精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年高二年级第一学期开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，40分. 1. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 17 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6. 设为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A 若，，， B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，18分. 9. 已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（    ） A. B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的值域为 10. 下图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 11. 在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（ ） A. 满足条件的不可能是直角三角形 B. 面积的最大值为 C. 当时，的内切圆的半径为 D. 若为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，15分. 12. 已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________. 13. 若均为单位向量，且，则取值范围是_____ 14. 已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：；在上是增函数；的图象关与直线对称；函数在处取得最小值；函数没有最大值，其中判断正确的序号是__________． 四、解答题：本题共5小题，77分. 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 16. 某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，则成绩在内的学生有几个？ （2）学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的学生的最低分数. 17. 已知，集合， （1）若，求的值； （2）若，求值. 18. 在中，角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 19. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c满足． （1）求B； （2）若，，求的面积； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石嘴山市第一中学2025-2026学年高二年级第一学期开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，40分. 1. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【详解】由可得， 所以. 故选：B 2. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数. 【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24， 因为上四分位数是第分位数，则，所以这组数据的上四分位数为. 故选：D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，再根据集合交集的概念及运算即可求解. 【详解】，. 故选：D. 4. 如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆台的表面积公式求解即可. 【详解】由题可知，该旋转体为上底面半径，下底面半径，母线长的圆台， 则该圆台的表面积. 故选：C 5. 已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念求解即可. 【详解】由，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 6. 设为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为为正实数，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 7. 设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，， B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于选项A中，因，，所以， 又因为，所以由垂直于同一平面的两条直线平行可知，选项A正确； 对于选项B中，当，时，直线与平面的位置关系不定，选项B错误； 对于选项C中，当，，时，易得，选项C正确； 对于选项D中，当，时，，因为，所以，选项D正确. 故选：B. 【点睛】对于辨析空间中直线与平面位置关系的两种策略： （1）根据空间中直线与平面位置关系的相关定理进行辨析； （2）根据选项中给出的位置关系，联想特殊几何体(如正方体､正三棱柱等)进行直观辨析. 8. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，18分. 9. 已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（    ） A. B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数的图象性质以及图象的平移变换即可一一判断求解. 【详解】A选项：由题知，设的最小正周期为， 则，∴，∴. ∵，∴，则， 得，又，∴， ∴，故A正确； B选项：因为，所以其图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，故B正确； C选项：由得，则在区间上不单调，故C错误； D选项：∵，∴，∴， ∴，∴在区间上的值域为，故D正确. 故选：ABD. 10. 下图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增；对于B，将数据从小到大排序，按百分位数计算公式计算即可；对于C，计算每年的增长率比较即可；对于D，求出平均值并和年数据比较即可. 【详解】对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正确； 对于B，因为，将所有汽车销量数据从小到大排序， 所以销量的第百分位数为第个数据，即，故B正确； 对于C，年的增长率为， 年的增长率为 年的增长率为 年的增长率为 年增长率为 年的增长率超过其他年份的增长率，故C正确； 对于D，这六年销量的平均数为 ，故D错误. 故选：ABC. 11. 在中，角、、对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（ ） A. 满足条件的不可能是直角三角形 B. 面积的最大值为 C. 当时，的内切圆的半径为 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BC 【解析】 【分析】确定，举反例得到A错误，设，则，根据余弦定理结合面积公式计算，B正确，确定，根据等面积法计算得到C正确，计算得到，D错误，得到答案. 【详解】，则， 对选项A：取，则，，故，是直角三角形，错误； 对选项B：设，则，，， ，当时，最大为，正确； 对选项C：时，，， ， ，故，设内切圆的半径为， 则，解得，正确； 对选项D：为锐角三角形，则，即，解得， 且，即，解得，故，错误； 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握余弦定理，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，15分. 12. 已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得. 【详解】因是纯虚数， 可得，解得. 故答案为：3. 13. 若均为单位向量，且，则取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意及模长公式求出，再结合数量积公式计算即可. 【详解】因为且均为单位向量， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 因为， 所以，即. 故答案为：. 14. 已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：；在上是增函数；的图象关与直线对称；函数在处取得最小值；函数没有最大值，其中判断正确的序号是__________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】由可得函数的图象关于点对称，结合偶函数可得是周期函数，再逐一分析各个命题判断作答. 【详解】由恒成立知，函数的图象关于点对称， 又是偶函数，由得， 则有，即，因此，是周期为4的周期函数， 对于①，在中，当时，，则，①正确； 对于②，是偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，而的图象关于点对称， 所以在上是减函数，②不正确； 对于③，函数的图象关于点对称，③不正确； 对于④，由①②的信息知，在上单调递减，由是偶函数知，在上单调递增， 由周期是4知，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最小值，④正确； 对于⑤，由④的信息知，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，⑤不正确. 故答案为：①④ 【点睛】方法点睛：函数的定义域为，，存在常数，使得，则函数图象关于点对称. 四、解答题：本题共5小题，77分. 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量坐标形式的共线定理和模长公式即可求解. （2）由向量垂直得，进而得，接着由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解. 【小问1详解】 设向量， 因为，，，所以， 解得或， 所以或. 【小问2详解】 由题， 因为与垂直，所以， 又，所以，得， 所以， 又，故. 16. 某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，则成绩在内的学生有几个？ （2）学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的学生的最低分数. 【答案】（1） （2）分 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求出参数，根据分层抽样的规则，计算抽取人数； （2）根据频率分布直方图估计总体第百分位数的方法，计算最低分数. 【小问1详解】 由题意有：，解得， 采用分层抽样在内的学生人数有：， 所以成绩在内的学生有2个； 【小问2详解】 因为成绩在内的频率为：， 所以最低分数为：， 所以估计获得表彰的学生的最低分数为分. 17. 已知，集合， （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）或 （2），或，或，或 【解析】 【分析】（1）先求出集合，然后由得，再根据集合的包含关系求解； （2）由得，再根据集合的包含关系求解． 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以. 所以.于是或. ①，则；②，则.所以或. 【小问2详解】 因为，对于： ①时，； ②或. 当时，， 当时，. ③，则集合有两个元素， 所以，同（1）的②. 所以，或，或，或. 18. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可； （2）根据余弦定理结合三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理有： ， 所以， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以； 【小问2详解】 ，又由（1）知 由余弦定理得， 即，则 所以的面积为. 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． （1）求B； （2）若，，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后利用余弦定理可求出角B； （2）利用余弦定理求出，再由三角形面积公式可求得结果；、 （3）利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形得，令，然后利用二次函数的性质可求其范围. 【小问1详解】 ， 由正弦定理，得，． 由余弦定理，得， ，． 【小问2详解】 在中，，，． 由余弦定理，得， 即，解得（舍）或． 面积为． 【小问3详解】 由（1）知． ． 令，， ，． ， 当时，取得最小值，最小值为． 当时，取得最大值，最大值为． 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$