（单位：千瓦时）划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.6元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费．    (1)求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：千瓦时）的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过220元的占80%，求a，b的值； (3)根据（2）中求得的数据计算用电量的75%分位数． 考点04 众数、中位数、平均数的计算 典例1．（2026·天津和平·二模）如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（   ） A． B． C． D． 典例2．（25-26高一下·天津河东·期末）某班级随机抽取名学生解答某题的时间记录如下表： 解答时间/分 频数 若每组数据以区间中点值代替，则名学生解答时间的平均值为___________． 典例3．（2026高三·全国·专题练习）已知甲，乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组投中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．甲投中个数的极差是29 B．乙投中个数的众数是21 C．甲的投中率比乙高 D．甲投中个数的中位数是25 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）（多选）某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为（   ） A．81.5 B．75 C．81.25 D．85 【考法预测2】（新考法）（2026·福建泉州·模拟预测）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（    ） A．景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B．景区这7日数据的极差是1.7 C．景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D．景区这7日数据的方差比景区的大 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 众数 方差 甲 45 83 86 85 82 乙 45 83 84 85 133 某同学分析上表后得到如下结论，其中正确结论有（    ） A．甲、乙两班学生的平均成绩相同 B．乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀） C．甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多 D．乙班成绩波动比甲班小 考点05 方差、分层方差拔高 典例1．（25-26高一下·河北唐山·期末）若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为（    ） A．9，3 B．9，8 C．9，7 D．10，8 典例2．（2026·陕西西安·模拟预测）某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩为__________分，方差为__________． 典例3．（2026·河南·三模）已知一组样本数据的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考法预测1】（2026·福建泉州·三模）已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个数据3和9，则剩下的8个样本数据的方差为（   ） A． B． C．2 D． 【考法预测2】（新考法）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）为调查某校学生每天学习的时间，现采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取高一学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高二学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高三学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，则估计该校学生每天学习时间的方差为 ________. 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）某高校欲了解在校学生用于课外进修（如各种考证辅导班、外语辅导班等）的开支，在全校8000名学生中用分层随机抽样抽出了一个200人的样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70%，调查最近一个学期课外进修支出（元）的结果如下： 层 样本量 样本均值 样本方差 本科生 140 253.4 231 研究生 60 329.4 367 试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差． 考点06 统计图表综合 典例1．（2026高三·全国·专题练习）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法不正确的是（    ） A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 典例2．（2026·福建泉州·模拟预测）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（    ） A．景区这7日数据的第80%分位数是8.7 B．景区这7日数据的极差是1.7 C．景区这7日数据的平均数比景区的两倍小 D．景区这7日数据的方差比景区的大 典例3．（25-26高三·全国·一轮复习）人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（   ）    A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B．我国人口的年平均增长率持续下降 C．2020年的全国人口相比2010年增加了 D．我国人口出生率仍然持续上升 【考法预测1】（2026·河南·模拟预测）某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是（    ） A．获得A等级的人数减少了 B．获得B等级的人数增加了1.5倍 C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同 【考法预测2】（新考法）（25-26高三上·上海闵行·期末）某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【考法预测3】（2026·重庆九龙坡·模拟预测）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（    ） A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份 B．这10个月营业额的极差为37万元 C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D．这10个月营业额数据的下四分位数为23 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高一下·天津河西·期中）某校为了了解高一学生的近视情况，计划先从高一年级的10个班级中抽取3个班，再按照男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是（     ） A．简单随机抽样 B．先用分层抽样，再用随机数表法 C．抽签法 D．先用抽签法，再用分层抽样 2.（25-26高一下·湖南邵阳·期末）为了了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．则下列抽样方法最合理的是（   ） A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．按性别或学段分层抽样都行 3.（25-26高一下·北京东城·期末）某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 4.（25-26高二下·重庆·期中）某市有大型超市15家，中型超市75家，小型超市165家.为掌握全市超市的营业情况，现按大型超市、中型超市、小型超市进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取一个容量为68的样本，则应抽取中型超市（   ）家 A．20 B．30 C．40 D．50 5.（25-26高二下·江苏镇江·期末）从某学校随机抽取名同学，将他们全部的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若该校有名学生，则身高在内的学生估计有（    ） A．名 B．名 C．名 D．名 6（2026·河南周口·模拟预测）已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．7 B．9 C．11 D．12 7.（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，104，110，115，120，125，130，134，140，145，这组数据的下四分位数为（ ） A．107 B．110 C．132 D．134 8.（25-26高二上·云南·阶段检测）为了深入调研学生会考模拟考试成绩，掌握学生数学会考成绩情况，现从该年级同学中随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图，下列说法不正确的是（   ）    A． B．众数为85 C．第70百分位数为80 D．该样本平均成绩为76 9.（2026·安徽·模拟预测）已知一组数据：，，，…，的平均数为m，方差为，在这组数据中的任意位置插入数字m，则插入后这11个数的方差为（    ） A． B． C． D． 10.（25-26高一上·河南·阶段检测）若一组数据的方差为0.4，则另一组数据的方差为（   ） A．1.6 B．0.8 C．0.4 D．0.1 11.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）引体向上是中小学体质健康测试男生的项目，主要测试学生上肢力量．在对某高中1000名高一、高二年级男生的引体向上成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名学生中高一年级男生有600人，且抽取的样本中高一男生成绩的平均数和方差分别为5.5和6.74，高二男生成绩的平均数和方差分别为6.5和5.34，则总体方差（   ） （附：） A．6.42 B．6.18 C．5.96 D．5.84 12．（2026·广西桂林·模拟预测）高三（2）班有女生20人，男生30人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一个容量为10的样本，则男生应抽取（   ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 13.（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 14.（25-26高一上·湖北十堰·自主招生）高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 15.（25-26高一下·河南·阶段检测）为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则__________． 能力进阶 1．（25-26高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ） A．2800 B．1800 C．1400 D．1200 2.（25-26高三上·北京海淀·期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲､乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图. 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为方差分别为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2026高三·全国·专题练习）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法不正确的是（    ） A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 4.（2026·山东东营·模拟预测）(多选）一组数据1，2，2，4，5，6，8，则（     ） A．该组数据的极差为7 B．该组数据的中位数为3 C．该组数据的平均数为4 D．将每一个数据增加1，方差会变大 5.（2026·河北秦皇岛·模拟预测）为调查某校学生每天学习的时间，现采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取高一学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高二学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高三学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，则估计该校学生每天学习时间的方差为 ________. 6.（2026·湖南怀化·模拟预测）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成下面的频率分布直方图，则______；x的第80百分位数为______. 7.（2026·陕西西安·模拟预测）某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为_______． 8．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，以及样本的平均数； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）； (3)估计这组样本数据的众数和中位数． 9．（25-26高二上·北京·阶段检测）2021年起，江苏省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．等级排名占比，赋分分数区间是等级排名占比35%，赋分分数区间是；等级排名占比35%，赋分分数区间是70；等级排名占比13%，赋分分数区间是；等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：    (1)求图中的值； (2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数； (3)用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（结果保留整数） 10.（2026高三·全国·专题练习）某高校欲了解在校学生用于课外进修（如各种考证辅导班、外语辅导班等）的开支，在全校8000名学生中用分层随机抽样抽出了一个200人的样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70%，调查最近一个学期课外进修支出（元）的结果如下： 层 样本量 样本均值 样本方差 本科生 140 253.4 231 研究生 60 329.4 367 试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差． 真题实战 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 二、解答题 4．（2026·上海·高考真题节选）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ 5．（2026新高考Ⅱ卷节选）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： (1)求第一四分位数和中位数； 6．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 7．（2025·上海·高考真题节选）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； 8．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） 9．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ 10．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 11．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； 12．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $