第02讲 平面向量基本定理及坐标运算（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量基本定理及坐标运算核心考点，按“基本定理—坐标运算—综合应用”逻辑架构梳理基底判定、向量分解、坐标运算、共线求参等内容，通过考情分析、知识归纳、重难突破、分层集训四环节，帮助学生构建知识网络，突破基底不共线、坐标运算符号等难点。 资料创新设计“含交点向量四步法”等方法技巧，结合基础演练、能力进阶、真题实战分层训练，培养学生数学思维与模型意识。如用定基底设参数解决交点问题，提升推理与运算能力，助力学生高效突破易失分点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第02讲 平面向量基本定理及坐标运算 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 平面向量的基本定理 知识2 平面向量的坐标运算 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 平面向量基本定理的理解 考点02 用基底表示向量 考点03 用基底表示向量（含交点） 方法技巧 含交点向量的解题步骤 考点04 平面向量的坐标运算 考点05 利用向量共线的坐标表示求参数 考点06 定比分点坐标公式的应用 方法技巧 定比分点坐标公式含交点向量的解题步骤 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．掌握平面向量基本定理。 2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 5．能用坐标表示平面向量共线。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 空间向量基本定理 全国一卷T2 平面向量线性运算的坐标表示 全国一卷T6 全国二卷T12 全国Ⅰ卷T3 向量共线的坐标表示 全国甲卷T9 考情解读 平面向量基本定理及坐标运算为高考必考基础内容，多以5分选择、填空题出现，整体难度偏低。主要考查基底判定、向量唯一分解、坐标线性运算、坐标判定向量共线与三点共线求参，常结合图形转化向量关系设问，易错点集中在基底必须不共线、坐标计算符号失误，属于易拿分基础板块。 备考策略 熟练掌握平面向量基本定理，牢记基底不共线、分解式唯一的核心条件，会利用系数相等求参数。熟记向量线性坐标运算法则，规范加减、数乘坐标计算步骤。熟练运用坐标判断向量共线、证明三点共线，牢记对应坐标成比例的判定条件。 知识・归纳梳理 知识1 平面向量的基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 必记结论 推论：若，则。 知识2 平面向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设，则， 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则 3.平面向量共线的坐标表示 设则 必记结论 三点共线判定方法：先求出向量、，若存在实数，满足，则三点共线。 重难・核心突破 考点01 平面向量基本定理的理解 典例1．（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 【答案】CD 【详解】A．基中的向量是非零向量，错误，不符合题意； B．一个平面内只要有一组不共线的向量就可作为表示该平面内所有向量的基，有无数组，选项错误，不符合题意； C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基，正确，符合题意； D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的，正确，符合题意； 故选：CD． 典例2.已知向量和向量不共线，那么以下几组向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】选项A：因为， 所以和共线，不可以作为基底，故选项A错误； 选项B：因为， 所以和共线，不可以作为基底，故选项B错误； 选项C：设，则，无实数解， 即和不共线，可以作为基底，故选项C正确； 选项D：因为， 所以和共线，不可以作为基底，故选项D错误. 【考法预测1】（多选）若，是平面内两个不共线的向量，，是实数，下列说法正确的是（    ） A．若，满足，则 B．对于平面内任意一个向量，使得成立的实数，有无数对 C．可以表示平面内的所有向量 D．当，取不同的值时，向量可能表示同一向量 【答案】AC 【详解】若，则，从而向量，共线，这与，不共线相矛盾，则，同理可得，故A正确； 由平面向量基本定理可知，唯一确定，故B不正确； 平面内的每个向量可表示成的形式，反之也成立，故C正确； 结合向量加法的平行四边形法则易知，当和确定后，其和向量便唯一确定，故D不正确. 故选：AC 【考法预测2】设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 【考法预测3】已知正方形，在中任取两个向量，能构成一个基底的概率是_________． 【答案】 【详解】从6个向量中任取2个，基本事件有， ，共计15个， 在给定向量集合中，共线的向量仅有，共2对，即不能构成基底的基本事件数为2， 因此能构成基底的基本事件数为， 由古典概型概率公式得所求概率为. 考点02 用基底表示向量 典例1．在中，点在边上，．记，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点在边上，，可得. 所以， 即，所以. 典例2．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由向量三角形加法法则可知，在中，， 在中，，又为的中点，为的中点， 所以，，因此， 又因为，所以. 【考法预测1】（多选）已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A、B：等边三角形中，为中点，外心在中线上， 且满足，因此， 是中点，故. 则 ，故A正确、B错误； 选项C、D：由上述推导过程可得，故C正确、D错误. 【考法预测2】已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【详解】 因为点是边上靠近点的三等分点，所以. 所以 ， 又，且与不共线， 由平面向量基本定理可知，. 【考法预测3】如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】矩形中，，分别为，的中点，为中点， 故 . 考点03 用基底表示向量（含交点） 典例1．在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意，作图如下： 因为三点共线，所以可设 又，可得； 所以； 又因为三点共线，可设， 因此可得，解得； 所以 可得. 典例2．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 方法技巧 含交点向量的解题步骤 （1）定基底：选图形两条不共线边作基底。 （2）设参数：交点分线段设比例，利用三点共线m+n=1列式。 （3）双路径：用两条不同折线，把同一向量写成两种基底表达式。 （4）比系数：依据基底分解唯一性，系数相等解方程求参。 【考法预测1】已知在平行四边形中，，，和交于点，若，，则向量__________. 【答案】 【详解】设的中点为，连接， 因为，所以是的中点，所以，且， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以，且，所以， 又因为，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以 . 【考法预测2】在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 【答案】 【详解】由题知，，， 设, 因为三点共线，所以，解得，则， 故. 【考法预测3】在梯形中，，，与交于点，是线段的中点，连接与交于点.若，. (1)试用基底分别表示向量和； (2)若，求证：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）， 设，其中， 因为， 所以， 所以，解得， 所以. （2）因为， 所以， 所以， ， 所以，即，，三点共线. 考点04 平面向量的坐标运算 典例1．已知点，则满足的的坐标为___________. 【答案】 【详解】设的坐标为，且，， 因为，可得， 可得， 所以的坐标为. 故答案为： 典例2．如图，点均在正方形网格的格点上.若，则__________. 【答案】/ 【详解】以A为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图， 不妨设小正方形的边长为1，则， 所以，， 则有， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【考法预测1】已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【详解】设，，又，， 所以，且， 解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 【考法预测2】如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足，则______．    【答案】7 【详解】建立如图所示直角坐标系，设小方格的边长为单位长度1， 可得，同理可得， ， 将方程组中两式相加,可得. 故答案为：7.      【考法预测3】已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由向量的减法得：，则，， 设，则，， 由，得，解得， 所以. 故选：A. 考点05 利用向量共线的坐标表示求参数 典例1．在下列各组向量中，不可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】选项A，，故不共线，可作为基底； 选项B，，故共线，不可作为基底； 选项C，，故不共线，可作为基底； 选项D，，故不共线，可作为基底. 典例2．已知点，，，．若 ，， 三点共线，求 的值． 【答案】 【详解】设，则， 其中， 因为，所以， 所以，故 因为三点共线，所以， 故，即， 故，解得. 【考法预测1】已知向量， ，，若，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】因为，故， 即， 故， 当且仅当，取等号， 故的最小值为. 【考法预测2】若，，且，则__________． 【答案】 【详解】因，则，则. 【考法预测3】如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： (1)； (2)三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1） 如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 已知， 则，，，，，， ，， 所以，即与共线， 又因为与无公共点，所以； （2）由（1）得，， 所以，即与共线， 又因为与有公共点，所以三点共线． 考点06 定比分点坐标公式的应用 典例1．已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点， 由点在的延长线上，且，得， 又，， 所以，解得， 所以点的坐标为． 典例2．已知平面上两点为直线上一点，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【详解】设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 方法技巧 定比分点坐标公式 （1）公式记忆：若点分的比为，，则。 中点特殊情况：，中点坐标。 （2）解题技巧：看清内分、外分，准确确定比值，代入公式直接计算坐标或反向求参数。 【考法预测1】平面上有，，三点，点在直线上，且，连接并延长至点，使，则点的坐标为____________，点的坐标为____________． 【答案】 【详解】设为坐标原点，，．． 点的坐标为． 又，且在的延长线上，． 设，则， 得，得， ∴点的坐标为. 故答案为：，. 【考法预测2】已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 【答案】/ 【详解】设，因为平面上两点的坐标分别是，，且， 即，所以，解得，即的坐标为. 【考法预测3】已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 【答案】， 【详解】根据题意可知，点分所成的比分别是，， 设，利用定比分点坐标公式可得 ，，所以点坐标为， 设，利用定比分点坐标公式可得 ，，所以点的坐标为， 所以，. 拔高・分层集训 基础演练 1．（2025·26高一下·江苏连云港·期末）在中，是上一点，且，设，，用，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点在上，且，故， 根据向量减法的三角形法则，， 根据向量加法的三角形法则， 则： . 2．（2025·26高三·全国·一轮复习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 3．（2025·26高一下·广东·期末）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为为平行四边形，故，故易知， 又因为为的中点，所以， 故， 4．（ 2023·广东·模拟预测）古希腊数学家帕普斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．不妨设， 则，，，，， ，，． 设，则解得所以． 5．（湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期6月教学质量检测数学试题）已知向量若平行于，则实数__________. 【答案】-2 【详解】由题意，若与平行，则，解得. 6．（2025·26高一下·浙江绍兴·阶段检测）如图，在梯形中，，，分别为，的中点，为线段的四等分点（靠近点），记，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，在梯形中，， 又因为，，， 所以 ，即， 则，， 又因为的中点，则， 因为线段的四等分点（靠近点 ）， 则。 因为为的中点，所以， 所以 . 7．（2025·26高二·全国·暑假作业）向量在基底下可以表示为，若在基底下可以表示为，则_________，_________． 【答案】 / / 【详解】，由条件可知，解得． 8．（2025·26高一下·上海·期末）已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【详解】设，因，则， 从而. 9．（ 2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则=_________.（用坐标表示） 【答案】 【详解】由图可得， 所以， 则. 10．（2025·26高一下·上海宝山·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点），若，则的最小值为______． 【答案】 【详解】    设（）， 由图可得： 因为为线段靠近的三等分点，故， 代入得： 结合题意得：，，其中，因此. 由基本不等式，可得， 将代入得：, 当且仅当（对应，即为中点）时等号成立. 故的最小值为. 11．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知中，点是以为中点的点的对称点，是将分为的一个内分点，和交于点，设，． (1)用和表示向量、； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知，是的中点，， 由平行四边形法则，得， ，； （2），， 由、、三点共线，则，解得． 12．（2025·26高一下·贵州遵义·期中）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，． (1)试用，表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线． 【答案】(1) (2) (3)由，得， 所以， 所以，所以， 因为与有公共点， 所以三点共线． 【分析】 【详解】（1）由题意，； （2）设，由题意， 所以， ①， 设，则， 则②， 由①②得，， 所以，解得， 所以； （3）略 能力进阶 1．设为平面上四点，，且，则下列结论正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 【答案】B 【详解】由，移项可得，即，所以三点共线， 已知，因此与方向相同，且，故点在线段上， 对于A，若点在线段上，需满足，与题设矛盾，故A错误； 对于B，由上述推导可知，点在线段上，故B正确； 对于C，若点在线段上，需满足，与题设范围矛盾，故C错误； 对于D，题干未给出与直线的位置关系，无法判定四点共线，故D错误. 2．（多选）在中，点，满足，，与交于点，延长交于点.则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】C项，因点在上，则， 又点在上，则， 于是，解得，则，故C错误； A项，，，则，故A正确； B项，由A项分析可知，则， 又，所以，所以，故B正确； D项，已知点在的延长线上，则， 又点在上，则，解得，所以， 则， 又，所以，可得，故D错误. 3．把由平面内夹角成的两条数轴，构成的斜坐标系称为“广义坐标系”.如图1，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记.若以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求，在平面直角坐标系中的坐标； (2)若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）在直角坐标系中的坐标还是， 设与轴同向的单位向量为， 根据平行四边形法则，以及，所以，所以在直角坐标系中的坐标为； （2）设，因为向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，所以， 所以向量的“广义坐标”为. 4．（新考法）（ 2025·26高三下·山东日照·阶段检测）定义一种点对应：任意平面向量，点绕点沿逆时针方向旋转角得到，即将绕点沿逆时针方向旋转角，得到向量．已知点，点，若将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，点，则， 根据点对应定义可知，， 因为，，代入得， 故点的坐标为. 5．已知为正方形内一点，且满足，则______． 【答案】 【详解】解法1：坐标法 建立平面直角坐标系，如图，设正方形边长为1，，，，，． 由得： ， 解得，，所以． 故答案为：. 解法2：由， 得，即． 如图，延长至点，使，延长至点，使，过点作交于点． 易知，，，不妨假设， 易得，所以． 故答案为：. 6．（新角度）如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示 【答案】 【详解】设为线段的中点，则也为线段的中点， 则， 所以. 7．（新角度）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是______． 【答案】 【详解】如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，不失一般性可假设正六边形边长为2， 则，，设， 则， 因为，即， 即， 则，解得， 则，因为，则 故答案为：. 8．如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P． (1)求中线BN的长； (2)若，，、，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得，， ∵ 是边上的中线， ∴ 为的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 代入已知数值得 ， ∴ ，即中线 的长为. （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ①， ∵ ， ∴ ②， ∵ 不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等， ∴ ， 解得 ， ∴ . 9．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，设为轴上一点，若与共线，求点坐标及中点的坐标. 【答案】(1)；. (2)；. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 由题意得，则， 而， 代入得：. （2） 如图所示建立平面直角坐标系，则由题意得：， 设，中点，则，， 若与共线，则有，由，解得， 所以点坐标为； 由线段中点坐标公式，可得，即中点的坐标为. 真题实战 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 2．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 3．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 【答案】2 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 4．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 5．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 【答案】/ 【详解】由得，解得. 故答案为：. 6．（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 【答案】 【详解】因为，所以， 故答案为： 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平面向量基本定理及坐标运算 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 平面向量的基本定理 知识2 平面向量的坐标运算 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 平面向量基本定理的理解 考点02 用基底表示向量 考点03 用基底表示向量（含交点） 方法技巧 含交点向量的解题步骤 考点04 平面向量的坐标运算 考点05 利用向量共线的坐标表示求参数 考点06 定比分点坐标公式的应用 方法技巧 定比分点坐标公式含交点向量的解题步骤 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．掌握平面向量基本定理。 2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 5．能用坐标表示平面向量共线。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 空间向量基本定理 全国一卷T2 平面向量线性运算的坐标表示 全国一卷T6 全国二卷T12 全国Ⅰ卷T3 向量共线的坐标表示 全国甲卷T9 考情解读 平面向量基本定理及坐标运算为高考必考基础内容，多以5分选择、填空题出现，整体难度偏低。主要考查基底判定、向量唯一分解、坐标线性运算、坐标判定向量共线与三点共线求参，常结合图形转化向量关系设问，易错点集中在基底必须不共线、坐标计算符号失误，属于易拿分基础板块。 备考策略 熟练掌握平面向量基本定理，牢记基底不共线、分解式唯一的核心条件，会利用系数相等求参数。熟记向量线性坐标运算法则，规范加减、数乘坐标计算步骤。熟练运用坐标判断向量共线、证明三点共线，牢记对应坐标成比例的判定条件。 知识・归纳梳理 知识1 平面向量的基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 必记结论 推论：若，则。 知识2 平面向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设，则， 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则 3.平面向量共线的坐标表示 设则 必记结论 三点共线判定方法：先求出向量、，若存在实数，满足，则三点共线。 重难・核心突破 考点01 平面向量基本定理的理解 典例1．（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 典例2.已知向量和向量不共线，那么以下几组向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【考法预测1】（多选）若，是平面内两个不共线的向量，，是实数，下列说法正确的是（    ） A．若，满足，则 B．对于平面内任意一个向量，使得成立的实数，有无数对 C．可以表示平面内的所有向量 D．当，取不同的值时，向量可能表示同一向量 【考法预测2】设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【考法预测3】已知正方形，在中任取两个向量，能构成一个基底的概率是_________． 考点02 用基底表示向量 典例1．在中，点在边上，．记，，则 （   ） A． B． C． D． 典例2．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（多选）已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 【考法预测3】如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（     ） A． B． C． D． 考点03 用基底表示向量（含交点） 典例1．在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（   ） A． B． C． D．1 典例2．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 方法技巧 含交点向量的解题步骤 （1）定基底：选图形两条不共线边作基底。 （2）设参数：交点分线段设比例，利用三点共线m+n=1列式。 （3）双路径：用两条不同折线，把同一向量写成两种基底表达式。 （4）比系数：依据基底分解唯一性，系数相等解方程求参。 【考法预测1】已知在平行四边形中，，，和交于点，若，，则向量__________. 【考法预测2】在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 【考法预测3】在梯形中，，，与交于点，是线段的中点，连接与交于点.若，. (1)试用基底分别表示向量和； (2)若，求证：，，三点共线. 考点04 平面向量的坐标运算 典例1．已知点，则满足的的坐标为___________. 典例2．如图，点均在正方形网格的格点上.若，则__________. 【考法预测1】已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【考法预测2】如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足，则______．    【考法预测3】已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点05 利用向量共线的坐标表示求参数 典例1．在下列各组向量中，不可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 典例2．已知点，，，．若 ，， 三点共线，求 的值． 【考法预测1】已知向量， ，，若，则的最小值为_____. 【考法预测2】若，，且，则__________． 【考法预测3】如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： (1)； (2)三点共线． 考点06 定比分点坐标公式的应用 典例1．已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 典例2．已知平面上两点为直线上一点，且，则点的坐标为__________. 方法技巧 定比分点坐标公式 （1）公式记忆：若点分的比为，，则。 中点特殊情况：，中点坐标。 （2）解题技巧：看清内分、外分，准确确定比值，代入公式直接计算坐标或反向求参数。 【考法预测1】平面上有，，三点，点在直线上，且，连接并延长至点，使，则点的坐标为____________，点的坐标为____________． 【考法预测2】已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 【考法预测3】已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 拔高・分层集训 基础演练 1．（2025·26高一下·江苏连云港·期末）在中，是上一点，且，设，，用，表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·26高三·全国·一轮复习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·26高一下·广东·期末）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．（ 2023·广东·模拟预测）古希腊数学家帕普斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·26高一下·浙江绍兴·阶段检测）如图，在梯形中，，，分别为，的中点，为线段的四等分点（靠近点），记，，则（    ）    A． B． C． D． 7．（2025·26高二·全国·暑假作业）向量在基底下可以表示为，若在基底下可以表示为，则_________，_________． 8．（2025·26高一下·上海·期末）已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 9．（ 2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则=_________.（用坐标表示） 10．（2025·26高一下·上海宝山·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点），若，则的最小值为______． 11．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知中，点是以为中点的点的对称点，是将分为的一个内分点，和交于点，设，． (1)用和表示向量、； (2)若，求实数的值． 12．（2025·26高一下·贵州遵义·期中）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，． (1)试用，表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线． 能力进阶 1．设为平面上四点，，且，则下列结论正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 2．（多选）在中，点，满足，，与交于点，延长交于点.则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．把由平面内夹角成的两条数轴，构成的斜坐标系称为“广义坐标系”.如图1，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记.若以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求，在平面直角坐标系中的坐标； (2)若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”. 4．（新考法）（ 2025·26高三下·山东日照·阶段检测）定义一种点对应：任意平面向量，点绕点沿逆时针方向旋转角得到，即将绕点沿逆时针方向旋转角，得到向量．已知点，点，若将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知为正方形内一点，且满足，则______． 6．（新角度）如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示 7．（新角度）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是______． 8．如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P． (1)求中线BN的长； (2)若，，、，求的值． 9．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，设为轴上一点，若与共线，求点坐标及中点的坐标. 真题实战 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 3．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 4．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 5．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 6．（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $