第02讲 导数与函数的单调性（6题型）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数单调性核心考点，涵盖导函数与原函数关系、单调区间求解（含参讨论）及单调性应用（比较大小、解不等式、求参数范围），按知识解构-题型破译-真题溯源逻辑架构，通过考点梳理、方法技巧归纳、分层训练环节，帮助学生系统构建解题框架。 讲义采用问题驱动与分层突破策略，如含参单调性讨论中，通过导函数零点分类训练逻辑推理，结合真题溯源强化数学语言表达。分层练习匹配不同学情，帮助学生高效突破含参讨论不全面等易错点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第02讲导数与函数的单调性 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 导函数与原函数的关系 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 题型破译 (含超链接） 题型1 函数与导函数图象之间的关系 【方法技巧】函数与导函数图象之间的关系 题型2 不含参函数的单调性 题型3 含参函数的单调性 【方法技巧】利用导数求含参函数的单调性 题型4 比较大小 【方法技巧】由函数的单调性比较大小的方法 题型5 解不等式 【方法技巧】利用函数的单调性解不等式的关键 题型6 根据函数单调性求参数值或范围 【方法技巧】根据函数单调性求参数值或范围 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 考情·分析解读 课标要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数范围等简单应用. 考题统计 核心考点 考情预览 2022 2023 2024 2025 2026 函数的单调性 全国一卷T19 全国一卷T19 函数单调性的简单应用 全国一卷T7 全国二卷T6 全国乙卷（理）T16全国乙（文）卷T20 考情解读 导数与函数的单调性多在解答题中考查，难度中等偏上。核心考查：导数符号与单调性的关系（求单调区间，含参讨论）、导数的求导运算等；易错点：忽略定义域限制，含参讨论不全面，单调区间写法错误（如误用并集符号）。 备考策略 1.理解函数的单调性与导数之间的关系 2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间 3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题 知识・归纳梳理 知识点1 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 【自主检测】函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 【常用结论】1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 【自主检测】（2026·江苏无锡·模拟）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 重难・核心突破 题型1 函数与导函数图象之间的关系 【例1】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（   ） A．B．C．D． 方法技巧函数与导函数图象之间的关系 （1）看增减：原函数递增时，导函数图象在x轴上方；递减时在下方。 （2）找极值：原函数的极大 / 极小值点，对应导函数的零点（导数值由正变负或负变正）。 （3）析凹凸：导函数递增，原函数图象 “下凸”（越来越陡）；导函数递减，原函数 “上凸”（越来越平缓）。 【变式1】函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．的正负不确定 【变式2】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【变式3】定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 不含参函数的单调性 【例2】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D．， 【变式2】函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D．和 【变式3】已知函数，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D．和 题型3 含参函数的单调性 【例3】已知，其中为实数，讨论的单调性． 方法技巧利用导数求含参函数的单调性 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 【变式1】已知，设函数，讨论函数的单调性； 【变式2】已知函数，.讨论的单调性； 【变式3】已知函数（），讨论的单调性； 题型4 比较大小 【例4】（2026·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 方法技巧由函数的单调性比较大小的方法 （1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小； （2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小. 【变式1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·河北唐山·期中）三个数的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 题型5 解不等式 【例5】函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 方法技巧利用函数的单调性解不等式的关键 （1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数； （2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性； （3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到未知数的取值范围. 【变式1】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【变式3】若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 题型6 根据函数单调性求参数值或范围 【例6】函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧根据函数单调性求参数值或范围 （1）利用集合间的包含关系处理，函数y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集； （2）函数f（x）在（a，b）上单调递增的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0，且在（a，b）的任一子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解； （3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【变式1】已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 拔高・分层集训 基础演练 1．已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件 3．函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 4．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 5.函数部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 6.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，下列说法正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 8．（多选）已知函数，则（   ） A．曲线关于对称 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线方程为 9．函数的单调递减区间是___________． 10．已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________． 11.已知函数．讨论函数的单调性； 能力进阶 1．函数的图像大致是（    ） A．  B．  C．   D．   2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为（　　） A．,， B．, C．,， D．, 5．已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，且其图象是一条连续的平滑曲线，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，其导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题 8．（多选）已知定义在上的函数满足，则（      ） A． B． C． D． 9．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 10．已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________． 11．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2023·新课标Ⅱ卷T6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2.（2022·新高考全国Ⅰ卷T7）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·新高考全国二卷T14）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 4.（2023·全国乙卷（理）T16）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 5.（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 6.（2023·全国乙（文）卷T20节选）已知函数，若函数在单调递增，求的取值范围． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．利用导数判断下列函数的单调性: （1）； （2）； （3）. 2．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的值域. 3．证明函数在区间上单调递减． 4．用导数判断下列函数的单调性，并求出单调区间. (1)； (2)； (3)； (4)，. 5．求函数的单调区间． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲导数与函数的单调性 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 导函数与原函数的关系 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 题型破译 (含超链接） 题型1 函数与导函数图象之间的关系 【方法技巧】函数与导函数图象之间的关系 题型2 不含参函数的单调性 题型3 含参函数的单调性 【方法技巧】利用导数求含参函数的单调性 题型4 比较大小 【方法技巧】由函数的单调性比较大小的方法 题型5 解不等式 【方法技巧】利用函数的单调性解不等式的关键 题型6 根据函数单调性求参数值或范围 【方法技巧】根据函数单调性求参数值或范围 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 考情·分析解读 课标要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数范围等简单应用. 考题统计 核心考点 考情预览 2022 2023 2024 2025 2026 函数的单调性 全国一卷T19 全国一卷T19 函数单调性的简单应用 全国一卷T7 全国二卷T6 全国乙卷（理）T16全国乙（文）卷T20 考情解读 导数与函数的单调性多在解答题中考查，难度中等偏上。核心考查：导数符号与单调性的关系（求单调区间，含参讨论）、导数的求导运算等；易错点：忽略定义域限制，含参讨论不全面，单调区间写法错误（如误用并集符号）。 备考策略 1.理解函数的单调性与导数之间的关系 2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间 3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题 知识・归纳梳理 知识点1 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 【自主检测】函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 【答案】D　 【解析】利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合. 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 【常用结论】1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 【自主检测】（2026·江苏无锡·模拟）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以函数是定义在上的偶函数，所以， 因为当时，，所以函数在上单调递增， 所以即，故选C. 重难・核心突破 题型1 函数与导函数图象之间的关系 【例1】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】当时，，所以在单调递增， 且的值在上越来越大，在上越来越小， 即：函数的图象的切线斜率先变大后减小，故B正确，其余错误． 方法技巧函数与导函数图象之间的关系 （1）看增减：原函数递增时，导函数图象在x轴上方；递减时在下方。 （2）找极值：原函数的极大 / 极小值点，对应导函数的零点（导数值由正变负或负变正）。 （3）析凹凸：导函数递增，原函数图象 “下凸”（越来越陡）；导函数递减，原函数 “上凸”（越来越平缓）。 【变式1】函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．的正负不确定 【答案】C 【解析】由图象得，当时，单调递增，所以. 【变式2】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】结合图象可知，在从最大值逐渐减小到最小值，所以切线斜率从趋近于0逐渐到最小，斜率绝对值逐渐增大，因此下降越来越快， 在从最小值逐渐增加到0，所以切线斜率从最小值（负值）逐渐趋近于0，斜率绝对值逐渐减小，因此下降越来越平缓，D符合这个性质. 【变式3】定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若在上恒成立，则函数在上严格单调增， 反之，函数在上严格单调增，则有， 如函数在上严格单调增，而且， 所以“在上恒成立”是“在上严格单调增”的充分不必要条件. 题型2 不含参函数的单调性 【例2】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，函数的定义域为，则， 当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为． 【变式1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【解析】由题设，且， 若，则或， 所以函数的单调递增区间为，. 【变式2】函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D．和 【答案】D 【解析】函数的定义域为，， 所以即为解得或. 结合定义域可知解集为， 所以单调增区间为和. 【变式3】已知函数，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D．和 【答案】A 【解析】，， ，令，解得， 所以的单调递增区间为. 题型3 含参函数的单调性 【例3】已知，其中为实数，讨论的单调性． 【解】， ①当时，由得 ；由得， 故在上单调递减，在上单调递增； ②当时，由得；由得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，恒成立， 所以在上单调递增； ④当时，由得；由得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 方法技巧利用导数求含参函数的单调性 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 【变式1】已知，设函数，讨论函数的单调性； 【解】由题可得：，其中. . 当时，令，， 则此时在上单调递减，在上单调递增； 当时，，则此时在上单调递增. 综上可得：时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. 【变式2】已知函数，.讨论的单调性； 【解】由题意得， 当时，，在上单调递增， 当时，令.， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增. 【变式3】已知函数（），讨论的单调性； 【解】由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 题型4 比较大小 【例4】（2026·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数，则，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 而，，， 又因为，且在上单调递减，所以， 即. 方法技巧由函数的单调性比较大小的方法 （1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小； （2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小. 【变式1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，， 令，有， 当时，，则在上单调递减. 因为，所以，即. 【变式2】已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】比较与的大小：构造函数，定义域为， 求导得，当时，， 故，在上单调递增， 因此，即，整理得； 比较与的大小： 构造函数，定义域为，求导得， 当时，，故，所以在上单调递增， 因此，即，整理得， 所以． 【变式3】（25-26高二下·河北唐山·期中）三个数的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，构造函数，求导得， 当时，，故，函数单调递增； 当时，，故，函数单调递减； 在处取得极大值，即为最大值， ，即， ，故，． 题型5 解不等式 【例5】函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可得，在上单调递增，所以时，； 在上单调递减， 所以当时，； 当时，； 在上单调递增,当时，． 综上，的解集为． 方法技巧利用函数的单调性解不等式的关键 （1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数； （2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性； （3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到未知数的取值范围. 【变式1】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数的图像和导数的性质可知当的函数值下降时，， 故观察图像解得当时，的函数值下降，故. 【变式2】已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，或，即或. 由图可得，当或时，单调递增， 则；当时，单调递减，则； 由，解得；由，解得. 不等式的解集为. 【变式3】若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式等价于两种同号情况：或， 其中对应函数单调递增，对应函数单调递减，结合图像分区间讨论： ：，单调递减，乘积为负，不满足； ：，单调递减，乘积为正，满足； ：，单调递增，乘积为负，不满足； ：，单调递增，乘积为正，满足； ：，单调递减，乘积为负，不满足； 时，，，不满足； 时，，，不满足； 因此，的解集为. 题型6 根据函数单调性求参数值或范围 【例6】函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 由题意可得在上恒成立， 所以，在上恒成立， 又因为在上单调递增， 所以， 所以的取值不大于函数在区间上的下确界，即， 所以实数的取值范围为. 方法技巧根据函数单调性求参数值或范围 （1）利用集合间的包含关系处理，函数y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集； （2）函数f（x）在（a，b）上单调递增的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0，且在（a，b）的任一子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解； （3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【变式1】已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由求导得， 当时，则，在上单调递增，不合题意； 当时，由，得，即， 由,得,即, 此时在上单调递减，在上单调递增， 由题意，函数在区间上是减函数， 所以，结合，解得， 即的取值范围是. 【变式2】已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 在上单调递增，又， 所以当时，的取值范围为， 所以的取值范围为. 【变式3】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是 拔高・分层集训 基础演练 1．已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在某点处的导数即过该点处的切线的斜率，由图知，. 2．函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件 【答案】A 【解析】若在上恒成立，则在区间单调递增，充分性满足； 若在区间单调递增且可导，则在上（等号在某些点处取得），不能得到， 比如在单调递增，但，以及还有不可导的情况，必要性不满足， 因此“在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的充分不必要条件. 3．函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，. 令，由，，得，即. 故函数的单调递增区间为. 4．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据的图象可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为．故选：C 5.函数部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在点附近，曲线呈下降趋势，故切线斜率， 在点和点附近，曲线呈上升趋势，故切线斜率， 比较点和点的上升“势头”，显然在点处的曲线更加陡峭（倾斜程度更大）， 而在点处相对平缓，因此，；故. 6.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象可知，是奇函数，且， 选项A：，，不符合； 选项B：，导数是奇函数，且，符合； 选项C：，定义域为R， 且， 所以是偶函数， 不符合； 选项D：，在上恒大于0，不符合． 7．（多选）已知函数，下列说法正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】， 当时，，当时，， 故在区间、上单调递增，在上单调递减， 故A、B、D正确，C错误. 8．（多选）已知函数，则（   ） A．曲线关于对称 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】对于A选项，， 显然曲线关于对称，故A正确； 对于B选项，当时，，单调递减， 故B错误，C正确； 对于D选项，，， 可得曲线在处的切线方程为．即， 故D正确． 9．函数的单调递减区间是___________． 【答案】、 【解析】函数的定义域为，， 由可得或，故函数的单调递减区间为、. 10．已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】函数 的定义域为， 因为是单调递增函数，故对任意恒成立， 即，分离参数得对任意恒成立， 由基本不等式，当时，，当且仅当即时等号成立， 因此，即的最大值为，故，即的取值范围是. 11.已知函数．讨论函数的单调性； 【解】．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； 能力进阶 1．函数的图像大致是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【解析】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 3．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数在上单调递增，则在上恒成立. 求导得，故对任意恒成立， 即在上恒成立. 令，，则. 求导得，令，解得（）. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，在处取得最小值，. 故，即的取值范围是. 4．函数的单调递减区间为（　　） A．,， B．, C．,， D．, 【答案】B 【解析】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得， 因此函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 5．已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，构造辅助函数，对求导得， 因为恒成立，且，因此，即是上的单调递增函数. 由，得. 选项A： 因为单调递增，故，即，整理得，A错误； 选项B： 因为单调递增，故，即，得，B错误； 选项C： 因为单调递增，故，即，整理得，C错误； 选项D： 因为单调递增，得，即. 因为，所以成立，故 D 正确. 6．已知函数的定义域为，且其图象是一条连续的平滑曲线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得 当时，，所以； 当时，，所以． 因为的图象是一条连续的平滑曲线， 所以，则． 7．（多选）已知函数，其导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题 【答案】ABD 【解析】已知函数，其导函数为，则， 对于A，由于，所以是奇函数，故A正确； 对于B，由于，所以是偶函数，故B正确； 对于C，由于，令，则， 再令，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即；当时，，即； 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，因此在上单调递增，故C错误； 对于D，由于，若是周期函数，则存在实数，对任意，有， 即，化简得， 显然，当时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为，矛盾， 因此不是周期函数，则命题“是周期函数”是假命题， 所以命题“是周期函数”的否定是真命题，故D正确. 8．（多选）已知定义在上的函数满足，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】， ，，则恒成立， 故在，上单调递增， 故，即，故 B正确，D错误． ，即，故 C正确，A错误． 9．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】设，则. 因为，所以，即在上单调递减. 又，则， 即不等式的解集. 10．已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】． 当时，在上单调递增，符合题意． 当时，令，解得或， 所以在和上单调递增，符合题意． 当时，令，解得或，令，解得， 所以在和上单调递减，在上单调递增，不符合题意． 故的取值范围为． 11．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围． 【解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 当时，则，可知在单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 可知在单调递增，在单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2）由（1）可知：当时，在单调递增，在单调递减， 则， 若关于x的不等式在有解，则0，解得， 所以实数a的取值范围为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2023·新课标Ⅱ卷T6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选C． 2.（2022·新高考全国Ⅰ卷T7）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以，故选：C. 3．（2021·新高考全国二卷T14）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【解析】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 4.（2023·全国乙卷（理）T16）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 5.（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 【解】因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 6.（2023·全国乙（文）卷T20节选）已知函数，若函数在单调递增，求的取值范围． 【解】由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．利用导数判断下列函数的单调性: （1）； （2）； （3）. 【解】（1）因为， 所以 所以在R上单调递增. （2）因为， 所以 所以，函数在 上单调递减. （3）因为， ，所以 所以，函数在 和上单调递增. 2．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的值域. 【解】（1）由函数得 ， 令，解得x＜−1或x＞4，； 令，解得−1＜x＜4， 故函数f（x）的单调递增区间为（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间为（−1，4）； （2）由（1）可知，当x∈[−3，−1）时，，f（x）单调递增， 当x∈（−1，4）时，，f（x）单调递减， 当x∈（4，6]时，，f（x）单调递增， 所以当x＝−1时，函数f（x）取得极大值f（−1）＝， 当x＝4时，函数f（ x）取得极小值f（4）＝， 又， 所以当x∈[−3，6]时，函数f（x）的值域为 3．证明函数在区间上单调递减． 【解】因为，所以， 当时，， 所以函数在区间上单调递减． 4．用导数判断下列函数的单调性，并求出单调区间. (1)； (2)； (3)； (4)，. 【解】（1）函数的定义域为R，， 所以函数的递减区间为，无递增区间； （2）函数的定义域为R，， 令，令， 所以函数的递减区间为，递增区间为； （3）函数的定义域为，， 所以函数的递增区间为和，无递减区间； （4）函数的定义域为，， 所以函数的递减区间为，无递增区间. 5．求函数的单调区间． 【解】函数的定义域为R，时，， 由得，由得，即在上单调递增，在上单调递减， 所以的递增区间为，递减区间为. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $