湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

郧阳中学2024级高二上起点考试 数学参考答案 1.【答案】B 【解析】复数z=3-4=34,则z=3-4,1z小V3+(4=5,所以号=号1.故选B. 2.【答案】D 【解折】因为9为第一象限角，sn0-cos9-5>0,则si血9>cos8>0,cos20=0os20-sim20<0。 m0-6c0-月即1-n20-分据得m29-子c20-面20=- 3 所以am20=血20=25.故选D. cos20. 5 3.【答案】C 【解析】，(0.01+a+0.022+0.025+0.02+0.005)×(20-10)=1,∴a=0.018,①选项正确： x=10×5×0.01+15×0.018+25×0.022+35×0.025+45×0.02+55×0.005)=29.2≈29，②选项错误； 由频率分布直方图可知该场观众年龄众数的估计值为35，③选项正确； .(0.01+0.018+0.022)×10=0.5<60%,（0.01+0.018+0.022+0.025)×10=0.75>60%, 该场观众年龄60%分位数的估计值为b(30<b<40),÷(0.01+0.018+0.022)×10+0.025(a-30)=0.6, ∴.a=34,④选项正确。故选C. 4.【答案】D 【解析】将平面展开图还原成正方体如图所示，则B,C两点重合，所以： 1与2相交，连接AD,则△4BD为正三角形，所以与的夹角为二.故选D. 5.【答案】C 【好折1对于0：由围可知：号晋音-受了=示告中0=2，用五点法代入点倍小可得 p=名+2ake五，不妨取p=石f(倒=如2x+君，2x+君)m(2x号+到6oe2x-引故@正 6 确；对于@：“m2×(晋)}0故②错误：对于@：由于g)钟缩变换后的函数就是f,故@正确， 对于@：肉右平移骨后的函数y=2司到》2红》血2红引-2，y=:-引为偶西 数，故④正确：故选C. 6.【答案】C 【解析】如图所示，依题意AB=60W√6，∠DAB=75°，AC=40WB,∠DAC=30°，∠ADB=60°： 高二数学试卷（共8页)第1页 在△ABD中，∠B=180°-∠DAB-∠ADB=180°-75°-60°±45， 由正弦定理得 hZi0B“sm2B,÷0-nA_o6x AB AD sin∠ADB· .=120. 在4CD中，由余弦定理可得cD2=4C2+AD2-2 C.AD0∠D4C=40+020-2×405×120x5-40, 2 所以CD=40√3，故选C 7.【答案】B 【解折】由而-(Q+C网)知点D为AB的中点，设F为AD中点，由花=D+yC得 A正=2xA正+yAC,因为2x+y=1,所以点E在直线C℉上，以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平 面直角坐标系，则A(0,4),B(0,0),C(4,0),D(0,2),F(0,3),E·EB=(ED+DA·(ED+DB)EDP-4.在 Rt△BCF中，BC-4,BF=3,CF-=5,sin∠BFC等当DE⊥CF时，|EDP最小，此时，在Rt△DEF中， DF1D8-DF血∠c号即.庞的最小值为目←答 故选B 8.【答案】D 【解析】sinC-sinB=2 sin Bcos A,sinA+B)-sinB=2 sin Bcos A.∴，sin(A-B)=sinB, A-B=B,.A=2B,从而C=π-3B, sinBsinB sin B 1 sinC sin3B sin Bcos2B+cos Bsin2B 4cos2 B-1 0<B<T 2 AMBC为锐角三角形.0<2B<号 B<.cosBe 2’2 4cos2B-1∈(1,2)，从而 0<-3B<号 sinB sinC 4cos2B-] 故选D. 9.【答案】ACD 【保新】对于A豆-吃9G-A正确 对于B,4+-+,五=5，子=-，B误 2 2 22 22 对于C,( 2+到-5+孕+1三1910，则z是方程平-x+0的一个根，c正 2 2 22 对FD,马，马中=兮9G+马-DE痛，散选A①. 22 22 10.【答案】ACD 【解折】对于A:a+6-(-3,4),(a+石)i=5a+b5,=V+4-V5,co0-所以A正确； 高二数学试卷（共8页)第2页 对于B:a+6=(-3,4),a-6=(5,0）,所以(a-ba+)=-3x5+0=-15≠0，所以不垂直，B销误： 对于c:a+=-3)+4平=5，-=V52+0=5,所以a-=a+列，C正确： 对于D:6-=(5,0),a6-a)=-5,=V+4=5,所以向量万-a在向量a上的投影向量为6-a, D正确；故选ACD 11.【答案}BCD 【解折】对于A:如图O,延长FE交DA的延长线于点P,易得△EFB-△EPA,所以4P=BF莲 接PD交从于点Q,由△PA0-aD40,得号。织，所以Q是4上靠近A的兰等分点，在楼股上 取点1，使得Bl-B,连接1G,则G∥DC,在校CG上取点J,使得G=CG,连接BW,则B∥C4, 得BJ∥D2.,取CJ的中点R,.连接FR,则FR∥BJ,得FR‖DO,则R是CC上靠近C的三等分点，连 接DR,则五边形五FRD犯即为所求截面，面R-E+g-周哥9,0E+Q-,-四 =ag+0-+图=9，D-Gr+GFP图，=@+c-+e, 故五边形 EFRDO不是正五边形，A错误； 对于B:如图②，取棱AB、DC的中点，则长方体EBCN-MB,C,G的外接球即为三棱锥F-DDE的外接 球，直径长为EC=√EB2+BC2+CC2 r+号则球0的表面积为如)- 故B正确； 对于C:正方体部分履开图如图®所示，按不同的展开方式，分三种情况：4G-F-里，46-2：得-受， 4G-+=严，则AG的最小值为 ,故C正确： 2 对于D:由正方体的侧面展开图.结合图④可以看出五个边长为2的正方形及上下左右四个等腰直角三角形组成 一个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形HSLT即为所求最小正方形，其对角线长为号+1+1+1+号=4， 2 所以面积为2×4×4=8，故D正确。 ③ ④ 高二数学试卷（共8页）第3页 12.【答案】34 【解析】样本数据的上四分位数为从小到大排列：17,21,24,28,30,32,33,34,41,100， 因为1-1、3 10×3=75,所以上四分位数是第8个数为34，故答案为：34. 44 4 5 10 13.【答案】。≤0≤ .3 【解折1由xe0引 则ox+∈厂，om+元] 66’26 f(x)的值域为 -1 5 10 2 则元≤o+s,解得2s0s 故答案为： 26- ≤0≤ 6 3 3 3 4.【答案】2V2+四 【解析】因为AM与平面ABCD成45°的角，故M在AA为对称轴且轴截面顶角的一半为45°的圆锥面上 (除去A),而M在正方体表面上且由正方体的性质有∠BAA=∠DAA=45°， D 故M的轨迹为线段4B,4D和子个圆（D，故点M轨迹的长度为 25+2x元=25+受故答案为：25+受 15.【解析】(1)由题意得m.n=sin Acos B+-sin Bcos A=sin(A+B), 在△ABC中，A+B=元-C,0<C<π，所以sin(A+B)=sinC,所以m.n=sinC,又mn=sin2C, 所以sin2C=sinC,得2 sin CcosC=sinC,解得cosC=.又因为C∈(0，)，故C= 2 3 (2)由2sinC=sinA+sinB及正弦定理，.得2c=a年b;, 因为CA-(dB-AC=18,所以CA.CB=18,即abcosC=18,所以ab=36. 由余弦定理，得c2=a2+b2-2abc0sC=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,解得c=6. 16.【解析】(1)在△ABC中，AC=2,BC=1∠BAC=30 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×4C.cos.∠BAC, 即1=AB2+4-25AB,解得AB=V5,AB2+BC2=3+1=4=AC2,BC⊥BA, PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC, BA∩PA=A,PA,ABC平面PAB,BC⊥平面PAB, :ADII平面PBC,ADC平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC, .AD/IBC,AD⊥平面PAB,PBc平面PAB,.AD L PB. (2)(i)如图：过点A作A2⊥PD于点2， ,平面PADL平面PCD,平面PAD平面PCD=PD,A2C平面PAD, 高二数学试卷（共8页)第4页 AO⊥平面PCD,,CDc平面PCD,.AQ⊥CD, 又PA⊥平面ABCD,CDC平面BCD,∴PA⊥CD, :PA∩AQ=A,PA,AQC平面PAD,.CD⊥平面PAD, 'ADC平面PAD,∴.CD⊥AD. (i)由(i)知∠CBA=90°，∴.∠CBA=∠CDA=90°， :CB=CD,AC=AC,AABC兰AADC,.AD=AB=√5· 如图，过点D作DE⊥AC于点E,再过点E作EF⊥CP于点F,连接DF, PA⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,∴PA⊥DE, ,PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC,.DE⊥平面PAC, ,PCc平面PAC,.DE⊥PC, 又EF⊥PC,DE∩EF=E,DE,EFc平面DEF,∴.PC⊥平面DEF, ,DFc平面DEF,∴.PC⊥DF,.∠DFE为二面角A-PC-D的平面角， ∠C04=90c0=0=5.8m=1x5= 2 又8m-4CxDE=x2xD8=D,DE=盟 2 平面PAD,PDc平面PD,&CDLPD,Sx=CDxPD 2 又Sm方xPGxDF-2BxDF=nr,:9-5Da,Dr=2 2 2 2W2 3 在RADEF中，im∠DFE=DE-2=厘 DE √7 :片.即二面角A-PC-D的正弦值为√互 2W2 17.【解折11)了问=sin2ax-25os2x+l+5=sm2ax-5os20e=2sm2ar} y 由/()的图象向右平移牙个单位长魔，得7=2如2（引司引-22as晋引】 此函数是偶函数，则-r-元=+：(keZ,0=-10-12k(k∈2Z列 1232 因为0<0<3，所以当k=-1时，0=2，f儿)=2m4x-引 24 所以f(国的单调蜡区间为[会] 高二数学试卷（共8页）第5页 2sin /3 令4=秋-子作出商数y=2在1e得5x 3 上的图象，如图所示， 由方程f(x)=m(m∈R)在x∈ 4 63 上有五个实数根，可得函数y=2sint与直线y=m在t三 ,5π 上有 五个交点，且当t=父时，y=5:当t=5玩时，y=0, 3 则由图象可得当m∈[0，V3)时，函数y=2sinf与直线y=m在t∈ ,5π 上有五个交点，设为，2，，4,5， 不妨设<2<专<t4<5,则 6+5与=2×3=3元，5+5=2x=5π，5+6，=2x7=7m,6+5=2 2 9=9, 2 (引锅引，(5到引5。 4引=1，引引-， :11 解得为=12 17π ,x+为=12 气 23 x3+x4=12 2+24+点+场=%+5+*)+低++低+烤上设晋瓷资警 123 故m[0同.+2戏+2%+2+，-2 11w-同-2（万血4生ow42-号 即2sn?4牛B+eos34,B=1-6cos(4+B+1+cos(A-B）-=2,2a+助=6sA-, 2 2 (cos Acos B-sin Asin B)=cos Acos B+sin Asin B,cos 4cos B=3sin Asin B: 化简得tan AtanB=sin AsinB_1 cosAcosB 3 (2）在△ABC中，tanC=-tan(A+B)= t如A+anB=-（tanA+tanB). 1-tan Atan B 2 由(I)知an4anB=>0,且AB是△ABC的内角， 3 ∴tanA>0,tanB>0,.tanA+tanB≥2√tan Atan B=2, 25 (当且仅当tanA=tanB时等号成立). V3 高二数学试卷（共8页）第6页 am4+m创s*25-5. 23 ∴tanC≤-V5,当且仅当tanA=tanB时等号成立.Ce （8)当∠4C8最大时，C=经A=B-若，由C-(1),可得d-2, :M∈AB,当M与A和B点重合时，AC=MC=2, 当M与A和点不邀合时，∠AMCe(后}n∠AMCe行] CM AC 2 AC 在△AMC中，由正弦定理， sin ZCAMsi咖乙Aic,即Tsim乙AMC4C=4sin∠AMC 又sin∠AM 21 AC∈(2,4]. 综上，AC的长的取值范围是[2,4]. 19.【解析】(1)(i)证明：因为平面PAB⊥平面ABCD, 平面PABO平面ABCD=AB,PA=PB, 作PE⊥AB,则E为AB的中点，且PE⊥平面ABCD. 因为AB=CD,AB=BC=AD=2.·所以底面四边形ABCD为菱形， 因为∠BD-号所以∠ABC-径4c=AB+BC-2AB-BCcs行-l2,即4C=25 .3 由正弦定理得△ABC外接圆的半径为r= 2W5 =2 2sin∠ABC 设△ABC外接圆圆心为O,则O,A=O,B=OC=P=2. 又DA=DB=DC=2,从而O与D重合，即D为△ABC外接圆圆心. 由三棱锥P-ABC的外接球的性质，即OD⊥平面ABCD,又PE⊥平面ABCD,所以OD∥PE, 因为PEc平面PAB,所以ODI平面RAB. (i)由题意，△PAB为正三角形，则△PAB外接圆的圆心在PE上，记为O, 由正三角形性质可得圆0，的半径P0,=子P8-2,则Q,B=5 2 3 3 连接0，则O0,1平面PMB,所以EBD0,为矩形，OD=0,E=5 3 三棱锥P-ABC的外接球R=0A=yOD2+HD=Y39 3 高二数学试卷（共8页）第7页 所以三棱维P-ABC的外接球的表面积S=4πR?=S2π 3 (2)由(1)可知，PE⊥平面ABCD,PE为三棱锥P-BCD底面BCD上的高，PE=5. 要使得三棱锥P-BCD体积的最大，只需底面△BCD的面积最大 连接BD,那么BD=AB2+AD2-2AB-AD cos0=8-8cos8,BD=2N2.-cos0=4sin9 “2 又4B=AD,DB=ABD=9.因为∠MC=+0,所以 2 ∠DBC=∠ABC-∠ABD=元+日-π-0_30 2-2 所Sam=0D-BCsn∠D8c=4 tsinsin9- 024sin9 sin- 5m2 cos 0+.co8 sino s4sn2足。 cos+4sincossin0=2cos0(1-cos0)+2sin20=2cos0-2cos20. 2 2 2 从而SBcD=2c0s9-2(2cos20-1)=-4coS20+2cos日+2. 令=c8,8。=+242一气一景屏以=s0-时，面爱大 4 3×44 高二数学试卷（共8页）第8页郧阳中学2024级高二上起点考试 数学试卷 命题教师：孟祖国 审题教师：郝兴波 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若复数z=3-4的，则日（） 34 B.34 55 c.-3+4 55 2.已知8为第一象限角.sin0-c0s0=y5 ,则tan20=（) 3 A.2V2 B.25 c.-22 D.25 3 3 5 3.据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日4时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预 售及海外票房)已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登 频率 组距 顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队随机抽取观看该电影的某场观众 0025 0.022 中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图， 0.020 现给出以下说法：①a=0.018②该场观众年龄平均数的估计值为30③ 0.0I0 该场观介年龄众数的估计值为35④该场观众年龄60%分位数的估计值 0.005 为34，其中正确说法的个数为() 0102030405060年龄（岁） A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图是正方体的平面展开图，4,2是两条侧面对角线，则在该正方体中，4与12（) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为 3 D.相交且夹角为 3 5.西数f=sn(®r+p@>0的部分图象如图所示，给出以下说法：@re-cm2x引》®点臣。 是函数f()的图象的一-个对称中心®肠微(=mx+图象上的所有点的横坠标 缩短为原来的5，得到函数f()的图象®國函数f)的图象向右平移个单位长度， 3 5元 得到的图象关于y轴对称.其中正确说法的个数为（) A.1 B.2 C.3 D. 高二数学试卷（共4页)第1页 6.海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮的南偏东75°，距离为60√6海里处；在A处看灯塔C,在货轮的南偏 西30°，距离为40√3海里处，货轮由A处向正南航行到D处时看灯塔B在北偏东60°，则灯塔C与D处之间 的距离为（) A.40√6海里 B.40海里 C,40√5海里 D.60√3海里 7.若△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=4,苑=(C+CB),AE=xD+yAC,其中2x+y=1, 则EAEB的最小值是() 20 84 A. 9 B. 25 C.-3 D.-4 8.锐角△ABC的内角4，B,C满足sinC-sinB=2 sin BcosA,则sinB 的取值范围为() sinC 02) C.(0,1D 到 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 ,-上+51，其中1是虚数单位，z是z的共轭复数，下列判断中正确的是（） 9.设复数z=二+ 22 A.27=1 B z2=7 C.z是方程x2-x+1=0的一个根 D,满足z”∈R的最小正整数n为3 10.已知向量a=(1,2),6=(4,2),则(、 A.若向量a+i与向量a的夹角为6，则cos0-5 B.(a-b)1(a+6） c.la--a+列 D.向量b-a在向量a上的投影向量是-a 11.已知正方体ABCD-A,B,CD的棱长为1，E,F，G分别为棱AB,BC,CD的中点，则下列说法正 确的是（) A.过点E,F,D的平面截正方体ABCD-A,B,CD,所得截面多边形为正五边形 B.若三棱锥B-CCE的项点都在球O的表面上，则球O的表面积为 元 C.从顶点A出发沿正方体ABCD-AB,CD,的表面运动到点G的最短路线长为 2 D.若用一张正方形的纸把正方体ABCD一A,B,C,D完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形 纸的面积的最小值为8 高二数学试卷（共4页)第2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.样本数据34,247,813200,41,30,28,33的上四分位数为· 则0的取值范围为 14.设正方体ABCD-A,B,CD,的楼长为1，点M在正方体的表面上运动，且满足A,M与平面ABCD成45°的 角，则点M轨迹的长度为· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。 15.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cos),mn=sin2C. (1)求角C的大小： (2)若sinA+sinB=2simC,且CAAB-AC)=18,求c. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,∠BAC=30°. (1)若ADI平面PBC.证明：AD⊥PB; (2)若平面PAD⊥平面PCD,CD=1, (i)证明：AD⊥CD; ()求二面角A-PC-D的正弦值. C 高二数学试卷（共4页)第3页 17.已知函数f(x)=sin2x-2√3cos2wx+V5(其中0<w<3),将∫(x)的图象向右平移C个单位长度 24 后得到的函数为偶函数。 (1)求f(x)的解析式： 2)当xe[登引时，求函数f()的单调增区间： (3)记方程f()=m(meR)在x[后]上有五个实根x,,为，，巧，芙中%<%<名<名<%， 求m的取值范围及+2x2+2为3+2x4+x的值. 18.已知△4BC的内角4，B,C元-(2sa4生co42)同 2 (1)求tan Atan B的值； (2)求C的取值范围； (3)若M是边AB上的一点，当∠ACB最人时，MC=(-1,√3)，求AC的取值范围. 19、如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=AB=BC=AD=2. (1)若∠BAD=,AB=CD,记三棱锥P-ABC外接球的球心为O. 3 (i)求证：OD//平面PAB; (i)求三棱锥P-ABC外接球的表面积， (2)记∠BAD=9,0e〔0引，当∠ABC=受+9时，求三校锥P-BCD体积的最大值。 高二数学试卷（共4页)第4页