第02讲 排列组合（培优讲义）（全国通用）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

第02讲 排列组合 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 排列与排列数 知识2 分类计组合与组合数 知识3 排列与组合区别 知识4 排列组合中常见问题及其技巧 知识5 排列组合方法技巧总结 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 排列数组合数的计算与证明 考点02 元素有限制条件的排列问题 考点03 相邻问题的排列 方法技巧 相邻问题的解题技巧 考点04 不相邻问题的排列 方法技巧 不相邻问题的解题技巧 考点05 定序问题 方法技巧 定序问题的解题技巧 考点06 多面手问题 方法技巧 多面手问题的解题技巧 考点07 错位排列问题 考点08 分组分配问题 方法技巧 分组分配问题的解题技巧 考点09 隔板法 考点10 环排问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能利用排列与组合解决简单的实际问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 排列组合 天津卷第6题 全国甲卷第6题 新课标yi6第14题 考情解读 排列组合是高考的必考内容，通常以选择题或填空题形式出现，分值为5分左右。命题注重考查学生对“有序”（排列）与“无序”（组合）的区分能力，以及常见计数模型的识别能力（如相邻问题、不相邻问题、分组分配问题、定序问题等）。近年高考中，排列组合题目常与古典概型概率计算结合考查，情境设计趋于多样化，如数字游戏、比赛出场、方格选点等实际背景。试题难度以中等为主，重在考查逻辑思维的严谨性和策略选择的灵活性，而非复杂计算。 备考策略 复习应以“模型识别”为核心，帮助学生归纳常见题型的通解通法。重点强化捆绑法、插空法、隔板法、排除法等基本策略的适用条件，同时注重培养“先分类、再分步”的思维习惯。建议通过变式训练让学生体会同一问题的不同解法，避免机械套用公式。 知识・归纳梳理 知识1 排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质： ①；②；③． （4）解排列应用题的基本思路： 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）． 注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用． 知识2 组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． （4）组合应用题的常见题型： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型 知识3 排列与组合区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 知识4 排列组合中常见问题及其技巧 1、对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 2、对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法． 3、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 4、分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配． （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 知识5 排列组合方法技巧总结 ①特殊元素（位置）法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 ②捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. ③插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求. ④倍缩法 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法. ⑤排数问题 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位. ⑥分组、分配问题 （1）整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． （2）局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． （3）不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 重难・核心突破 考点01 排列数组合数的计算与证明 典例1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 【答案】 【分析】根据排列数计算即可得到答案. 【详解】， 由题意得， 解得. 故答案为：. 典例2．（2025·浙江·模拟预测）（1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）根据排列数以及组合数公式计算，即得答案； （2）根据排列数公式，解不等式，即得答案. 【详解】（1）； （2）由，得， 化简得，解得.① 又，所以.② 由①②及，得， 即不等式的解集为. 【考法预测1】求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 【答案】(1)64； (2)15； (3)7. 【分析】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数公式计算可得； （3）根据排列数公式化简方程，解方程求. 【详解】（1）； （2）； （3）由，得，即， 所以，整理得， 所以. 【考法预测2】（2026高二下·浙江台州·专题练习）（1）计算； （2）若，求m的值； （3）已知，求n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用组合数公式化简计算； （2）直接由排列数公式计算； （3）根据组合数的公式直接化简求解. 【详解】（1）原式． （2）根据题意，若，则， 则有， 即，解得 （3）原方程可变形为，即， 即， 化简整理，得，解得或 (舍去)， 故． 考点02 元素有限制条件的排列问题 典例1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 【答案】B 【分析】根据题意，求得5个窗花的全排列，再求得春字在两端的种数，结合间接法，即可求解. 【详解】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 典例2．（25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 【答案】B 【分析】先考虑无限制条件的情况，再减去当副组长的情况，即可得答案. 【详解】不考虑限制条件有种选法， 若当副组长，有种选法， 故不当副组长，有（种）选法． 故选：B. 【考法预测1】（山东青岛市2026届高三第一次适应性检测数学试题）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素 或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 【考法预测2】（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从张不同地图中选择3张，按顺序用于场比赛，且每张地图最多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种． 【答案】 【详解】考虑所有情况为种， 如果第一场选择“峡谷之巅”共有种， 那么第一场不选择“峡谷之巅”，则有种选法. 考点03 相邻问题的排列 典例1．（2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】B 【详解】将甲、乙视为一个“整体”（捆绑），甲、乙内部有2种排法（甲左乙右或乙左甲右）， 把“甲乙整体”与另外3辆车看成4个元素一起排列，有种排法， 所以总的停放方法是种. 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】D 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解即可. 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 典例3．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】D 【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案. 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 方法技巧 相邻问题的解题方法 核心方法为捆绑法。当要求某些元素必须相邻时，先将这些元素看作一个整体（“大元素”），与其他元素一起进行全排列，再乘以捆绑内部元素的全排列。注意捆绑后若整体与其他元素有顺序要求，需按普通元素处理。若存在多组相邻元素，分别捆绑再排列，最后乘各捆绑组内部排列数。关键在于捆绑后内部顺序不能忽略。若题目同时含“不相邻”条件，通常先处理相邻（捆绑），再插空处理不相邻部分。 【考法预测1】（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. 【考法预测2】（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 【答案】D 【分析】利用捆绑法和插空法来求个数即可. 【详解】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有个， 故选：D. 考点04 不相邻问题的排列 典例1．（25-26高三下·河北沧州·月考）将1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（    ） A．12 B．26 C．52 D．104 【答案】A 【分析】分类讨论数字1出现的位置，即可由分类加法以及排列求解. 【详解】第一张为1时; 若第五张为1，则仅有1种排法； 若第三张为1，有种排法. 若第四张为1，有种排法. 第二张为1时; 若第四张为1，则共种排法， 若第五张为1，有种排法， 第三张为1时，第五张为1，有种排法， 综上可得：总计12种排法. 典例2．（25-26高三上·吉林四平·期末）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【分析】根据题意，先排黄、蓝4个小球，共有种，再把红球插入共有种，则共有种． 【详解】首先排黄、蓝各2个，共4个小球， 相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有种， 放好4个小球后， 选2个空位插入2个红球，共有种， 综上，共有种． 故选：B． 典例3．（25-26高三下·山东·月考）小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____． 【答案】 【分析】就是否相邻分类讨论并利用插空法可求不同的密码个数. 【详解】如果六位密码中相邻，则先排， 再利用插空法可得不同的密码个数为， 如果六位密码中不相邻，则先排，此时有个空挡， 这5个空挡中有3个空挡可以插入，故此时不同的密码个数为， 故不同密码的个数为. 方法技巧 不相邻问题的解题方法 核心方法为插空法。当要求某些元素互不相邻时，先排其余无约束的元素，形成若干空位（包括两端），再将不相邻元素插入这些空位中。注意空位个数为“其余元素数+1”。若不相邻元素内部有区别，插入后要排列顺序；若无区别则组合。若题目有多个不相邻组，需分步插入或分类讨论。关键技巧：优先排“可相邻”元素，空位数量往往比元素数多1，确保不相邻元素不聚在一起。 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停放点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________． 【答案】10 【分析】先设出车位总数，分别用插空法计算“都不相邻”和“恰有两辆相邻”的排法种数，再根据两者相等列出方程求解. 【详解】设停车位有个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将个停车位排好， 再将这3辆共享汽车插入到所成的个间隔中，故有种． 恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素， 再和另一辆插入到将个停车位排好所成的个间隔中，故有种． 因为这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等， 所以，解得． 故答案为：. 【考法预测2】（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 【答案】150 【分析】由题意可知先排非耐力打卡，再利用插空法排耐力打卡，即可得答案. 【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有次打卡，同类顺序固定， 只需从5个位置中选2个放柔韧打卡，剩余3个放力量打卡， 放法数为：； 第二步：插入耐力打卡：5个排好的打卡共形成6个空隙（含两端）， 要选4个空隙各插入1次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定， 选法数为：， 第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：. 考点05 定序问题 典例1．（24-25高二下·河北·期中）个人并排站在一排，站在的右边，站在的右边，站在的右边，则不同的排法种数为______． 【答案】 【分析】根据排列问题中的定序问题缩倍法可求得结果. 【详解】个人并排站成一排共有：种排法 其中共有四个人定序，则所有排法种数为：种 本题正确结果： 典例2．（25-26高二上·山东德州·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 【答案】30 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 典例3．（24-25高二下·上海·月考）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有______种不同的插法． 【答案】 【分析】利用倍缩法求解即可. 【详解】由题意，不同的插法共有种. 故答案为：. 方法技巧 定序问题的解题方法 核心方法为除法（消序法）。若某几个元素有固定顺序（如甲必须在乙前），则先不考虑顺序作全排列，再除以这些元素的顺序数。若部分元素顺序固定（如A在B前，B在C前），则除以固定元素的全排列数。若多个独立定序组，分别除以各组内部排列数。另一种思路是组合选位法：从位置中选出定序元素所占位置，再按唯一顺序放入，其余元素任意排。此法适用于元素不完全相同或顺序约束明确的问题。 【考法预测1】（24-25高二下·上海·期末）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 【答案】2,3,4,6,1,5 【分析】通过比较各个位数得出后一个排列. 【详解】根据题意，已知排列与后一个排列位置关系应当由最后两个数进行大小比较得来的，但是将后两个数比较所得排列为2,3,4,5,1,6， 根据规则，此排列应该为已知排列的前一个排列。 因此，应当从第四个数开始比较，前三个数相同，第四个数比5大，然后要保证第五个数尽量小.即2,3,4,6,1,5. 故答案为：2,3,4,6,1,5. 【考法预测2】（24-25高二下·湖南邵阳·月考）城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届．假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目．若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为______． 【答案】132 【分析】共有12个节目，只需排好2个“歌王对唱”节目即可，根据排列数计算即可得出答案. 【详解】添加节目后，共有12个节目， 因为保持原来10个节目的相对顺序不变， 则只需排好2个“歌王对唱”节目即可， 所以，不同的排法种数为． 故答案为：. 考点06 多面手问题 典例1．（2026高二·河北石家庄·期末）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 则共有种选法. 故选：C. 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种； 第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种， 所以共有种不同的选法， 故选：A． 方法技巧 多面手问题的解题方法 核心为分类讨论法。多面手指既能做甲类工作又能做乙类工作的人。解题时按多面手被分配到哪一类（或未使用）来分类，避免重复计数。分类依据通常看多面手参与哪类工作的人数，或按多面手是否被选入某组。常见策略：先处理“纯”专业人员，再按多面手的使用情况分几类分别计算，最后相加。分类时注意边界（如多面手全部选入甲类、全部选入乙类、部分选入等），确保不重不漏。若多面手人数较多，可转化为容斥原理简化。 【考法预测1】（2026·安徽安庆·模拟预测）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 【考法预测2】（2026·河北邯郸·模拟预测）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 【答案】D 【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有 种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有(种)不同的选派方法． 故选：D 考点07 错位排列问题 典例1．（2026高二·河北石家庄·期末）五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】先从5人中选取2人拿到自己的外衣，共种情况， 另外3人拿到别人的外衣的情况，可看作编号为1，2，3的人 坐到编号为1，2，3的座位，且人和编号不能相同， 共有231，312，两种， 由分步计数原理可得共种情况. 故选：C. 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）6名运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，有一部分队员拿错了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到别人的外衣种数为______． 【答案】 【解析】先从6人中选出2人拿到自己的外衣，共有种情形， 另外4人拿到别人的外衣的情形，可看作编号为的人坐到编号为的座位， 且人的编号和座位的编号不能相同， 共有，共有9种情形， 由分步计数原理，可得共有种不同的情况. 故答案为：. 【考法预测1】（2026·安徽安庆·模拟预测）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 【答案】2,3,4,6,1,5 【分析】通过比较各个位数得出后一个排列. 【详解】根据题意，已知排列与后一个排列位置关系应当由最后两个数进行大小比较得来的，但是将后两个数比较所得排列为2,3,4,5,1,6， 根据规则，此排列应该为已知排列的前一个排列。 因此，应当从第四个数开始比较，前三个数相同，第四个数比5大，然后要保证第五个数尽量小.即2,3,4,6,1,5. 故答案为：2,3,4,6,1,5. 【考法预测2】（25-26高二下·湖南邵阳·月考）城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届．假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目．若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为______． 【答案】132 【分析】共有12个节目，只需排好2个“歌王对唱”节目即可，根据排列数计算即可得出答案. 【详解】添加节目后，共有12个节目， 因为保持原来10个节目的相对顺序不变， 则只需排好2个“歌王对唱”节目即可， 所以，不同的排法种数为． 故答案为：. 考点08 分组分配问题 典例1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 【答案】150 【解析】先将5位教师分成3组，且每组至少1人，一共有2种分组方式： 其中1、1、3分配方式有种； 1、2、2分组方式有种； 再将分好组的3组教师分配到3所乡村中学，其分法有种， 所以分配方案的总数为 典例2．（25-26高三下·甘肃白银·月考）2026年某中学预计会被用作公务员考试，生物奥赛考试等六项国家级考试作为考点.本校职工小明，小浩，小文因精通各项考试流程，考务组计划邀请三人加入监考工作（六项考试时间不冲突）.预计安排每人至少监考一项考试，每人至多监考三项考试，每项考试，三人中有且仅有一人参与，其中小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，则三人不同的监考安排方案种数为_________. 【答案】 【解析】将6项不同的考试分配给小明、小浩、小文三人，每人至少1项，至多3项，有和两种分配方案， 因此总分配方案数为， 小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，当小明不监考这两项， 即小明监考其余4项，有以下两种情况： 当每人按分配时，小明从其余4项中选2项方案数为种； 当每人按分配时，小明可能选1项，2项，3项，方案数为种； 所以小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，三人不同的监考安排方案种数为：种. 方法技巧 涂色问题的解题方法 (1)对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 【考法预测1】（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 【答案】10 【解析】已知甲负责第一关，从剩余4人中选2人去第四关，共种选法，剩下2人全排列去第二、三关，共种排法，总方案数为 6 × 2 = 12， 不符合条件（乙丙同关卡）的情况：因为第二、三关都只有1个位置，乙丙只能同时在第四关，此时剩下2人全排列去第二、三关，共种， 因此符合条件的方案数为 12 − 2 = 10 . 【考法预测2】（2026·河北·三模）将含甲、乙在内的7名志愿者分成三个小组，要求每个小组至少一人，有且仅有两个小组的人数相等. （1）则所有不同的分组方法有________种（用数字作答）； （2）若甲、乙两名志愿者不在同一个小组，则不同的分组方法有________种（用数字作答）. 【答案】 196 141 【解析】（1）由题意可知，分组的人数分配情况共有以下三类：，，. 当人数分配为时，分组方法有种； 当人数分配为时，分组方法有种； 当人数分配为时，分组方法有种； 故所有不同的分组方法有种. （2）考虑其对立事件，即甲、乙两名志愿者在同一小组的情况： ①若分配方案为，甲、乙必在5人组， 此时从剩余5人中选3人进入该组，共有种； ②若分配方案为，若甲、乙在2人组，则该组已满， 只需将余下5人分成两组，有种； 若甲、乙在3人组，则需从余下5人中选1人，其余4人均分为两组，有种； 故此方案下甲、乙同组的方法数为种； ③若分配方案为，甲、乙不可能在1人组，必在其中一个3人组， 从剩余5人中选1人加入该组，余下4人分成两组，共有种； 故甲、乙在同一小组的分组方法有种， 则甲、乙不在同一小组的分组方法有种. 考点09 隔板法 典例1．（2026·江西抚州·期末）从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有______种. 【答案】6 【解析】8个相同小球再减去3个小球共5个小球排成一排，用2块挡板去插入，有种. 然后再往每个箱子里放1个球，即每个箱子至少选2个小球，故不同的选法有6种． 故答案为：6 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）方程共有______组正整数解，共有_____组非负整数解． 【答案】 455 969 【解析】可将16理解为16个1相加．而x，y，z，w相当于四个盒子，每个盒子里装入若干个1．则每个盒子里若干个1的和构成其中一组正整数解． 对于第一空，用隔板法，将16个1排成一排，形成15个空隙， 在空隙中插入3个隔板，将16个1截为4部分， 每一部分的和对应原四元方程的正整数解，则有组正整数解． 对于第二空，正整数解与非负整数解的区别在于非负整数解可以是0， 相当于允许盒子为空，而隔板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归． 由， 得， 则这四个盒子非空即可， 此时使用隔板法，可得原方程共有组非负整数解． 故答案为：455，969 【考法预测1】（2026·安徽合肥·一模）已知集合，则A中的元素的个数为______. 【答案】 【解析】 ， 可转化为将102个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人， 每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为， 所以中的元素的个数为. 故答案为：. 【考法预测2】（2026·河南郑州·模拟预测）各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为__________（请用数字作答）． 【答案】56 【解析】设，，，对应个位到千位上的数字，则， 且，相当于6个相同的球排成一排，每个球表示1， 先拿一个球装入，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不可为空）， 故共有种． 故答案为：56． 考点10 环排问题 典例1．（24-25高三下·江西·开学考试）“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为__________.（用数字作答） 【答案】120 【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解. 【详解】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为. 故答案为： 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）（25-26高三上·黑龙江·月考）将1，2，3，4，5，6随机填入如图所示的三角形图形中的 6 个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为_____. 【答案】 【分析】三角形三边上的数字之和可能为，分类讨论，结合列举法、分类加法、分步乘法计数原理求解即可. 【详解】将1，2，3，4，5，6填入三角形图形中的6个圈中的填法共有6!种. 设每条边上的3个数之和为，则， ，所以，解得. ①当时，3个顶点所填的3个数只能为1，2，3， 如图（1）.此时共有填法种； ②当时，设3个顶点所填的3个数之和为， 则. 而，，， 则3个顶点所填的3个数只能为，或. 当3个顶点所填的3个数为时， 由于顶点分别填3，4的这条边上的3个数之和为10， 从而这条边中间只能填3，这与每个数恰出现一次矛盾，此时没有适合条件的填法， 同样道理，3个数为时也没有适合条件的填法，只能为1，3，5， 如图（2），此时共有填法种； ③当时，3个顶点所填的3个数应为2，4，6，此时共有填法种； ④当时，3个顶点所填的3个数应为4，5，6，此时共有填法种. 综上，满足条件的填法共有种，故所求的概率为. 图（1）              图（2） 【点睛】方法点睛：元素较少的排列组合问题可以考虑枚举法；特殊位置优先排，例如本题中，可以先考虑3个顶点的排法，再考虑剩余3个位置的排法. 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）（1）将四粒相同的白色珠子，六粒相同的红色珠子及一粒黑色珠子放在桌上，摆成一圈有几种摆法？ （2）若用线穿成珠圈又有几种不同的穿法？ 【答案】（1）210；（2）110 【详解】（1）若将四粒一样的白珠子，六粒一样的红珠子，一粒黑珠子摆成一排成线排列，则有种摆法．但是摆成一圈以后，上述的每11个线排列，对应于同一种圆排列，因此所求圆排列数有：种摆法． （2）若将黑珠子看成是固定的，其余十粒珠子所作成的排列数为：（*） 在（*）式所表示的排列数之中，将图8与图9这类情况均作为两种不同排列计算的，但这仅是同一种穿珠方法的正反面而已，因此对应于一种穿法．    但是，如图10所示的情况：珠子是以通过黑色珠子的直径而对称排列的，由于正，反两面完全相同，在式中，只计算了一次，这种排法的总数是． 由此可知，将四粒白珠子，六粒红珠子，一粒黑珠子用线穿成珠圈，共有： （种）穿法． 【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）把n粒不同颜色的珠子， (1)放在桌上摆成一圈，有几种不同的摆法？ (2)用线穿成珠圈，又有几种不同的穿法？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）把珠子放在桌上摆成一圈，有种摆法． （2）用线将粒珠子穿成珠圈，就可以翻过来看，如图所示，左图算珠圈正面，按逆时针方向看， 为；而右图是翻过来的反面，仍按逆时针方向看，为．若放在桌上则是两种不同摆法，却是同一种穿珠方法．由此可见，每两种摆法，对应于一种穿法．因此珠圈的穿法共有： （种）． 拔高・分层集训 基础演练 1．某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（ ） A．72种 B．150种 C．243种 D．360种 【答案】B 【解析】分组为:先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门. 方案数种. 分组为:两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门： 方案数. 将两类相加：种. 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州旅游局在中小学生春假期间选出6名学生去苏州博物馆、拙政园、虎丘做志愿者，规定：每名学生只能去一个地方，每个地方至少安排一名志愿者，若甲、乙两名学生去拙政园，则不同的安排方法的种数有（   ） A．38 B．42 C．50 D．56 【答案】C 【解析】将甲、乙安排到拙政园，则剩余的4名学生需分配到苏州博物馆、拙政园、虎丘三个地方，且苏州博物馆和虎丘各至少有一人， 总分配方式有种，其中苏州博物馆为空的情况有种，虎丘为空的情况有种，苏州博物馆和虎丘都为空的情况有1种， 因此满足条件的不同的安排方法有种. 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 【答案】D 【解析】如图所示： 当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 4．（2026·河南濮阳·模拟预测）某班有3名男生，3名女生竞选班长，班主任随机安排这6人依次上台发表竞选演讲，则竞选演讲的最后一个女生是第4个上台的不同排法总数是（   ） A．108 B．144 C．288 D．360 【答案】A 【解析】由题知，竞选演讲的最后一个女生是第4个上台，则前4人中有3名女生一名男生，且第4个上台的是女生， 先选一名男生，将这名男生排到前个位置中的某个位置,再将3名女生排序， 共有种， 再将剩下两名男生排序有种，则共有． 5．（2026·贵州安顺·模拟预测）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 【答案】B 【解析】不同的分配方案需要3步： 将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一个布娃娃，有种方法； 将3个相同的陀螺分给3位小朋友，且不能全给同一位小朋友，有种； 将4只不同的风筝分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝， 其中甲风筝必须给周周小朋友，有种， 所以不同的分配方案有（种）. 6．（2026·高三·贵州·阶段检测）高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（    ） A．108 B．120 C．126 D．144 【答案】C 【解析】分为两类，第一类：只有一个班去区域甲，在3，4，5三个班级中任选一个去区域甲， 剩下的四个班级去其余的三个区域，且每个区域至少有一个班，则方法种数为：； 第二类：有两个班去区域甲，在3，4，5 三个班级中任选两个去区域甲， 剩下的三个班级去其余的三个区域，方法种数为：； 故共有种方法. 7．（2026·江苏·模拟预测）从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 【答案】C 【解析】若选派的四人中甲乙仅有其中一人， 则选派方案的种数为， 若选派的四人中甲乙均有， 则选派方案的种数为， 综上，不同的选派方案的种数为. 8．（2026·山东济南·二模）如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 【答案】B 【解析】由题意可得顶点标注只能为或，其余情况不满足题意. 若顶点标注，则标注在中点处，此时有， 若顶点标注，则只能标注在之间的边的中点，此时有种， 所以不同的标注方法有种. 9．（多选题）（2026·安徽·模拟预测）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法正确的是（   ） A．人选择的地点均不同的方法总数为 B．人均不选泰山的方法总数为 C．恰有人选同一个地方的方法总数为 D．恰有人选华山的概率是 【答案】ABD 【解析】对于A，人选择的地点均不同的方法总数为，故A正确； 对于B，人均不选泰山的方法总数为，故B正确； 对于C，恰有人选同一个地方的方法总数为，故C错误； 对于D，恰有人选华山的方法数为，人所有的方法数为， 所以恰有人选华山的概率是，故D正确． 10．（多选题）（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 【答案】BC 【解析】对于A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种，故A错误； 对于B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 对于C：若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； 对于D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算： 情况1：A负责语文 固定在语文，分2种子情况： ①语文为“2人组”（人）：选1人加入语文（），剩余3人分配到其他3科（），方案数： ②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有种方法，故总的方法数为：； 情况1总方案数：． 情况2：B负责数学 与“情况1”对称，总方案数同样为60． 情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分） 负责语文且B负责数学，并保证英语、物理学科均有人负责.分情况讨论如下： ①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理有种方法，最后1人去语文或数学有种方法，方法数：； ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有种分法，两组分配到英语和物理，有种分法，故方案数为； 故情况3总方案数：． 根据容斥原理，不符合条件的方案数为：， 因此，符合条件的方案数为：，故D错误. 故选：BC． 能力进阶 1．（多选题）（2026·高三·湖北随州·期末）平面中有个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，结论正确的有（   ） A．在图1中，可以绘制7个不同的“通路” B．在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路” C．在图2中，可以绘制7个不同的“回路” D．在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路” 【答案】ACD 【解析】在图1中，一共可以组成条线段，仅由1条线段组成的“通路”有个， 仅由2条线段组成的“通路”有个，由3条线段组成的“通路”有1个， 所以可以绘制个不同的“通路”，A正确． 在图2中，4个点两两连接，最多有条线段， 仅由3条线段组成的图形有个， 但三条线段共一个端点的图形不能组成“通路”， 所以仅由3条线段组成的不同的“通路”有个，B错误． 在图2中，任意三点首尾相连可以组成个“回路”； 由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有如下3种，其他情况不能组成“回路”， 所以可以绘制个不同的“回路”，C正确． 在图3中，任意三点首尾相连（3条线段）可以组成个“回路”； 由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有种（由C选项可知）； 如图4，任选一个点，该点最多在四条线段上，在这4条线段中任选两条线段，有种不同的选法， 如图5，在每一种选法上，将在线段上的点A，B与不在线段上的点C，D，2个为一组分别连接起来， 有种不同的选法，最后连接， 如图6、图7所示，由5个端点5条线段组成的“回路”有个． 故可以绘制个至多由5条线段组成的不同的“回路”，D正确． 故选：ACD. 2．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 【答案】AC 【解析】对于A，共有种不同的坐法，故A正确； 对于B，空位不相邻的坐法有种，故B错误； 对于C，空位相邻的坐法有种，故C正确； 对于D，两端不是空位的坐法有种，故D错误， 故选：AC. 3．（多选题）现有8个小朋友玩游戏，其中5个小朋友手中拿的数字分别是5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的是数字2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是（   ） A．可以组成720个没有重复数字的六位数 B．若不选0，则可以组成240个相邻数字不相同的七位数 C．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 D．若0必选，则可以组成832个五位数 【答案】BCD 【解析】对于A选项，5，4，3，2，1，0，最高位不能是零，其余数字全排列,则A选项错误. 对于B选项，B选项正确. 对于C选项，C选项正确. 对于D选项，分四种情况，若不选2，则有个； 若选1个2，则有个； 若选2个2，则有个； 若选3个2，则有个， 一共有个，D选项正确. 故选：BCD 4．用蓝色和红色给一排10个方格染色，则至多两个蓝色相邻的方法种数为（    ） A．504 B．505 C．506 D．507 【答案】A 【分析】分类讨论，第一，全部红色，第二，9红1蓝，第三8红2蓝，第四，7红3蓝，第五6红4蓝，第六，5红5蓝，第七，4红6蓝，第八，3红7蓝，再把各类相加即可. 【详解】第一类，10红0蓝，有种，小计1种 第二类，9红1蓝，有种，小计10种， 第三类，8红2蓝，有种，小计45种， 第四类，7红3蓝，可分为3蓝分开，有种，2蓝在一起，有，小计112种 第五类，6红4蓝，可分为4蓝分开，有种，两蓝，两蓝在一起，有种， 2蓝1蓝1蓝，有，小计161种 第六类，5红5蓝，可分5蓝分开，有种，2蓝1蓝1蓝1蓝，有， 2蓝2蓝1蓝，有，小计126种 第七类，4红6蓝，可分2蓝1蓝1蓝1蓝1蓝，有种， 2蓝2蓝1蓝1蓝，有种，2蓝2蓝2蓝，有种，小计45种 第八类，3红7蓝，有种，小计4种 合计504种. 故选：A 真题实战 1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 2．（2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术公关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】C 【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为 种. 故所有分配方案共有种. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 【答案】 24 112 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果. 5．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 【答案】6 【分析】结合组合知识求解即可. 【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可， 则一共有种选法. 故答案为：6. 6．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________． 【答案】329 【分析】确定奇数最多1个，再分个位数为0和不为0，结合排列、组合求解即可. 【详解】由题意可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2个以上奇数，则不满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数. 先研究集合中无重复数字的三位偶数； （1）若个位为0，这样的偶数有个； （2）若个位不为0，这样的偶数有个； 所以集合元素个数最大值为个． 故答案为：329 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 8．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 【答案】(1)甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米； (2)； (3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组. 【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可； （2）根据组合公式和古典概率公式计算即可； （3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）. 【详解】（1）甲队：， 所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米； 乙队：， 所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米． （2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件， . （3）， 要使两组平均身高都增大， 则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 排列组合 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 排列与排列数 知识2 分类计组合与组合数 知识3 排列与组合区别 知识4 排列组合中常见问题及其技巧 知识5 排列组合方法技巧总结 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 排列数组合数的计算与证明 考点02 元素有限制条件的排列问题 考点03 相邻问题的排列 方法技巧 相邻问题的解题技巧 考点04 不相邻问题的排列 方法技巧 不相邻问题的解题技巧 考点05 定序问题 方法技巧 定序问题的解题技巧 考点06 多面手问题 方法技巧 多面手问题的解题技巧 考点07 错位排列问题 考点08 分组分配问题 方法技巧 分组分配问题的解题技巧 考点09 隔板法 考点10 环排问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能利用排列与组合解决简单的实际问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 排列组合 天津卷第6题 全国甲卷第6题 新课标yi6第14题 考情解读 排列组合是高考的必考内容，通常以选择题或填空题形式出现，分值为5分左右。命题注重考查学生对“有序”（排列）与“无序”（组合）的区分能力，以及常见计数模型的识别能力（如相邻问题、不相邻问题、分组分配问题、定序问题等）。近年高考中，排列组合题目常与古典概型概率计算结合考查，情境设计趋于多样化，如数字游戏、比赛出场、方格选点等实际背景。试题难度以中等为主，重在考查逻辑思维的严谨性和策略选择的灵活性，而非复杂计算。 备考策略 复习应以“模型识别”为核心，帮助学生归纳常见题型的通解通法。重点强化捆绑法、插空法、隔板法、排除法等基本策略的适用条件，同时注重培养“先分类、再分步”的思维习惯。建议通过变式训练让学生体会同一问题的不同解法，避免机械套用公式。 知识・归纳梳理 知识1 排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式： ． 特例：当时，；规定： ． （3）排列数的性质： ①；②；③． （4）解排列应用题的基本思路： 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）． 注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用． 知识2 组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例： ． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． （4）组合应用题的常见题型： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型 知识3 排列与组合区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 知识4 排列组合中常见问题及其技巧 1、对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 2、对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法． 3、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 4、分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配． （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 知识5 排列组合方法技巧总结 ①特殊元素（位置）法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 ②捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. ③插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求. ④倍缩法 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法. ⑤排数问题 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位. ⑥分组、分配问题 （1）整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． （2）局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． （3）不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 重难・核心突破 考点01 排列数组合数的计算与证明 典例1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 典例2．（2025·浙江·模拟预测）（1）求的值； （2）解不等式. 【考法预测1】求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 【考法预测2】（2026高二下·浙江台州·专题练习）（1）计算； （2）若，求m的值； （3）已知，求n的值． 考点02 元素有限制条件的排列问题 典例1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 典例2．（25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 【考法预测1】（山东青岛市2026届高三第一次适应性检测数学试题）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【考法预测2】（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从张不同地图中选择3张，按顺序用于场比赛，且每张地图最多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种． 考点03 相邻问题的排列 典例1．（2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 典例3．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 方法技巧 相邻问题的解题方法 核心方法为捆绑法。当要求某些元素必须相邻时，先将这些元素看作一个整体（“大元素”），与其他元素一起进行全排列，再乘以捆绑内部元素的全排列。注意捆绑后若整体与其他元素有顺序要求，需按普通元素处理。若存在多组相邻元素，分别捆绑再排列，最后乘各捆绑组内部排列数。关键在于捆绑后内部顺序不能忽略。若题目同时含“不相邻”条件，通常先处理相邻（捆绑），再插空处理不相邻部分。 【考法预测1】（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【考法预测2】（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 考点04 不相邻问题的排列 典例1．（25-26高三下·河北沧州·月考）将1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（    ） A．12 B．26 C．52 D．104 典例2．（25-26高三上·吉林四平·期末）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 典例3．（25-26高三下·山东·月考）小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____． 方法技巧 不相邻问题的解题方法 核心方法为插空法。当要求某些元素互不相邻时，先排其余无约束的元素，形成若干空位（包括两端），再将不相邻元素插入这些空位中。注意空位个数为“其余元素数+1”。若不相邻元素内部有区别，插入后要排列顺序；若无区别则组合。若题目有多个不相邻组，需分步插入或分类讨论。关键技巧：优先排“可相邻”元素，空位数量往往比元素数多1，确保不相邻元素不聚在一起。 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停放点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________． 【考法预测2】（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 考点05 定序问题 典例1．（24-25高二下·河北·期中）个人并排站在一排，站在的右边，站在的右边，站在的右边，则不同的排法种数为______． 典例2．（25-26高二上·山东德州·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 典例3．（24-25高二下·上海·月考）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有______种不同的插法． 方法技巧 定序问题的解题方法 核心方法为除法（消序法）。若某几个元素有固定顺序（如甲必须在乙前），则先不考虑顺序作全排列，再除以这些元素的顺序数。若部分元素顺序固定（如A在B前，B在C前），则除以固定元素的全排列数。若多个独立定序组，分别除以各组内部排列数。另一种思路是组合选位法：从位置中选出定序元素所占位置，再按唯一顺序放入，其余元素任意排。此法适用于元素不完全相同或顺序约束明确的问题。 【考法预测1】（24-25高二下·上海·期末）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 【考法预测2】（24-25高二下·湖南邵阳·月考）城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届．假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目．若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为______． 考点06 多面手问题 典例1．（2026高二·河北石家庄·期末）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 方法技巧 多面手问题的解题方法 核心为分类讨论法。多面手指既能做甲类工作又能做乙类工作的人。解题时按多面手被分配到哪一类（或未使用）来分类，避免重复计数。分类依据通常看多面手参与哪类工作的人数，或按多面手是否被选入某组。常见策略：先处理“纯”专业人员，再按多面手的使用情况分几类分别计算，最后相加。分类时注意边界（如多面手全部选入甲类、全部选入乙类、部分选入等），确保不重不漏。若多面手人数较多，可转化为容斥原理简化。 【考法预测1】（2026·安徽安庆·模拟预测）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【考法预测2】（2026·河北邯郸·模拟预测）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 考点07 错位排列问题 典例1．（2026高二·河北石家庄·期末）五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）6名运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，有一部分队员拿错了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到别人的外衣种数为______． 【考法预测1】（2026·安徽安庆·模拟预测）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 【考法预测2】（25-26高二下·湖南邵阳·月考）城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届．假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目．若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为______． 考点08 分组分配问题 典例1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 典例2．（25-26高三下·甘肃白银·月考）2026年某中学预计会被用作公务员考试，生物奥赛考试等六项国家级考试作为考点.本校职工小明，小浩，小文因精通各项考试流程，考务组计划邀请三人加入监考工作（六项考试时间不冲突）.预计安排每人至少监考一项考试，每人至多监考三项考试，每项考试，三人中有且仅有一人参与，其中小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，则三人不同的监考安排方案种数为_________. 方法技巧 涂色问题的解题方法 (1)对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 【考法预测1】（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 【考法预测2】（2026·河北·三模）将含甲、乙在内的7名志愿者分成三个小组，要求每个小组至少一人，有且仅有两个小组的人数相等. （1）则所有不同的分组方法有________种（用数字作答）； （2）若甲、乙两名志愿者不在同一个小组，则不同的分组方法有________种（用数字作答）. 考点09 隔板法 典例1．（2026·江西抚州·期末）从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有______种. 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）方程共有______组正整数解，共有_____组非负整数解． 【考法预测1】（2026·安徽合肥·一模）已知集合，则A中的元素的个数为______. 【考法预测2】（2026·河南郑州·模拟预测）各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为__________（请用数字作答）． 考点10 环排问题 典例1．（24-25高三下·江西·开学考试）“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为__________.（用数字作答） 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）（25-26高三上·黑龙江·月考）将1，2，3，4，5，6随机填入如图所示的三角形图形中的 6 个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为_____. 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）（1）将四粒相同的白色珠子，六粒相同的红色珠子及一粒黑色珠子放在桌上，摆成一圈有几种摆法？ （2）若用线穿成珠圈又有几种不同的穿法？ 【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）把n粒不同颜色的珠子， (1)放在桌上摆成一圈，有几种不同的摆法？ (2)用线穿成珠圈，又有几种不同的穿法？ 拔高・分层集训 基础演练 1．某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（ ） A．72种 B．150种 C．243种 D．360种 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州旅游局在中小学生春假期间选出6名学生去苏州博物馆、拙政园、虎丘做志愿者，规定：每名学生只能去一个地方，每个地方至少安排一名志愿者，若甲、乙两名学生去拙政园，则不同的安排方法的种数有（   ） A．38 B．42 C．50 D．56 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 4．（2026·河南濮阳·模拟预测）某班有3名男生，3名女生竞选班长，班主任随机安排这6人依次上台发表竞选演讲，则竞选演讲的最后一个女生是第4个上台的不同排法总数是（   ） A．108 B．144 C．288 D．360 5．（2026·贵州安顺·模拟预测）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 6．（2026·高三·贵州·阶段检测）高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（    ） A．108 B．120 C．126 D．144 7．（2026·江苏·模拟预测）从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 8．（2026·山东济南·二模）如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 9．（多选题）（2026·安徽·模拟预测）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法正确的是（   ） A．人选择的地点均不同的方法总数为 B．人均不选泰山的方法总数为 C．恰有人选同一个地方的方法总数为 D．恰有人选华山的概率是 10．（多选题）（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 能力进阶 1．（多选题）（2026·高三·湖北随州·期末）平面中有个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，结论正确的有（   ） A．在图1中，可以绘制7个不同的“通路” B．在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路” C．在图2中，可以绘制7个不同的“回路” D．在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路” 2．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 3．（多选题）现有8个小朋友玩游戏，其中5个小朋友手中拿的数字分别是5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的是数字2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是（   ） A．可以组成720个没有重复数字的六位数 B．若不选0，则可以组成240个相邻数字不相同的七位数 C．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 D．若0必选，则可以组成832个五位数 4．用蓝色和红色给一排10个方格染色，则至多两个蓝色相邻的方法种数为（    ） A．504 B．505 C．506 D．507 真题实战 1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术公关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 3．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 5．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 6．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 8．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $