2026-2027学年高二数学上学期开学模拟练习卷（湖北襄阳市适用）

**基本信息** 以数学眼光整合文化传承与现实情境，通过费马点问题、黄鹤楼测量等素材，考查复数、统计、立体几何等知识，体现数学思维的逻辑性与数学语言的精确表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、分位数、投影向量|基础概念辨析，如第2题分位数计算| |多选题|3/18|复数性质、三角形判定|多角度考查，如第10题结合正弦定理与三角形类型| |填空题|3/15|向量平行、解三角形应用、立体几何体积|情境化设计，如第13题黄鹤楼高度测量| |解答题|5/77|立体几何证明、统计图表分析、多面体动态问题|综合应用，如第16题电影票房统计分析数据意识，第19题多面体动点问题考查空间观念|

2026-2027学年高二数学上学期开学模拟卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．复数，则z的虚部为（    ） A．3 B． C． D． 2．10个数据的75%分位数是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 3．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知中，，，，则等于（   ） A． B．或 C． D．或 5．如图，，若，则（   ）    A． B． C． D． 6．已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 7．现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（   ） A． B． C． D． 8．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知，，分别是三个内角，，的对边，且1，点为的费马点．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知复数，则下列结论正确的有（   ） A．复数z的虚部为 B．复数z在复平面内对应的点在第三象限 C． D． 10．在中内角的对边分别为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，，且有两解，则的取值范围是 11．如图，在棱长为4的正方体中，M为的中点，P为线段上动点（含端点），则（    ） A．过点A，C，M的截面的周长为 B．的最小值为 C．与平面所成角的正弦值的最大值为 D．当时，过点P作三棱锥外接球的截面，所得截面面积最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知向量，，若，则_________. 13．享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处（、、三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度为________． 14．一个正三棱柱的底面边长为，侧棱长为4，其内部有一个半径为1的能自由滚动的球，则在该三棱柱内，球任意滚动过程中始终不能到达的部分的体积为________. 四、解答题（5题，共77分） 15．（13分）如图，已知正三棱柱的所有棱长均相等，D，E，M，N分别为线段，，，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小． 16．（15分）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数． (2)从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差． 17．（15分）如图，在中，已知，，，，N为AC中点，AM交BN于点P. (1)求BN的长； (2)求的值； (3)求的大小. 18．（17分）中，设角，，的对边分别为，，．已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围． 19．（17分）如图，在多面体中，是边长为的等边三角形，平面，，，，，记的中点为． (1)证明：平面； (2)设为棱上的动点， （i）若，求到的距离； （ii）求与平面所成角的正弦值的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高二数学上学期开学模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D B C C A BD ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】， 所以虚部为． 2．B 【详解】因为，所以第75%分位数是第个数，即 3．B 【分析】使用投影向量的定义求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为：. 4．D 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又，故或． 5．B 【详解】根据题意可得，所以． 6．C 【详解】选项A：线面平行的判定要求，题干未说明不在平面内，若，则不满足，因此A错误； 选项B：面面垂直的性质定理要求，题干未说明在平面内，若不在中，无法推出，因此B错误； 选项C：由，，可得；又，根据面面垂直的判定定理，可得，因此C正确； 选项D：题干未说明不在平面内，若，满足条件但不满足，因此D错误. 7．C 【分析】应用几何扇形弧长计算，结合圆台的几何特征计算即可. 【详解】设圆台的上下底面半径分别为，，由题知扇面的外径为，内径为， 所以圆台的母线长，上弧长，则， 下弧长，则， 则圆台的高. 8．A 【分析】先利用三角形内角关系与三角恒等变换化简给定等式，推导出角的度数，结合费马点性质得到点与三顶点连线两两夹角为，再将所求向量数量积之和转化为含面积与费马点到三顶点距离两两乘积之和的表达式，最终结合已知条件算出结果. 【详解】在中，，因此， 所以，整理得， 又，可得， 在三角形中，因此，即，显然的三个内角都小于. 根据费马点定义，此时点满足两两夹角为， 即任意两个向量的夹角都是，因此： ， 同理，， 因此待求式可写为：， 的面积可拆分为三个小三角形面积之和：， 已知，，因此， 因此：，解得：， 所以. 9．BD 【详解】已知复数，实部为，虚部为，共轭复数 ， A：的虚部为，错误， B：在复平面对应点坐标为，对应点在第三象限，正确， C：，而，错误， D：，正确. 10．ACD 【分析】根据题意，利用正弦定理和正弦函数、余弦函数的单调性，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 对于A，若，由正弦定理得，则，所以A正确； 对于B，若，可得， 因为，可得或， 即或，所以是直角三角形或钝角三角形，所以B不正确； 对于C，若为锐角三角形，可得，所以， 因为，可得， 则且， 所以，所以C正确； 对于D，若，，可得， 要使得有两解，则满足，即的取值范围是，所以D正确. 11．ACD 【分析】首先找到过点A，C，M的截面，再直接计算截面周长；通过将相关面展开到同一平面，化折线为直线计算最小值；利用等体积法求点到面距离，并结合垂线段最短确定位置，进而得到正弦值的最大值；转化为球心到截面距离最大，借助正方体外接球半径和截面圆半径公式求解截面面积最小值. 【详解】对于选项A，取中点，连接，，则四边形为过三点的截面， 其周长为，A正确； 对于选项B，将与沿直线展开到同一平面内，如图所示， （当且仅当为线段与交点时取等号），； ，，； ， 为等边三角形，， ， ， 的最小值为，B错误； 对于选项C，因为平面，平面， 所以平面，故上任意一点到平面的距离都相等，设其为， 则与平面所成角的正弦值， 当点为中点，最小，此时，为最大. 又，，，， 所以，同理，又，所以平面， 根据，可得， 即，解得， 此时，故C正确； 对于D选项，设三棱锥的外接球球心为O，外接球半径为R，线段的中点为E， 截面圆的半径为r，要使得过点P的截面面积最小，则OP垂直截面圆. 因为三棱锥的外接球也是正方体的外接球，所以. 由题意可得， 则，所以截面圆的面积为. 12．4 【分析】应用向量线性关系的坐标运算及平行的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】因为，， 所以，又， 所以，解得. 13． 【分析】在中求出的长，然后在中利用正弦定理可求出的长，最后在中可求出的长，即为所求. 【详解】在中，，，，所以， 在中，，， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 在中，，， 所以，故黄鹤楼的高度为. 14． 【分析】先计算正三棱柱的总体积，分析球能到达的区域，用正三棱柱总体积减去球能到达的总体积，得到始终不能到达的体积。 【详解】 正三棱柱底面是边长为的正三角形，底面积为： , 侧棱长（高），因此正三棱柱总体积： 正三角形的内切圆半径，恰好等于球的半径. 球心可活动范围为中轴线上去掉两端各长度的线段，长度为， 球扫过的区域为底面半径高的圆柱加上两个半径的半球（合计个整球）， 能到达体积为， 不能到达体积为 15．(1)取的中点，连接， 分别是的中点，正三棱柱中，且， 故四边形是平行四边形，故， 分别是的中点，故， 正三棱柱中，是中点，故， 故，四边形是平行四边形， 故， 又平面，平面， 故平面． (2) 【分析】（1）根据正三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用线线平行推出线面平行； （2）根据正三棱柱的几何性质，结合已知条件求出相关边长，结合（1）结论，找到二面角的平面角，进而求出角的大小． 【详解】（1）略 （2）已知正三棱柱的所有棱长均相等，设棱长为， 连接，则， 分别是的中点， 则， 故是等腰三角形，是中点，故，， 由（1）知，， 故，， 故为平面与平面所成的锐二面角的平面角， 中，，故， 故． 16．(1)，众数为 (2)4人 (3) 【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为计算可得的值，然后根据众数概念求解即可； （2）利用分层抽样的概念求解即可； （3）由平均数和方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知：众数为. （2）由频率分布直方图可知年龄为的三组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取（人） （3）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， ． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，选择为平面内一组基底，根据向量线性运算用基底表示，再利用模长公式求解； （2）用基底表示，结合数量积的运算律求； （3）将转化为向量夹角，利用数量积定义求，进一步得到. 【详解】（1）由已知得，所以. 因为N为AC中点，所以， 所以； （2）， 则 （3）， ， 由（1）得，所以， 又因为，所以. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理求； （2）结合 和已知乘积求边长比； （3）由锐角条件确定角的范围，再利用高和三角恒等变换求面积范围． 【详解】（1）已知． 由正弦定理，得. 又由余弦定理，则， 因为，，所以. 又 ，故 ，从而. （2）由（1）知，所以． 又，且 ，所以. 由正弦定理，，因此. 由已知条件， 故. 因为，，均为正数，所以. （3）由（1）知，故． 因为 为锐角三角形，所以 由边上的高为，有． 于是三角形面积 又， 所以. 当 时，故 当时取到等号，而不能取到． 因此 所以面积的取值范围为 19．(1)如图，取的中点，连接，. 平面，，，平面，平面. 为的中点，为的中点，， 在直角梯形中，，. ，，，； 平行四边形是平行四边形. . 平面，平面，平面平面. 是等边三角形，为的中点，. 平面平面，平面，平面. ，平面. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）取中点，连接，，根据中位线性质得四边形是平行四边形，求得；由平面证得平面平面，再证得平面，从而得到平面. （2）（i）过点分别作，，分别求出，，根据余弦定理求出 值，再求出的值，从而求出点到的距离； （ii）由余弦定理求出的值，再根据体积相等，解得的值，从而求出与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）（i）如图，过点分别作，，垂足分别为点，；取中点，连接，，，. 是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. ，； ，，，，. 在中，. ，平面，平面. 在中，； 在中，. 在中，； . 在中，. 即点到的距离为. （ii）如图，过点作平面，垂足为点，连接，则为与平面所成角； 分别过点，作，，，垂足分别为，，. 则，，，. 在中，； 在中，； 在中，； ，即为等腰三角形. 是的中点，，. ，. 为棱上的动点，设，. 在中，. 在中，； 在中，； 在中，； . .，. 由（1）得平面，则平面. ，即，解得. 在中，. ，当时，取得最大值，即. 即与平面所成角的正弦值的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $